超圆具有矩形与圆形都不能比拟的优点。它矩而无棱,圆却似方,将矩形与圆形浑然成一体,形成别具风格的曲线形状。故此,超圆,尤其是超椭圆曲线形状越来越受到人们的喜爱。本文就超椭圆在陶瓷器型设计方面的应用问题作一点探讨,以期在数学曲线应用于陶瓷器型设计方面起一抛砖引玉的作用。
1 超椭圆的数学方程与图形的特点
依丹麦著名诗人,发明家与科学家皮特.海因博士的定义,方程:
当2
实质上,当n=2时,方程(1)代表的图形就是我们所熟悉的椭圆。
再看,当n=2k(这里k为自然数),k→∝时,方程(1)表示的图形。
将方程(1)变形为
此时,方程(1)表示的图形为由y=±b,和x=±ɑ的四条直线构成的矩形。
当n从零向正无穷大变化时,方程 所表示的图形中一些有特殊代表性的图形,自内向外依次为正交的两直线、星线、棱形、亚椭圆、椭圆、超椭圆和矩形,它们分别取为n=0、2/3、1、3/2、2、5/2的图形。
2超椭圆器型的电子计算机设计法
当超椭圆方程的参数ɑ、b给定后,为了得到具有美感的图形,就得绘出不同n值时的超椭圆满形状进行对比。很明显,这是一件不十分容易的事情。为了便于n值的选择,我们可编一段程序,由计算机运算后打印出所给n值的超椭圆图形。 (程序略)。
由于打印机的限制,打印出的图形不十分完美(当长半轴超过63时,须按一定比例缩小,否则不能打印出完整的图形),但作为图形对比选择n值还是十分有益的。如果要获得制模图形,可用计算描点法或电子计算机绘图仪描绘出完美的图形。
3超椭圆在陶瓷器型设计中的应用
由于按超椭圆方程设计出的器型可以做到近似矩形,故而超椭圆器型可大大提高平面的利用率。在军事、航空等对空间有较严格控制的地方,超椭圆器型是尤受欢迎的。在包装方面,很明显,超椭圆器型也更易做到高的密集度和实现机械化包装。
目前接近于超椭形状的陶瓷器型还是有的。但据笔者了解和分析,接近超椭圆的所谓方鱼盘(如德化协发光洋厂生产的此类品种)是由数段圆弧拼凑而成的,无论在器型设计和外观上都明显存在不足之处。设计时在圆弧交接处要做到曲率的平滑变化并不是一件容易的事,外观上往往会给人一种生硬的感觉。采用超椭圆方程则可十分灵活的设计出从椭圆到完全有棱有角的器型来。而且器型上各处的曲率都是平滑变化的(当n→∝时例外)。
当一种产品的长和宽确定后(即2ɑ、2b确定后),超椭圆方程(1)中可选择的量就是n。n值的大小决定了器型“矩”的程度,陶瓷器型设计人员可以从不同n值超椭圆图形中挑选出最佳的作为自己的设计图样。
以上均以超椭圆为例进行了分析与讨论。用同样的分析方法也可得出超圆与超椭圆相似的[当方程(1)中ɑ=b时]。
在陶瓷器型设计中涉及到的往往不只是平面图形。空间图形同样可用超椭球理论进行分析与设计(超椭球方程为 2
4超椭圆器型的成型
最一般的成型方法是采用注浆成型。但这种成型方式的生产率比较低。
在滚压成型方面,严格说来,若能给出器皿的曲线方程,除特殊情况外,一般可以采用滚压成型来提高生产率。超椭圆器型由于给出了曲线方程, 故有可能采用滚压成型的方法来进行成型。方程(1)写成极坐标方程为
当主轴按φ=φ(t)旋转,滚压头对主轴中心依p=p(φ)运动时可得到所需的成型轨迹。当然这里还牵涉到器型的最小曲率半径, 曲率半径的变化率对产品质量和对成型设备设计中的一些问题均有很大的影响。
纯数学曲线中还有卡西尼卵形线等许许多多美丽的图案。将数学曲线应用于陶瓷器型设计中去是一个新的课题, 我希望陶瓷工艺美术的百花园中能开出一枝美丽的数学曲线之花。