不等式证明的基本方法

第一篇：不等式证明的基本方法

证明不等式的基本方法

一、比较法

(1)作差比较法

3322【例1】已知a,b都是正数，且ab，求证：ababab

【1-1】 已知ab，求证：a3b3ab(ab)

【1-2】已知ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2)

(2)作商比较法

abba【例2】已知a,b都是正数，求证：abab，当且仅当ab时，等号成立.【2-1】已知a,b,c都是正数，求证：abc

二、综合法与分析法

(1)综合法

【例3】已知a,b,c0,且不全相等，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc

【3-1】已知a1,a2,...,anR，且a1a2...an1, 求证：(1a1)(1a2)...(1an)21 n2222222a2b2cabcbaccab.【3-2】已知a,b,cR，用综合法证明：

(1)(abab1)(abacbcc2)16abc; (2)2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)

(2)分析法

【例4】设x0,y0，且xy1.求证：

【4-1】已知a,b,c是不全相等的正数 .求证：

三、反证法与放缩法 (1)反证法

【例5】已知x,y0,，且xy2,，试证：

【5-1】设0a,b,c1，证明：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于

11

18 xyxy

bcacababc abc

1x1y

,中至少有一个小于2. yx

(2)放缩法

【例6】用放缩法证明不等式 ：

【6-1】用放缩法证明不等式 ：

【6-2】用放缩法证明不等式 ：

1)1

1111...1(m1,mN*) 2m1m22m

11111n122...2(n2,3,4,...) 2n123nn

...nN* (n1)

2(nN*) 【6-3】用放缩法证明不等式 ：

...2

四、数学归纳法

11S(a). 【例7】在各项均为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足nn

2an

(1)求a1,a2,a3;(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明。

【7-1】.已知数列{an}前n项和为Snan()

12

n1

2(nN*).

(1) 令bn2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求{an}的通项公式; (2)设cn

22

【7-1】已知各项为正数的数列{an}满足an12ananan1，a2a42a34.

n15n

an，且{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明. n2n1

(1)求数列{an}的通项公式;

(2) 令bnan2，设数列{bn}的前n项和为Tn，试比较并予以证明.

Tn1122log2bn12

与的大小，

2log2bn14Tn

第二篇：证明不等式的基本方法二

综合法与分析法

1教学目的：教学重点：综合法、分析法

教学难点：不等式性质的综合运用

一、复习引入：

1.重要不等式：

如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

2.定理：如果a,b是正数，那么

ab

222ab2ab(当且仅当ab时取""号). ab2：ab≤，ab≤()4. b

aa

b≥2(ab>0)，当且仅当a=b时取“=”号;

5.比较法之一(作差法)步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二(作商法)步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

二、讲解新课：

(一)1.综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)2.用综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB

3.综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质

(二)证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都2.用分析法证明不等式的逻辑关系是：BB1B2BnA

3.分析法的思维特点是：4.分析法的书写格式：

要证明命题B为真，

只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

„„

这只需要证明命题A而已知A为真，故命题B

例1：已知a,b是正数，且ab，求证：a3b3a2bab

2转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止. 其逻辑关系是：BB1B2BnA 证明：∵a0,b0,且ab

∴要证a3b3a2bab2,只要证(ab)(a2abb2)ab(ab), 只要证a2abb2ab,只要证a22abb20. ∵ab0,∴(ab)20即a22abb20得证.注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通

联想尝试，就是由已知的不等式及题设条件出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其逻辑关系是：

AB1B2BnB

法二：证明：∵a0,b0,且ab ∴a3ab22a2b,b3ba22ab2,

∴a3ab2b3ba22a2b2ab2,∴a3b3a2bab2

aab

法三 aab

注：综合法的思维特点是：执因索果. 基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。

例2.(P23例1)已知a,b,c是不全相等的正数,求证

a(bc)b(ca)c(ab)6abc

证明：∵bc≥2bc,a>0,

∴a(bc)≥2abc① 同理 b(ca)≥2abc②

c(ab)≥2abc③

22

22

因为a，b，c不全相等，所以b2c2≥2bc, c2a2≥2ca, a2b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc 法二：abbcca

3abc

333

3法三：ab2ac2bc2ba2ca2cb26法四：ab2ba2

2法五：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)33a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2) 例3(P23例2).已知a1,a2,anR，且a1a2an1，求证

(1a1)(1a2)(1an)2

n

改变:同样的条件,怎样证明: (2a1)(2a2)(2an)3

n

证明：a1R,1

1a

1

a1a1即

a12a1，同理1a22a2„„1an2an

因为a1,a2,anR，由不等式的性质，得

(1a1)(1a2)(1an)2

n

a1a2an2

n

因为ai1时，1ai2ai取等号，所以原式在a1a2an1时取等号 变式：已知a1,a2,anR，且a1a2an1，求证

(2a1)(2a2)(2an)3

n

例

4、(P24例3)求证2证(略)

四、课堂练习： 1.设a, b, c  R， 1求证：ab

736



2

2(ab)

2求证：ab

22

bc

ca

22

2(abc)

3若a + b = 1,求证：a

12

b

12

2

证：1∵

ab2

22

(

ab2

2222

)0∴

ab2

22

|

ab2

|

ab2

∴a2b2(ab)

2同理：b2c2

(bc)， ca

22



22

(ca)

三式相加：a2b23由幂平均不等式：

bc

22

ca

22

2(abc)

12

(a

12

b

12

(a)

12

)(b2

12

)

(ab1)



22



1∴a

12

b

12

2

2.已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2) 分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证2abcd≤b2c2+a2d2

即证0≤(bc-ad)2

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,

综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法

证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)+(bc-ad)≥(ac+bd)

∴(ab)(cd)≥|ac+bd|≥ac+22

22222

五、课后作业

P25习题2。2

1、

2、

3、4

第三篇：证明不等式的基本方法—比较法

高二数学组 李彩妨

【学习目标】

1、理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法;

2、熟悉并掌握比较法证明不等式的基本步骤：作差(商)---变形---判断---结论. 【重、难点】

重点：求差比较法证明不等式。 难点：求差、商后，如何对“差式”“商式”进行适当变形，并判断符号。

【教学过程】 【复习导入】

初中时候，我们学习了比较两实数大小的方法，其主要依据是实数运算的符号法则，首先，我们作一简要的复习. abab0， abab0， abab0

利用上述等价形式，也可证明不等式.

如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则其浓度为a/b.若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时溶液的浓度增加到(a+m)/(b+m),比较a/b 与(a+m)/(b+m)的大小。

【新知探究】

1. 比较法证明不等式的一般步骤：作差(商)—变形—判断—结论

2. 作差法：a-b>0a>b，a-b<0a0，b>0，a>1a>b. ba>1不能推出a>b.这里要注意a、b两数的符号. b比商法要注意使用条件，若【典型例题】

3322例

1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab.

练习：

设xR，求证： (1)xx1

- 1 –

“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” 23

52(2)1xx 44例

2、已知a,b都是正数，求证：aabbabba, 当且仅当ab时，等号成立。

变式训练：已知a>b>0,求证：(ab)aba2bb2a

【小结评价】

1、作差(商)法的一般步骤

2、作差法和作商法的区别

【自我检测】

1.设0

1中最大的一个是 1x C. c

D.不能确定

2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是

A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能确定 3.若11<<0，则下列结论不正确的是 ...ab

B.ab|a+b| A.a22 ab4.已知|a+b|<-c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：

①a<-b-c;②a>-b+c;③a

5.若a、b∈R，有下列不等式：①a+3>2a;②a+b≥2(a-b-1);③a+b>ab+ab;④1a+≥2.其中一定成立的是__________.(把成立的不等式的序号都填上) a- 2 –

“天下事，必作于细”

2

2

2

5

5

32

23

第四篇：第二讲证明不等式的基本方法

班级________姓名________考号________日期________得分________

一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号.)

1.设P则P､Q､R的大小顺序是()

A.P>Q>RB.P>R>Q

C.Q>P>RD.Q>R>P

解析:即PR;

又,即R>Q;

故有P>R>Q.故应选B.答案:B

2.已知a>2,b>2,则a+b与ab的大小关系是()

A.a+b>abB.a+b

C.a+b≥abD.a+b≤ab

解析:解法一:∵a>2,b>2,

∴a-1>1,b-1>1,

∴(a-1)(b-1)>1,即ab-a-b>0,

∴ab>a+b,故选B.

解法二:a2,b2,0

1a111

2,0b2,

01

a1

b1,即0ab

ab1,

0abab,故选B.

答案:B

3.若实数x,y适合不等式xy>1,x+y≥-2,则()

A.x>0,y>0B.x<0,y<0

C.x>0,y<0D.x<0,y>0

1 内

解析:x,y异号时,显然与xy>1矛盾,所以可排除C､D.

假设x<0,y<0,则x<1. y

∴x+y

又xy≠0,∴x>0,y>0.

答案:A

4.若a,b∈(0,+∞),且

a≠b,M

()

A.M>NB.M

C.M≥ND.M≤N

解析:∵a,b∈(0,+∞),且a≠b,

N ,则M与N的大小关系是 MN,故应选A.答案:A

5.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T

A.T>0B.T<0

C.T=0D.无法判断T的正负

解析:∵a+b+c=0,

∴(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac=0,

即2ab+2bc+2ac=-(a+b+c)<0,

∵abc>0,∴上述不等式两边同除以2abc, 2222222111,则() abc

111a2b2c

20,故选B. 得Tabc2abc

答案:B

6.已知a,b,c,d都是正数,S

()

A.S<1B.S>1 abcd,则有abcabdcdacdb

C.S>2D.以上都不对

解析:S>

答案:B

二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)

7.某品牌彩电厂家为了打开市场,促进销售,准备对其生产的某种型号的彩电降价销售,现有四种降价方案:

(1)先降价a%,再降价b%;

(2)先降价b%,再降价a%;

(3)先降价1 (a+b+c+d)=1. abcdabab%,再降价 %; 22

(4)一次性降价(a+b)%.其中a>0,b>0,a≠b,上述四种方案中,降价幅度最小的是________.

解析:设降价前彩电的价格为1,降价后的彩电价格依次为x

1、x

2、x

3、x4.则x1=(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%·b%,

x2=(1-b%)(1-a%)=x1,

ababx31%1%22

211ab% ab%,

4x41ab%1ab%a%b%

a%b%x1x2,x3x1a%b%0,2

x3x1x2x4.

答案:方案(3)

28.已知|a+b|<-c(a、b、c∈R),给出下列不等式:

①a<-b-c;②a>-b+c;③a

其中一定成立的不等式是________(把所有成立的不等式的序号都填上).

解析:∵|a+b|<-c,

∴c

∴-b+c

故①②成立,③不成立.

∵|a+b|<-c,|a+b|≥|a|-|b|,

∴|a|-|b|<-c.

∴|a|<|b|-c.故④成立,⑤不成立.

答案:①②④

9.函数

y的最大值为________.

解析:函数的定义域为

[1,6].

y212

≤[212]22]3515.

y2≤15.由题意知y00y1即x

时等号成立.答案

10.已知x+2y+3z=

解析:

22

x22y23z2322≥3x 

(3x2yz)22228318,则3x+2y+z的最小值为________. 17

当且仅当x=3y=9z,等号成立.

∴(3x+2y+z)≤12,

即

当

x=-yz时,

171717

为最小值.

答案

三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)

a2b2c2

11.(2010·浙江自选模块卷)设正实数a,b,c,满足abc≥1,求a2bb2cc2a的最小值.

a2b2c22[a2bb2cc2a]≥

abc,a2bb2cc2a解:因为 222abcabc所以≥1,a2bb2cc2a3

当a=b=c=1时,上述不等式取等号, a2b2c2

所以的最小值为1. a2bb2cc2a

12.(2010·江苏)设a,b是非负实数,求证:a+b+b). 33

22

证明:a+b+b)=(a-a-b

33

2232

ab当a≥b时当ab时,

a3b3

a2b2≥0,

a3b3a2b2.

评析:证明不等式,常用方法是作差比较法.

13.已知x,y,z是正实数,求证:

分析:注意到所证不等式的特点,可考虑构造向量,使用柯西不等式的向量形式证明. 证明:∵x,y,z是正实数,令

aabab,222,b2

x2y2z2≤[(yz)(xz)(xy)],yzxzxy

当且仅当xyz时,等号成立,即xyz≤2

x2y2z2

()xyz,zyxzxy

x2y2z2xyz≥.yzxzxy22

评析:使用柯西不等式时,既要注意它的数学意义,又要注意它的外在形式.当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大.

第五篇：§4.2.1证明不等式的基本方法—比较法

【学习目标】

能熟练运用比较法来证明不等式。

【新知探究】

1.比较法证明不等式的一般步骤：作差(商)—变形—判断—结论.2.作差法：a-b>0a>b，a-b<0a

作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解(分式通分、无理式有理化等)后，把差写成积的形式或配成完全平方式.

3.作商法：a>0，b>0，a>1a>b. b

a>1不能推出a>b.这里要注意a、b两数的符号. b比商法要注意使用条件，若

【自我检测】

1中最大的一个是 1x

A. aB. bC. cD.不能确定

2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是

A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定 1.设0

3.若11<<0，则下列结论不正确的是 ...ab

B.ab

2C.ba+>2D.|a|+|b|>|a+b| ab

4.已知|a+b|<-c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：

①a<-b-c;②a>-b+c;③a

5.若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a5+b5>a3b2+a2b3;④a+1≥2.其中一定成立的是__________.(把成立的不等式的序号都填上) a

【典型例题】

3322例

1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab.- 1 –“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径”

变式训练：当m>n时，求证：m3-m2n-3mn2>2m2n-6mn2+n3.

例

2、已知a,b都是正数，求证：aabbabba, 当且仅当ab时，等号成立。

例

3、b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖，则糖水就变甜了，试根据这个 事实提炼一个不等式：;并且加以证明。

变式训练：5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.并且加以证明。

【典型例题】课后练习课本P23习题2.11，2，3，4

- 2 –“天下事，必作于细”