1 小波发展史
小波理论的兴起, 得益于其对信号的时域和频域局域分析能力及其对一维有界函数的最优逼近性能, 也得益于多分辨率分析概念, 以及快速小波变换的实现方法。
第一个正交小波基是由Haar在1910年提出的, 它就是人们熟知的Haar正交基, Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。其后, 1936年, Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论 (L-P理论) ;1952年至1962年, Calderon等人将L-P理论推广到高维, 建立了奇异积分算子理论;1965年, Calderon发现了著名的再生公式, 给出了抛物型空间上H1的原子分解;1974年, Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解;1976年, Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时, 给出了Besov空间的一组基。
1981年, Stromberg对Haar系进行了改进, 证明了小波函数的存在性。1984年, Morlet在分析地震波数据的局部性质时, 发现用傅立叶变换难以达到要求, 因此引入小波的概念应用于信号分析中, 并用一种无限支集的非正交小波分析地震数据, 这是第一次真正意义上提出了小波的概念。随后, Grossman和Morlet一起提出了确定小波函数伸缩平移系的展开理论。1985年, 法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。1986年, Meyer证明了正交小波系的存在。1984年至1988年, Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数:Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年, Mey er和Mal la提出了多分辨率分析的概念, 同时给出了将信号和图像分解为不同频率通道的分解和重构快速算法, 即Mallat算法。1988年, Daubechies创立了支持离散小波的二进制小波理论, 1992年, Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念[1]。1992年, Daubechies和Feauveau等构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。1992年, Coifman和Wickerhauser提出了小波包 (Wavelet Packet, WP) 分析。1992年, Zou等提出了多带小波 (M-band Wavelet) 理论, 将人们对小波变换的研究从“二带”推广到“多带”情况。1993年, Goodman等基于r阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波 (Multi-Wavelet) 理论框架。1994年, Geronimo等提出了多小波变换 (MultiWavelet Transform, MWT) 。
2 小波基本原理及定义
小波函数源于多分辨分析, 其基本思想将L2中的函数表示f (t) 为一系列逐次逼近表达式, 其中每一个都是f (t) 经过平滑后的形式, 它们分别对应不同的分辨率[2]。
定义:函数ψ (t) ∈L2 (R) 称为基本小波, 如果它满足以下条件:
ψ (t) 又称为母小波, 因为其伸缩、平移可构成L2 (R) 的一个标准正交基:
同傅里叶变换一样, 连续小波变换可定义为函数与小波基的内积:
将a, b离散化, 令a=2-j, b=2-jk, j, k∈Z可得离散小波变换:
小波即是小区域的波, 是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。有两个特点:一是“小”, 在时域具有紧支集或近似支集;二是正负交替的波动性, 也即支流分量为零。
基本原理:设为Φ基本小波函数, f (x) ∈L2, 则函数f (x) 的小波变换定义为
不同于窗口傅氏变换在时域和频域的分辨率不变, 小波变换的分辨率尺度可以随尺度s而变化, 还可以同时沿尺度s和传播参数u (时间或空间值) 离散采样。选择比例因子 (aj) j∈z, 这里的a是伸缩步长, 可得离散小波变换:
小波变换还可以方便地用下式重建:
3 小波对数据的去噪
在信号采集、处理、传输过程中, 不可避免的受到各种外来噪声的干扰。现有的对信号滤除噪声的方法归结起来大致有3种:传统的基于傅里叶变换的去噪法, 相干平均去噪法和基于小波变换的去噪法。基于傅里叶变换的去噪法和相干平均去噪法在消除噪声的同时, 会造成数据信息的大量丢失。20世纪80年代中后期发展并成熟起来的小波理论与传统的去噪方法比较有着不可比拟的优势。
在对数据的去噪处理方法中, 主要有如下几种方法。
(1) 矢量分解去噪:实质是基于正交变换思想的相关分析方法。有效信号的小波变换值一般要比干扰波的小波变换值大得多。由dj是第j个尺度下的信号与小波基函数的相关系数给定阈值, 当小波系数dj小于阈值, 则置零, 即将记录中的噪声去掉, 按式重建得到去噪后的记录[3]。
(2) 强制去噪方法:该方法把小波分解结构中的高频系数全部变为0, 然后再对信号进行重构处理。该方法比较简单, 且重构后的信号也比较平滑, 但容易丢失信号的有用成分。
(3) 默认阈值去噪处理:该方法利用ddencmP () 函数产生信号的默认阈值, 然后利用wdencmP () 函数进行去噪处理。
(4) 给定软 (或硬) 阈值去噪方法:Donoho和Johnstone等人于1990提出的, 并推导出计算通用阀值的公式, 并从理论上证明了该阀值是最优的。该方法利用实际去噪处理过程中的经验公式给出阈值, 往往比默认阈值更具有可信度。
(5) 小波包去噪:主要的去噪思想跟其他方法基本一样, 不同的是小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行细分, 具有更为精确的局部分析能力。主要有四个步骤, 小波包分解、计算最佳树、阈值量化和小波包重构[4]。
小波去噪成功在于小波变化拥有以下特点:时频局部化特征, 多分辨率特征, 解相关性特征, 小波基选择的多样性。
总而言之, 基于小波去噪方法的研究仍然是极其的活跃, 特别是对阈值去噪方法的研究。由于这种方法简单有效, 而成为目前研究最广泛的方法, 近几年来不断有许多改进的阈值方法被提出, 极大的丰富了小波去噪的内容。
4 小波对数据的压缩
地震数据压缩对于地震勘探来说非常必要, 一方面可以减少存储空间, 另一方面可以提高地震数据处理速度。
数据压缩是通过一定的编码技术将数据压缩到较小的空间, 从而达到提高工作效率、降低系统成本的目的。数据压缩可以分为两种, 即冗余压缩和熵压缩。冗余压缩利用的是数据间的相关性 (冗余度) , 且解码后能达到完全复原, 所以它是无损压缩。冗余压缩方法很多, 如算术编码 (Arithmetic) 、行程编码 (Run2length) 、霍夫曼编码 (Huffman) 和基于字典的压缩方法。熵压缩是在允许的失真度下, 通过减少信息熵来达到数据压缩的目的, 所以它是有损压缩。小波变换压缩方法是一种熵压缩方法。小波数据压缩基本原理如下。
具体同实际可采用Mallat算法[5]来提高处理速度。有限长序列Cn0=xn按周期N延拓后, 其离散小波变换为:
式中:Dkj+1称为小波细节, Ckj+1称为小波逼近, g, h为一对正交镜像滤波器, 对给定小波, g, h已知, 上标j对应不同的尺度2j, L为镜像滤波器的长度, 表示n+2k对于模N/2j的最小非负剩余。对于压缩后的数据可以进行下式重建:
在数据压缩的多种方法中, 小波变换由于有很强的变焦功能, 它较一般的压缩方法具有更大的压缩率。其中压缩比可以达到21, 压缩效果较为理想。可是评价压缩效果的好坏不仅仅要看压缩比, 还可以用能量比来描述, 有效的压缩的能量比需要达到80%以上[6]。
5 结语
本文较为详细的介绍了小波分析在地震资料处理上的运用, 主要是对地震数据的去噪和压缩方面, 不足的是由于对地震数据收集的局限性, 本文只是在理论方面进行单方面的推导和阐述, 具体的效果不是很明显。不过可以看出小波的优势还很明显的, 使在对数据的处理上上升了一个台阶, 特别是数据量很大的时候。小波的重要作用还有待于研究, 这是值得每个人去探究的地方。
摘要：小波分析降噪方法具有自适应和多分辨分析的特点, 在时频两域都具有表征信号局部特征的能力的特点, 被誉为“数学显微镜”, 是一种窗口大小固定不变, 但其形状可以改变的时频局部化分析方法。本文从介绍小波分析的发展简史开始, 简述小波分析的基本原理, 主要包括数据去噪和数据压缩两个方面, 在数据去噪中总结目前比较常用的去噪方法及其原理, 从而比较各自的优缺点。在数据压缩中讨论数据压缩的原理及方法, 主要是冗余压缩和熵压缩两种, 在允许失真的情况下, 说明小波变换在地震数据的压缩处理中有比较好的压缩效果。
关键词：小波函数,傅里叶变换,地震资料,数据去噪,数据压缩
参考文献
[1] 朱芳冰.莺歌海盆地地层压力特征及其石油地质意义[J].中国海上油气 (地质) , 2000, 14 (4) :248.
[2] 刘贵忠, 邸双亮.小波分析及其应用[M].西安:西安电子科技大学出版社, 1992.
[3] 柳建新, 韩世礼, 马捷.小波分析在地震资料去噪中的应用[J].地球物理学进展, 2006, 21 (2) :541～545.
[4] 郭计云, 王福明.基于小波包变换的信号去噪方法研究[J].现代电子技术, 2007, 19:55～56.
[5] MALLATS.Multifrequency channeldecompositions of images and waveletmodels[J].IEEE Trans on AcousticSpeech and Signal Processing, 1989, 37 (12) :2091～2110.
[6] 张军华, 仝兆岐.用于小波变换法定量压缩地震数据[J].石油大学学报 (自然科学学报) , 2003, 27 (5) :28～35.