长期以来, 我国教学过于重视知识完整性的传授, 而忽视了对学生思维能力的培养。数学思维能力在课堂上“只可意会, 不能言传”。随着教育改革的深入开展, 广大教师在微积分教学中, 应特别运用微积分知识来培养大学生的思维能力。
1 微积分的思维方式
微积分是高等数学的一个主要概念, 也是一种基本运算。它是人们在对长期劳动实践经验进行总结和提高的过程中发现的一条非常重要的客观规律微积分科学思维方法包含着极其深刻的哲理和勇敢的创新精神。学习这种研究方法, 对训练思维、发展智力、提高创造能力、培养新型的科技人才有着重要的意义。微积分是在生产发展的推动下, 在初等数学无法解决“直线”与“曲线”、“运动”与“静止”、“变”与“不变”、“均匀”与“非均匀”等矛盾问题而处于山穷水尽的情况下, 由牛顿、莱布尼兹等科学家开辟出来的新的数学天地。它使“直”与“曲”、“变”与“不变”、“均匀”与“不均匀”等矛盾的双方相互转化。
2 学生思维能力的发展规律
思维发展的一般规律是从简单到复杂, 从低级到高级。中学数学思维特点是简单、直接, 能直接应用数学公式求出实际问题中的未知量, 能将数学概念具体化, 可以解决典型或常见的实际问题, 根据问题的实际意义对数学解答的结果进行检验。到了大学阶段, 通过大学数学微积分的学习, 应该具有一定的综合应用能力, 能将数学语言及普通语言相互转化, 能用一种新的方式重组问题元素, 能用不同数学方法求解同一实际问题, 能解决实际中的非标准数学问题, 从实际中抽象出数学问题并作解答, 能指出数学在实际中的应用。例如, 在十字路口的交通管理中, 亮红灯之前要亮一段时间黄灯, 这是为了让那些行驶在十字路口或距十字路太近以致无法停下来的车辆通过路口, 那么, 黄灯应该亮多长时间才能使这些车辆安全顺利地通过路灯呢?这个问题就可以用微积分来求解。例如:在十字路口的交通管理中, 亮红灯之前要亮一段时间黄灯, 这是为了让那些行驶在十字路口或距十字路太近以致无法停下来的车辆通过路口, 那么, 黄灯应该亮多长时间才能使这些车辆安全顺利地通过路灯呢?这个问题就可以用微积分来求解:设T1为驾驶员反映时间, T2为汽车通过十字路口时间, T3为停车距离的驾驶时间, 则为黄灯应亮时间。设法定行驶的速度为V0, 十字路口的长度为I, 典型车身长度为L, 则汽车通过十字路口的时间为:。设m为汽车质量, f为刹车摩擦系数, x (t) 为汽车行驶距离, 刹车制动力为fmg (g为重力加速度) , 令末速度为0。由牛顿第二定律, 刹车过程应满足运动方程:
对方程 (*) 积分两次, 并由初始条件得停车距离为:
3 微积分对学生思维能力的拓展
微积分是大学数学的基础课程, 是训练学生思维能力的主要方法之一, 通过学习学生可以获得较好的数学素养和思维品质。微积分以函数为研究对象, 以极限为工具, 导出了连续、微分、积分及其它一些丰硕的成果, 以极限思想为主干, 生长成一棵枝繁叶茂的“大树”。极限思想的传授, 标志着学生的思维从初等数学进入到高等数学。从一个狭窄的领域进入到一个广阔的天空。
3.1 微积分可以培养学生思维的深刻性和批判性
中学数学所讨论许多问题都是较为“定”的, 比如, 我们常说的“1的任何次幂均为1”等等, 但在大学数学中的极限引入后, 我们谈到了许多类似于1∞、00、∞0、0/0、∞/∞、∞-、∞”等型的未定式的极限问题, 使学生的思维在过去“定”式的基础上有了深刻的认识, 拓展了思维。
3.2 微积分可以培养思维的灵活性和多样性
大学数学内容所含内容广而细, 其解决问题的方法也呈多样性和灵活性。通过学习可以培养学生思维的灵活性, 如, 中学我们知道半径为R的球的体积是多少?在微积分中可以通过多种不同办法得到。这样类似的例子在求极值、极限、积分等方面是很多的。
3.3 微积分可以培养学生思维的广阔性
微积分内容丰富、广泛。函数知识的深化、极限的思想、实数连续性、微分、积分、级数、非正常积分、多元函数、场论等等, 从恒量到变量, 从有限到无穷, 从一维到多维, 从直到曲。可以说从中学到大学, 就象从江河湖泊到无边的大海一样, 扬起思维的风帆, 在知识的大海中航行去感受知识的无穷无尽, 接受一套全新的数学思想方法。
3.4 微积分可以培养学生思维的探索性
从中学数学到大学数学, 学生思维能力逐步提高, 具有一定的抽象、概括、综合的能力。教学中教师的主要任务是引导学生学习, 不需要把所有问题都向学生解答, 可以留有一些思考的问题, 为学生思维提供空间和时间, 使学生敢于思维和独立思维。如, (1) 教师在讲完闭区间上连续函数性质最值性。设f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 则f (x) 有最大值和最小值。这一定理有最大值的证明后, 对于取最小值的证明可以让学生思考证明。 (2) 完成数列极限性质的学习之后, 可以引导学生认识数列是特殊的函数, 要求学生推测函数极限的性质, 甚至对推测的结果加以证明。微积分中, 诸如此类的问题很多, 它们都可以培养学生的探测能力。
3.5 微积分可以培养学生思维的正确性
概念是思维的基本形式, 概念的正确理解是思维的基础, 思维的发展依赖于掌握、应用公式和进行推理、论证、演算。因而在理解掌握概念、定理、公式的同时, 能正确表述 (包括文字语言和符号语言) , 并用它们进行严密推理, 做到步步有据。例如, 极限定义的学习中, 极限定义有共25种极限, 教师不可能把每一种极限详细写出, 只能讲清实质, 进行类推。只有对概念正确地理解, 才能类推出相应概念的性质。
3.6 微积分可以培养学生思维的辩证性
牛顿、莱布尼兹在总结前人经验的基础上, 采用全面的、联系的、发展的观点创立了微积分。微积分中充满了矛盾的对立面:有限与无限, 曲线和直线, 微分和积分, 无穷大和无穷小等, 可以说是俯首皆是。正是这些矛盾使得微积分得以发展、完善。而微积分中的广泛联系与统一, 也是哲学的问题之一。但对于微积分来说却更实在, 更感性, 更易于理解。
3.6.1 有限与无限的辨证统一
极限是微积分的基本概念, 它贯穿于微积分的始终, 是微积分的灵魂。在极限中, 有限与无限的辨证统一把微积分一步步引向深入。有限与无限是对立的两个方面, 既有区别又存在内在的相互联系。有限可化为无限, 无限也可用有限来表示。如确定的有限数, 但它可以用一个无限数列之和:来表示, 从而达到统一。而最能刻画极限思想的是魏晋时数学家刘辉的割圆求周。所谓极限思想是用联系、变化的观点。把所考察的对象 (圆的周长) 看作是某对象 (圆内接正多边形的周长) 在无限变化过程中变化结果的思想。它出发于对过程无限变化的思考, 而这种考察总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果密切相关。因此它体现了恩格斯所说“从有限中找到无限, 从暂时中找到永久。并使之确定起来”。
3.6.2 特殊与一般的辨证统一
中值定理是微分学的理论基础, 许多定理、结论都在该定理的基础上建立, 也是微分学应用的桥梁。如导数的应用。中值定理包含三个定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情形, 而拉格朗日定理是柯西定理的特殊情形, 换句话说柯西定理是拉格朗日的一般情形, 而拉格朗日定理是罗尔定理的一般情形。它们之间的关系体现了哲学范畴的特殊与一般的辨证统一的关系。它们既有区别, 又紧密联系。是一个由此及彼、由浅入深、由特殊到一般相互转化、逐步发展、完善的过程。也从而使中值定理有着更广泛的应用。
3.6.3 部分与整体的辨证统一
在曲边梯形面积的求解中, 抓住主要矛盾:曲边, 如何解决这个主要矛盾?把整体 (曲边梯形) 化为 (分割) 部分 (小曲边梯形) 由于函数的连续性, 在小曲边梯形上产生近似 (直线段代替曲线段) 、求和 (小矩形面积之和) 取极限, 使得问题从部分回到整体。通过部分与整体矛盾间的转化, 从而求得结果。曲边梯形面积的求解过程, 将其抽象得出定积分的概念, 体现了具体与抽象的辨证统一。牛顿—莱布尼兹公式架设了定积分与不定积分的桥梁, 从而使定积分得到广泛的应用。
4 结语
总之, 思维能力是人的基本素质之一, 数学的每一步进展, 无一不是数学家思维方式的重大变更的结果。数学是思维的体操, 微积分教学对增进学生的思维能力起着重要作用。在强调素质教育的今天, 微积分教学更应突出和加强对学生思维能力的培养。
摘要：微积分是大学数学教学中重要的组成部分。微积分的思维方法极为重要, 应引起数学教育工作者的高度重视。本文分析了微积分的思维方式和学生思维能力的发展规律, 阐述了如何运用微积分教学培养学生思维能力。
关键词：微积分,思维能力,发展规律
参考文献
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