第一篇：线性代数习题考试题
线性代数习题2
第2章
线性方程组
练习题
1、已知 1 = ( 1 , 1 , 0 , 1 )T ，2 = ( 2 , 1 , 3 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 0 , 0 )T ，4 = ( 0 , 1 , 1 , 1 )T ， = ( 0 , 0 , 0 , 1 )T ，(1)求向量组 1 ，2 ，3 ，4 的秩，(2)判定 是否可以表为 1 ，2 ，3 ，4 的线性组合，说明理由。( 4，可以 )
2、设向量组 1 = ( 1 , 1 , 1 )T ，2 = ( 1 , 2 , 3 )T ，3 = ( 1 , 3 , t )T ，求(1)当 t 为何值时，1 ，2 ，3 线性无关?(2)当 t 为何值时，1 ，2 ，3 线性相关?此时将 3 表为 1 与2 的线性组合。
( t 5 时，1 ，2 ，3 线性无关;t = 5时，1 ，2 ，3 线性相关，且 3 = 1 + 2
2)
3、确定 为何值时，向量 = ( 0 , 1 , )T 可以表为向量组 1 = (1 , 2 , 3 )T ，2 = ( 2 , 1 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 2 )T ， 4 = ( 2 , 1 , 1 )T 的线性组合，并求出一个具体表达式。
( =1; = 1 + 2 + 3 +
4 )
k11k3
4、设 11，2k，31，2，讨论 k 为何值时，(1) 不能由 1 ，1k122 ，3 线性表出;(2) 能由 1 ，2 ，3 线性表出，且表示法唯一;(3) 能由 1 ，2 ，3 线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。
(
(1) 2;(2)k 1且 k 2 ;(3)1 ， = 2
1 )
5、已知向量组 1 = ( 1 , 0 , 2 , 3 )T ，2 = ( 1 , 1 , 3 , 5 )T ，3 = ( 1 , 1 , a+2 , 1 )T ，4 = ( 1 , 2 , 4 , a+8 )T 及 = ( 1 , 1 , b+3 , 5 )T ，求(1)a、b 为何值时， 不能表示成 1 ，2 ，3 ，4 的线性组合;(2)a、b 为何值时， 有 1 ，2 ，3 ，4 的唯一线性表示式，写出该表示式。
( 当 a = 1 且 b 0 时，不可以;当 a 1 时，有唯一的线性表示式
2bab1b1230
4) a1a1a1
6、已知 1 = ( 1 , 2 , 3 , 1 )T ，2 = ( 5 , 5 , a , 11 )T ，3 = ( 1 , 3 , 6 , 3 )T ， = ( 2 , 1 , 3 , b )T ，问(1)a、b 取何值时， 不能由 1 ，2 ，3 线性表示?(2)a、b 取何值时， 可以由 1 ，2 ，3 线性表示?并写出表示式。
( b 4 时，不能;b = 4 且 a 12 时，唯一表示： = 1 + 0 2 + 3 ; b = 4 且 a = 12 时，表示不唯一： = ( 12c ) 1 + c 2 + ( 13c ) 3 (c 为任意常数) )
7、设向量组 1 = ( 2 , k , 1 )T ，2 = ( k1 , 1 , 2 )T ，3 = ( 4 , 1 , 4 )T 线性相关，求k 值。 ( k = 1 或 k = 9 / 4 )
8、设 n 维( n > 1 )向量组
1 = ( 0 , 1 , 1 , … , 1 , 1 )T ，2 = ( 1 , 0 , 1 , … , 1 , 1 )T ，… ，n = ( 1 , 1 , 1 , … , 1 , 0 )T ，试判断该向量组是否线性相关。(线性无关)
9、已知向量组 1 ，2 ，… ，s ( s 2)线性无关，设 1 = 1 + 2 ，2 = 2 + 3 ，… ，
s1 = s1 + s ，s = s + 1 ，讨论向量组 1 ，2 ，… ，s 的线性相关性。
( s 为奇数时，线性无关;s 为偶数时，线性相关 )
10、设向量组 1 ，2 ，3 线性无关，问常数l，m满足什么条件时，向量组 l2 1 ， m 3 2 ，1 3 线性无关。 ( l m 1 )
11、设向量组 1 = ( 1 , 2 , 1 , 1 )T ，2 = ( 2 , 0 , t , 0 )T ，3 = ( 0 , 4 , 5 , 2 )T 的秩为 2，求 t 的值。( t = 3 )
12、设向量组 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，其中 1 = ( 1, 1, 2, 4 )T ，2 = ( 0, 3, 1, 2 )T ， 3 = ( 3, 0, 7, 14 )T ，4 = ( 1, 2, 2, 0 )T ，5 = ( 2, 1, 5, 10 )T 。 求(1)向量组 1 ，2 ，3 ，4 ，
5的秩;
(2)找出向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。
( 3;1 ，2 ，4 为其一个极大无关组，3 = 31 + 2 + 0 4 ，5 = 21 + 2 + 0 4 )
13、已知向量组 1 = ( 1 , 1 , 1 , 3 )T ，2 = ( 1 , 3 , 5 , 1 )T ，3 = ( 3 , 2 , 1 , p+2 )T ， 4 = ( 2 , 6 , 10 , p )T ，问：
(1)p 取何值时，向量组 1 ，2 ，3 ，4 线性无关?试将向量 = ( 4 , 1 , 6 , 10 )T 用 1 ，2 ，3 ，4 线性表出。
(2)p 取何值时，向量组 1 ，2 ，3 ，4 线性相关?求出 1 ，2 ，3 ，4 的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。
( p 2时，线性无关，213p41p234;P = 2 时，线性相关，极大无关p2p2组：1 ，2 ，3 ，且 4 = 0 1 + 22 + 0
3)
kx12x2x30
14、已知齐次线性方程组 x1x2x30 有非零解，求 k 的值。( 2 或 3 )
2xkx021
15、设 3 4 矩阵 A 为一齐次线性方程组的系数矩阵，且 r ( A ) = 2，又已知 1 = ( 1 , 1 , 3 , 1 )T ，2 = ( 1 , 1 , 1 , 3 )T ，3 = ( 5 , 2 , 8 , 9 )T ，4 = ( 1 , 3 , 1 , 7 )T 均为该齐次线性方程组的解。试求它的一个基础解系，并将其余解表为该基础解系的线性组合。
37( 基础解系：1 ，2 ;且 312，4 = 1 + 2
2 )
22
16、已知向量组 1 = ( 1 , 2 , 1 , 0 , 0 )T ，2 = ( 1 , 2 , 0 , 1 , 0 )T ，3 = ( 0 , 0 , 1 , 1 , 0 )T ，
x1x2x3x4x503x2xxx3x0123454 = ( 1 , 2 , 3 , 2 , 0 )T 都是下面齐次线性方程组的解：，判断
x2x2x6x023455x14x23x33x4x501 ，2 ，3 ，4 是否为该方程组得一个基础解系?若是，说明理由;若不是，在此向量组的基础上进行适当增减后，构成一个基础解系。
( 不是。 基础解系为：1 ，2 ，，其中 = ( 5 , 6 , 0 , 0 , 1 )T
)
x412x1x2
17、用基础解系表示下列方程组的全部解 x13x27x34x43 。
3x2xxx22341011121( c1c2，c1 、c2 为任意常数 )
010001 11x111A2a2b2B3X
18、设 x2，试就 a、b 的各种取值情况，讨论线，，
x03aa2b33性方程组AX = B 的解，如果有解，求出其解。
( 当 a = 0 时，无解;当 a 0 且 a b 时，有唯一解：x11且 a = b 时，有无穷多解：x11
19、已知非齐次线性方程组 AX = B 的增广矩阵A 经初等行变换化为如下形式：
11,x2,x30 ;当 a 0 aa11,x2c,x3c，c 为任意常数 ) aa10AA,B00写出它的全部解。 04120k800120011，讨论 k、t 取何值时方程组无解，有解;当有解时，
0t2141122( 当 t 2 时，无解;当 t = 2 且k = 8 时，全部解为 c1c2，c1 、
0100011112c2 为任意常数;当 t = 2 且k 8 时，全部解为 c，c 为任意常数 )
0001
x3x40x1x2x22x32x4120、当 a、b 为何值时，线性方程组 无解，有唯一解和无穷多
x(a3)x2xb234x3ax413x12x2解?在方程组有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示出线性方程组的全部解。
( a = 1 且 b 1 时，无解;a 1 时，唯一解;a = 1 且 b = 1 时，无穷多解：111122c1c2，c1 、c2 为任意常数
)
010001
x1x2kx34
21、讨论k为何值时线性方程组x1kx2x3k2 无解，有唯一解，有无穷多解?在有无
xx2x4231穷多解的情况下，用基础解系表示其全部解。
03(当k = 1时，无解;当k 1且 k 4时，唯一解;当k = 4时，无穷多解：4c1，
01c为任意常数
)
22、设四元非齐次线性方程组 AX = B 的系数矩阵的秩为 3 ，已知 1 ，2 ，3 为它的三个解向量，其中 1 = ( 2 , 0 , 5 , 1 )T ，2 + 3 = ( 2, 0, 2 , 6 )T ，试求该方程组的全部解。
2200( c，c为任意常数 )
51218
23、已知矩阵 A 是
4 元非齐次方程组的系数矩阵，且 r (A ) = 3 ，1 ，2 ，
3是该方程组的三个不同解向量，其中 1 + 22 + 3
= ( 2 , 4 , 6 , 8 ) T ，1 + 23 = ( 1 , 3 , 5 , 7 )T ，试求 4 元非齐次方程组的全部解。( (
24、设 A 为 3 4 矩阵，r (A ) = 2 ，且已知非齐次线性方程组 AX = b 的三个解为 1 = ( 1 , 1 , 0 , 2 )T ，2 = ( 2 , 1 , 1 , 4 )T ，3 = ( 4 , 5 , 3 , 11 )T ，求：(1)齐次线性方程组 AX = 0 的通解;(2)用基础解系表示出 4 元非齐次线性方程组 AX = b 的全部解。
(
= c1 ( 2 1 ) + c2 ( 3 2 ) = c1 ( 1 , 2 , 1 , 2 )T + c2 ( 2 , 4 , 2 , 7 )T ，c1 、c2 为任意常数; = 1 + = ( 1 , 1 , 0 , 2 )T + c1 ( 1 , 2 , 1 , 2 )T + c2 ( 2 , 4 , 2 , 7 )T ，c1 、c2 为任意常数
)
25、已知 1 = ( 1 , 2 , 0 )T ，2 = ( 1 , a+2 , 3a )T ，3 = ( 1 , b+2 , a+2b )T ， = ( 1 , 3 , 3 )T ，当 a、b 为何值时，1 ，2 ，3 是 R3 的一组基?并求 在这组基下的坐标。
a11( a 0 且 a + 5b + 12 0;,,0 )
aa13，1，，2)Tc(2,0,2,4)T ，c 为任意常数。) 22
26、在 R3 中给定两组基：1 = ( 1 , 1 , 0 )T ，2 = ( 0 , 1 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 2 )T ;1 = ( 1 , 0 , 1 )T ，2 = ( 0 , 1 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 4 )T ，求非零向量 ，使它在上述两组基下有相同的坐标。
( = c ( 0 , 1 , 1 )T ，c 为任意非零常数 )
x4x50x1x2x32x50，求其解空间的一组正交基。
27、设齐次线性方程组 x1x2x3x4x50121，1，0)T ，( 1 , 0 , 1 , 0 , 1 )T
) (
( 1 , 1 , 1 , 0 , 0 )T
，(，，333
28、设 1 = ( 1 , 2 , 2 )T ，2 = ( 2 , 4 , 4 )T ，3 = ( 1 , 0 , 1 )T ，4 = ( 2 , 2 , 3 )T ， 5 = ( 5 , 3 , 7 )T
R3 ，求 (1)R3 的子空间 L ( 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 的维数和一组标准正交基。(2)1 ，2 ，3 ，4 ，5 在这组标准正交基下的坐标。
222112 ( dim L ( 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) = 3， ,,，,,，
333333122,,;( 3 , 0 , 0 ) ，( 6 , 0 , 0 ) ，( 1 , 1 , 0 ) ，( 4 , 1 , 0 ) ，( 1 , 1 , 9 ) )
333
29、设向量组 1 ，2 ，3 ，其中
1 = ( 1 , 1 , 0 )T ，2 = ( 1 , 0 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 1 )T ，并且 1 与 2 线性无关，3 与 1 ，2 相互正交，(1)试判断 1 ，2 ，3 是否为 R3 上的一组基;(2)如果是，将其化为 R3 上的一组标准正交基。
1,( 是;21TTT11,0，,,266T12,，63T13,1 ) 3T
30、证明题
x12x22x30(1)设方程组 2x1x2x30 的系数矩阵为 A，三阶矩阵 B 0，且满足 A B = 0，求3xxx0231① 参数 ;② 该方程组的全部解;③ 证明行列式 B =0 。
( 1; = c ( 0 , 1 , 1 )T ，c 为任意常数 )
(2)设实矩阵 Amn ( n < m )，且线性方程组 A X = B 有唯一解，证明：AT A 是可逆矩阵，并求其解矩阵 X 的表达式。 ( X = ( AT A )1 AT B )
(3)设 A 为 n 阶非零矩阵，求证：若存在一个 n 阶非零矩阵 B，使 A B = 0，则 A = 0。
(4)设 A 为 m n 矩阵，B 为 n m 矩阵( m < n )，E 是 m 阶单位矩阵，若 A B= E，求证： A 的行向量组线性无关。
(5)设向量组 1 ，2 ，3 线性无关，证明：向量组 1 + 2 ，32 + 23，1 22 + 3 线性无关。
(6)求证：n 维向量组 1 ，2 ，… ，n 线性无关的充要条件是 n 维标准向量组 1 ，2 ，… ，n 可以由 1 ，2 ，… ，n 线性表示。
(7)设 1 ，2 ，… ，s 为一组 n 维向量(s 2)，且向量组
123s213s，求
s12s1证：向量组 1 ，2 ，… ，s 线性无关的充分必要条件是 1 ，2 ，… ，s 线性无关。
(8)设 1 ，2 ，… ，m 为一个 n维向量组，已知 r ( 1 ，2 ，… ，s ) = r ( 1 ，2 ，… ，s ，s+1 ，… ，m ) ，求证：{ 1 ，2 ，… ，s } { 1 ，2 ，… ，s ，s+1 ，… ，m } 。
(9)已知向量组 1 ，2 ，… ，m+1 (m 1)线性无关，向量组 1 ，2 ，… ，m 可表为 i = i + t i m+1 (i = 1，2，…，m)，其中 t i (i = 1，2，…，m)是数。证明：向量组 1 ，2 ，… ，m 线性无关。
(10)设向量组 1 ，2 ，3 ，… ，n 的前 n 1 个向量线性相关，后 n 1 个向量线性无关，证明：① 1 能由 2 ，3 ，… ， n1 线性表示;② n 不能由 1 ，2 ，… ， n1 线性表出。
(11)设向量 可由向量组 1 ，2 ，… ， r 1 ， r 线性表示，但向量 不可由向量组 1 ，2 ，… ， r 1 线性表示。试证：向量组 1 ，2 ，… ， r 1 ， r 与 1 ，2 ，… ， r 1 ， 有相同的秩。
(12)设 1 ，2 ，3 是某个向量组的极大无关组，1 ，2 ，3 是此向量组的部分组，并且 1 = 1 + 2 + 3 ，2 = 1 + 2 + 23，3 = 1 + 22 + 33 。证明：1 ，2 ，3 也是此向量组的极大无关组。
(13)设向量组 1 ，2 ，… ，m 线性无关，向量 1 可由该向量组线性表示，而向量
2 不能由该向量组线性表示，证明：m + 1 个向量 1 ，2 ，… ，m ，l 1 + 2
(l 为常数)线性无关。
x1x2xx4(14)在线性方程组3x1x3x2x4a1a2中，a1a2b1b2 。求证：方程组有解，并用其导出组b1b2的基础解系表示其全部解 。( = ( a1 b2 , b2 , a 2 , 0 )T + c ( 1 , 1 , 1 , 1 )T ，c 为任意常数 )
(15)设 1 ，2 ，3 是齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系，证明：1 + 2 ，2 + 3 ，3 + 1 也是该齐次线性方程组的一个基础解系。
(16)设 是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，1 ，2 ，… , n r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，证明：1 ，2 ，… , n r ， 线性无关。
(17)设 是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，1 ，2 ，… , n r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，且 1 ，2 ，… , n r ， 线性无关，证明： + 1 ， + 2 ，… , + n r ， 线性无关。
(18)证明：正交向量组是线性无关的。
AO(19)如果 A 与 B 分别是两个 n 阶正交矩阵，证明：分块矩阵C OB 是正交矩阵。
第二篇：线性代数习题及答案(复旦版)[]
线性代数习题及答案 习题一
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659;
(2) 987654321;
(3) n(n?1)…321;
(4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2. 【解】
(1) τ(341782659)=11;
(2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n(n?1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n?1)=;
(4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式的展开式中包含和的项.
解： 设
，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有
展开式中含项有 . 5. 用定义计算下列各行列式.
(1);
(2). 【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24;
(2) D=12. 6. 计算下列各行列式.
(1);
(2) ;
(3);
(4) . 【解】(1) ;
(2) ;
7. 证明下列各式.
(1) ;
(2) ;
(3)
(4) ;
(5) . 【证明】(1)
(2)
(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式: 从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为
但对(*)式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故
(4) 对D2n按第一行展开，得
据此递推下去，可得
(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.
当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.
按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：
但由归纳假设
从而有
8. 计算下列n阶行列式.
(1)
(2) ;
(3). (4)其中 ;
(5). 【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得
将第一行乘(?1)后分别加到其余各行，得
(2) 按第二行展开
(3) 行列式按第一列展开后，得
(4)由题意，知
. (5)
. 即有
由
得 . 9. 计算n阶行列式.
【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得
将第一行乘(?1)后加到其余各行，得
10. 计算阶行列式(其中). . 【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.
11. 已知4阶行列式 ; 试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式. 【解】
同理
12. 用克莱姆法则解方程组.
(1)
(2)
【解】方程组的系数行列式为
故原方程组有惟一解，为
13. λ和μ为何值时，齐次方程组
有非零解?
【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式
即
故或时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组
有非零解时，a,b必须满足什么条件? 【解】该齐次线性方程组有非零解
，a,b需满足
即(a+1)2=4b. 15. 求三次多项式，使得
【解】根据题意，得
这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于
故得 于是所求的多项式为
16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为 ax+by+c=0 (a,b不同时为0) 按题设有
则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为
上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件. 习题 二
1. 计算下列矩阵的乘积.
(1);
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5)
;
(6) . 【解】
(1)
(2);
(3) (10); (4)
(5);
(6) . 2.
设，，
求(1);(2) ;(3) 吗? 【解】(1)
(2)
(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2. 3. 举例说明下列命题是错误的. (1) 若， 则;
(2) 若， 则或; (3) 若，， 则. 【解】
(1) 以三阶矩阵为例，取,但A≠0 (2) 令,则A2=A,但A≠0且A≠E (3) 令
则AX=AY,但X≠Y. 4. 设, 求A2，A3，…，Ak. 【解】
5.
， 求并证明： . 【解】 今归纳假设
那么
所以，对于一切自然数k,都有
6. 已知，其中
求及. 【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得
而
7. 设，求||.
解：由已知条件，的伴随矩阵为
又因为，所以有 ，且，
即
于是有
. 8. 已知线性变换
利用矩阵乘法求从到的线性变换. 【解】已知
从而由到的线性变换为
9.
设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵. 【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A, 所以
(B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故也为对称阵. 10. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA. 【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB. 则
AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,则 (AB)′=B′A′=BA=AB, 所以，AB为对称阵. 11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明： (1) B2是对称矩阵. (2) AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 【证明】
因A′=A,B′= ?B,故
(B2)′=B′²B′= ?B²(?B)=B2; (AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′
= ?BA?A²(?B)=AB?BA; (AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′
= ?BA+A²(?B)= ?(AB+BA). 所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 12. 求与A=可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A可交换的方阵为,则由 =, 得 .
由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数. 13. 求与A=可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于 A=E+, 而且由
可得
由此又可得
所
以
即与A可交换的一切方阵为其中为任意数. 14. 求下列矩阵的逆矩阵. (1) ;
(2) ; (3);
(4) ; (5) ;
(6) ，
未写出的元素都是0(以下均同，不另注). 【解】
(1) ;
(2) ; (3) ;
(4) ; (5) ;
(6) . 15. 利用逆矩阵，解线性方程组
【解】因,而 故
16. 证明下列命题：
(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则(AB)*=B*A*. (2) 若A可逆，则A*可逆且(A*)?1=(A?1)*. (3) 若AA′=E,则(A*)′=(A*)?1. 【证明】(1) 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得
|A|²|B|²B*A*=|AB|E(B*A*)
=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*
=(AB) *A|B|EA*=|A|²|B|(AB) *. ∵
|A|≠0,|B|≠0, ∴
(AB) *=B*A*. (2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1) *=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A. 于是
A* (A?1) *=|A|A?1²|A|?1A=E, 所以
(A?1) *=(A*)?1. (3) 因AA′=E，故A可逆且A?1=A′. 由(2)(A*)?1=(A?1) *,得 (A*)?1=(A′) *=(A*)′. 17. 已知线性变换
求从变量到变量的线性变换. 【解】已知
且|A|=1≠0,故A可逆，因而
所以从变量到变量的线性变换为
18. 解下列矩阵方程.
(1) ;
(2);
(3) ;
(4) . 【解】(1) 令A=;B=.由于 故原方程的惟一解为
同理
(2) X=;
(3) X=;
(4) X= 19. 若 (k为正整数)，证明：
. 【证明】作乘法
从而E?A可逆，且
20.设方阵A满足A2-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1. 【证】因为A2?A?2E=0, 故
由此可知，A可逆，且
同样地
由此知，A+2E可逆，且
21. 设，,求. 【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A. 而
即A?2E可逆，故
22.
设. 其中，， 求. 【解】因可逆，且故由 得
23. 设次多项式，记,称为方阵的次多项式.
(1)， 证明
，;
(2) 设， 证明，. 【证明】
(1)即k=2和k=3时，结论成立. 今假设
那么
所以，对一切自然数k，都有
而
(2) 由(1)与A=P ?1BP,得 B=PAP ?1. 且
Bk=( PAP ?1)k= PAkP ?1, 又
24. ，证明矩阵满足方程. 【证明】将A代入式子得
故A满足方程. 25. 设阶方阵的伴随矩阵为，
证明：(1) 若||=0，则||=0;
(2) . 【证明】(1) 若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|≠0，则有A*( A*)?1=E,由此又得 A=AE=AA*( A*)?1=|A|( A*)?1=0,
这与| A*|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0. (2) 由A A*=|A|E，两边取行列式，得 |A|| A*|=|A|n, 若|A|≠0，则| A*|=|A|n?1 若|A|=0,由(1)知也有 | A*|=|A|n?1. 26. 设
. 求(1) ; (2); (3) ;(4)||k (为正整数). 【解】
(1);
(2) ; (3) ;
(4). 27. 用矩阵分块的方法，证明
下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.
(1);
(2);
(3). 【解】(1) 对A做如下分块
其中
的逆矩阵分别为
所以A可逆，且
同理(2) (3)
习题 三
1. 略.见教材习题参考答案. 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 略.见教材习题参考答案. 5.，证明向量组线性相关. 【证明】因为
所以向量组线性相关.
6. 设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里 【证明】
设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得
把代入上式，得 . 又已知线性无关，故
该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关. 7. 略.见教材习题参考答案. 8. .证明：如果，那么线性无关. 【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量
组成的，所以线性无关. 9. 设是互不相同的数，r≤n.证明：是线性无关的. 【证明】任取n?r个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式
从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关. 10. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组. 【证明】若
(1) 线性相关，且不妨设
(t
(2) 是(1)的一个极大无关组，则显然(2)是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组. 11. 求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.
当k=1时，的秩为为其一极大无关组.
当k≠1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身. 12. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1), =(1,2,1),=(1,0,?1)的秩相同，且可由线性表出. 【解】由于
而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又
要使可由线性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0). 13. 设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出. 【证明】充分性: 设任意n维向量都可由线性表示，则单位向量，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组的秩为n，因此线性无关.
必要性：设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关，所以能由线性表示. 14. 若向量组(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)可由向量组α1,α2,α3线性表出，也可由向量组β1,β2,β3,β4线性表出，则向量组α1,α2,α3与向量组β1,β2,β3,β4等价.
证明：由已知条件，，且向量组(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)可由向量组α1,α2,α3线性表出，即两向量组等价，且
， 又，向量组(1，0，0)，(1，1，0)，(1，1，1)可由向量组β1,β2,β3,β4线性表出，即两向量组等价，且 ，
所以向量组α1,α2,α3与向量组β1,β2,β3,β4等价.
15. 略.见教材习题参考答案. 16. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.
【解】设向量组 (1) 与向量组 (2) 的极大线性无关组分别为 (3) 和 (4) 由于(1)可由(2)线性表出，那么(1)也可由(4)线性表出，从而(3)可以由(4)线性表出，即
因(4)线性无关，故(3)线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由(*)解出,即(4)可由(3)线性表出，从而它们等价，再由它们分别同(1)，(2)等价，所以(1)和(2)等价. 17. 设A为m³n矩阵，B为s³n矩阵.证明： . 【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故
同理
故有
又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R(B)=k, 是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故
所以有 . 18. 设A为s³n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r³s矩阵.证明：B=KA行无关的充分必要条件是R(K)=r. 【证明】设
A=(As,Ps³(n?s)), 因为A为行无关的s³n矩阵，故s阶方阵As可逆. ()当B=KA行无关时，B为r³n矩阵. r=R(B)=R(KA)≤R(K),
又K为r³s矩阵R(K)≤r,∴ R(K)=r. ()当r=R(K)时，即K行无关，
由B=KA=K(As,Ps³(n?s))=(KAs,KPs³(n?s)) 知R(B)=r,即B行无关. 19. 略.见教材习题参考答案. 20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.
(1);
(2). 【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为; (2) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为. 21. 略.见教材习题参考答案. 22. 集合V1={()|∈R且=0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由(0,0,…,0)∈V1知V1非空，设)则
因为
所以,故是向量空间. 23. 试证：由,生成的向量空间恰为R3. 【证明】把排成矩阵A=(),则 , 所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3. 24. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵
∴是一组基，其维数是3维的. 25. 设,证明: . 【解】因为矩阵
由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以 . 26. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基
下
有相同的坐标. 【解】设在两组基下的坐标均为()，即
即
求该齐次线性方程组得通解 (k为任意实数) 故
27. 验证为R3的一个基，并把 用这个基线性表示. 【解】设 又设 , 即
记作
B=AX. 则
因有,故为R3的一个基，且
即 . 习题四
1. 用消元法解下列方程组. (1)
(2) 【解】(1)
得
所以
(2) ①
②
③
解②?①³2得
x2?2x3=0 ③?① 得
2x3=4 得同解方程组 ④
⑤
⑥
由⑥得
x3=2, 由⑤得
x2=2x3=4, 由④得
x1=2?2x3 ?2x2 = ?10, 得
(x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T. 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.
(1)
(2)
(3)
(4) 【解】(1)
得同解方程组
得基础解系为 . (2) 系数矩阵为
∴ 其基础解系含有个解向量.
基础解系为
(3)
得同解方程组
取得基础解系为
(?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0). (4) 方程的系数矩阵为
∴ 基础解系所含解向量为n?R(A)=5?2=3个 取为自由未知量
得基础解系
3. 解下列非齐次线性方程组.
(1)
(2) (3)
(4) 【解】
(1) 方程组的增广矩阵为
得同解方程组
(2) 方程组的增广矩阵为
得同解方程组
即
令得非齐次线性方程组的特解 xT=(0，1，0，0)T. 又分别取
得其导出组的基础解系为 ∴ 方程组的解为
(3)
∴ 方程组无解. (4) 方程组的增广矩阵为
分别令
得其导出组的解为
令, 得非齐次线性方程组的特解为：xT=(?16,23,0,0,0)T, ∴ 方程组的解为
其中为任意常数. 4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品(或劳务)，今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.
车间
消耗系数 车间 1 2 3 出厂产量 (万元) 总产量 (万元) 1 0.1 0.2 0.45 22 x1 2 0.2 0.2 0.3 0 x2 3 0.5 0 0.12 55.6 x3
表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品;第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.
解：根据表中数据列方程组有
即
解之
5. 取何值时，方程组
(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解. 【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为
|A|=. (1) 当≠1且≠?2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3. ∴ 方程组有惟一解
(2) 当=?2时，
R(A)≠R(B),∴ 方程组无解. (3) 当=1时
R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解. 得同解方程组
∴ 得通解为
6. 齐次方程组
当取何值时，才可能有非
零解?并求解. 【解】方程组的系数矩阵为
|A|= 当|A|=0即=4或=?1时，方程组有非零解. (i) 当=4时,
得同解方程组
(ii) 当=?1时, 得
∴ ()T=k²(?2,?3,1)T.k∈R 7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解?在有解时，求出其解.
(1)
(2) 【解】方程组的增广矩阵为 (1)
(i) 当b≠?52时,方程组有惟一解
(ii) 当b=?52,a≠?1时，方程组无解. (iii) 当b=?52，a=?1时，方程组有无穷解. 得同解方程组 (*) 其导出组的解为
非齐次线性方程组(*)的特解为
取x4=1,
∴ 原方程组的解为
(2)
(i) 当a?1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.
(ii) 当a?1=0时,b≠?1时，方程组R(A)=2
取
∴ 得方程组的解为
8. 设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0. 【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量, 由
为Ax=0的解. 求=0的解.由
得同解方程组
∴ 其解为 取
则
9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及
求方程组Ax=b的通解. 【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组
R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3?R(A)=3?1=2个解向量.
由为Ax=b的解为Ax=0的解, 且线性无关为Ax=0的基础解系. 又
∴ 方程组Ax=b的解为
10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.
(1)
(2) 【解】
(1) 设齐次线性方程组为Ax=0 由为Ax=0的基础解系，可知
令
k1=x2 ,
k2=x3
Ax=0即为x1+2x2?3x3=0. (2) A()=0A的行向量为方程组为的解. 即的解为
得基础解系为=(?5 ?1 1 1 0)T =(?1 ?1 1 0 1)T A= 方程为
11. 设向量组=(1，0，2，3)，=(1，1，3，5)，=(1，?1，a+2，1)，=(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)
问：(1) a，b为何值时，不能由，，，线性表出?
(2) a，b为何值时，可由，，， 惟一地线性表出?并写出该表出式.
(3) a，b为何值时，可由，，，线性表出，且该表出不惟一?并写出该表出式. 【解】 (*)
(1) 不能由，，，线性表出方程组(*)无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0. (2) 可由，，，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1. (*) 等价于方程组
(3) 可由，，，线性表出，且表出不惟一方程组(*)有无数解，即有 a+1=0,b=0a=?1,b=0. 方程组(*) 为常数. ∴
12. 证明：线性方程组有解的充要条件是. 【解】
方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A) 得证. 13. 设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明
(1)线
性无关;
(2)线性无关. 【 证明】 (1) 线性无关 成立, 当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0
∵为Ax=0的基础解系
由于 . 由于为线性无关
∴线性无关. (2) 证线性无关. 成立
当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0 即
由(1)可知，线性无关. 即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且
∴线性无关. 14. 设有下列线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(1) 求方程组(Ⅰ)的通解;
(2) 当方程组(Ⅱ)中的参数m,n,t为何值时，(Ⅰ)与(Ⅱ)同解? 解：(1)对方程组(Ⅰ)的增广矩阵进行行初等变换
由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组 (*)
得方程组(*)的基础解系
令，得方程组(Ⅰ)的特解
于是方程组(Ⅰ)的通解为，k为任意常数。
(2) 方程组(Ⅱ)的增广矩阵为
系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令
(**) 方程组(**)的基础解系为 当时，，当时，
方程组(Ⅱ)与方程组(Ⅰ)同解，则，故有
把m，n代入方程组，同时有
，即t = 6. 也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组(Ⅱ)与方程组(Ⅰ)同解.
习题五
1. 计算.
【解】
2. 把下列向量单位化.
(1) =(3，0，-1，4);
(2) =(5，1，-2，0). 【解】
3. 利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.
(1) 1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′;
(2) 1 =(1,0,?1,1), 2 =(1,?1,0,1), 3 =(?1,1,1,0) 【解】
4. 试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交. 【证】与正交.
∴ 与正交. 5. 下列矩阵是否为正交矩阵.
【解】
(1) A′A≠E, ∴A不是正交矩阵
(2) A′A=EA为正交矩阵 6. 设x为n维列向量，x′x=1，令H=E-2xx′.求证H是对称的正交矩阵. 【证】
∴ H为对称矩阵.
∴ H是对称正交矩阵. 7.
设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵. 【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E (AB)(AB)′=AB²(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E ∴ AB也是正交矩阵. 8. 判断下列命题是否正确.
(1) 满足Ax=x的x一定是A的特征向量;
(2) 如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1+k2x2+…+krxr也是A对应于的特征向量;
(3) 实矩阵的特征值一定是实数. 【解】
(1) ╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量. (2) ╳.例如：E3³3x=x特征值=1, 的特征向量有 则不是E3³3的特征向量. (3) ╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数. 9. 求下列矩阵的特征值和特征向量.
【解】(1)
当时， 为得解
对应的特征向量为 . 当时,
其基础解系为,对应的特征
向量为
∴ 特征值为
(i) 当时，
其基础解系为
∴ 对应于=2的特征向量为 且使得特征向量不为0. (ii)当时, , 解得方程组的基础解系为
∴ 对应于的特征向量为
特征值为 (i) 当时,
得基础解系为 对应的特征向量为 (ii) 当时，
其基础解系为(2,?2,1)′, 所以与对应的特征向量为 (iii) 当时，
其基础解系为(2,1,?2)′ ∴ 与对应的特征向量为
∴ A的特征值为1,2. (i) 当时,
其基础解系为(4,?1,1,0)′. ∴ 其对应的特征向量为k²(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0. (ii) 当时，
其基础解系为：(1,0,0,0)′. ∴ 其对应的特征向量为
10.设3阶方阵A的特征值为λ1=1，λ2=0，λ3=-1，对应的特征向量依次为
求矩阵A. 【解】
由于为不同的特征值线性无关，则有 可逆
11.
设3阶实对称矩阵A的特征值为-1，1，1，与特征值-1对应的特征向量x=(-1，1，1)′，求A. 【解】对应的特征向量为x1=(?1,1,1)T,设对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0. 得方程组的基础解系为
可知为对应的特征向量. 将正交化得
=(?1,1,1)T, 单位化：; =(1,1,0)T,
; 则有
12. 若n阶方阵满足A2=A，则称A为幂等矩阵，试证，幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零. 【证明】设幂等矩阵的特征值为，其对应的特征向量为x.
由A2=A可知 所以有或者=1. 13. 若A2=E，则A的特征值只可能是±1. 【证明】设是A的特征值，x是对应的特征向量. 则Ax=x A2x=(Ax)=2x 由A2=E可知 x=Ex=A2x=2x (2?1)x=0, 由于x为的特征向量，∴ x≠02?1=0=±1. 14. 设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征根，1,2分别是A的属于λ1, λ2的特征向量，证明1+2不是A的特征向量.
证明：假设1+2是A的属于特征根λ的特征向量，则
A(1+2)=λ(1+2)=λ1+λ2. 又
A(1+2)= A1+ A 2=λ11+λ22 于是有
(λ?λ1)1+(λ?λ2)2 =0 由于，1与2线性无关，故λ?λ1=λ?λ2=0. 从而与矛盾，故1+2不是A的特征向量. 15. 求正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵.
【解】
(i)当时,
方程组的基础解系为 (?2,1,0)T, (2,0,1)T. (ii) 当时,
其基础解系为. 取,单位化为, 取，取，使正交化. 令 单位化
得. (i) 当时,
其基础解系为
正交化得
单位化得
(ii) 当时，
其基础解系为
单位化得
(i) 当时,
其基础解系为
由于()=0,所以正交. 将它们单位化得
(ii) 当时,
其基础解系为=(1,?1,?1,1)T, 单位化得
(iii) 当时,
其基础解系为=(?1,?1,1,1)T, 单位化为
(i) 当=2时,
其基础解系为=(2,1,?2)T, 单位化得 , (ii) 当=5时,
=(2,1,2)T.
其基础解系为=(2,?2,1)T
. 单位化得 . (iii) 当=?1时, , 其基础解系为=(1,2,2)T, 单位化得 , 得正交阵
16. 设矩阵与相似.
(1) 求x与y;
(2) 求可逆矩阵P，使P-1AP=B. 【解】(1)由A~B可知，A有特征值为?1,2,y.
由于?1为A的特征值，可知 . 将x=0代入|A?E|中可得
可知y= ?2. (2) (i) 当=?1时,
其基础解系为
=(0,?2,1)T, = ?1对应的特征向量为 =(0,?2,1)T. (ii) 当=2时,
其基础解系为
=(0,1,1)T 所以=2对应的特征向量为
=(0,1,1)T (ⅲ) 当=?2时, , 其基础解系为
=(?2,1,1)T, 取可逆矩阵
则
17. 设， 求A100. 【解】
特征值为 (i) 当时,
其基础解系为
(ii) 当时,
其基础解系为(?1,1,2)T. 令,则
18.将下列二次型用矩阵形式表示.
(1) ;
(2) ;
(3) . 【解】 (1) (2) (3)
19. 写出二次型 的矩阵. 【解】
20. 当t为何值时，二次型的秩为2. 【解】
21. 已知二次型经过正交变换化为标准型，求参数a,b及所用的正交变换矩阵. 【解】由题知 二次型矩阵
当时,
即有
2ab=0. 当时,
当时,
(ⅰ) 当时,
得基础解系为=(1,0,?1)T, 单位化
(ⅱ) 当时,
其基础解系为=(0,1,0)T. (iii) 当时，
其基础解系为=(1,0,1)T. 单位化得
得正交变换矩阵
22. 用配方法把下列二次型化为标准型，并求所作变换.
【解】
令
由于
∴ 上面交换为可逆变换. 得
令为可逆线性变换
令为可逆线性交换 所作线性交换为
23. 用初等变换法化下列二次型为标准型，并求所作变换.
【解】(1)
(2) 二次型矩阵为
24. 设二次型
(1) 用正交变换化二次型为标准型;
(2) 设A为上述二次型的矩阵，求A5. 【解】(1) 二次型的矩阵为
求得A的特征值. 对于，求解齐次线性方程组 (A?E)x=0，得基础解系为
将正交单位化得 对于，求解方程组(A+2E)x=0, 得基础解系为将单位化得 于是
即为所求的正交变换矩阵，且 (2) 因为所以 故
25. 求正交变换，把二次曲面方程化成标准方程. 【解】的矩阵为
(1) 当时,
其基础解系为
正交化得
单位化得
(2) 当时, . 其基础解系为. 单位化得
正交变换矩阵
为所求正交变换.得
二次曲面方程的标准方程为
26. 判断下列二次型的正定性.
【解】(1) 矩阵为
∴ 二次型为负定二次型. (2) 矩阵
∴ 二次型为正定二次型. (3) 矩阵为
∴ 为正定二次型. 27. t满足什么条件时，下列二次型是正定的.
【解】(1) 二次型的矩阵为
可知时，二次型为正定二次型. (2
) 二次型的矩阵为
当t满足时，二次型为正定二次型. 28. 假设把任意x1≠0，x2≠0，…，xn≠0代入二次型都使f>0，问f是否必然正定? 【解】错，不一定.
当为实二次型时,若≠0,
都使得f>0,则f为正定二次型. 29. 试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的. 【证】A,B是正定矩阵，则存在正定二次型 = xTAx
= xTBx 且A′=A ， B′=B(A+B)′=(A′+B′)=A+B 有
= xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 ∴ A+B为正定. 30. 试证：如果A是n阶可逆矩阵，则A′A是正定矩阵. 【证】A可逆 (A′A)′= A′²(A′)′= A′A A′A = A′E A
可知A′A与E合同
A′A正定. 31. 试证：如果A正定，则A′,A-1，A*都是正定矩阵. 【证】A正交，可知A′=A
可逆阵C，使得A=C′EC. (i) A=C′ECA′=(C′EC)′A′=C′E′(C′)′=C′EC ∴ A′与E合同，可知A′为正定矩阵. (ii) (A?1)′=(A′)?1=A?1可知A?1为对称矩阵. 由A正交可知，A为点对称矩阵
其特征值设为且有>0(i=1,2,…,n) Axi=xixi=A?1xiA?1xi=xi 可知A?1的特征值为 ，
(i=1,2,…,n) ∴ A?1正定. (iii) 由A*=|A|²A?1可知
(A′)1=|A|²(A?1)′=|A|²A?1=A* 由(ii)可知A?1为正定矩阵即存在一个正定二次型 = xTA?1x 有>0 ∵ A正交|A|>0 = xTA*x=xT²|A|²A?1x=|A|²(xTA?1x) 即有时， xTA?1x>0 ∵ |A|>0,即有 = xTA*x >0 ∴ A*为正定矩阵. 习题
六
1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法; (2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k²;
(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;
(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法. 【解】(1)是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1?8条性质，因此只需考虑反对称(上三角)矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则 (A+B)′=A′+B′=?A?B=?(A+B), (kA)′=kA′=k(?A)=?(kA), 所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.
(2) 否.因为(k+l)²,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.
(3) 否.因为零矩阵不可逆(又因为加法和数量乘法都不封闭).
(4) 否.因为加法不封闭.例如，向量(1，0，0)，(0，1，0)都不平行于(1，1，0)，但是它们之和(1，0，0)+(0，1，0)=(1，1，0)不属于这个集合. 2. 设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U=V. 【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.
3. 设是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n?r用数学归纳法). 【证明】对差n?r作数学归纳法.
当n?r=0时，结论显然成立.
假定对n?r=k时，结论成立，现在考虑n?r=k+1的情形.
因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组 ,
必定还是线性无关的，此时n?(r+1)=(n?r)?1=(k+1)?1=k.
由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基.
根据归纳法原理，结论普遍成立. 4. 在R4中求向量=(0,0,0,1)在基=(1,1,0,1),=(2,1,3,1), =(1,1,0,0), =(0,1,-1,-1)下的坐标. 【解】设向量在基下的坐标为(),则 即为
解之得()=(1,0,?1,0). 5. 在R3中，取两个基
=(1，2，1)，=(2，3，3)，=(3，7，1);
=(3，1，4)，=(5，2，1)，=(1，1，-6)，
试求到的过渡矩阵与坐标变换公式. 【解】取R3中一个基(通常称之为标准基) =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1). 于是有
所以由基到基的过渡矩阵为
坐标变换公式为
其中()与()为同一向量分别在基与下的坐标. 6. 在R4中取两个基
(1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;
(2) 求向量()在后一个基下的坐标;
(3) 求在两个基下有相同坐标的向量. 【解】(1)
这里A就是由基到基的过渡矩阵. (2) 设,由于()=()A?1,所以
因此向量在基下的坐标为
(3) 设向量在这两个基下有相同的坐标,那么
即
也就是
解得,其中为任一非零实数. 7. 证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且S的维数为6. 【证明】首先，S是非空的(∵0∈S),并且A,B∈S,k∈R,有 (A+B)′=A′+B′=A+B (kA)′=kA′=kA.
这表明S对于矩阵的加法和数量乘法是封闭的.其次，这两种矩阵运算满足线性空间定义中的18条性质.故S是线性空间. 不难验证，下列6个对称矩阵.
构成S的一个基，故S的维数为6. 8. 说明平面上变换的几何意义，其中
(1);
(2) ;
(3) ;
(4) . 【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点. ,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点. ,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点. ,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点. 9. 设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间[维数为]，给定n阶方阵P，变换
T(A)=P′AP， A∈V
称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换. 【证明】因为A,B∈V,k∈R,有
T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B), T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A). 所以T是线性空间V的一个线性变换. 10. 函数集合
V3={=(a2x2+a1x+a0)ex|a2，a
1,a0∈R｝
对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基
1=x2ex, 2=2xex, 3=3ex， 求微分运算D在这个基下的矩阵. 【解】
即
因此D在基下的矩阵为. 11. 2阶对称矩阵的全体
对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn中取一个基
(1) 在V3中定义合同变换
求在基下的矩阵及T的秩与零度.
(2) 在V3中定义线性变换
求T在基下的矩阵及T的像空间与T的核. 【解】(1)
由此知，T在基下的矩阵为
显然M的秩为3，故这线性变换T的秩为3，零度为0. (2)
即
T()=()M, 其中就是T在基下的矩阵.显然有
所以
T(V3)=L(T(A1))=L(A1+A2+A3). 最后求出T?1(0).设A=x1A1+x2A2+x3A3∈T ?1(0),那么T(A)=0，即
也就是()MX=0,它等价于齐次方程组MX=0，解之得基础解系 (2,?1,0), (1,0,?1). 故T ?1(0)=L(2A1?A2,A1?A3).
习题
七
1. 求下列矩阵的Smith标准型.
【解】(1)对矩阵作初等变换，得
即为所求. (2) 对矩阵作初等变换得
即为所求. (3) 不难看出，原矩阵的行列式因子为
所以不变因子为
故所求的Smith标准形是 (4) 对矩阵作初等变换，得
即为所求. 2. 求下列矩阵的不变因子.
【解】(1) 显然，原矩阵中左下角的二阶子式为1，所以 D1=1, D2=1, D3=(2)3. 故所求的不变因子为 d1=1, d2=1, d3=(2)3.
(2) 当b≠0时，
且在矩阵中右上角的三阶子式
而,所以D3=1.故所求的不变因子为 d1=d2=d3=1, d4= [(+a)2+b2]2. 3. 证明
的不变因子为
d1(λ)=…=dn-1(λ)=1,dn(λ)=λn+a1λn?1+…+an-1λ+an. 【证明】由于该矩阵中右上角的n-1阶子式等于非零常数(-1)n-1,所以 D1()=D2()=…=Dn-1()=1. 而该矩阵的行列式为
Dn()=n+a1n-1+…+an-1+an, 故所给矩阵的全部不变因子为
d1()=…=dn-1()=1, dn()=n+a1n-1+…+an-1+an.
4. 证明(a为任一非零实数)相似. 【证明】 记
经计算得知，E-A与E-B的行列式因子均为D1=D2=1,D3=(-0)3,所以它们的不变因子也相同，即为d1=d2=1,d3=(-0)3,故A与B相似. 5. 求下列复矩阵的若当标准型.
【解】设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得
于是A的全部初等因子为.故A的若当标准形是
(2) 设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得
所以A的全部初等因子为.故A的若当标准形是
第三篇：线性代数机考练习题
1、设A,B为n阶方阵，则ABAB. ( ) 参考答案：正确
2、行列式如果互换任意两行，则行列式的值不变. ( ) 参考答案：错误
3、行列式中如果有两列元素对应成比例，则此行列式等于零. ( ) 参考答案：正确
142533331. ( ) 44行列式111222参考答案：错误
320224728，则5A,BA2B 471011491参考答案：正确
6、若A,B,C为矩阵，则有A(BC)(BC)A
参考答案：错误
7、若A,B为n阶矩阵，则有(AB)2A22ABB2
参考答案：错误
1
28、A为任一n阶方阵，且满足A2AE0，则AA2E，
参考答案：正确
9、若2232546，则有XX1308 21参考答案：错误
10、对n维向量组1,,m, 若有不全为零的常数k1,,km, 使得
k11kmm0， 称向量组1,,m线性相关 ()
参考答案：正确
11、向量组1,2,,m,m2线性相关的充要条件是该向量组中任一个向量都可以用其余m1个向量线性表示 () 参考答案：错误
12、向量组1,2,3线性无关, 则向量组112, 223, 331也线性无关 参考答案：正确
5113
13、列向量10, 21, 31, 43 则4可由1,2,3线性表
1111示
参考答案：正确
kx1x2x30
14、齐次线性方程组 x1kx2x30有非零解，则k0.( ) 3xxx0123 参考答案 ：错误
15、如果两个矩阵等价，那么它们的秩相等.( ) 参考答案 ：正确
16、如果ABC,则r(C)r(A).( ) 参考答案 ：正确
17、如果一个矩阵的秩是r,那么所有r阶子式都不为零.( ) 参考答案 ：错误
18、设是方阵A的一个特征值，则1是AE的一个特征值 参考答案：正确
19、设A是3阶方阵，A的特征值有3，则A一定有特征值参考答案：正确
20、一个实二次型f的矩阵A的秩称为该二次型的秩 参考答案：正确 选择题
11 30a0
1、三阶行列式b0c的值为 ( ). 0d0选项A)
abcd
选项B)
acbd
选项C)
adbc
选项D)
0
参考答案：D x1x2x3x3y3z
32、若三阶行列式 y1y2y32，则三阶行列式x2y2z2 ( ). z1z2z3x1y1z1选项A)
2 选项B)
2选项C)
0
选项D)
1 参考答案：A x1x2x32x12x22x
33、若三阶行列式 y1y2y31，则三阶行列式y1y2y3 ( z1z2z3z1z2z3选项A) 0
选项B)
2选项C) 2
选项D) 1 参考答案：B 3342
4、三阶行列式4812 ( ). 246选项A)
8选项B)
8
选项C)
1选项D)
0 参考答案：D
5、当x取何值时，二阶行列式x119x0 ( ). 选项A) x2
3选项B) x23
选项C) x3
选项D) x13或x13
参考答案：D
123
6、已知三阶行列式D312，则元素a312的余子式 M31为 ( ).
231选项A) 1 选项B) 1
选项C) 2
). 选项D) 2 参考答案: A
7、已知三阶行列式D3 中第一行的元素自左向右依次为1,1,2，它们的代数余子式分别为3,4,5，则三阶行列式D3= ( ). 选项A) 7 选项B) 8 选项C) 9 选项D) 10 参考答案: C
218、已知A0230，则A1=( 004310选项A)14220 001310选项B)14220
001310选项C)220 001100选项D)110220 345参考答案:A
9、设A12，则A
=(
).
34选项A) 1234 选项B) 4231
选项C) 4231 选项D) 4231
).
参考答案:B
10、设A,B为n阶矩阵，为数，下列错误的是(
).
选项A)ATA
选项B)ABAB 选项C)BAAB 选项D)AA
参考答案:D
11、设A为任一n阶方阵，下列结论正确的是(
). 选项A)AAT 为反对称矩阵 选项B)AAT为对称矩阵
选项C)A 可以表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 选项D)AAT与AAT都同为对称矩阵 参考答案:C
12、已知A320471,B224，则(011A2B)T( 选项A)728491
34选项B)2701
20选项C) 2141 74选项D)29 81
参考答案:D
1
13、设A123321,B331，则AB(
). 22选项A)13111113 选项B)11131311 ). 111313选项D)11选项C)参考答案:A 11 1313 11011 ，则A(
). 12
14、已知A选项A)21 1001选项B)
1221选项C)
1011选项D)
01参考答案:A
15、下列各行向量组线性相关的是( ). 选项A)1(1,0,0),选项B)1(1,2,3),选项C)1(1,2,3),选项D)1(1,2,2),参考答案：B
16、下列各向量组中线性无关的是( ). 选项A)1,2,0 选项B)(1,2),(2,4) 选项C)(0,1),(1,2),(2,3) 选项D)(1,2),(1,3) 2(0,1,0),3(0,0,1) 2(4,5,6),3(2,1,0) 2(2,4,5);
2(2,1,2),3(2,2,1) 参考答案：D
17、下列说法中错误的是( ). 选项A)向量组线性相关，则向量组含有零向量 选项B)向量组1,2线性相关，则对应分量成比例
选项C)向量组1,2,,n线性相关，则1,2,,n中至少有一个向量能表示为其余向量线性组合
选项D)若向量组1,2,,n线性无关，则其部分向量组也线性无关 参考答案：A
T
18、向量组1线性相关，则数k( ). (k,-1,1),2(4,4,4)T(其中T为转置符号)选项A)1 选项B) 2 选项C) 3 选项D) 4 参考答案：A
19、向量组1,2,,n线性无关的充要条件为( ). 选项A) 1,2,,n均不为零
选项B) 1,2,,n中任两个向量的分量不成比例 选项C) 1,2,,n中任一个向量不能由其余向量线性表示 选项D) 1,2,,n中有一部分向量线性无关 参考答案：C
20、设n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩为r，则Ax0有非零解的充分必要条件是(
). 选项A) rn 选项B) rn 选项C) rn 选项D) rn 参考答案：B
21、线性方程组x1x20x1x20，当取何值时，方程组有非零解(
).
选项A) 0 选项B) 1 选项C) 2 选项D) 任意实数 参考答案：B
22、已知A是mn矩阵，r(A)r，下列结论正确的是(
). 选项A) rn时，Axb有唯一解 选项B) mn时，Axb有唯一解
选项C)rn时，Axb有无穷多解 选项D) mn时，Axb有解 参考答案：A 211100
23、矩阵311左乘初等矩阵001
相当于进行下列哪种初等变换( 278010选项A) 第一行与第二行互换
选项B) 第二行与第三行互换 选项C) 第一列与第二列互换
选项D) 第二列与第三列互换 参考答案：D
24、设矩阵A112331，则A的秩是(
). 选项A) 1 选项B) 2 选项C) 3 选项D) 4 参考答案：B
).
22
25、用正交变换化二次型x1为标准型是( ) 2x1x2x22选项A) 2y1
22选项B) y12y2
22选项C) 2y1y2
222选项D)
y1y2y3
参考答案：A
a000a0的特征值是 ( ).
26、矩阵000a选项A) a 选项B) 0选项C) 1 选项D) 1,2,,n 参考答案：A
27、矩阵
31的特征值2对应的一个特征向量是 ( ). 13选项A) (1,2 )选项B) (1,1 )选项C) (1,3 )选项D) (1,4 )参考答案：B
28、3阶矩阵A的特征值为1,0,1,矩阵BA2A4E的特征值为 选项A) 1,2,3 选项B) 3,0,3 选项C) 7,4,3
2选项D) 3,4,5 参考答案：C
29、已知向量(0,1,0)T,(1,0,1)T下列计算不正确的是() 选项A) (1,1,1)T
选项B) (1,1,1)T
选项C) (,)0
选项D)
2(1,2,1)T
参考答案：D
30、矩阵A有n个特征值分别为2,3,4n,n1，A,B相似，则BE(选项A) 1选项B) 2 选项C) n
选项D)
n!参考答案：D
)
第四篇：线性代数 复习题B包含答案
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
a11a12a22a32a13a333a113a213a123a323a223a133a333a231．设行列式a21a31a234，则3a31 等于
( B ) A．102 B．-108 C．36 D．-144
002．若三阶方阵A等价于矩阵020000，则A的秩是1（ C ） A．0 C．2
3．设A为n阶方阵，且A=E，则以下结论一定正确的是（ D ） A．A=E
C．A可逆，且A=A
4．A是n阶方阵，且A的第一行可由其余n-1个行向量线性表示，则下列结论中错误的是（ D ） ．．
-
13B．1 D．3
B．A不可逆 D．A可逆，且A=A-1
2 A．r(A)≤n-1
B．A有一个列向量可由其余列向量线性表示
C．|A|=0
D．A的n-1阶余子式全为零
5．若α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则Ax=b必有一个解是（ D ） A．α1＋α2
B．α1－α2
2 C．α1－2α
D．2α1－α
2 6．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A是3阶方阵时，（ C ）
A．r(A)=0
B．r(A)=1 C．r(A)=2
D．r(A)=3
7．设3阶矩阵A的特征值为1，3，5，则A的行列式|A|等于（ D ） A．3 C．9
B．4 D．15
02000相似，则A2=2
208．已知方阵A与对角阵B=0（
C ） A．-64E C．4E
B．-E D．64E 9．二次型f(x1, x2)=是（ B ）
x216x1x24x1B．31D．13
45 422的矩阵1A．42 41C．0 64
aA10．已知矩阵
bk12aB矩阵k2k1bbc正定，k1和k2都是正常数，则
k1k2b( D )。 2k2cA. 不是对称矩阵
B. 是正定矩阵 C. 必是正交矩阵
D. 是奇异矩阵
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 a1b111．行列式
a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3=___0_______. a2b1a3b112．排列12453的逆序数为_____-2________. 5013．0103201111500= 012013 . 14．设=（1，2，4），=(-1,-2,y)且与线性相关，
212则y=____-4 ______。 15．二次型f(x1,x2)2x12x22x1x2经正交
y13y22222变换化成的标准形是__
三、计算题
__.
ab16．（6分）计算行列式
babaabab的值.
aba解：babbaba2ab1a2(ab)0b0baababba2(ab)[ab(ab)]2(ab)[a2b2ab]2(a3b3)01．（6分）设A=1331023且AB=A+2B，求B。
解：ABA2BA312301（A2E)BA2E211且det(A2E)2(A2E)的逆存在1求的(A2E)11B(A2E)1得B110得B22311642-311313A316603011312303
18．（8分）已知a1(2求一个与a1
10)a2(201)，
a2都正交的单位向量a3。 解：令a3(x1 x2 x3)根据题意（a1,a3)2x1x20（a2,a3)2x2x30求2x1x202x1x30得xk(1 2 -2), kR令k1得Ca3(1 2 -3)单位化得a313(1 2 -2）
19．（10）求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并以此写出其结构式通解. x1x25x3x40x1x22x33x40 3x1x28x3x40
x13x29x37x40
解：系系矩阵11A311113A为52891r4r1r33r132r1r17100012245771414481151102130274000001722000000000000x1 x2为约束变量，x4为自由变量得x7132x3x4 x22x32x4令（xTTT3,x4)分别为(2 0）和（0 1）得1（3 7 2 0）T T2（1 -2 0）xk11k22 , k
1、k2R
20．（10分）已知向量组
a1(1351),a2(213a3(5117),a4(331
（1） 判断向量组a1,a2,a3,a4是否线性相关? （2）求此向量组a1,a2,a3,a4的一个极大无关组.
4),1)解：令向量组13即A5121A（a1 a2 a3 a4)5117270651401231rrr5451r13023r1r01100100010001002713612000010514261236162TTTT3410r3r2r400r(A)34a1 a2 a3 a4线性相关，且a1 a2 a4为一个极大线性无关组
2521．（10分）已知A=
1
1ab23的一个特征向量是2=(1，1，-1) T（1）确定a,b以及的特征值。 （2）求r(A)。
11解：A2a11b11,且2b1 1b1a3 b02A51r(A)3
130232
22．(10
22分
2) 设二次型fx1,x2,x32x13x23x32ax1x22bx2x3xQy经正交变换
222化为标准形fy12y25y3，求a，b的值. 解：f的矩阵A和标准型矩阵2Aa0a3bD为501b D3QAQQ-T2根据题意为AQDA相似于D，切11，22，35为A的特征值将1带入det(EA)01deta0a2b022b42ab02将2带入det(EA)00deta0a1b02ba01a0 b2易证5时,det(EA)0
第五篇：《基础代数》复习题
0.概念：群中元素的阶数；正规子群；商群；单群；（左、右）理想；商环；分式环；整环；环的特征；模；域；代数元； 1． 求二面体群的全部子群、正规子群。 2． （1）写出所有不同构的
18、36阶交换群。 （2）写出所有不同构的p2阶群, p为奇素数。
3． （1）证明56阶群有正规的Sylow 2-子群或者有正规的Sylow 7-子群。
（2）证明p2q阶群不是单群。
（3）设是p, q是不同的素数，证明pq阶群都有正规的Sylow子群. 4. 证明任意2p阶群都同构于循环群或者二面体群。 5．判断下面的命题是否正确？对正确的请加以证明；对不正确的请举出反例说明。
(1) 在有限群中，如果a与b共轭，c与d共轭，那么ac与bd共轭。
(2) 如果H是G的正规子群，K是H的正规子群，那么K是G的正规子群。
(3) 设Z(G)是有限群G的中心，并且G/Z(G)是循环群，那么G是交换群。
(4) 设G是有限群，那么对它的阶数|G|的每个因子n，G都有n阶子群。 (5) 设G是有限群，G的任意指数为
2、3的子群都是G的正规子群。
6．用GL(n,q) 和SL(n,q)分别表示有限域GF(q)上n维向量空间上全体可逆线性变换、行列式为1的全体可逆线性变换所构成的群.。
（1）分别求GL(n,q) 和SL(n,q)的阶数。 （2）分别求GL(n,q) 和SL(n,q)的中心。
7．设M2(F)是域F上全体2级矩阵按矩阵的加法、乘法所构成的环。
(1) 求M2(F)的所有左理想和右理想。
(2) 求M2(F)的所有理想。
8．设G是有限群，p是其阶数|G|的最小素因子，证明G的任意指数为p的子群都是G的正规子群。
9．设G是有限群，如果Aut G = 1，那么G的阶数为1或2。 10. 求5次交错群、4次对称群的所有不共轭的子群. 11 叙述群同态基本定理、Sylow定理、同构定理. 12. 试给出G的子群H是正规子群的几个等价条件. 13 求在模18剩余类环Z18中的所有零因子、幂零元. 14设G是有限群，p是其阶数|G|的最小素因子，证明G的任意阶数为p的正规子群包含在G的中心中。 15 设a是有限域F=GF(2)上多项式x3x1的根， （1）求扩域F(a)作为有限域F上线性空间的一组基； （2）化简(a4a3a2a1)(a1) Section A 之所以不把二氧化碳列为污染物，是因为二氧化碳是大气的天然成份，植物进行生物合成需要二氧化碳。正如人们普遍认为人的饮食不可缺少维生素D一样，也都认为二氧化碳是大气不可缺少的成份。但是摄入过多的维生素D会有很大的副作用。生命系统，不论是生态系统还是生物，都需要在某些化合物之间保持微妙的平衡，以确保系统功能正常。尽管少量的某种物质是必要的，但当该物质过量出现威胁生态系统的健康时，就具有了毒副作用。
1．第一句的表语从句中有it is a natural component of the atmosphere and needed by plants to carry out biological synthesis，其中it is a...and needed...可理解为needed前面省略了it is，后面的不定式充当目的状语，意义相当于plants need carbon dioxide to carry out biological synthesis。
2．第二句是该段落中最难理解的句子，难就难在如何理解No one would argue that...any more than one would argue...，字面意思是“一个人为…争辩的力度不会超过…，意译就是“对两者相信的程度相同”。 3．第四句。Living systems, be they an ecosystem or an organism...就是“不论是生态系统，还是生物(有机体)”。require后的从句是虚拟语气，动词用原形。excess可当形容词用，相当于excessive。名词quantity number和amount可与介词in连用充当状语，如import oil in large quantities(大量进口石油)或kill the enemy in large numbers(消灭大量)。 The fast development of telecommunications has made the cell (mobile) phone popular among (a favorite of) high schoolers (high school students). Despite its multiple (many) functions, the cell phone has some negative (adverse) effect on the academic performance of teenagers，such as cheating on a test or distraction (lack of attention/lack of concentration/a shortened attention span) in class. Besides, regular use of a cell phone ends up with less face-to-face communication while chronic exposure to the radiation from the cell phone can lead to (result in/cause) the decline of memory or increase the chance (odds/prospect) of developing a brain tumor. 1．翻译“电脑”或“手机”时要注意冠词的使用，不能写成use computer。 2．经常用academic来表达与“学习”相关的意义，如academic excellence(学习好)，academic performance(学习成绩)。
3．能使用名词的时候尽量不要用不定式或动名词。例如，第三句中的“经常使用”最好不要翻译为often using或if we use...very often...，同样，“长期接触”不要翻译成if we are exposed to...for a long time，这样的表达不简练。请看下列汉语词组的翻译：
……有助于全球范围内使用电脑…contribute to worldwide use of the computer 避免接触有关暴力的图书avoid exposure to books about violence 经常运动能……regular exercise can...
未能找到解决方案表明……failure to find any solutions suggests... 尽管我坚信……despite my conviction that... 我最惊讶的是……the biggest surprise to me is...
4．“接触”不好翻译。有人把“我经常接触老外”翻译成I often touch foreigners；某电视台把电视节目“非常接触”译为unique touch，不知用什么touch ? touch通常指“用手触摸”或“联系”，如stay in touch with former teachers或lose touch with reality。be exposed to常见的意义是“使……遭受”，通常有“受到负面影响”的含义，如be exposed to danger/attack/ridicule/pollutants，但也可说be exposed to classical music/Western culture/books on history，介词必须是to。contact有时可代替这两个词，通常意义有：
have close contact with various patients近距离接触各类患者 eye contact目光接触body contact身体接触 come into contact with new ideas接触新思想 any contact with this liquid will...只要接触这种液体
have wide contact with these politicians广泛接触这些政客(打交道) 5．“增加……的概率”往往用chance odds或prospect翻译，尤其是chance，但接of doing...，而不接to do...。
没人会花很长时间来决定是阅读印刷的广告还是听播放的广告。如果广告不能马上吸引人们的注意力，使其专注片刻，足以理解广告内容，那么这个广告会惨败。因此，广告词的效果必须是立竿见影，马上让你心动。广告词必须让人关注所介绍的产品，突出其性能，简明介绍购买它的理由，最好使读者或听众对产品的介绍留下深刻印象，并能长久回荡在其脑海里。
Jobs come easily to college graduates who …( Some college graduates can find jobs / work / employment / get employed easily, who…) are characterized by academic excellence and the willingness to do low-income / poorly-paid jobs. The two factors are equally important / of equal importance / equal in importance. Working where you can prove your own worth / value is a crucial / key step towards success. For example, Obama started as a community organizer, who was unlikely to expect (could not have expected / probably did not expect ) that he could becomepresident of the United States.
以下翻译方式酌情扣分：
1.
…graduates are easy to find jobs. 属于严重错误。
2.
…find a work.
work 不可数.
3.
….characterized by willing to…或…willingness of doing…. 4.
…factors are the same important. 属于严重错误。 5.
…prove the value of oneself / oneself’s value (worth) 6.
…who was impossible to expect…
属于严重错误
。
…who could not expect…
1.1 Jobs come easily to college graduates who are characterized by academic excellence and thewillingness to do low-income jobs. 1.2 Some college graduates can get employed easily. What they have in common is good academic performance and willingness to do low-income jobs.
1.3 It is easy for some college graduates to find a job. They usually have a good academic record. They are also willing to do poorly-paid jobs.
2.1 The two factors are of equal importance.
equal in importance 2.2 The two factors are equally important
3.1 It is a key step to success to be able to work in a position that shows your abilities.
3.2 Working where you can prove your own va lue is a crucial step towards success. 4.1 For example, Obama started as a community organizer, who was unlikely to expect that he could become president of the United States.
4.2 For example, Obama started as a community organizer. He could not have expected that he could become president of the United States.
4.3 For example, Obama’s first job was a community organizer. It was impossible for him to anticipate presidency of the United States.