《导数及其应用》在新老教材中都很是重要的知识点, 在新课改下, 近几年高考解答题中出现导数应用的题比比皆是, 就以去年的解答题来说, 比如2011年高考数学课标卷理科第21题、2011年高考数学北京卷理科第18题、2011年高考数学天津卷理科第19题、2011年高考数学辽宁卷理科21题、2011年高考数学陕西卷理科19、21题等等。利用函数导数来解决的问题, 或在与其它知识点交叉来解决的问题有着广泛的应用, 比如有函数单调性、极值最值、不等式、数列以及切线方程问题等等。以2011年高考数学陕西卷理科的数列题为例, 通过指数函数的导数产生切线, 由切线得到点列Qk (xk, yk) 的横坐标产生等差数列{xk}、纵坐标产生等比数列{yk}, 并且第 (Ⅱ) 问既是等比数列的前n项的和, 也是小矩形的面积的和f (xk) (xk-1-xk) , 它正是定积分近似值。
教材是课程的载体, 教材是课程标准所规定的教学目标、课程内容的具体落实。我们重庆地区对教材的选择有多种版本, 我校是使用人教版的《普通高中课程标准实验教科书数学 (A) 》。
《导数及其应用》在新教材里是以选修的形式出现, 是选修课程系列2选修2-2的第一章, 本章新增加了定积分和微积分的内容, 刚刚结束了这部分的教学, 感到这一章编写得很精彩, 特别在应用上的选题很是考究, 导数和定积分有着丰富的实际背景和广泛的应用, 与物理学有机的结合更是恰当好处, 微积分的思想来源于实践, 反过来又服务于实践, 教科书选取了与生活实际密切相关的, 现实生活中比较常见的素材, 例如, 气球膨胀、高台跳水运动、净化水费用、国内GDP增长率、工厂“三废” (废物、废水、废气) 排污率、城市绿化地面积的增长率、人口增长速度、汽油的使用效率、饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响等等, 这些素材不仅引发学生学习微积分的兴趣, 而且很自然地展现概念的发生、发展过程, 反映微积分的应用。
下面就其实例和应用谈谈本人对这章的认识。
一、利用丰富的背景与大量实例, 学习导数和定积分的基本概念与思想方法
为了突出导数概念的实际背景, 教科书选择了气球膨胀率问题和高台跳水的速度问题, 引导学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程, 从而理解导数概念的本质------导数就是瞬时变化率。吹气球是很多人具有的生活经验, 运动速度是学生非常熟悉的物理知识, 从简单的背景出发, 既可以利用学生原有的知识经验, 又可以减少因为背景的复杂而可能引起的数学知识学习的干扰。
在引导学生认识定积分概念的过程中, 教科书利用求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个典型问题, 着重揭示出“以直代曲”、“以不变代变”和“逼近”的重要思想方法, 给出求解这类问题的一半步骤, 进而引进定积分的定义和几何意义。
二、运用导数解决生活中一些优化问题
在1.4生活中的优化问题举例中, 呈现了题目展示一新, 时代气息强、与生活更加贴近的典型例题, 比如例题1海报版面尺寸设计问题, 首先给出一些背景性的问题, 让学生了解背景, 逐步引入到数学问题中;例题2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响问题, 是一个实际生活中经常遇到的经济问题;例题3磁盘的最大存储量问题, 当前已进入信息化时代, 计算机存储与检索是计算机的基本功能, 学生应了解计算机的存储与检索信息的功能, 同时应了解磁盘的结构以及一个圆环状的磁盘如何存储更多的信息。例题是先对背景知识进行详细地说明, 然后提出数学问题, 再来解决数学问题。让学生体会数学建模的过程, 培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力, 培养了学生的应用数学的意识。
三、体会定积分和微积分具有广泛的应用, 学习定积分的几何意义以及数形结合的思想方法
在1.7定积分的简单应用中, 设置了在几何中、物理中的应用, 解决比较复杂的平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题, 使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。例题1、2是求两条曲线及x轴围成的平面图形的面积, 引导学生解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题, 利用定积分的几何意义, 借助图形直观, 把平面图形进行适当的分割, 从而把平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题;例题3、4分别是物理中求变速直线运动的路程和变力做功的问题, 转化为求定积分问题来求解。
《普通高中数学课程标准》指出, 高中数学课程应提供基本内容的实际背景, 反映数学的应用价值, 应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系, 促进学生逐步形成和发展数学应用意识, 提高实践能力。《导数及其应用》这一章的编写是最能体现这一点。
微积分的创立是数学发展中的里程牌, 它的发展及广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期, 它为研究量与函数提高了重要的方法和手段, 导数的概念是微积分的核心概念之一, 它有及其丰富的实际背景和广泛的应用, 应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用, 感受导数在解决数学问题中的作用, 体会微积分的产生对人类文化发展的价值。自然科学和生产实践中的许多问题都可以归结为定积分的问题, 微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等多种科学领域中都有非常广泛而重要的应用。在高中阶段感受定积分和微积分的简单应用, 体会其中蕴涵的思想方法, 感受它们在解决实际问题的的作用, 了解微积分文化价值是很有必要的。
参考文献
[1] 《普通高中数学课程标准》 (实验) .
[2] 《数学 (A版) 教师培训手册》.
[3] 罗增儒, 2011年高考数学陕西卷“八个话题”之我所见.中学数学教学参考 (上旬) , 2011, 9.