最大信息熵范文

第一篇：最大信息熵范文

第5讲 信息熵

第5讲 随机变量的信息熵

在概率论和统计学中，随机变量表示随机试验结果的观测值。随机变量的取值是不确定的，但是服从一定的概率分布。因此，每个取值都有自己的信息量。平均每个取值的信息量称为该随机变量的信息熵。

信息熵这个名称是冯诺依曼向香农推荐的。在物理学中，熵是物理系统的状态函数，用于度量一个物理系统内部状态和运动的无序性。物理学中的熵也称为热熵。信息熵的表达式与热熵的表达式类似，可以视为热熵的推广。香农用信息熵度量一个物理系统内部状态和运动的不确定性。

信息熵是信息论的核心和基础概念，具有多种物理意义。香农所创立的信息论是从定义和研究信息熵开始的。这一讲我们学习信息熵的定义和性质。

1. 信息熵

我们这里考虑离散型随机变量的信息熵，连续型随机变量的信息熵以后有时间再讨论，读者也可以看课本上的定义，先简单地了解一下。 定义1.1 设离散型随机变量X的概率空间为

Xx1Pp1x2p2...xn

...pn我们把X的所有取值的自信息的期望称为X的平均自信息量，通常称为信息熵，简称熵(entropy)，记为H(X)，即

n

H(X)E[I(X)]pilogi11 (比特)pi

信息熵也称为香农熵。

注意，熵H(X)是X的概率分布P的函数，因此也记为H(P)。

定义1.2 信息熵表达式中的对数底可取任何大于等于2的整数r，所得结果称为r-进制熵，记为Hr(X)，其单位为“r-进制单位”。 我们有

1

HXHrX

logr注意，在关于熵的表达式中，我们仍然约定

0log00， 0log信息熵的物理意义：

信息熵可从多种不同角度来理解。

x0 0(1) H(X)是随机变量X的取值所能提供的平均信息量。

(2) 统计学中用H(X)表征随机变量X的不确定性，也就是随机性的大小。

例如，假设有甲乙两只箱子，每个箱子里都存放着100个球。甲里面有红蓝色球各50个，乙里面红、蓝色的球分别为99个和1个。显然，甲里面球的颜色更具有不确定性。从两个箱子各摸出一个球，甲里面摸出的球更不好猜。

(3) 若离散无记忆信源的符号概率分布为P，则H(P)是该信源的所有无损编码的“平均码长”的极限。

令X是离散无记忆信源的符号集，所有长度为n的消息集合为

Xn{1,2,,M}

每个消息i在某个无损编码下的码字为wi，码字长为li比特。假设各消息i出现的概率为pi，则该每条消息的平均码长为

Lnpili

i1M因此，平均每个信源符号的码长为

Ln1Mpili nni1这个平均每个信源符号的码长称为该编码的平均码长，其量纲为(码元/信源)。

我们有

LnLH(X) 且 limnH(X)

nnn这是信源编码定理的推论。

2

例1.3 课本第26页例2.4. 天气预报的平均信息量。

练习：

在电脑主板上，串行接口(Serial Interface)用于向外设输出数据，每次输出1比特符号，若某段时间内输出符号的概率分布为

1X0p1/32/3 求此时段内该串行接口的信息率，即平均每符号所传递的信息(单位为“比特/符号”)。

3

练习解答：输出0所传递的信息为

log

I(0)输出1所传递的信息为

13log比特3 ()

I(1)log因此，输出符号的信息熵为

H(X)2log31 (比特) 3122log3(log31)log30.919(比特)

333于是所求的信息速率为0.919比特每符号。

说明：上述信息熵H(X)反映了串行接口传输信息的速率，称为该接口的信息率。

2. 熵函数H(P)的性质 性质1. 非负性和确定性

H(P)≥0

其中H(P)=0 当且仅当P为退化分布。

一个随机变量的概率分布为退化分布，当且仅当该随机变量是常量，即取值唯一(所以其取值是确定的)。

性质2. 对称性

H(p1,,pi,,pj,,pn)H(p1,,pj,,pi,,pn) 性质3. 连续性

H(p1,,pn)对于其中任何变量pi是连续的。

4

性质4. 扩展性 可扩展性1：

H(p1,,pn,0)H(p1,,pn) 可扩展性2： limH(p1,p2,,pn1,pn,)H(p1,p2,,pn2,pn1,pn)0证明：由连续性和可扩展性1立即可得。

证毕

意义：可扩展性表明，一个小概率事件对于熵的影响很小，可以忽略不计。 在熵的计算中，可以忽略其中一部分小概率事件。

例2.

1《中华字海》中收录了85000多个汉字，而常用汉字仅有3000个左右。(据统计现代汉语中这2400个汉字在一般书刊文章中所占的字数比例是99%)在计算汉字的熵时，大部分汉字都可以忽略不计，仅统计常用汉字出现的频率，以此作为这些汉字出现的概率，从而计算出汉字的熵。

性质5. 可加性

注意：即课本第31页的“递增性”。课本上的“可加性”事实上是联合熵的链法则，涉及到条件熵，放在此处不妥，后面再讨论。我们将赋予“递增性”更贴切的含义。 定理2.2(可加性公式)

qqqH(p1,p2,,pn1,q1,q2,,qm)H(p1,p2,,pn)pnH1,2,,mpnpnpn其中令pnq1q2qm

证明：可用熵函数的定义证明，细节留给读者完成。

证毕

可加性公式让我们不断降低信息熵中概率分布的维度，将高维计算简化为低维计算。有的教材称可加性为递推性。 例2.3 应用熵函数的可加性计算

1111H(,,,) 33665

解：

1111111111H(,,,)H(,,)H(,)33663333221log3

31.918 (bit)注意，可连续应用可加性公式：

111121211111H(,,,)H(,)H(,)H(,)33663332232221H(,)1 33连续应用可加性公式，我们有 定理2.4 (更一般的可加性公式) H(p11,,p1r1,p21,,p2r2,,pn1,,pnrn)piripi1pi2H(p1,p2,,pn)piH,,, (2.1)pii1pipin

其中pipj1riij

解释：我们可以把可加性理解为分步试验结果的熵等于各步试验结果熵的加权组合。。

,n，其概率分布为设一个随机试验分为两个步骤。第1步共有n个可能结果X11,2，(p1,p2,,pn)。这一步试验结果的熵为H(p1,p2,,pn)。

在第1步试验结果的基础上进行第2步试验。假设当第1步试验结果X1i时，第2步试验共有ri个可能结果，并且其概率分布为

piripi1pi2,,, pppiii6

对应的熵为

piripi1pi2H,,, pppiii因此，第2步传递的平均信息量为

piripi1pi2pH,,, ipppi1iiin两步所获得的平均信息量之和就是上述(2.1)中的右式。 左式可解释为第2步试验的所有可能结果的平均信息量。 练习：应用熵函数的可加性计算

H(1/6,1/6,1/6,1/9,1/9,1/12,1/12)

性质6. 递增性

低维分布分解为高维分布时，信息熵严格递增。

定理2.5 将n-维概率分布分解为n+1维分布后，熵增大：

H(p1,p2,,pn)H(p1,p2,,pn1,pn,) (0<pn)证明：由可加性立即可得。

证毕

性质7. 严格上凸性

定理2.6 熵函数H(P)是严格上凸函数。

证明：根据严格上凸性定义，我们设P=(p1, p2, …, pn)与Q=(q1,q2, …, qn)是两个不同的概率分布并且设(1,2)为非退化分布，只需证明下列不等式

1H(P)2H(Q)H(1P2Q) (1)

即

7

1plogpqii2i1i1nnilogqi1(pi2qi)lo1g(pi2 qii1n)合并同类项后，上述不等式等价变换为

n1pi2qipq1pilog2qilog1i2i0 piqii1i1 n注意，1P2Q是一个n-维概率分布，根据预备知识中所证明的“信息不等式”，我们有

npilogi11pi2qipi0 (2)

其中等号成立当且仅当P1P2Q，即P=Q。我们前面已假设P≠Q，所以上述不等式中的等号不成立。同理我们有

nqilogi11pi2qiqi0 (3)

由(2)和(3)可得(1)。

证毕

不等式(1)也可以用基本对数不等式证明。

不等式(1)的第二个证明：取x1pi2qipi，由

ln得

11x xpilnpipi1pi2qi2(piqi) (4) 1pi2qi根据预备知识中证明的基本对数不等式，(4)中等号成立的充要条件是P1P2Q，即P=Q。我们前面已假设P≠Q，所以不等式(4)中的等号不成立。因此，我们有

8

pilni1npi0 (5)

1pi2qi同理我们有

nqilni1qi0 (6)

1pi2qi由(5)和(6)可得(1)。

证毕

性质8. 极值性(最大离散熵原理)

定理2.7(最大离散熵原理)对于任何n维概率分布p，

H(p)logn

其中，等号成立的充要条件是p为均匀分布，即

p(1/n,1/n,,1/n)

证明： 令q为均匀分布(1/n,1/n,…,1/n)，应用信息不等式立刻可得该定理成立。

证毕

记号：我们用H0表示一个随机变量的最大熵。当且仅当某随机变量共有n种取值时，

H0logn (比特)

例2.8 二十问题游戏(the game of twenty problems)。甲心里想到一个事物，让乙猜。乙可以向甲提问，甲只回答是或者不是。若乙在20个问题之内猜出答案，则乙胜，否则甲胜。 猜数：一个比较简单的实例是猜数。要猜出一个100以内的正整数至少需要几个问题?至多需几个问题?

练习：

设一条电线上串联了8个灯泡，如图所示。假设其中有且只有一个灯泡坏了，并且各灯泡

9

的损坏概率相同，用万用电表通过测量断路找出坏灯泡。 (1)平均需要获得多少信息，才能找出其中的坏灯泡。 (2)一次测量所获得的信息的最大期望值是多少?

(3)试设计一个最佳测量方案，即测量次数的期望值最小的测量方案。

作业

1. 试证明信息熵的可加性。

2. 伪币称量问题：今有12枚金币，其中1枚是伪币，其重量不同于真币。 用一台没有砝码的天平通过比较金币重量可以找出这枚伪币。 (1)用这台天平找出伪币并知道其偏重还是偏轻需获得多少信息? (2)求天平的3种称量结果，即等重、左重和右重，的最大平均自信息。 (3)试证明找出这枚伪币至少需要称量3次。 (4)试设计最优的第1次称量方案。

(5)若第1次称量结果为1-4号钱币的总重量大于5-8号钱币的总重量，试设计最优的第2次称量方案。

3. 编程2：输入有限维概率分布，输出该分布的熵。

附录：热熵

1854年克劳修斯定义了物理系统的一种状态函数S，他之称为熵(entropy)，现在也称为热熵。一个物理系统从状态o到状态A的熵增量定义为

10

SSo其中

AodQ T克劳修斯的热力学第二定律：dS0

德国物理学家玻尔兹曼的熵公式：划时代的发现

SklogeW

其中W是物理系统的(宏观)状态所对应的所有可能微观状态数，k称为玻尔兹曼常数。 伟大意义：

(1)将宏观量S与微观状态数W相联系，架设了宏观与微观之间的桥梁。

(2)物理概念第一次用概率形式表达，意义深远。

(3)已成为物理学中最重要公式之一。

棋盘游戏：40X40的棋盘中间10X10位置上放着100颗棋子。这10X10位置构成系统I，其它位置构成系统II。将I中棋子挪动到II中，两个系统的状态都发生改变。求两个系统各自的熵与总熵，有 SIIISISII

11

第二篇：信息熵在学生评教结果分析中的应用探析

信息熵在学生评教结果分析中的应用探析， 信息熵方法及其在教育信息处理中的应用，

信息熵在数据集分割中的应用， 信息熵在电子数据取证领域中的应用， 信息熵在图书分类决策中的应用， 信息熵在网络流量矩阵估算中的应用，

信息熵在体绘制视图选取中的应用

信息熵在工程造价风险分析中的应用研究， 信熵在建设工程评标中的应用， 信息熵在建筑工程管理中的应用，

信信息熵在煤田勘探中的应用，

息熵理论在煤炭企业经济效益评价中的应用等。

信息熵在入侵检测中的应用， 信息熵理论在安全系统中的应用，

信息熵在泥沙研究中的应用， 信息熵在水系统中的应用研究，

信息熵在大型水利水电工程网络管理系统信息集成中的应用， 信息熵在水污染物总量区域公平分配中的应用，

信息熵方法在胃癌诊断中的应用， 信息熵在临床定量诊断分析中的应用， 信息熵在临床医学中的应用， 信息熵在现代生物医学中的应用，

信息熵在缺陷漏磁信号量化中的应用， 信息熵在粗糙集信息检索模型中的应用， 信息熵在导航传感器故障诊断中的应用研究， 信息熵在设计风险管理中的应用研究， 信息熵在体育综合服务质量模糊评价中的应用， 信息熵在项目沟通管理中的应用， 信息熵在竞争情报计量分析中的应用， 信息熵在基因调控网络构建中的应用， 信息熵在农业技术扩散中的应用研究， 信息熵在电子测量误差分析中的应用， 信息熵在粗糙集理论中的应用， 信息熵在优化问题中的应用，

第三篇：《熵：一种新的世界观》教案设计

教学目的

1. 提高学生对科技论文提要钩玄的能力。 2. 理解本文对“熵”的说明。

3. 体会本文节选部分对人类生存的新的哲学思考。

教学重难点

1. 研讨文章论述的观点，训练提要钩玄能力。 2. 学习用日常事例说明科学道理的写法。

3. 把文章中所举的事例与有关“熵”的概述结合起来理解“熵”的含义。

教学设想 教学方法

1. 点拨引导法。教师在学生自读的基础上，提出具有普遍性的问题作点拨引导。 2. 分组讨论法。让学生结合已有知识分组展开讨论，各抒己见，质疑解难。 3. 联想类比法。让学生把文中所讲的道理与生活结合起来深入理解课文。

教学时数

两课时

教学步骤 方案一

第一课时

一、导语设计

1868年，德国伟大的物理学家鲁道尔夫•克劳修斯提出了一个十分重要而又让人费解的概念——熵。“熵”这个概念谈的是热力学的第二定律。曾有不少人对这个奇怪的概念不以为然，他们想制造出各种形式的永动机来证明“熵”这个概念的错误。然而，100年的时间过去了，没有任何一个永动机能够永动。人们在实践中，越来越深刻地认识到，“熵”这个概念与我们的现实生存乃至我们的未来有如此紧密的联系，以致于1959年，在克劳修斯提出“熵”的理论91年后，英国著名作家斯诺在剑桥大学作题为《两种文化及再谈两种文化》的讲演时说：一个作家对热力学第二定律毫无所知，就等于一个科学家没读过莎士比亚的作品。那么，“熵”究竟与我们人类的生存有怎样密切的关系呢?“熵”又揭示了人类怎样的未来呢?今天，我们来学习美国当代著名社会学家里夫金和霍华德的文章——《熵：一种新的世界观》，让我们一同走近科学领域中的“莎士比亚”。

二、解题

本文是一篇科学论文，作者里夫金和霍华德是美国当代著名社会学家。1972年，西方著名的未来学研究团体罗马俱乐部发表了关于人类困境的研究报告，题为《增长的极限》，提出了“增长的极限”理论，提出人口和经济的增长，必然耗尽世界上不可再生的自然资源， 1 同时污染环境，威胁人类生存。罗马俱乐部的报告，向世人敲响了警钟，对近代西方文化中经济无限增长的观点作了批判。《熵：一种新的世界观》就是在这样的背景下诞生的一部学术著作。这部学术著作指出科技的发展是一个能源消耗不断增加，因而“熵”也不断增加的过程，得出了人类的历史是一个不断倒退、逐渐衰亡的结论。

三、研习课文

1.整体把握，理清思路。

(1)让学生在预习的基础上速读课文，初步提取要点，理清全文的论述思路。 (2)学生讨论发言，教师引导学生理顺全文的论述脉络。

明确：全文共15段。第1段通过民谚引出了热力学定律，第2段用一句话表述了热力学的两个定律，引出了“熵”的概念。第

3、4段是对热力学第一定律的论述，为下文论述热力学第二定律即熵的定律做铺垫。第5段为过渡段，转入对熵的论述。第

6、7段是对熵下定义并做解说。第

8、9段进一步从能量耗散的角度论述熵的涵义：能量平均状态是熵值达到最大的状态。第10至15段从地球上能量来源、工业回收、物质衰变等角度探讨了能源危机，说明地球上的有效能量在不断减少，熵在不断增加。

2.具体研习，突破重难点。

(1)学生梳理文中有关“熵”的概述，并用自己的话对“熵”的本质做出概括。 明确：

第5段——熵就是损失了的能在将来用于做某种功的一定能量。 第6段——熵是不能再被转化做功的能量的总和的测定单位。

第7段——熵和污染是同义词，是某一系统中存在的一定单位的无效能量。 第9段——熵即无效能量的总和。 概括：熵就是无效能量，就是污染。

(2)学生勾画课文中关于“能量”的概述，并用自己的话来谈一谈对“能量”的新认识。

明确：

第6段——能量可以分为“有效的”或“自由的”能量，和“无效的”或“封闭的”能量。

第7段——熵的增加就意味着有效能量的减少。被转化成了无效状态的能量构成了我们所说的污染。

第8段——在一个封闭系统里，能量水准的差异总是趋向于零。没有任何能量级别差异的状态叫做能量平均状态。

第9段——能量平均状态是熵值达到的最大的状态，那时将不再有任何自由能量来进一步做功了。

第10段——地球上有两个有效能量的来源：一个是地球本身所蕴藏的能量，另一个是太阳能。在对人类有意义的时间里，这两个能量都是有限的。

第14段——当有效能量告罄时，我们称之为“热寂”。认识“能量”：能量可以分为“有效的”和“无效的”两类，有效能量是有限的并且总在减少，即熵总在增加。有效能量消耗完时，熵达到最大值，这叫做能量平衡状态或者叫“热寂”。

四、课堂训练

2

本文在阐述科学道理时，有概述，有解说。从课文中找几个例子，分析作者是如何运用具体事例来说明抽象的论述要点的。

明确：课文第

4、

5、

6、

8、

12、13段中都举了日常生活中的例子来作具体说明。学生可以结合自己的物理学知识和生活经验来分析这些例子与概述要点的内在联系。

五、课堂小结

本文着重论述了热力学第二定律即“熵”的定律。熵是与能量密不可分的一个概念。作者对熵和能量作了大量地叙述，同时又从生活中举了大量的例子来作分析解说，使抽象的道理具体化，易于为一般读者所接受。这种写作方法值得我们学习。

六、布置作业

在课文第一段中，作者举了三个民谚来启发人们认识热力学第二定律。请结合本节课所学的知识，从能量耗散的方面，阐释下面几句话的意义：

(1)你不可能不劳而获： (2)覆水难收：

(3)天网恢恢，疏而不漏：

第二课时

一、检查作业，导入新课

1. 让学生就上节课的课后作业相互交流意见，然后发言讨论。 2. 教师对学生发言中的疑难进行点拨。 3. 导入新课。

通过上节课的学习和作业练习，我们对“熵”这个概念有了更多的了解。按照英国作家斯诺所言，可以说我们是学习了科学领域里的莎士比亚的作品。但是《熵：一种新的世界观》毕竟不是一篇文学作品，而是一篇饱含了深刻哲理的科学论文，其中一定还有不少令我们感到困惑的问题。这节课，我们就来做进一步的研讨。

1. 学生自主质疑研讨。

2. 具体研习，突出重点，突破难点。

如果学生不能提出更有研讨价值的问题，教师可以引导学生深入研讨以下问题：

(1)第3段中“宇宙中的能量总和一开始便是固定的，而且永远不会改变”一句如何理解?

明确：可以引导学生利用已有的天文学知识来讨论。也可引导学生结合史蒂芬•霍金的《宇宙的未来》一文中有关大爆炸的理论来思考。

(2)第4段中“世间万物的形态、结构和运动都不过是能量的不同聚集与转化形式的具体表现而已”。你能再举出别的例子来说明吗?

明确：大到一头大象、一座山，小到一只蚂蚁、一块石头，都是能量的具体表现形式。 (3)我们应该如何重新看待工业回收问题? 明确：工业回收对人类的生存有十分重要的意义，但是任何工业回收都在导致能量的消耗，即“熵”的增加。

3

三、课堂训练

课文题目《熵：一种新的世界观》指的究竟是一种怎样的“新的世界观”?结合对本文的学习，请写一段话，谈谈你对此观点的理解。

明确：作者认为人类科学技术的发展史是一个能量不断消耗、熵不断增加的过程，是一个不断衰退的过程，是一个一步步走向毁灭的过程。作者对人类发展史和人类未来的发展持悲观的态度，这相对那种对人类发展史和发展前景持乐观态度的观点来说，是一种新的世界观。

四、课堂小结

通过进一步研习课文，我们对熵的深刻内涵又有了新的理解。同时，我们对人类目前的生存方式及未来的生存环境都有了一种深沉的忧虑。当我们在认真学习本文的时候，当我们在深入思考着这些问题的时候，按照里夫金和霍华德的观点，我们也在消耗着能量，我们也在导致着熵的增加。这就是这篇课文特别要告诉我们的道理。

五、布置作业

《熵：一种新的世界观》向我们揭示了一种人类无力拯救世界的悲观结局，你对此有什么看法?课后搜集、阅读有关资料，写一篇短文，谈一谈自己的看法。

第四篇：学习是最大的幸福 反思是最大的进步

赵川希望小学 数学教研组

2012年4月17日至19日，《商南县小学数学组课堂技能竞赛》在赵川希望小学举行，18日、19日这两天13位优秀教师分别展现了他们的精彩课堂，19日上午，参赛教师们作出认真而深刻的反思和体会。特别感谢县教研室领导给我校教师带来这次大好的学习机会，让我们从中欣赏了参赛教师的风采，学习到了他们身上许多宝贵的优点，同时也引起了我们深深地反思。此次学习的心得体会如下：

一、教师风格自然得体

参赛教师们都能以洋溢微笑的表情给学生带来美好的亲切的感觉，如：许祥林老师和韩东虎老师的语言幽默风趣，活跃了课堂气氛；桂改连老师、郭晶老师、张荣老师们总是笑容可掬，而且语言清晰简练，能根据内容的起伏节奏和学生的情感变化及时调整语音语速，具有一定的启发性和感染力，王娟老师、万春林老师、卢明老师在讲台上是落落大方，有条不紊，机智果断；冯庭记老师在和学生讨论三角形的定义时，不紧不慢，不急不躁，用智慧的语言不断的去鼓励他们、启发他们：讲计算课的老师们，都能以清晰的思路，透彻的引导，让学生学会算法、明白算理。

二、课堂教学真实有效

首先，在课堂中再也找不到那种浮躁的状态，老师们的讲课不再是表演，而是一种自然引导、真情流露，如：教师们的鼓励是贴切的、真诚的，少了一些空洞的“真好”、“真棒”，课件都恰到好处的帮助了课堂的完美呈现，小组合作、探究学习不流于形式，留给学生思考时间充分；其次教师设计的教学情景，让学生充分体会到数学与我们的生活紧密相连有体会到了趣味，如：一年级三位教师创设的买东西的情景，董茂军老师导课时设计的两个问题：估计老师的身高，谁先涂完大小不一的两个三角形的阴影，冯庭记老师和韩东虎老师设计的验证三角形具有稳定性的实物操作，桂改连老师设计的由商南茶叶节的导入新课等活动。第三：教学设计的环节更细腻了。如：程世柱老师的每一句过度语，都真正起到了承上启下的作用，自然有趣；郭晶老师在让学生体验算法多样化时，补充了学生没有想到的方法“到数

法”，在用课件演示完算法后，及时的让学生与同桌和老师说说你喜欢的方法，及培养了学生的表达能力加深了学生对算理的理解；桂改连老师在引导学生总结完分数化小数的方法后，又在黑板上张贴了内容，再引导学生读、理解记忆；通过这些细腻的设计和老师们严谨、耐心细致的引导，使学生兴趣盎然，课堂效果明显。

三、学生主体地位得到充分体现

第一，注重让学生在探究中获得知识。学生的学习只有通过自身的探索活动才可能是有效的。教师不在于把知识的结构告诉学生，而在于引导学生探究结论，在于帮助学生在走向结论的过程中发现问题，探索规律，获得方法；教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与合作交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。在观摩的所有课堂中，教师的教学设计都非常注重培养学生的探究意识，并且教师精心设计了多样化的教学方法培养学生的探究能力。如冯庭记老师在引导学生理解三角形的高时，采用了化难为易的方法，先让学生让学生两次自学高的定义后，再与探讨哪些次重要，从而让学生初步理解三角形高的定义，紧接着再出示画有高的三角形，判断哪个画的对、不对，为什么？这样就是引导学生循序渐进，层层深入地展开探究；又如：执教一年级数学《两位数减一位数和整十数》的三位老师，引导学生体验算法多样化、执教五年级数学《分数化小数的》教师，引导学生理解分数化小数的方法，都采用了先让学生根据已有的经验尝试做，然后与学生交流汇报时给予恰当的点拨、董茂军老师大胆的把学习的任务“扔”给学生，让学生自学汇报，大部分教师注重让学生进行动手操作等等，这些做法都使学生在自主探究的过程中体验和感受到发现的乐趣和成功的喜悦。第二，教师注重用新颖的设计激发学生的学习兴趣。如：何娟老师用“朵拉探险”的主线把整个教学内容像一颗颗珍珠样的串连起来，环节完整，讲究实效；程世柱老师用一段诙谐文字让学生练习“长度单位”与“面积单位”的填空，用5平方分米的面积设计你喜欢的图形，让枯燥的练习变得生动活泼。第三，把表达的机会留给学生。如：几乎每位教师在课堂小结这一块都用“这节课你有什么收获？”“你学会了什么？”“你知道了什么？”等问句让学生自己总结

的方法结束课堂；让学生说说你的想法，介绍自己的方法，评价他人这节课的表现，这样的过程不仅培养了学生的表达能力、还让学生做了学习的主人。

四、思考的几个问题

1、探究与渗透的关系怎样更合理？数学课需要探究，但绝不是最原始的经历，这种探究需要教师适时的铺垫引导。如果坎过大，沟过深，教师就要帮学生找一梯子，放一小船，引导学生思考的方向，从而达到成功的彼岸。

2、整体而言，有一部分教师的评价诚恳，真实有效，还有一个部分教师激励的语言较少，而且简单朦胧。其实教师一句恰当的鼓励，给学生会带来意想不到的变化，也让自己变得讨学生的喜欢，所以好的课堂评价是教师们必须要学习的一种基本技能。

3、把“备学生”真正的落实到备课之中。可能是由于参赛教师面对的是不熟悉的学生，所以课堂环节的真实效果只有在进行的课堂中才能感觉到，由于过高的估计了学生的能力，有几节课的内容都没有上完，自然就没有练习的时间，当然就不能让学生形成技能。

4，在这13节课堂中，有几位教师的课堂像一股清泉，清新了我们每位听课人的头脑，又像一股强大的激流，震撼了我们的心灵，上的非常完美。所以一名数学教师的素质起着至关重要的作，要设计能力，课堂组织能力，缜密的思维和引导能力，这样呈现出更好的课堂。

五、课堂教学与教师反思体会反馈给我们的问题

1、我校的学生，计算能力普遍低下。

2、学生胆小，语言表达能力差。

3、课堂习惯差。

在教研组会上，同事之间交流以后，觉得上面这三个问题的确存在，而且不同程度上影响了我们的教育教学质量，是学生的问题更是教师的问题，所以我们在反思：怎样做才能解决这些问题？怎样做才能达到让学生满意的高效课堂呢？经过这几天的学习，感叹参赛教师水平高的同时，也让我们找到了“山重水复疑无路”找到了“柳暗花明又一村”的顿悟，只有不断地学习，不断地反思，不断地提高自己的专业素养，才能让我们的课堂变成学生学习的乐园、发展的平台！

第五篇：瓦轴出产中国最大钢球配套中国最大轴承[小编推荐]

瓦轴出产中国最大钢球配套中国最大轴承【陌贝网】经过攻关试验，瓦轴集团突破大钢球加工难关，直径250mm的中国最大钢球开始批量出产，为瓦轴集团中国最大轴承研发项目奠定了坚实基础。

这次加工的超大型钢球，国内无成熟经验。瓦轴集团组织工程技术人员多次探索，反复调整工艺参数，攻克了圆度要求高、每组100多个钢球要达到同一尺寸等难关，摸索出了一套完整的超大型钢球加工工艺，填补了国内空白。

据介绍，直径250mm钢球，跟篮球大小差不多，每粒重达65公斤。