在科学技术飞速发展今天,世界各国均将数学教育视为教育的重要组成部分。无论是市政府办公的公务员,还是街口卖东西的小商贩,基本的数学运算能力都是必要的。数学基础运算在义务教育阶段的数学教学中是非常重要的组成部分,它将是儿童认识和探寻数学世界的一个工具,将为进一步的数学知识的学习打下基础。基础运算能力的缺失将会为后来的其他数学能力的培养,如问题解决能力和逻辑思维能力等,带来很大的困难。因而,本文将对基础运算中的一种运算方法加以阐释,即逆运算。
1理论概述
数学是运用形式化的数学符号来研究客观世界的数量关系与空间形式的。首先我们提出运算的概念 :如果我们舍去各种运算的具体对象与特定内容而概括出它们的共性,那么所谓运算无非是给定若干元素,按照某种法则存在唯一元素与之对应,也就是说运算实际上是一个映射,按此说法便得到运算的纯数学定义:
设A,B,C是非空集合,则从笛卡尔积A×B到集合C的一个映射叫集合A,B,C的一个(二元)运算,且按此可类似地定义一元及n元运算。因此我们从数学活动的角度又可把运算解释为:根据一定的规则对数式进行一系列的操作,以获得确切结论的演算过程。
中小学数学的运算主要涉及数的四则运算与式的各种代数运算(整式、分式、根式、方程运算),初等超越运算(指数运算、对数运算、三角运算),向量运算,求导数、求积分的初步运算,概率运算和统计中的数据处理,初等的、简单的“集合运算”和“逻辑运算”。而我们要探究的逆原则隐含在其中。
逆运算所 使用的运 算原则可 称为逆转 原则 (inverseprinciple)。皮亚杰曾说“能够完整地进行逆运算 ,是儿童的思维发展进入具体运算阶段的标志之一。”皮亚杰的想法无疑将逆运算在儿童数学教育中的放到了一个重要的地位。在讨论逆运算及逆原则之前,这里非常重要的要注意的是,我们可知的是,在众多文献中,关于逆定理的定义是没有共识的。逆转问题其最常见的形式,就是A+B-B=? 的形式。在这种情况下,正确答案是A。它可以不用计算就得出, 因为相同数量的加减会相互抵消。这一解决的方法,即无需计算寻找答案,也被称为逆转策略。运用逆原则,可以促进儿童心算,通过消除计算工作量,提高解决效率。格里尔认为逆转是在数学结构的研究和并在人的生理和社会经验中一个基本的模块, 与许多其他关键要素,如均衡,不变性,逆转和互补有关。
皮亚杰说研究可逆原则是因为他认为这表明关于数字的“可逆的思想”。他的关于数字的加法构造的理解的分析是一个很好的例子:他认为儿童需要知道数字由其他更小的数字构成,例如,8是5+3,这意味着,如果你从8取3走,你就剩下了5,这就可以依赖着这种理解推理了, 如果加个数字然后减去相同数字就会回到初始的数字。这些都是对逆转的一种表征也是逆原则的一种体现。
2关于儿童在进行减法运算的实验
Analueia Dsasschieman撰写的文章中曾描述布鲁塞尔的一些早年离开学校的儿童, 在沿街叫卖的小商贩在生活中掌握了特殊的十进位系统的逻辑特性。
儿童是如何计算个位数减法的, 这一直是研究人员所关心的问题。最近,逆运算引起了许多数学教育家以及教育工作者的关注,特别是关注小学低年级学生的专家学者们。为此《ESM》出版了一辑特刊, 特别针对逆原则在理论及实践等多方面的问题进行了讨论。我们目前可知的是,增加是加法的原型,减少或拿走是减法的原型。其中, 减法可以用两个基础模型来理解———拿走和确定差额。
而与逆转相关的减法运算原则有逆原则,如a+b-b=0;减法的抵消原则,如a-a=0;减法的同一性原则,如a-0=a;减法的互补性原则,如a+b=c等同于a=c-b。在儿童的实际计算过程中,我们可将这些原则策略归类于直接减法策略,间接减法策略,即通过增加形式计算的减法以及在这两个策略之间进行切换从而交替使用的策略。
这里,我们首先关注的是其中一篇所进行的一个关于“儿童通过策略进行个位数减法计算”的实验。这一研究收集到的是参与者的反应时间数据, 因而调查得出小学生是否使用逆原则解决减法问题。
作者原本预期M和S之间的差会影响儿童对计算策略的选择。但是,他们真正得出的结论却是,孩子们考虑的是问题表示的格式,而不是差的相对大小。随后,调查人员对三个模型进行了测试:模式一是一直采用直接减法,模式二是一直使用加法形式的减法,模式三是根据减数的大小在两种策略之间的转换。
根据每个年级的平均反应时间分析来看, 各年级的平均反应时间在问题以直接减法的表示形式表示的情况下与模型一相关,而在加法形式中与模型二相关。而成人则会根据减数的大小在两种策略之间灵活切换,儿童却不会。这个结果可以通过儿童对于关于逆转的概念性知识的薄弱来解释, 但是一些其他可能的解释也被提及了, 比如教科书以及在学校中教师所采取的教学方法等。
儿童的运算问题也同样引起了我国学者的注意。早在上个世纪80年代,便有相关学者对小学生数学运算的相关内容的问题进行了研究。如在《小学生数学运算转换过程的调查研究———儿童认知发展研究之五》中,作者便选择了以小学生加减乘除运算的转换为题进行了实证调查。这一调查选取了新疆吐鲁番县第二小学1-5年级150名中等程度的男女学生, 每个年级30名。调查以四则运算的转换为中心,依照当年的教学大纲,编制出A,B两套难易相同内容却不同的试题对学生进行测试。在这里,我们要关注的是学生对加减法的测试。其中,参加加减法测试的是1-4年级的学生。测试后,研究人员将学生答题后的正误情况按学生所在的年级及题目编码按比例进行了统计, 并制表进行分析。
从所得到的数据中可以分析出以下几点:
首先,在含有逆原则因素的图像形象的表现的单项运算中,各年级学生均表现良好。而在随之而后的题目中,各年级表现出了明显不同的水平。
第二, 则少有儿童能在答对的情况下理解加法与减法的互逆关系从而推理进行逆运算, 只能够对加减法相互孤立的进行理解。
第三,儿童对于通过加法计算减法的策略的认识不够,有些学生甚至对将加法和减法联系起来的认识都没有, 只是鼓励的认识及定义加减法,对于加减法的理解过于表面化,从而无法顺利地进行逆运算。
第四,有部分儿童心中掌握了逆运算,但是只是很少运用解决实际生活中的计算问题。
第五, 学生对于数学计算以及数量关系的计算没有真正理解。
3结 果讨论
将以上两个实证研究放在一起来看, 不难看出二者虽然调查时间地点不同,但还是有许多共性的。这二者均是主要针对小学生的基础运算加减法问题中的逆运算能力进行研究, 均采取算数计算的题目测试的方式, 而后对结果进行分析研究。但同时,也可以看出我国早期的研究还是有许多有待改进的地方。如在受测试者的选取上, 后者在选取测试的参与者时应多选取其他学校的学生进行研究测验, 因为同一个学校的学生可能会受这个学校的教学条件教学手段以及教学内容等等外界条件的影响。再如,我国的调查研究在测试完成后,只对测试结果的错误率进行了分析, 因而忽视了学生在进行计算时头脑中真正采用的策略,亦忽视了计算正确的同学的计算过程以及方法,调查后对结果的分析应更全面,丰富其研究。
4给未来教育的建议
从数学教育的角度来看, 逆原则在儿童的数学计算中非常实用,也为今后学习其他学科打下基础,就像文章开头时提到的那样。然而通过对不同时期不同文化儿童的调查研究发现,儿童并没有像成年人一样,在两种策略,即增加形式的减法和直接减法,之间可以灵活的切换。儿童多使用直接减法计算以减法形式呈现的计算题, 而对于以加法形式呈现的计算题会使用通过增加形式的减法。也就是说,儿童对于逆原则的认知会随着年龄的增长以及知识水平的提升而增加, 但儿童仍会受题目所显示的格式而选择计算的策略。由此,对于学校数学教育中关于逆原则的教学有如下建议。
首先,我们应给予逆原则教学更多地关注。目前国内对于这一方面的研究并不多, 我们还可以从很多方面进行研究, 如在《ESM》特刊中所提到过的对于逆运算在乘除法的计算中的使用,儿童对于逆运算的理解,影响儿童对于运算策略的选择的影响因素等等。
其次, 我们应对现有在职的数学教师以及职前数学教师进行相关的逆原则计算策略的教学培训, 只有教师在教学中真正的将这一策略正式教给孩子们, 儿童才有机会系统的认识逆原则。如果学校的教师都没有对于逆原则的完整深刻的认识,仅仅靠粗略的介绍等手段, 只会导致儿童对于逆原则运算策略的认知的缺失, 从而使得儿童在运算策略的选择上无法灵活的选择和切换。
最后,在提高儿童对于逆原则的认识水平后,还要加强对于逆原则运算策略的使用训练。其实在实际运算的教学过程中,教师可以在学生掌握了逆原则运算策略的基础上, 鼓励学生使用多种方法解题, 引导学生自己总结归纳解题的过程以及快捷方法,寻找最佳解题方法,开放学生思维,鼓励学生创新。
摘要：基础运算在小学数学教育中有着非常重要的地位。本文将对儿童在个位数的减法问题的计算策略的选择和使用进行分析,本文将这两个研究来对比在不同时期不同文化下的儿童是如何认识理解和使用逆原则策略来解决实际的数学问题的。同时针对儿童对于逆原则的认识程度,提出了目前儿童关于逆原则的认知存在的问题,也提出了未来相关研究的问题及方向,总结了逆原则计算策略对我国数学基础教育的启示及影响。
关键词：逆原则,基础运算,加减法