大学概率论知识点总结范文第1篇
1 随机事件与概率部分
在大学概率论与数理统计课程中, 这一部分的教学基本要求如下: (1) 了解随机现象, 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件之间的关系与运算; (2) 了解事件频率的概念、概率的统计定义, 会计算简单的古典概率; (3) 理解概率的公理化定义和概率的基本性质, 理解概率加法定理; (4) 了解条件概率的概念。理解概率的乘法定理。了解全概率公式, 理解贝叶斯 (Bayes) 公式, 并会用贝叶斯公式解决较简单的问题; (5) 了解事件的独立性概念。了解伯努利 (Bernoulli) 模型和二项概率的计算方法。
在高中新的数学课程标准中, 这一部分的教学基本要求如下: (1) 在具体情境中了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性, 进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别; (2) 通过实例, 了解两个互斥事件的概率加法公式; (3) 通过实例, 理解古典概型及其概率计算公式, 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率; (4) 了解随机数的意义, 能运用模拟方法 (包括计算器产生随机数来进行模拟) 估计概率, 初步体会几何概型的意义 (5) 通过阅读材料, 了解人类认识随机现象的过程; (6) 在具体情境中, 了解条件概率和两个事件相互独立的概念, 理解n次独立重复试验的模型及二项分布, 并能解决一些简单的实际问题。
在概率论的发展历史上, 有概率的古典定义、概率的频率定义等, 这些定义各适合一类随机现象。而概率的公理化定义是任何随机现象普遍适用的概率的一般定义, 是1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出的。高中数学中, 学生学习的是概率的古典定义和概率的频率定义, 它们适用于古典概型, 所谓“在具体情境中, 了解条件概率和两个事件相互独立的概念”也是指这种情形。
在柯尔莫哥洛夫制定的概率论的公理体系上概率论得到了很快的发展, 形成了一套理论体系, 大学概率论与数理统计课程中学生的学习内容是这一体系中的一部分。因此, 大学的教学要求应在于概率论的公理体系。
对于古典概型、条件概率的计算、概率的乘法定理、事件的独立、伯努利模型 (高中称为n次独立重复试验的模型) 等内容大学学习的方法与高中学习的方法并无不同, 大学学习的全概率公式和贝叶斯公式是作为“能解决一些简单的实际问题”出现的, 只是没有给出公式名称而已, 这些部分在大学教学中可以不再重复要求。
综上所述, 随机事件与概率部分的教学基本要求调整如下: (1) 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件之间的关系与运算; (2) 理解概率的公理化定义和概率的基本性质, 理解概率加法定理; (3) 在概率的公理化定义基础上理解条件概率的概念、概率的乘法定理和事件的独立性概念。
2 离散型随机变量部分
研究一个随机现象, 就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率, 分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律, 由分布列还可以求出离散型随机变量的数学期望和方差, 它们各从一个侧面描述了分布的特征。
在大学概率论与数理统计课程中, 这一部分的教学基本要求如下: (1) 理解离散型随机变量及其概率分布的概念, 掌握分布、二项分布和泊松 (Poisson) 分布; (2) 理解随机变量的数学期望与方差的概念, 掌握它们的性质和计算。掌握分布、二项分布、泊松分布的数学期望与方差。
在高中新的数学课程标准中, 这一部分的教学基本要求如下:
(1) 在对具体问题的分析中, 理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念, 认识分布列对于刻画随机现象的重要性; (2) 理解n次独立重复试验的模型及二项分布, 并能解决一些简单的实际问题; (3) 通过实例, 理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念, 能计算简单离散型随机变量的均值、方差, 并能解决一些实际问题。
在高中新的数学课程标准的说明中指出, 二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型, 要求通过实例引入这两个概率模型, 不追求形式化的描述。教学中, 应引导学生利用所学知识解决一些实际问题。
离散型的随机变量所有可能取值是有限个或可列个, 而只有在学习了级数之后, 才可以处理取值为可列个的情形。高中阶段学习的随机变量是取值为有限个的情形, 并且对分布律的表示以表格法为主, 不要求公式化的表示。在大学阶段则应重点要求随机变量是取值为可列个的情形, 并强调分布律的公式化表示。这一部分的教学基本要求调整如下: (1) 理解离散型随机变量及其概率分布的概念; (2) 理解离散型随机变量的数学期望与方差的概念, 掌握它们的性质和计算; (3) 掌握分布、二项分布和泊松 (Poisson) 分布的概念及数学期望与方差。
3 线性回归部分
在高中新的数学课程标准中, 对于变量的相关性具体要求如下: (1) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图, 并利用散点图直观认识变量间的相关关系; (2) 知道最小二乘法的思想, 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。大学数学的要求如下: (1) 了解回归分析的含义; (2) 会用最小二乘法求回归系数;了解可线性化为一元线性回归的基本思想; (3) 会作简单预测。
对比可以看出对于如何建立回归方程, 高中阶段和大学阶段在方法的要求上并无不同, 大学阶段可不再对最小二乘法做重复要求, 但应加强对线性回归思想方法的理解和应用。这一部分的教学基本要求调整如下: (1) 掌握回归分析的思想方法; (2) 会用线性回归方法解决实际问题 (包括作简单预测和可线性化为一元线性回归的问题) 。
总之, 2010年我们将迎来高中数学新的课程标准下的第一批毕业生。因此, 我们要对数学课程进行整合, 对教学基本要求进行调整, 调整的原则是有利于学生认识数学的本质, 有利于培养和提高学生分析问题解决问题的能力。
摘要：随着新一轮高中数学课程改革的推进, 今年大学将迎来第一批高中新课程标准下的高中毕业生。高中数学新课程标准中对概率统计部分的内容与教学要求与传统高中数学有较大差异, 为此, 我们有必要对比高中概率统计内容整合概率论与数理统计课程教学基本要求。
关键词：普通高中数学课程标准,调整,教学基本要求
参考文献
[1] 教育部制定.普通高中数学课程标准 (实验) [S].
大学概率论知识点总结范文第2篇
1 与平面几何的交汇
例1. (2009年, 辽宁文9) ABCD为长方形, AB=2, BC=1, O为AB的中点, 在长方形ABCD内随机取一点, 取到的点到O的距离大于1的概率为 ()
解析:当以O为圆心, 1为半径作圆, 则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1, 故所求事件的概率为, 故选B。
2 与立体几何的交汇
例2. (2009年, 安徽理10) 考察正方体6个面的中心, 甲从这6个点中任意选两个点连成直线, 乙也从这6个点中任意选两个点连成直线, 则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ()
解析:6个面的中心的连线构成一个八面体, 其中平行的直线共有6对, 故, 故选D。
3 与解析几何的交汇
例3. (2009年山东文12) 设集合A={1, 2}, B={1, 2, 3}, 分别从集合A到B中随机取一个数a和b, 确定平面上的一个点P (a, b) , 记“点P (a, b) 落在直线x+y=n上”为事件Cn (2≤n≤5, n∈N) , 若事件Cn的概率最大, 则n的所有可能值为 ()
(A) 3 (B) 4 (C) 2和5 (D) 3和4
解析:点P (a, b) 共有 (1, 1) 、 (1, 2) 、 (1, 3) 、 (2, 1) 、 (2, 2) 、 (2, 3) 6种情况, 得x+y分别等于2, 3, 4, 3, 4, 5,
∴出现3与4的概率最大, ∴n=3和4, 故选D。
4 与三角函数的交汇
例4. (2009年, 山东理11) 在区间[-1, 1]上随机取一个数x, 的值介于0到之间的概率为 ()
5 与方程的交汇
例5. (2009年, 江苏卷23) 对于正整数n≥2, 用Tn表示关于x的一元二次方程x2+2ax+b=0有实数根的有序数组 (a, b) 的组数, 其中a, b∈{1, 2, …, n} (a和b可以相等) ;对于随机选取的a, b∈{1, 2, …, n} (a和b可以相等) , 记Pn为关于x的一元二次方程x2+2ax+b=0有实数根的概率。
(1) 求nT 2及nP2。
(2) 求证:对任意正整数n≥2, 有。
(1) 解:因为方程x2+2ax+b=0有实数根,
所以Δ=4a2-4b≥0, 即b≤a2.
(1) 当n≤a≤n2时, 有n2≤a2, 又b∈{1, 2, …, n2}, 故总有b≤a|, 此时, a有n2-n+1种取法, b有n、种取法,
所以共有 (n2-n+1) n2组有序数组 (a, b) 满足条件;
(2) 当1≤a≤n-1时, 满足1≤b≤a2的b有a 2个, 故共有组有序数组 (a, b) 满足条件。
(2) 证明:我们只需证明:对于随机选取的a, b∈{1, 2, …, n}, 方程x2+2ax+b=0无实数根的概率。
若方程x2+2ax+b=0无实数根, 则Δ=4a2-4b<0, 即a2
由b≤n知。因此, 满足a2
6 与不等式的交汇
例6. (2010年, 福建16) 设S是不等式x2-x-6≤0的解集, 整数m, n∈S。
(1) 记“使得m+n=0成立的有序数组 (m, n) ”为事件A, 试列举A包含的基本事件;
(2) 设ξ=m2, 求ξ的分布列及数学期望Eξ。
解: (1) 由x2-x-6≤0有-2≤x≤3, 即={x-2≤x≤3}
由于m, n∈Z, m, n∈S, 且m+n=0, 所以A包含的基本事件为:
(2) 由于m的所有不同取值为-2, -1, 0, 1, 2, 3同取值为0, 1, 4, 9,
故的分布列如表1,
摘要：概率是高中数学的重要内容之一, 是高考的必考内容;近几年来, 命题者常将概率与其他数学知识联系在一起命题, 加强了在知识的交汇点上命题的力度。本文从2009、2010两年中全国各省市高考题中精选了六种知识交汇题型, 以引起广大师生的注意。
关键词：例解,概率,交汇
参考文献