直线与圆位置关系说课

第一篇：直线与圆位置关系说课

4.2.1直线与圆的位置关系说课稿

各位评委、老师，大家晚上好! 我说课的题目是《直线与圆的位置关系》，我将通过以下五方面对本节课进行解说。分别是教材分析、学情分析、教法分析、学法分析、过程分析。

一、教材分析

通过解读教学大纲和新课标的基本要求，我对教材进行三大块的分析： 1.教材的地位与作用

本节课位于高中数学人教A版必修二第四章第二节(第一课时)，它是在学生初中已经学习了直线与圆的位置关系的基础上，通过直线方程和圆的方程，利用坐标法对直线与圆的位置关系的进一步研究与探讨。是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯。同时，这节课的方法和思想也为今后解决圆与圆的位置关系，以及圆锥曲线等几何问题奠定了基础。它起到了承前启后的作用。

2.教学目标

知识与技能：理解直线与圆的位置关系;学会利用几何法和代数法解决直线和圆的有关问题。

过程与方法：通过直线与圆位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力。

情感、态度与价值观：通过学生的自主探究、小组讨论合作，培养学生的团队精神和主动学习的良好习惯。

3.教学重、难点

重点：掌握用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系;

难点：把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型;灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题。

二、学情分析

学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，在高中又学习了直线方程与圆的方程，并会用坐标法解决简单几何问题。这些都有助于学生进一步学习直线与圆的位置关系。而我们的学生已经具备了独立思考和探究学习的能力，但又欠缺空间想象和实际应用能力。

三、教法分析

根据以上分析，本节依据布鲁纳发现教学法，要学生通过建立模型、方法探究、合作交流、归纳总结的学习方式，以活动为主线，体现学生的主体地位。教师在本环节中作为问题的设计者、组织者、引导者、合作者，体现其主导地位。

四、学法分析

问题是数学的核心，教师在学生思维发展的最近区，通过不断地设问，为学生创设情景，搭建平台，提供一个自主探究，合作交流的环境，让学生通过不断地发现问题、分析问题、解决问题，以培养学生的思维能力。

五、教学过程

教学就像一条河流，如何让学生到达知识的彼岸，教师在这一过程中的设计与引导起到了至关重要的作用。而本节课我将从六个方面根据学生的实际情况进行一个设计。

(一)情境设计，铺垫导入(三分钟)

教育的艺术在于创设恰当的情景。本节课创设的情景是以钓鱼岛问题导入(本环节大约三分钟)。一艘日本渔船企图非法登陆我国钓鱼岛，我国舰艇此刻正在附近海域巡逻。它们三者之间的位置关系如下：我国舰艇的雷达扫描半径为30km,如果日本渔船不改变航线，我国舰艇能否通过雷达扫描发现它呢?情景一设计的目的在于让学生构建恰当的数学模型，本质在于探究“直线与圆的位置关系”引出了课题，让学生从数学角度看待日常生活中的问题，增强学习的趣味性，使爱国热情转化为探索和学习的动力。

问题作为引导的核心，在这个问题上，我设计了如下问题：问题1：你能利用已有的平面几何知识建立适当的数学模型，来解决这一问题吗? 目的在于引导学生主动回忆初中所学的“直线与圆的三种位置关系”。并能说明这三种位置关系中公共点的个数以及圆心到直线的距离与半径的大小关系。通过旧知识的回顾使学生发现新的问题，也使新的知识在原有的知识结构中找到伸展点，而这个伸展点就是问题2.

(二)切入主题、提出课题(2分钟)

问题2：如何用直线方程和圆的方程来判断它们之间的关系呢?

问题2切入了本节的中心议题，让学生用自主探究的学习方式，引导学生用方程思想解决几何的问题。

在此教师不用急于让学生回答这个问题，而是通过一个具体的问题来进行解答。这一具体问题我选择了课本的例1，之所以选择例1是因为例1直间给出了直线与圆的方程。学生只需要思考能用几种方法来解决和判断直线与圆的位置关系。引出了本节的重点。而第二问还要求学生求出交点坐标，目的在于让学生进一步认识方程组解得意义。

(三)探索研究、解决问题(10分钟)

通过例1这一具体问题之后，可以让学生尝试归纳判断直线与圆的位置关系的方法，在此我设置了两个活动。活动二：要学生通过合作交流的方式将全班分成小组进行合作交流探究。活动三：要学生通过归纳小结的学习方法，将各小组的成果进行分享，最后进行归纳总结。教师在这一过程中只需要做好引导者和组织者的作用。目的是让学生主动的参与课堂，通过分析问题、解决问题培养学生的能力。而这种由特殊例子到一般方法的归纳，也符合学生的认知结构。让学生在交流、探讨和归纳的过程中理解和掌握本节课的重点。即直线与圆的位置关系的判断方法。这里的方法可由学生归纳得出。第一种，几何法，第二种，代数发。这两种方法都体现了数学的思想，并且代数法对于今后解析几何的方法应用较多，也为后面解决圆锥曲线问题提供了方法依据。

(四)新知应用、深化理解(20分钟)

掌握了方法接下来就是应用，请学生利用“几何法”和“代数法”解决情景一中的问题，达到学以致用，巩固方法的目的。在此教师可以让两名学生通过不同的方法在黑板上演练，再让其他学生进行点评，教师在进行小结即可。

例2是本节的难点，如何突破难点呢?我将从例1的一个变式引出。求直线l被圆C截得的弦长AB. 在此教师可以作适当的点拨，求弦长的方法很多，如两点间距离公式，弦长公式以及圆心到直线的距离与半径构建直角三角形利用勾股定理进行求解。通过一题多变，一题多解，不仅体现了新课标的要求，还让学生在练习中拓展思维、活用方法，为接下来解决例2这一难点突破奠定基础。

例2通过刚才的变式，由浅入深，引入例2，环环相扣，让学生体会利用“几何法”和“代数法”解决直线和圆相交时有关弦长的问题，突破本节难点。

掌握本节重点，突破难点之后，可以让学生根据情景做适当的延伸。 情景二：若我国舰艇雷达扫描半径为rkm,此时日本非法渔船航线刚好和我国舰艇雷达扫描的圆形区域的边缘相切，计算雷达扫描的半径r的值。

情景二研究的是直线与圆相切的情况，同时是含有参数的问题，引导学生从运动变化的角度来看待问题，提高了思维的梯度。

情景三：对于同样的情景，你还能根据“直线与圆的位置关系”设置出哪些问题呢?

这一问题，目的在于培养学生的创新意识，可以作为课后的拓展题，让学生通过小组探究来完成。实际上学生创设问题的过程就是检验我们教学成果的过程。

(五)总结提升、形成方法(5分钟)

在课后总结中，让学生通过三个方面进行总结。第一，方法总结，在直线与圆的位置关系中，你掌握了哪些方法呢?学会了哪些应用呢?你自己的思想上又得到了哪些提升呢?目的在于以自我小结的形式，对本节课进行简单的回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固与提升。

(六)课后作业，巩固提高 在课后训练中，针对学生不同层次，我设计了这三种题型：1.巩固题，2.提高题，探究题。目的在于尊重学生的个体差异性，调动学生的积极性，使每一个学生在教学中都能够有所发展。

(七)板书设计

这是我的板书设计，本节课以多媒体演示为主，板书设计以简洁明了为主，左边主要罗列了主要的方法和应用。右边作为例题演示和学生演练。

教学反思

作为教育工作者，目的在于授之以渔。而教学过程意在于把科学知识作为培养学生思维能力的一个阶梯。

本节课，以活动为主线，问题为载体，通过钓鱼岛问题导入，由浅入深，环环相扣，一个情景，两种方法，三种问题，一气呵成，这节课的重难点也得以突破。另外本节课还有许多不足，如合作学习没达到预想的效果，组长没能起到应有的作用。教师对有些知识强调、点评不到位等。

我的说课到此结束，不妥之处，敬请各位老师批评指正,谢谢!

第二篇：《直线与圆的位置关系》教案

教学目标：

根据学过的直线与圆的位置关系的知识，组织学生对编出的有关题目进行讨论.讨论中引导学生体会

(1)如何从解决过的问题中生发出新问题.

(2)新问题的解决方案与原有旧方法之间的联系与区别.

通过编解题的过程，使学生基本了解、把握有关直线与圆的位置关系的知识可解决的基本问题，并初步体验数学问题变化、发展的过程，探索其解法.

重点及难点：

从学生所编出的具体问题出发，适时适度地引导学生关注问题发展及解决的一般策略.

教学过程

一、引入：

1、判断直线与圆的位置关系的基本方法：

(1)圆心到直线的距离

(2)判别式法

2、回顾予留问题：

要求学生由学过知识编出有关直线与圆位置关系的新题目，并考虑下面问题：

(1)为何这样编题.

(2)能否解决自编题目.

(3)分析解题方法及步骤与已学过的基本方法、步骤的联系与区别.

二、探讨过程：

教师引导学生要注重的几个基本问题：

1、位置关系判定方法与求曲线方程问题的结合.

2、位置关系判定方法与函数或不等式的结合.

3、将圆变为相关曲线.

备选题

1、求过点P(-3，-2)且与圆x2+y2+2x-4y+1=0相切的直线方程.

备选题

2、已知P(x, y)为圆(x+2)2+y2=1上任意一点，求(1)(2)2x+3y=b的取值范围.

备选题

3、实数k取何值时，直线L：y=kx+2k-1与曲线: y=两个公共点;没有公共点.

三、小结：

1、问题变化、发展的一些常见方法，如：

(1)变常数为常数，改系数.

(2)变曲线整体为部分.

有一个公共点;=m的最大、最小值.

(3)变定曲线为动曲线.

2、理解与体会解决问题的一般策略，重视“新”与“旧”的联系与区别，并注意哪些可化归为“旧”的方法去解决.

自编题目：

下面是四中学生在课堂上自己编的题目，这些题目由学生自己亲自编的或是自学中从课外书上找来的题目，这些题目都与本节课内容有关.

①已知圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0, y0)是圆外一点，求过P点的圆的两切线的夹角如何计算?

②P(x0, y0)是圆x2+(y-1)2=1上一点，求x0+y0+c≥0中c的范围.

③圆过A点(4，1)，且与y=x相切，求切线方程.

④直线x+2y-3=0与x2+y2+x-2ay+a=0相交于A、B两点，且OA⊥OB，求圆方程?

⑤P是x2+y2=25上一点，A(5，5)，B(2，4)，求|AP|2+|BP|2最小值.

⑥圆方程x2+y2=4，直线过点(-3，-1)，且与圆相交分得弦长为3∶1，求直线方程.

⑦圆方程x2+y2=9，x-y+m=0，弦长为

2，求m.

⑧圆O (x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0, y0)圆一点，求过P点弦长最短的直线方程?

⑨求y=的最值.

圆锥曲线的定义及其应用

[教学内容]

圆锥曲线的定义及其应用。

[教学目标]

通过本课的教学，让学生较深刻地了解三种圆锥的定义是对圆锥曲线本质的刻画，它决定了曲线的形状和几何性质，因此在圆锥曲线的应用中，定义本身就是最重要的性质。

1.利用圆锥曲线的定义，确定点与圆锥曲线位置关系的表达式，体现用二元不等式表示平面区域的研究方法。

2.根据圆锥曲线定义建立焦半径的表达式求解有关问题，培养寻求联系定义的能力。

3.探讨使用圆锥曲线定义，用几何法作出过圆锥曲线上一点的切线，激发学生探索的兴趣。

4.掌握用定义判断圆锥曲线类型及求解与圆锥曲线相关的动点轨迹，提高学生分析、识别曲线，解决问题的综合能力。

[教学重点]

寻找所解问题与圆锥曲线定义的联系。

[教学过程]

一、回顾圆锥曲线定义，确定点、直线(切线)与曲线的位置关系。

1.由定义确定的圆锥曲线标准方程。

2.点与圆锥曲线的位置关系。

3.过圆锥曲线上一点作切线的几何画法。

二、圆锥曲线定义在焦半径、焦点弦等问题中的应用。

例1.设椭圆+=1(a>b>0)，F

1、F2是其左、右焦点，P(x0, y0)是椭圆上任意一点。

(1)写出|PF1|、|PF2|的表达式，求|PF1|、|PF1|·|PF2|的最大最小值及对应的P点位置。

(2)过F1作不与x轴重合的直线L，判断椭圆上是否存在两个不同的点关于L对称。

(3)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3, y3)是椭圆上三点，且x1, x2, x3成等差，求证|PF1|、|PF2|、|PF3|成等差。

(4)若∠F1PF2=2，求证：ΔPF1F2的面积S=btg

(5)当a=2, b=最小值。

时，定点A(1，1)，求|PF1|+|PA|的最大最小值及|PA|+2|PF2|的

2例2.已知双曲线-=1，F

1、F2是其左、右焦点。

(1)设P(x0, y0)是双曲线上一点，求|PF1|、|PF2|的表达式。

(2)设P(x0, y0)在双曲线右支上，求证以|PF1|为直径的圆必与实轴为直径的圆内切。

(3)当b=1时，椭圆求ΔQF1F2的面积。

+y=1 恰与双曲线有共同的焦点，Q是两曲线的一个公共点，

2例3.已知AB是过抛物线y=2px(p>0)焦点的弦，A(x1, y1), B(x2, y2)、F为焦点，求证：

(1)以|AB|为直径的圆必与抛物线的准线相切。

(2)|AB|=x1+x2+p

(3)若弦CD长4p, 则CD弦中点到y轴的最小距离为

2(4)+为定值。

(5)当p=2时，|AF|+|BF|=|AF|·|BF|

三、利用定义判断曲线类型，确定动点轨迹。

例4.判断方程=1表示的曲线类型。

例5.以点F(1，0)和直线x=-1为对应的焦点和准线的椭圆，它的一个短轴端点为B，点P是BF的中点，求动点P的轨迹方程。

备用题：双曲线实轴平行x轴，离心率e=

，它的左分支经过圆x+y+4x-10y+20=0的

2

2圆心M，双曲线左焦点在此圆上，求双曲线右顶点的轨迹方程。

第三篇：《直线与圆的位置关系》教学反思

这节课是义务教育课程标准实验教科书九年级上册第二十四章第2节第2课时的内容。本人在教学过程中紧紧围绕新课程理念展开教学，主要从以下几方面介绍闪光点：

一、创设情境

1、组织学生发现，寻找，搜集和利用学习资源

现代课程观认为课程是由教师、教材、学生和环境四要素构成的,教师和学生是课程的开发者和创造者。组织学生发现，寻找，搜集和利用学习资源是教师的一项重要职责。因此，在教学中，本人把日出这一自然现象作为课程资源引入数学教学，学生通过回想日出的景象画出图画：一幅是美术图画;一幅是一条直线和一个圆。在学生都欣赏艺术图画的美时，教师引导学生欣赏一条直线和一个圆的数学美和它的价值，它的价值在于抽象和简化，便与研究它的性质。让学生们看见了自然现象中的数学价值，同时也反应了自然现象和数学之间的联系。然后，我引导学生把变化着的自然现象再抽象成数学问题，引出直线和圆的相交、相切、相离三种关系。

2、创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性。本人在教学第一环节用现实生活中日出这一景观，让学生享受美的情境中，在充分的想象中，从生活中抽象出数学模型，因此让学生画出两种不同的日出图画，美术的图画让学生看见了生活中的美。但在教学中本人着重引导学生欣赏另一种图画是抽象的数学美，在欣赏美的同时，体会生活中的数学，从而激发学生的求知欲。

3、给学生提供合作交流的空间和时间。首先给学生的自主学习提供时间，让学生自己画出日出情景，接着合作交流两种日出的图画，这样为学生创设合作交流的空间。

4、组织学生营造教室中的积极的心理氛围。本人在教学中注重这一方面的渗透。教学第一环节中，学生画出两种不同的画面后，及时反馈，给予表扬和鼓励。尤其是教学过程中，我班田文洁同学由于偏科、数学底子薄弱，我发现她在画图中碰到老师的目光马上避开，老师意识到她画图中可能有问题，我便走到她面前，与她交流，启发她如何着手，并且诱导她从数学角度思考又该怎样画，这就给了她知识上的启发和心理上的支持。还有看见胡海林没有动笔和本，便走过去摸摸他的头，并用温和的目光问：“没有思路吗?”我启发引导后，让他和同桌交流，让同桌再帮助他。这样体现了对学生的信任、关心和理解。学生在老师的关爱下，学生的帮助下、受到激励和鼓励，激发了学习的兴趣，从而用自己的爱心与学生一起营造了一个平等，尊重、信任、理解和宽容的教学氛围。这正是新课程理念所倡导的。

二、新课讲解(探究新知)

这一部分的教学中主要渗透以下几个基本理念：

1、让课堂教学充满创新活力。

(1)合作学习有利于培养学生的创新精神与创新能力。讲述直线和圆相交、相切、相离的概念时，通过师生合作交流得出两种方法，即交点的个数及点到直线的距离d与半径r之间的关系，在合作交流中学生加深了对知识的理解和掌握、同时也有利于创新精神和创新能力的培养。

(2)探究过程是培养创新精神和创新能力的重要途径。例：在讲概念时，提出这一个问题：“通过回忆刚才画出日出的图画，同学们发现直线与圆有三种位置，各自有什么特点?”这就为学生提供了探究的空间，学生很容易得出交点个数，及时抓住探究过程中这一创新的“火花”，给予欣赏和激励，从而掌握基础知识和基本技能。

2、教学活动中尊重学生已有的知识和能力。

(1)尊重学生已有的知识和学生的经验。在讲d与r的关系时，复习了上节所学点和圆的位置关系，这样，学生学习新知识是在原有知识基础上自我构建的过程，了解学生的知识基础是老师备课的一项重要内容。

(2)尊重学生独特的感受和理解。由于学生间认知上、情感上的差异，这一部分教学很多学生对点到直线的距离即d与r关系很难表述，甚至想不到，所以曾多次激励学生谈独特的见解。

(3)把新知识纳入到原有认知结构中去。新知识是学生已获得的知识，是学生自我建构后获得的知识，新知识在获得后，还有一个重要的任务就是把新知识以一定的方式组织起来，纳到原有的认知结构中去，便于记忆和提取。这一环节充分体现，即讲完两种方法后便出示表格进行归纳和总结，从而帮助学生不断优化认知结构。

3、提倡自主，合作，探究的学习方式。这一理念在这一环节的教学中又得到充分体现。采用独立思考、分组讨论，合作交流得出本节的重要内容即本节的重点。

4、注重教师是学习活动的参与者。教师应引导学生在自主探索和合作交流中达到对新知识的理解。教学中我发现冯成同学的第二种方式是大部分学生没有想到的，并且讲述很好，过渡自然。因此异常兴奋，我与同学们同时鼓掌，即达到高潮。充分体现了师生间共同分享感情和认识。

三、巩固练习(深化练习)

1、练习符合学生的认知规律，难易度适中。

2、练习量适中，题型多样，有选择题，填空题、解答题。

3、注重分层教学和能力培养、持续发展，设计了必做题，选做题。

四、课堂小结：

课堂小结是一个重要的环节，本人给学生一定的思考和交流的空间，除了让学生自己总结本节知识外，还用表格的形式又展现给大家，让同学们再次回顾、反思、记忆。更重要的是让学生总结本节的数学方法和数学思想，以及生活中处处充满数学，数学为生活服务等理念。

不论从新课程理念，还是教学效果来看，这都是一节比较满意的课，。 另外，教学过程凸现双基，目标落实，教学结构完整有序，层层推进。教师对学生的尊重和爱护也都随处体现，教师对知识的精益求精，让这一节课所有的知识点都清晰地呈现在学生面前，教师对学生间的相互评价，相互合作无疑又为学生间的友谊注入新的动力，作业设计分层教学，有必做题和选做题。

当然，这节课仍有需要改进的地方：

一、语言有待锤炼，在整节课中，老师的提问过于频繁，其中不乏有很多较好的提问起到点拔、引导作用，但仍有一些问题不必要的，且提问时废话较多。

二、时间分配的不太合理，练习时间稍有不足，因前面内容即创设情境和探究新知识占用较多时间，所以后面的练习时间相对较短，对于分层教学处理练习就显得仓促。

三、板书不够规范，因本节书本没有例题，所以应在黑板上板书作业格式，这样在以后作业中有格式示范，书写规范。

四、教学过程不太注重数学思想渗透，例：创设情境中画图，导出直线与圆的三种位置关系，要启发诱导学生采用了什么数学思想。

针对以上问题，在以后的教学中，要加强语言锤炼，要注重分层教学，注重能力培养，要注重数学思想和方法渗透。

总之，这是我对自己本节课的一些教学反思，或者说是对新课程理念的浅薄认识。

第四篇：点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系

一、教学目标 (一)知识教学点

使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系;过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法;两圆位置关系的几何特征和代数特征.

(二)能力训练点

通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力.

(三)学科渗透点

点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化.

二、教材分析

1.重点：(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题);(2)圆系方程应用.

(解决办法：(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的代线方程，弦长计算问题;(2)给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程.) 2.难点：圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0，y0)的切线方程的证明. (解决办法：仿照课本上圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)切线方程的证明.)

三、活动设计

归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习.

四、教学过程 (一)知识准备

我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识.

第 1 页 共 8 页 1.点与圆的位置关系

设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有： (1)d>r (2)d=r (3)d

2.直线与圆的位置关系

设圆 C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，

判别式为△，则有： (1)d

直线与圆相离，即几何特征;

直线与圆相交; 或(1)△>0 (2)△=0 (3)△<0 直线与圆相切;

直线与圆相离，即代数特征，

3.圆与圆的位置关系

设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：

(1)d=k+r (2)d=k-r (3)d>k+r (4)d

两圆相交.

第 2 页 共 8 页 (5)k-r

(1)过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题).

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).

(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：

设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

(3)圆系方程：

①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程).

②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数).

(二)应用举例

和切点坐标.

分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析;(2)从几何特征分析.一般来说，从几何特征分析计算量要小些.该例题由学生演板完成.

∵圆心O(0，0)到切线的距离为4，

第 3 页 共 8 页 把这两个切线方程写成

注意到过圆x2+y2=r2上的一点P(x0，y0)的切线的方程为x0x+y0y=r2，

例

2已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长.

分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△>0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成.

证：设圆心O(0，0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=

∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q.

例

3求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程.

解法一：

第 4 页 共 8 页

相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.

∵所求圆以AB为直径，

于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25. 解法二：

设所求圆的方程为：

x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)

∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，

∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0. 小结：

解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法;解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练.

(三)巩固练习

1.已知圆的方程是x2+y2=1，求：

第 5 页 共 8 页 (1)斜率为1的切线方程;

2.(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是

(2)两圆C1∶x2+y2-4x+2y+4=0与C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是______.(内切) 由学生口答.

3.未经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程.

分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程;若没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数λ，从而求得圆的方程.由两个同学演板给出两种解法：

解法一：

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，

第 6 页 共 8 页 解法二：

设过交点的圆系方程为：

x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0.

五、布置作业

2.求证：两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切. 3.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

4.由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、 B两点，向圆x2+y2=r2作切线QC、QD，求：

(1)切线长;

(2)AB中点P的轨迹方程. 作业答案：

2.证明两圆连心线的长等于两圆半径之和 3.x2+y2-x+7y-32=0

六、板书设计

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第五篇：直线与圆的位置关系教学设计

4.2.1 直线与圆的位置关系

一、教学目标

1.知识与技能：(1)理解直线与圆的位置关系;

(2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;

(3)会判断直线与圆的位置关系。

2.过程与方法：(1)通过复习初中数学知识得出几何法判断直线与圆的位置关系;

(2)类比直线交点的求解方法来求直线与圆的交点坐标，从而总结得

出代数法来判断直线与圆的位置关系。

3、情感态度与价值观：使学生通过通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。

二、教学重难点

1.教学重点：根据给定直线及圆的方程，判断直线与圆的位 置关系。

2.教学难点：判断直线与圆的位置关系及其判断方法的选取。

三、课时安排：1课时

四、授课类型：新授课

五、 教学过程：

(一)复习引入

以生活中的场景(日出)展现出直线与圆的位置关系，并提出新的问题 。

师生互动：教师通过多媒体展示日出的几个瞬间，导想出直线与圆的位置关系，引出本节的学习。

设计意图：由生活中的实例出发，有利于激发学生的学习兴趣。

(二)探究新知

1、 判断直线与圆的位置关系的判断方法

师：在初中偶们已经学习过直线与圆的位置关系的相关知识，我们一起来回忆下直线与圆有哪几种位置关系?

生：相交，相切，相离。

师：我们是如何判断他们的位置关系呢?

生：根据圆心到直线的距离与半径的相对大小。

师：恩，非常好!现在我们已经学习过直线，圆的方程了，那大家能否根据之前学过的方法来判断下直线与圆的位置关呢?

例1.如图所示，已知直线L :3x+y-6=0和圆心为C的圆 x+y-2y-4=0,判断直线L与圆的位置关系，若相交，求出交点坐标。

分析：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系(几何法); 解：圆 x+y-2y-4=0可化为x+(y-1)=5,其圆心C(0,1)

半径r=5 点C到直线L的距离：

d=222222301691=

5<5 10所以直线L与圆C相交。

设计意图：由学生熟悉的知识入手，引出学生对直线与圆位置关系的一种判断方法：几何法。再由此提出如何才能求出交点坐标，设置探究，引发学生的思考讨论。

思考：如何求直线L与圆C的交点坐标? 分析提示：回想前面我们学习的直线的交点坐标的求解方法，试想能都也用这种方法来求直线与圆的交点坐标呢?具体如何来求?

(学生分组讨论，并动手求解，最终由教师结合学生小组结论，给出总结)

联立直线L与圆C的方程可得

3xy60(1)xy2y40(2)222

消去y，得

x-3x+2=0

(*) 解得

x1=2,

x2=1 将x1=2代入(1)可得

y1=0 将x2=1代入(1)可得

y2=3

所以直线L与圆C的交点坐标分别为 A(2，0)

B(1，3)

思考：方程(*)有两个不同的实数根，那么直线与圆就有两不同的交点，反映在位置上就是直线与圆是相交的位置关系，那么我们能不能通过判断方程的实数根的个数来确定直线与圆的位置关系呢? (学生思考后回答)

由此引出了直线与圆的位置关系的第二种判断方法：代数法 解法二：联立直线L与圆C的方程可得

3xy60(1) 22xy2y40(2)消去y，得

x-3x+2=0 因为=(-3)-4121>0 所以直线L与圆C有两个不同的交点，故直线L与圆C相交。

师：现在大家一起来总结下这两种方法的一般解题步骤。 板书：方法一

几何法

把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径

↓

利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离

↓

作判断: 当d>r时，直线与圆相离;当d=r时，直线与圆相切;当d

方法二：代数法

把直线方程与圆的方程联立成方程组

↓

利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程

↓

求出其Δ的值

↓

比较Δ与0的大小:当Δ<0时,直线与圆相离;当Δ=0时, 直线与圆相切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。

2、巩固提高

判断直线4x-3y=50与圆x+y=100的位置关系.如果相交，求出交点坐标。 (由两位同学用两种不同的方法在黑板演算，最后师生一起校对运算过程次，并由此得出下列结论)

小结：在判断直线与圆的位置关系时，若需要求交点坐标，一般情况下用代数法运算较好，若只是判断直线与圆的位置关系，几何法可能更便于运算。

222

2(三)拓展应用

师：现在我们一起运用已学到的知识来解决下本节的引言部分的问题。

生：认真阅读课本第126页的引言部分问题

分析：在第三章我们有学习遇到这类文字型题目的一般解决步骤： (1)建立适当的直角坐标系;

(2)用坐标表示出相关的量，然后进行代数运算; (3)将运算结果翻译成文字语言。

解:以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10km为单位长度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆O方程为 x+y=9,

轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0 点O到直线L的距离

d=

22002865=

28≈3.5 65 圆O的半径长r=3，因为3.5>3，

所以，这艘轮船不必改变航线，不会受到台风的影响.

(四)归纳小结

本节课我们一起学习了直线与圆的位置关系的两种判断方法：

①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿>0，则相交;若有两组相同的实数解，即⊿=0，则相切;若无实数解，即⊿<0，则相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离.

(五)布置作业：课本132页 第1题

六、板书设计

七、教学反思

1、新的课标把直线和圆的位置关系作为独立的章节， 说明新课标对这节内容要求有所提高。

2、判断直线与圆的位置关系为了防止计算量过大，一般采取几何的方法，但用方程思想解决几何问题是解析几何的精髓，是以后处理圆锥曲线问题的常用方法，掌握好方程的方法有利于培养数形结合的思想。

3、直线与圆位置关系的相关问题如：弦长的求法、如何求圆的切线方程以后还要补充。

4、用代数法判断直线与圆的位置关系， 不必求出方程组的解，利用根的判别式即可。