第一篇:向量和三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题
向量是高中数学中引入的重要概念,是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中,可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心(barycenter)
三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。在重心确定上,有著名的帕普斯定理。
结论1:若G为ABC所在平面内一点,则GAGBGC0G是三角形的重心证明:设BC中点为D,则2GDGBGCGAGBGC0GAGBGCGA2GD,这表明,G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为ABC的重心
结论2:
1若P为ABC所在平面内一点,则PG(PAPBPC)3G是ABC的重心1证明:PG(PAPBPC)(PGPA)(PGPB)(PGPC)03GAGBGC0G是ABC的重心
二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3:
若H为ABC所在平面内一点,则HAHBHBHCHCHAH是ABC的垂心
证明:HAHBHBHCHB(HAHC)0HBAC0HBAC同理,有HACB,HCAB故H为三角形垂心
结论4:
若H为ABC所在平面内一点,则HABCHBACHCABH是ABC的垂心证明:由HABCHBCA得,HA(HBHC)HB(HCHA)2HBHCHCHA同理可证得,HAHBHBHCHCHA由结论3可知命题成立2222222222222
三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5:
若O是ABC所在平面内一点,则OAOBOCO是ABC的外心 证明:由外心定义可知命题成立
结论6:
若O是ABC所在平面内一点,则(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC O是ABC的外心 3
证明:(OAOB)BA(OAOB)(OAOB)OAOB(OBOC)CBOBOC(OCOA)ACOCOA222222222故OAOBOBOCOCOAOAOBOC故O为ABC的外心
222
四、内心(incenter)
三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。
结论7:
若P为ABC所在平面内一点,则ABACBABCCACBOPOA1OB2OC3(0)ABACBABCCACBP是ABC的内心
4
证明:记AB,AC方向上的单位向量分别为e1,e2ABACOPOA1AP1(e1e2)ABAC由平行四边形法则知,(e1e2)在AB,AC边夹角平分线上 即P在A平分线上同理可得,P在B,C的平分线上故P为ABC的内心
结论8:
若P是ABC所在平面内一点,则aPAbPBcPC0P是ABC的内心证明:不妨设PDPC
aPAbPBcPC0a(PDDA)b(PDDB)cPC0(abc)PC(aDAbDB)0由于PC与DA,DB不共线,则abc0,aDAbDB0b即DBa由角平分线定理,CD是ACB的平分线同理可得其他的两条也是平分线故P是ABC的内心DA
第二篇:三角形的四心的向量表示
222(1)O为ABC的外心OAOBOC.外心(三条边垂直平分线交点) (2)O为ABC的重心OAOBOC0.重心(三条边中线交点) (3)O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.垂心(高线交点)(4)O为ABC的内心aOAbOBcOC0.内心(角平分线交点)
方向上的单位分别为证明:前三个心的性质都好证明,下面给出问题(4)的证明:cb
向量,平分BAC, cb
), (cbBCBA同理:BOu() acuABACBCBA11ABAOOB()u()[()u]AB()AC cbaccacab
11()u1a11bccacu()u1得代入解得, bcacabcu0ab三角形的四心的向量表示 设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则
bc() abccb
化简得(abc)bc, abc
第三篇:讲义---平面向量与三角形四心的交汇
一、四心的概念介绍
(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
(1)OAOBOC0O是ABC的重心. 证法1:设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03 OOAOBOC0yyy23(y1y)(y2y)(y3y)0y13是ABC的重心. 证法2:如图
AOAOBOC OA2OD0
AO2OD
A、O、D三点共线,且O分AD
为2:1
OEO是ABC的重心
(2)OAOBOBOC证明:如图所示O是三角形
BDCOCOAO为ABC的垂心.
ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足.OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0
AOBAC
E同理OABC,OCAB
BOO为ABC的垂心
(3)设a,b,c是三角形的三条边长,O是ABC的内心
aOAbOBcOC0O为ABC的内心. ABAC、分别为AB、AC方向上的单位向量, cbABAC平分BAC, cbABACbc),令 AO(abccb证明:DCAOABACbc() abccb化简得(abc)OAbABcAC0
aOAbOBcOC0
(4)OAOBOCO为ABC的外心。
三、典型例题:
例1:O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(ABAC),0, ,则点P的轨迹一定通过ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
例2:(03全国理4)O是平面上一定点,
A、B、C是平面上不共线的三个点,动点
P满足OPOA(ABABACAC),0, ,则点P的轨迹一定通过ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
例3:1)O是平面上一定点,
A、B、C是平面上不共线的三个点,动点
P满足OPOA(ABABcoBsACACcoCs),0, ,则点P的轨迹一定通过ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
2)已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足ABACOPOA(),[0,), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) |AB|sinB|AC|sinCA. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
3)已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OBOCABACOP(), [0,), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) 2|AB|cosB|AC|cosCA. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例
4、已知向量OP12P31,OP2,OP3满足条件OP1OP2OP30,|OP1||OP2||OP3|1,求证:△PP是正三角形.
ABC例
5、的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,则实数m = OHm(OAOBOC),
.
例
6、点 ). O是三角形ABC
所在平面内的一点,满足OAOBOBOCOCOA,则点
O是ABC的(
A.三个内角的角平分线的交点 C.三条中线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点
例7
在△ABC内求一点P,使
AP2BP2CP2最小.
222222例8已知O为△ABC所在平面内一点,满足|OA||BC||OB||CA||OC||AB|,则O为△ABC的 心.
例9..已知O是△ABC所在平面上的一点,若OAOBOBOCOCOA,则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
222222例10 已知O为△ABC所在平面内一点,满足|OA||BC||OB||CA|=|OC||AB|,则O点是△ABC的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
例11已知O是△ABC所在平面上的一点,若(OAOB)AB=(OBOC)BC=(OCOA)CA= 0,则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
例12:已知O是△ABC所在平面上的一点,若aOAbOBcOC= 0,则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
aPAbPBcPC例13:已知O是△ABC所在平面上的一点,若PO(其中P是△ABC所在平面内任意一点),
abc则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
四、配套练习:
1.已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点
P,满足
PAPBPC0,若实数满足:ABACAP,则的值为( )
A.2 B.32 C.3 D.6 3
2.若ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,OAOBOCA.
0,则OAOB( ) 12 B.0 C.1 D.1 23.点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0,则ABC面积与凹四边形A.0 B.
ABOC面积之比是( )
32 C.
54 D.
43
是ABC的( ) 4.ABC的外接圆的圆心为O,若OHOAOBOC,则HA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
5.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,若OABCOB222
CAOCAB222,则O是ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 6.ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH则实数m =
17.(06陕西)已知非零向量与满足(+)〃=0且〃= , 则△ABC为( )
2A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 8.已知ABC三个顶点
m(OAOBOC),
A、B、C,若ABABACABCBBCCA,则ABC为( )
2A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形
9.已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(ABAC), [0,). 则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
10.已知O是△ABC所在平面上的一点,若OAOBOC= 0, 则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
111.已知O是△ABC所在平面上的一点,若PO(PAPBPC)(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC
3的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
第四篇:三角形的三线、四心及口诀
内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等。 (是充要条件) 重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似。
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等。 重 心
三条中线定相交,交点位置真奇巧, 重心分割中线段,数段之比听分晓, 垂 心
三角形上作三高,三高必于垂心交, 直角三角形有十二,构成六对相似形, 内 心
三角对应三顶点,角角都有平分线,
三线相交定共点,叫做内心有根源, 高线分割三角形,出现直角三对整, 四点共圆图中有,细心分析可找清。 交点命名为重心,重心性质要明了, 长短之比二比一,灵活运用掌握好。
点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称内心,如此定义理当然。 外 心
三角形有六元素,三个内角有三边, 此点定义为外心,用它可作外接圆,
分别化出锐角、直角、钝角三角形的三线、四心
重心...中线交点... 3个定点的坐标为(x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) 重心坐标就是(x1+x2+x3/3,y1+y2+y3/3)
第五个心:旁心
三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。
作三边的中垂线,三线相交共一点,
内心、外心莫记混,内切、外接是关键。
第五篇:三角形内心的向量表示形式
有这样一个高考题:
已知O,N,P在ABC所在平面内,且OAOBOC,NANBNC0,且PAPBPBPC,则点PCPAO,N,P依次是ABC的(
)
(A)重心 外心 垂心
(B)重心 外心 内心
(C)外心 重心 垂心
(D)外心 重心 内心
答案为C,即分别为外心、重心、垂心,通过此题我们可以发现三角形的这三个“心”的向量表示形式非常和谐美观。而三角形的“心”常见的有四个,我们不仅会想三角形内心的向量表示形式是什么呢?
内心的向量表示有三种常见的形式,网络以及资料上面,对于它们的证明往往不完整,下面我把内心的向量表示形式及其验证的完整过程给读者介绍一下.
(1)点I是ABC所在平面内一点,I是ABC内心的充要条件是
CACBBICI0
CACBABAC分析:此条件直观意义较强,如即分别为与AB、AC同
ABACAIABACABACBCBABCBA向的单位向量AM、AN的差向量MN,由条件可得MN与AI垂直,而MN为等腰AMN的底边,故AI为A的角平分线,同理可得BI、CI亦为角平分线,即I是ABC内心.
上面的条件直观意义较易发现,然而形式较为复杂,下面介绍一个较为简单的充要条件,你能做出证明吗?
(2)如图,ABC的边长分别为a、b、c,点I是ABC所在平面内一
点,I是ABC内心的充要条件是aIAbIBcIC0
证明:已知点I为ABC的内心,延长AI交BC于点D, 则BDcBDcac,所以,BD DCbBCbcbcAIABAIbccbc ,所以
acIDBDADabcabc连接BI,则有bcbcbccAD=(ABBD)(ABBC) 因此,AIabcabcabcbcbccbcbc(AB(ACAB))(ABAC) abcbcabcbcbcbcbcbcABAC ABACabcabcabcbcbc(abc)AIbABcAC
aAI(bABbAI)(cACcAI)bIBcIC
aIAbIBcIC0
反之,当aIAbIBcIC0时,可得点I为ABC的角平分线的交点,即为三角形的内心.
此题的证明需要利用角平分线的性质定理与比例的性质,在化简变形的过程中要特别注意. (2)若0为平面内任一点,则点I为ABC的內心的充要条件为abcOAOBOC
abcabcabc证明:由(1)知aIAbIBcIC0 OI a(OIOA)b(OIOB)c(OIOC)0 (abc)OIaOAbOBcOC
从而有OIabcOAOBOC
abcabcabc上面我们提到的三角形的四个“心”非常奇妙,这一点从它们的向量表示形式上也能够体现出来,在平时的学习中要注意体会;同时向量法是研究几何图形性质的重要方法,而上面的证明过程也告诉我们把几何图形中的几何量用向量表示出来后,灵活运用平面几何中的比例关系及比例的性质是再进行向量运算的“先行军”.