第一篇：小学体育教师培训感受
学习小学体育新课程的感受
起步中心小学康明辉
给孩子一片自由的天空、让学生真正飞翔。小学体育基础教育课程改革，其中我对改变学习方式深有感触。“学习”顾名思义是学习行为，而学生的学习行为发生改变的主要推进者就是教师。在近期的教学中，我努力使我的体育课堂成为学生的精神家园，让学生在体育课堂只有在“家”的感觉，无拘无束，使他们的心灵开放舒展，生命自由的生长。
一、创造力的发展，必须在自由安全的气氛中进行。在我的体育课堂上尽量给学生一片自由的天空。尽量减少对孩子们的无为限制，给其自由表现的机会;使其消除对批评的顾虑，获得安全感，敢于发表自己的见解。
二、放飞个性，学生是有着独特个性，鲜活生命活力的个体，有着自己的知识经验，自己的是非判断自己的真情实感，自己的成长背景„„课堂，应成为一个有利于学生个性化的“家”，是学习过程成为一个富有个性的“自我实现”的过程，让学生的个性在宽松、自然、愉悦的文化氛为中得到飞扬。如体育课堂教学中我经常会这样问学生：“你想用什么方法学习这门技巧?这一动作?怎样记住这个方法?并时时从一个参与者、研究者的身份出在学生的探索、研究、讨论、争论之中与学生一起发表自己的观点，交换自己的看法，用商量的研讨的语气与学生对话。而通用有了丰满、充实而深刻的感受和体验，它就可以进入到体育课中灵魂深处，去体察，领略其中的神韵，精髓，去同化、品悟其中微妙至深的生命意味。经历了这样的精神陶冶的历程，儿童的精神力量也就一步一步地壮大起来，他们的情感与生命的冲动、理解、语言、人格等等都有机地融为一个和谐的整体。我想，这才使体育教学追求的最高境界。自创美满，达到事半功倍的效果。
第二篇：体育教师继续教育培训学习感受
本学期对我来说是丰收的一个学期，我非常庆幸自己参加了这次进修学校组织的继续教育培训，学习到各专家给我们的指导和种种经验。这次培训主题鲜明，对体育教师的专业成长及和有效课堂教学，专家举出一个个教学资源实例进行剖析，使我们体育老师感觉这是实在有效的一次学习。听完本次网络讲座，我对课程改革有了初步认识。专家们的对体育与健康课程标准的主要特点进行了阐述。让我们更加明确今后的路该怎么走。
1、坚持"健康第一"的指导思想。面对社会的发展，我们体育课堂教学改革与创新必须遵循体育教学的规律，弄清楚体育教学方法与体育教学行为的区别、评价体系的变化等方面做了详细的讲解。
2、多向同行体育教师学习，听他们谈自己在工作岗位上的教学经验体会，谈体育教学方法的运用，并结合教学实际，在新课改下的体育课教学方法，学生学法.怎样评课等，教师素质的提高和教育教学观念的转变等内容。
3、通过学习他人的体育课的教学教学设计，积极参与教研评评课，通过案例，课中老师的引领学生的学练，都给自己上了一堂很好的教育，并使自己的认识有所提高，促使在今后的教学工作中能当好角色转变和要提高自身的素质。
通过学习重新认识了"健康第一"的指导思想的深刻内涵，通过老师的举例，对新课程理念下的课堂教学的方法与组织，有了重新的认识和理解。
体育新课标的学习培训就要结束了，感谢进修学校为我们提供这次的学习机会，这个学期可以说是满载而归。通过学习，我收获了很多平时很难了解到的经验和教学方法，通过学习让我一体育老师该怎样去践行新课标的理念。今后希望在教师的教学技能上多进行培训。
昆一小学闻旭 2016/1/7
第三篇：北京翠微小学培训感受4
秦皇岛北戴河新区都寨小学
聂旺
翠微小学的校训“明德至翠，笃行于微”给人的感觉耳目一新，不仅于此，全校师生也都在认真践行着。挂职期间，我们不仅惊叹于学校硬件建设的一流，更对“明德至翠，笃行于微”在师生身上的体现而深受感动。
其中的几件事情让我有所感悟。
在接下来的听课活动中，翠微小学教师的精神面貌给我留下了深刻印象，总体说来可以用“精力充沛、气势旺盛、神采飞扬”几个词语来形容，无论是英语课、书法课还是形体课，在教师身上都有充分体现。课堂上的师生互动环节丝毫没有做作的感觉，也绝不拖泥带水。40分钟的时间，教师始终充满激情，学生在愉悦中接受老师传授的知识。我不禁想起爱因斯坦说过的一句话：把学生的热情激发起来，学生会把教师规定的功课当做礼物接受过来。多好的诠释啊!其实我们在听课过程中也出现过小问题，有一个教师在提问一个孩子时，那个学生或许是紧张卡壳了，任凭教师如何启发提问他就是一个字不说，课堂上竟出现近半分钟的空场，我们几个校长都静静地观察着教师，看他如何进行下一步的动作。稍后，老师轻轻走到学生身边俯下身来，用手轻轻拍着孩子的肩头说：“其实我早发现你的答案是正确的，大胆地说出来吧，老师相信你!”在老师的鼓励下，那个学生终于张开了口，大声回答出了正确答案。这一幕着实让我感动不已，说句实在话，假如是我，为了保证课堂效果或者争取时间，我是不会再去理会这个学生的，最多是换一个学生回答而已。但就是这个教师一句鼓励的话语，细微的肢体语言让孩子敞开了心扉，更多的是树立了孩子的自信心。
在翠微小学，时时处处皆有收获。第一次在学校图书馆参观，我们也许是兴奋，大家的声音不知不觉高了起来。这时旁边过来一位老师，轻声说：“各位校长，这里是图书馆，是应该保持安静的地方。”短短几句话让我们一下子红了脸，是啊，图书馆是应该安静的地方，这么浅显的道理我们竟然忘得一干二净。一个普通的教师已经把“笃行于微”诠释到极高的境界。
翠微小学的教师群体是高素质的，他们进取心强，团队意识浓厚。印象最深刻的是参加了一次全校教师大会，有一位发言的女教师让我有所触动，倒不是她的发言有多精彩，而是因为她的年龄已经46岁了，仍然参加学校举办的“翠微杯”教师技能大赛，并在年级组教师的帮助下获得了一等奖。她的发言材料中对大家的支持表示感谢的内容占了大半，并且表示：融入这个集体，我要成为一只空水桶，源源不断地融入和接纳周围的活水。我要快乐地工作，快乐地生活!反观我们身边的情况，还会有46岁的教师主动参加类似的活动吗?很难说，相信绝大部分人会以自己年龄大了让年轻人去锻炼为由推脱，在这个女教师面前，我们难道不该反思一下自己吗?
从北京回来的第三天，我召开了全校教师会，把自己在北京的所见、所闻、所感和大家分享，让大家对翠微小学有了一个全面、具体的认识，其中融入一部分具有深刻含义的语句：
1、爱自己的孩子是人，爱别人的孩子是神。翠微小学的教师做到了，我们的差距还很大，不少教师的定位只在“人”上。
2、你想把学生培养成什么样的人，自己首先要成为什么样的人，因为学生身上有教师的影子。我们现在很多教师抱怨现在的学生难教、难管，其实应该先从自己身上找找原因，反思自己平时的一言一行、一举一动是否符合一个教师的要求。
3、合作——互利共赢;争斗——两败俱伤。我们应该建立战斗的堡垒，而不是在堡垒中战斗。反观我们周围的部分教师没有团队意识，我行我素，唯我独尊，心胸狭隘，自私自利，这都是我们今后工作和生活中必须改变的。
4、学校与学校的竞争，归根到底是教师群体的竞争，学生的质量说到底就是教师的质量。我们应该静下心来教书，潜下心来育人。我们必须时刻为自己充电，让自己的那桶水永远甘甜、清澈。
最后，有12个字作为结束语：广读书、交高人、善反思、重实践。只有这样才能不断进步。
教育，累，并快乐着!痛，并快乐着!
第四篇：中小学校长培训感受
中小学校长培训收获和体会
营山县新店小学 郭立权
时间转瞬即逝，“中小学校长培训”经过一个多月的学习即将结束。一个多月来我认真聆听了培训平台中每一位专家的精彩讲座，通过学员相互间的交流、自我理论的学习，对我的党性修养和业务管理水平都有大幅度的提高。本次培训，我对教育方针政策的理解和教学管理水平都有很大的提高，收获颇丰，受益匪浅。
一、深刻理解教育方针，掌握教育动态
我通过学习南充市委党校党忠教授的《党性与修养》和市教科所原所长刘大丰的《中小学教育改革》专题讲座后，感受很深。作为校长，就必须要深刻理解掌握党的教育方针、政策以及教育法律、法规。对工作要认真负责，当老师表率，为教师的专业化发展搭设平台。鼓励教师积极工作，拓宽办学思想，加强科学规范化管理，为了每一个学生抓好学校教育。
通过学习人文艺术系王钰主任的《学校发展与内涵建设》专题报告，让我感受到党建工作在学校教育中的重要，我们一定要把“全面贯彻党的教育方针，培养社会主义建设者和接班人”贯穿学校教育的始终，根据实际努力创建特色学校。
作为学校校长，必须具有发自内心的社会责任感和历史使命感，要具有战略眼光，必须以学校教育发展为已任，爱校，敬业，与时俱进;必须要勤于思考，经常反思，不断总结工作中的得失利弊;要善于交流，耐心听取别人的建
议或意见;要有较深的人文素养，具有合作精神，合理挖掘有利资源为我所用;要注重团队精神的培养，调动每个人的积极性，挖掘每个人身上的积极因素，人尽其才;要培养自己和团队的创新探究精神，投身于教研教改，终生学习，不断开拓。
新课程改革蓬勃发展的今天，每一位校长也都面临着由传统型向科研型的转变。以前我曾单纯地认为只要把教育教学成绩提高就行了。平时自己只知道注重学习，自己的工作做好，但不知如何会做得更好。这段时间，我清楚地认识到：新时期的校长要更新教育观念，不仅要爱岗敬业，更要不断充电，终身学习;要用自己独有的人格魅力和才华魅力去感染教师，同时要尊重教师的人格，欣赏、宽容、理解学生，为教师的成长创造良好的环境，为学生做人和终身学习打好基础。校长的成长与成熟都离不开学习。只有学习，才能更新知识，跟上时代。
二、学习先进的管理经验、提高管理水平
学习了职教院周荣华教授的《慧性教育》和职教附中杨娟校长讲的《校园因文化而美丽》，我深感当一名合格校长不容易，当一名校长更难，掌握校长的领导艺术，即要有创新、科学、奉献的精神，同时，也要处理好领导者与管理者之间的密切关系。周荣华教授的《领导者核心能力培养》，首先讲到学校管理工作的定位和他的“双主体教学”(以爱育爱，以学论教，以参与求体验，以创新求发展)，他对教学管理的思考和尝试值得我们这些校长反思：作为现代校长，我们必须不断学习，提高自身素养，掌握前卫的教学理念，拥有高超的管理艺术和不断探索和追求的精神。他的创建学习型组织理论见解独到，立意高远。特别是听了他“转变管理者的角色与行为，是学习型组织建设的根本保障”让
我觉得自己与一个名校长的差距实在是太大了。但愿，常能有这样的学习机会，现在的校长太需要这方面的知识熏陶了。
学习了职院院长助理龙步清教授的《中小学教学科研与管理》。他从多个角度引领人们对有效课堂进行科学理解。对有效课堂的特征，见解深刻。他讲到有效课堂对教师的要求时，旁征博引细致深刻，发人深省。让人明确领会到“教育是心灵的对话，是思想的启迪，是灵魂的涤荡，是人性的沐浴，是人格的唤醒，是希望的激发„„”
经过这次培训，我深刻地感到：要把学校的工作抓好，把学生教育好，提高教育教学质量，首先是校长要提高自身综合素质：校长要有前卫的教育教学理念，校长要有高超灵活的管理手段，校长要有高尚的灵魂„„校长要有不断学习进取的习惯，有渊博的知识，独到的制校方略。校长应该是一所学校的灵魂，是学校思维和发展的引领者。其次要把教师队伍建设好、培养好，要通过多种形式，关心、支持我们的老师，开展校本等各种培训，树立教师正确的人生观、价值观，真正让我们教师充满热情的干工作。
三、自己今后努力的方向
1、认真学习：社会的发展寄托于教育，教育的发展关键看学校，学校看校长。校长要善于学习，有独特的办学理念，学校才有生机和活力。要当好一名校长，首先必须勤于学习，学习是进步的先导，不学习是落后的象征。作为一名合格的校长要认真学习党的大政方针和相关的教育法规，做刻苦学习的典范，才能做到工作有思路、有创新。
2、为学校服务：一名好的校长首先必须要有良好的服务意识，当好师生的公仆，站起来能当伞，俯下去能做牛，耐得住清贫，忍得住寂寞，镇守住自己
的学校，正确处理好班子间的工作、生活关系。当好主管而不主观，处事果断而不武断，充分听取大家的意见和建议，做到互相支持不拆台，做到思想同心，事业同干，做到层层分工，层层把关，层层负责。从各方面关心好每一位同志，建立好友谊。
3、抓好教育质量：校长工作的核心是务必狠抓教育质量，质量是学校的生命线，是学校的立足之本，是师生的荣誉。一所学校质量的高低，是否有竞争力，关键看这所学校校长的管理能力。要全面提高教育教学质量，就必须提高校长的管理水平。
4、树立意识，创新改革：校长要不断更新教育观念，树立现代课程观、人才观、价值观，树立现代教学观、学生观。以科研为先导，把理论与实践结合起来，倡导教师改革创新出效益，教师必须不断认真学习、领会。
学习后，不仅提高自己的政治思想觉悟，还丰富了自己的知识阅历，提升自己的教育教学管理水平。我将把学习到的理论知识继续深化、理解，学以致用，根据本校的实际，灵活、有机的运用到实际工作中，为确立我校的规范化管理，在今后的工作中，我将把这次学到的理论与我校实际有机地结合起来，做到学以致用，把以人为本的教育思想贯穿于整个学校教育教学活动的始终，不断深化学校内部改革，健全各种规章制度，做到人性化管理、精细化管理，努力办人民满意的学校。
第五篇：感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们
感受小学数学思想的力量
———写给小学数学教师们
作者:张景中小学生学的数学很初等,很简单。尽管简单,里面却蕴含了一些深刻的数学思想。 函数思想最重要
最重要的,首推函数的思想。比如说加法,2和3加起来等于5,这个答案“5”是唯一确定的,写成数学式子就是2+3=5;如果把左端的3变成4,右端的5就变成6,把左端的2变成7,右端的5就变成10。右端的数被左端的数所唯一确定。在数学里,数量之间的确定性关系叫做函数关系。加法实际上是一个函数,由两个数确定一个数,是个二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了,右端的和就被另一个数确定,就成了一元函数。
在中学里学习函数概念,只讲一元函数,以为多元函数复杂,不肯讲。其实,小学生先熟悉的是多元函数,因为学过的大量的数量关系是多元函数的例子。矩形面积等于长乘宽,是二元函数;梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2,是三元函数。所以多元函数的概念更容易理解。讲函数概念,不妨一开始就讲多元函数;具体研究,再从一元函数开始,这样比只讲一元函数更容易理解。
当然,不用给小学生讲函数概念。但老师有了函数思想,在教学过程中注意渗透变量和函数的思想,潜移默化,对学生数学素质的发展就有好处。
比如学乘法,九九表总是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八,如果背了上句忘了下句,可以想想21+7=28,就想起来了。这样用理解帮助记忆,用加法帮助乘法,实质上包含了变量和函数的思想:3变成4,对应的21就变成了28。这里不是把3和4看成孤立的两个数,而是看成一个变量先后取到的两个值。想法虽然简单,小学生往往想不到,要靠老师指点。挖掘九九表里的规律,把枯燥的死记硬背变成有趣的思考,不仅是教给学生学习方法,也是在渗透变量和函数的数学思想。
做除法要试商。80除以13,商是多少?试商5余15,不够;试商6余2,可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。试商的过程,就是调整函数的自变量,使函数值满足一定条件的过程。
小学数学里有很多应用题,解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下,用一个思想来解各种各样的题目呢?试商的思想,其实有普遍意义,可以用来求解许多不同类型的问题,包括应用问题,只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。
例如,修一条长32千米的公路,已经修了24千米,已修的路程是剩下的几倍?我们用类似试商的办法来试解。如果是1倍,剩下的是24千米,总长48千米,比题设数据大了;如果是
2倍呢,剩下的是12千米,总长36千米,仍比题设数据大;3倍呢,剩下8千米,总长32千米,正好符合要求。
我想很多老师不会这样引导学生思考,认为这是个笨办法。其实,这个办法具有一般性,把试解的倍数看成自变量,把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数,找寻使函数值符合题目要求的自变量,这个思路能解决很多问题,是“大智若愚”。
这样思考试算,最终也会发现具体的规律, 列出通常的算式。找寻使函数值符合一定要求的自变量,也就是解方程。方程本质上是函数的逆运算。加法看成函数,减法是解对应的方程;乘法看成函数,除法就是解对应的方程。函数思想和方程的方法,是一个事物的两面,都是大智慧,贯穿数学的所有领域。
“数形结合”在小学是可能的
数学要研究的东西,基本上是数量关系和空间形式。当然,发展到今天,还要研究类似于数量关系的关系以及类似于空间形式的形式,甚至于一般关系的形式和一般形式的关系,等等。现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个模块。如何让这几块内容相互渗透、相互联系,是值得研究的问题。
提到数形结合,往往觉得是解析几何的事情。其实,数和形的联系,几乎处处都有。
在数学当中,几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念,最初都是从几何中来的。所以有人说,几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形,而且还需要推理,推理就要使用语言,所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候,往往是学数的时候就讲数,到了学几何的时候就讲几何,缺少把两者联系起来的意识。
例如,有一套教材开始就让学生玩积木,也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活,比数更贴近生活,是更基本的东西,这是教材的优点。但是,如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的,还让他们数一数某块积木有几个尖(顶点)、几个棱、几个面,就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。
在认识数的时候,要举很多的例子,如一个苹果、一只小白兔等。我就想,在举例的时候能不能照顾到几何?比如学生在学习“1”的时候,就要学生用“1”来造句,书上可不可以有一些关于几何的句子?如“1个圆有1个圆心”、“1条线段有1个中点”、“1个正方形有1个中心”等。有的老师会说,这样不行,学生不能理解。我想,可以画图帮助学生理解,学生虽然不知道这些概念准确的含义,但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解,而是通过模仿开始的,如果在学数的时候,能举一些几何上的例子,这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样,在学习“2”的时候,我们可以教学生说:“一条线段有两个端点。”不需要让学生知道什么是线段,只要画一条线段,指出两头是端点。到后来学几何知识时,回头一想,他会非常亲切,因为他早已经会说了。在学“3”的时候,可以画一个三角形,让
学生说“三角形有3条边、3个顶点”;学“4”的时候,可以画一个正方形,让学生说“正方形有4条边、4个顶点”;学“5”的时候,可以画个五角星;认识“10”的时候,除了10个指头,不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段(图1); 学到100以内的数,就可以告诉学生正方形的角是90度,等等。小孩子记忆力好,早点记一些东西,以后再慢慢理解。
在中国古代的私塾里,学生入学后往往先让他们背几个月,甚至一年,然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式,但是也并非没有可取之处。学生已经会背了,再讲的时候,他印象就非常深刻了。我们讲建构主义,先要有信息进去能建构,一个人闭目塞听,不和外界接触,是很难建构出东西来的。
总之,几何语言的早期渗透可不可能,值得研究。
形与数的结合,还提供了更多的数学之美的欣赏机会。关于数学的美,美国数学教育家克莱因有过这样的描述:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活,但数学却能提供以上一切。”怎样才能让学生逐步体会到数学的美呢?在小学阶段,可以先从几何图形上感知数学之美。现代信息技术提供了前所未有的可能。举个例子,这里有一些美丽的图案(图2)你能想到,这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?
你能想到,这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?
这条曲线其实很简单,如图3,用“超级画板” 软件画一个圆,圆上取3点A、B、C,在弦AB上取点G,再在线段CG上取点H,利用软件的轨迹作图功能,作出3点A、B、C在圆周上运动时点H的轨迹,并把3点运动速度的比值分别设置为k、m、n的整数部分,做出这3个参数的变量尺。只要调整3个参数和点G、H的位置,就能创造出成百上千种不同的图案。这样几分钟就能做出来的课件,让孩子们玩上几个星期都不会失去兴趣。在潜移默化之中,数学之美会渗入幼小的心灵。
一位教师让她9岁半的孩子玩这类超级画板课件,孩子很快被超级画板所吸引。玩到第3天,就不想上网打游戏了。不到一个星期,就对超级画板上了瘾,很快学会了从屏幕上截取图片,把自己的作品保存起来。图4就是这个三年级学生的作品。他还根据自己的想象力给每个图案起了名字。
数形结合的思想,不仅是上面这些简单的例子,下面还会谈到。
寓理于算的思想容易被忽视
小学里主要学计算,不讲推理。但是,计算和推理是相通的。
中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法,不像古希腊讲究推理论证。但是,计算要有方法,这方法里就体现了推理,即寓理于算的思想。
数学活动中的画图和推理,归根结底都是计算。推理是抽象的计算,计算是具体的推理,图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子,让学生慢慢体会到所谓推理,本来是计算;到了熟能生巧的程度,计算过程可以省略了,还可以得到同样的结果,就成了推理了。有的人认为几何推理很难,学几何一定要先学实验几何。其实,实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理,后期学会推理时也需要实验。所谓实验,无非是观察和计算。“对顶角相等”这样简单的几何命题,实际上就是通过一个算式证出来的,这里的推理证明就是计算。
要把计算提升为推理,就要用一般的文字代替特殊的数字,再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到“长方形的面积=长×宽”的时候,不妨告诉学生,这个公式可以用字母表示成M=C×K。这里用了面积、长、宽的汉语拼音,学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。为什么说这样能把计算提升为推理呢?看一个简单的例子。设一个三角形a边上的高为h,而b边上的高为g,根据三角形面积公式,就知道a×h=b×g;如果a=b,则h=g。这就推出了一条规律:如果三角形的两条边相等,则此两边上的高也相等。也就是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。
我曾经在一张小学数学试卷上看到这样一道题:“正方形的面积是5平方分米,求这个正方形的内切圆的面积。”表面上看,这个问题小学生解决不了,因为要求圆的面积,一般要知道圆的半径,这题中就需要先知道正方形的边长,而正方形的面积是5平方分米,边长就是!5分米,小学生没有学过开方,似乎没有办法进行计算。而实际上,正方形的面积是它边长的平方,圆的面积用到的是半径的平方,并不一定要知道半径,知道半径的平方就行了,而此题中半径的平方是直径平方(即正方形面积)的四分之一,所以是能够解决的。但有很多学生解决不了,而告诉他们答案后,学生往往觉得非常简单。这是为什么呢?这就说明学生不能把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系,从计算发展到推理,是很重要的。这里有很值得研究的问题。
小学生学的是很初等的数学,但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过,“数学的目的,就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”,“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去,就必须不断努力把它们简化和统一”,“过去曾经使成年人困惑的问题,在以后的年代,连孩子们都容易理解”。这几句话,我觉得非常亲切,因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点,把难的变成容易的,把高等的变成初等的。我想,高等的与初等的数学之间,没有必然的鸿沟,主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的思想和寓理于算的思想结合起来,往往能够化难为易,化繁为简。
人们以前认为三角函数是非常难学的,是高等数学的内容。它既不是加减乘除,又不是开方,它是超越函数。在数学史上,函数这个词是和三角紧密联系在一起的。一次函数、二次函
数都是算术运算的结果,就算没有函数的概念,学生也是比较容易理解的。三角函数则不然,一定要有“对应”的概念,函数的概念才说得清楚。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974年,我在新疆教过中学,那时发现学生学习三角比较困难,就开始研究如何把三角变容易。在我写的一本书里(《平面三角解题新思路》,1997,中国少年儿童出版社)讲了这方面的具体想法。最近发现,三角不但可以变得很初等、很容易,而且可以成为初中数学的一条主线,把几何和代数联系在一起。我把这种思想写成一篇文章(《下放三角全局皆活》,《数学通报》,2007年1-2期)。张奠宙先生说,按我的这种思路,三角里的正弦函数,可以在小学里引进。如何引进呢?他把我提出的正弦函数的新的定义方法,作了生动、通俗而精彩的表述。下面这段文字引自他的文章:
矩形用单位正方形去度量,结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求?自然是用单位菱形,同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积,再乘上单位菱形面积的因子”,原理完全相同。一个明显的事实是:单位正方形压扁了,成为单位菱形,两者的区别在于角A。A是直角,面积为1,A不是直角,面积就要打折扣。这个折扣是一个小数,和A有关,记作sinA(图5)。
张奠宙先生还说:“如果能从小学就学sinA,当然是一次解放。”
我们看到,数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质,就能把难的变成容易的,把高等的变成初等的。就能把“过去曾经使成年人困惑的问题”,变得“孩子们都容易理解”。
不考虑矩形面积公式,不用单位菱形,也能在小学里讲正弦。怎么讲?先问,一个等腰直角三角形,如果腰长为1,面积是多少呢?学生容易回答,是0.5。进一步探索,如果这个等腰三角形的顶角不是90度,比如是60度,它的面积是多少呢?学生从图上会看到,90度变成60度,面积会变小,要打个折扣。多大的折扣呢?这可以从纸上测量出来一个近似值。老师进一步告诉大家,这个折扣的更精确的数值,可以在计算器或计算机上查出来,它叫做sin(60?/SPAN>),约等于0.8667,这就引进了正弦函数。知道了正弦函数,就能解决许多实际的几何问题。如果问,这个0.8667怎么得来的,就引出进一步的数学方法。这样不仅教给学生知识,更重要的是教他如何提问题、如何思考、如何获取新的知识。
这里,既有数形结合,又有寓理于算,还贯穿着变量和函数的思想。有些老师不是说缺少好的探索问题吗?这就是非常有意义的探索问题,它给学生留下很大的思考空间,会使学生长远获益。
陈省身先生说过,数学可以分为好的数学与不好的数学。好的数学指的是能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学;不好的数学是一些比较孤立的内容。他举例说,方程就是好的数学。
函数的思想、形数结合的思想、寓理于算的思想,都属于好的数学。这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发,是通过具体问题来体现这些思想。比如引进了sinA,用这个概念解决几个看来很困难的问题(参看前引文章和书),学生会惊奇,为何能如此简捷地解决问题?学下去,过三年五年,他就体会到,是数学思想的力量。