三角形内心外心重心

第一篇：三角形内心外心重心

三角形五心：重心 垂心 内心 外心 旁心

三角形只有五种心

一、重心: 三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;重心分中线比为1：2;

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明一

三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

过E作EH平行BF。

AE=BE推出AH=HF=1/2AF

AF=CF

推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明二

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA

1、BOB

1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知Oh1=1/3Ah 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC);同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形)

证明方法：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x，y) 则该点到三顶点距离平方和为：

(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2

=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2

=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时

上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，

即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);

空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(z1+z2+z3)/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)

二、垂心: 三角形三条高的交点; 设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2.

1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外.

2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;

3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。

7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+

三角形的垂心与外心的位置关系

AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

12、

西姆松(Simson)定理(西姆松线)

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

13、 设锐角⊿ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

三、内心: 三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 到三边距离相等 。

设△ABC的内切圆为☉I(r)，I为圆心，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2.

1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.

2、∠BIC=90°+A/2.

3、如图 在RT△ABC中，∠A=90°△内切圆切BC于D则S△ABC=BD*CD

4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).

5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：

(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)).

6、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr.

7、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：

a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0.

8、 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=(b+c-a)/2，BP =BQ =(a

+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

10、(内角平分线定理)

△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R， 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

四、外心:

三中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称;到三顶点距离相等

设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，G是圆心，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2.

性质1：(1)锐角三角形的外心在三角形内;

(2)直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合;

(3)钝角三角形的外心在三角形外. 性质2：∠BGC=2∠A，(或∠BGC=2(180°-∠A).

性质3：∠GAC+∠B=90°

证明：如图所示延长AG与圆交与P

∵A、C、B、P四点共圆

∴∠P=∠B

∵∠P+∠GAC=90°

∴∠GAC+∠B=90°

性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

(1)向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).

或(2)向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.

性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。

性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件 (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.

五、旁心:(不用看，以后了解了解就好，现在一定不会考)

一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.

当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心. 。

第二篇：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

(1)重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1;

(2)垂心——高线的交点：高线与对应边垂直;

(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;

(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

(1)O是ABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03 O是ABC(yy)(yy)(yy)0yyy23123y13

的重心.

证法2：如图 OAOBOC

OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD为2：

1O是ABC的重心 (2)O为ABC的垂心.()0 BDC证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

 同理， O为ABC的垂心

(3)设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内

aOAbOBcOC0O为ABC的内心.证明：BD

C心 AC方向上的单位向量， 分别为AB、cbABAC平分BAC, cb

AO(bc)，令 cbabc

ABACbc() cbabc化简得(abc)OAbABcAC0

(4)O为ABC的外心。

1 aOAbOBcOC

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的中点. 2 2



BD

C

AP2AD

//

点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例2：(03全国理4)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的(B)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

分析：方向上的单位向量，

分别为平分BAC, 点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满

足，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足

. 





C

=

=0

点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：

1.已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足，若实数满足：ABACAP，则的值为()

A.2B.

32C.3D.6

2.若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，则OAOB()

A.

12B.0C.1D.1

3.点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是(

A.0B.3

2C.

544D.3

4.ABC的外接圆的圆心为O，若，则H是ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若22

2CA2OC2AB2，则O是ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

6.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，m()，

则实数m =

7.(06陕西)已知非零向量AB→与AC→满足(AB→

|AB→|+AC→

|AC→| )·BC→=0且AB→

|AB→|·AC→

|AC→|=12 , 则△ABC为()

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

8.已知ABC三个顶点A、B、C，若AB2ABACABCBBCCA，则ABC为()

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.既非等腰又非直角三角形

练习答案：C、D、C、D、D、

1、D、C

3)

第三篇：内心、外心、重心、垂心定义及性质总结

1.内心：

(1)三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

(2)性质：到三边距离相等。

2外心：

(1)三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

(2)性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：

(1)三条中线的交点。

(2)性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重 心 :三条中线定相交，交点位置真奇巧，

交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段之比听分晓;

长短之比二比一，灵活运用掌握好.

6 垂 心 :三角形上作三高，三高必于垂心交.

高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角形有十二，构成六对相似形，

四点共圆图中有，细心分析可找清.

7内 心 :三角对应三顶点，角角都有平分线，

三线相交定共点，叫做“内心”有根源;

点至三边均等距，可作三角形内切圆，

此圆圆心称“内心”如此定义理当然.

8外 心 :三角形有六元素，三个内角有三边.

作三边的中垂线，三线相交共一点.

此点定义为“外心”，用它可作外接圆.

“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键.

第四篇：三角形重心

重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。

证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为

((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(z1+z2+z3)/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

指三角形三条边的垂直平分线的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。指三角形外接圆的圆心，一般叫三角形的外心。

三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量：

d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2;c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

第五篇：三角形的重心定理及其证明

积石中学王有华

同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理?下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好.已知：(如图)设ABC中，L、M、N分

别是BC、CA、AB的中点.求证：AL、BM、CN相交于一点G，且

AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1. BC证明1(平面几何法)：(如图1)假设中

线AL与BM交于G，而且假设C与G的连线与AB边交于N，首先来证明N是AB的中点.现在，延长GL，并在延长线上取点D，使GL=LD 。因为四边形BDCG的对角线互相平分，所以BDCG是平行四边形.从而，BG∥DC，即GM∥DC.但M是AC的中点，因此，G是AD的中点.

另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但G是AD的中点，因此N是AB的中点.

另外，G是AD的中点，因此AG﹕GL=2﹕1.同理可证：BG﹕GM=2﹕1，CG﹕GN=2﹕1.

这个点G被叫做ABC的重心.

证明2(向量法)：(如图2)在ABC中，设AB边上的中

1线为CN，AC边上的中线为BM，其交点为G，边BC的中点为L，连接AG和GL，因为B、G、M三点共线，且M是AC的中点，



所以向量BG∥BM，所以，存在实数

1C

BG1BM，即 AGAB1(AMAB)



所以，AG1AM(11)AB

，使得



=1AC(11)AB

同理，因为C、G、N三点共线，且N是AB的中点. 所



以存在实数2，使得 AG2AN(12)AC

1= 2AB(12)AC

21所以1AC(11)AB = 2AB(12)AC 22



又因为AB、 AC 不共线，所以 

121

2112



21

1

因为L是BC的中点，所以GLGAACCL

211111

=(ABAC)ACCB =ABAC(ABAC)

332332

11

所以 12 ，所以 AGABAC .33

311

=ABAC，即AG2GL66

，所以A、G、L三点共线.

故AL、BM、CN相交于一点G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕

1证明3(向量法)(如图3)在ABC中，BC的中点L

1

对应于OL(OBOC)，

中线AL上的任意一点G，有



OGOA(1)OL

11OA2OB

2OC.同理，AB

的中线

CN上的任意点

G′，OGOC112A

O2

OB，

求中线AL和CN的交点，就是要找一个和一个，使

OGOG.因此，我们令

1

1112

，



，



.解之

得1

3.所以OGOG111

3OA3OB

3OC.由对称性可知，

第三条中线也经过点G . 故AL、CN、BM相交于一点G，且易证AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.