我们所讨论的黎卡提方程的一般形式为:
其中P (x) , Q (x) , R (x) 在区间I上连续。
法国数学家刘维尔 (Liouville) 在1841年就已经证明了此方程一般没有初等解法。本文给出了黎卡提方程在特殊情况下有初等解法的几个充分条件, 同时归纳、总结了有关黎卡提方程的一些重要性质, 这些性质有助于求解某些特殊形式的黎卡提方程[1～2]。
1 黎卡提方程可积的几个充分条件
黎卡提方程一般无初等解法, 但由于其在许多领域出现, 并要求其解, 因此寻找黎卡提方程的可积条件, 一直被人们所重视。如果有办法找到方程的一个特解, 再经过相关变换, 黎卡提方程就可化为可积的方程[3～5]。
定理1:如果已知黎卡提方程的一个特解, 则方程有初等解法。
定理1是先求得方程的一个特解, 再经过适当变换, 求出其通解, 而特解主要是通过观察得出, 但有时不容易直接看出其特解。本文讨论方程 (1) 对特殊的P (x) , Q (x) , R (x) 得出三种类型的黎卡提方程特解的求法。
推论1:当P (x) 为常数, Q (x) =0
(1) 如果∂R (x) -∂P (x) =k, 作初等变换y=txk-1 (k是正整数, t是非零常数, 下同) 。
(2) 如果∂R (x) -∂P (x) =-k, 作初等变换y=tx-k+1。
当P (x) 为常数, Q (x) ≠0。
(3) 如果∂Q (x) -∂P (x) =k, 作初等变换y=txk或y=t (x+l) k, (l是实数) 。
(4) 如果∂Q (x) -∂P (x) =-k, 作初等变换y=tx-k或y=t (x+l) -k。
推论2: (1) 如果P (x) , Q (x) , R (x) 都是整式函数, 且满足∂Q (x) -∂P (x) =k, 作初等变换y=txk。
(2) 如果P (x) 是整式函数, Q (x) 是分式函数, 可作初等变换
推论3:如果P (x) , Q (x) 都是分式函数, 作初等变换y=tx。
此种方法是对特殊的黎卡提方程作初等变换, 即引入带参数的函数, 代入原方程, 得出含的一元方程, 取各系数为0时的公共解, 既可求出相应的参数值, 从而求得此类方程的特解。观察黎卡提方程的形式, 以及它系数的特点, 我们还可以得到一些黎卡提方程可积的充分条件。例如当P (x) ≡0时, 可得到线性方程, 固然可积;当R (x) ≡0时, 可得到伯努利方程, 也可积。这两种情况是系数非常特殊时, 方程直接转化为可积的形式。
下面给出两个定理是使其系数满足一定条件, 再经过变换, 转化为可积的形式。
定理2:若P (x) ≡1, 且R (x) +Q′ (x) =0, 则黎卡提方程可转化为伯努利方程, 从而可解。
定理3:若Q (x) =P (x) w (x) , 且w′ (x) +R (x) =0, 则黎卡提方程可转化为伯努利方程, 从而可解。
2 黎卡提方程的几个重要性质
通过上述讨论, 我们知道黎卡提方程仅在极少数情况下, 才能用初等积分法求解。然而, 黎卡提方程还有很多重要性质, 这些性质对求解一些特殊的黎卡提方程是非常有用的。
性质1:若已知黎卡提方程的两个特解, 则其通解可由一次求积分得到。
性质2:若已知黎卡提方程的三个特解, 则不必求积分即可得其通解。
性质3:黎卡提方程的任意四个特解的交比为常数, 即若为黎卡提方程的四个特解, 则=常数。
由以上几个性质可知, 若能求出黎卡提方程充分多的特解, 则其通解只须一次求积分或无须求积分即可得到。
性质4:黎卡提方程的通解是任意常数C的分式线性函数。反之, 通解为任意常数C的分式线性函数y=其对应的微分方程为黎卡提方程。
性质5:在自变量的任意代换x=f (t) 或未知函数的任意分式线性变换:
下, 黎卡提方程关于新的自变量t或新的未知函数z仍为黎卡提方程。
证明:当c (x) =0, d (x) ≠0时, 由线性变换:
代入黎卡提方程, 可得:
化简得:
此方程为一个关于z的黎卡提方程。
当c (x) ≠0, d (x) ≠0时, 由分式线性变换:
代入黎卡提方程, 可得:
(其中L[y0]=-y0′+Py02+Qy0+R) 此方程仍为一个黎卡提方程。
这个性质主要用于化简黎卡提方程, 经过适当变换, 可将黎卡提方程化为最简形式。
性质6:利用性质5作代换y=α (x) [u (x) +β (x) ]总可使黎卡提方程化为最简形式:
证明:先作变换y=α (x) z, 可使黎卡提方程中的未知函数的二次项系数等于±1。
将y=α (x) z代入, 化简得:
取代入 (8) 式, 化简得:
再作代换z=u (x) +β (x) , 可以不改变未知函数的二次项系数从而使未知函数的一次项系数等于0。将z=u (x) +β (x) 代入 (9) 式得:
取代入 (10) 式, 化简得:
从而, 黎卡提方程化为了最简形式 (7) 。
事实上, 最简形式 (7) 也不一定可解, 而R (x) 为特殊函数, 并满足一定条件时才可解。
3 结语
黎卡提方程是微分方程中非常特殊的一类, 它的形式虽然很简单, 但在一般情况下却没有初等解法。本文主要讨论了黎卡提方程在某些特殊情况下可积的一些充分条件及相关的一些结论, 同时, 介绍了一些黎卡提方程的重要性质, 通过这些性质, 可以对某些特殊的黎卡提方程进行求解。
摘要：本文主要讨论了黎卡提方程在某些特殊情况下可积的几个充分条件;并利用这些条件得到了一些重要结论。同时归纳、总结了有关黎卡提方程的重要性质, 这些性质有助于求解某些特殊形式的黎卡提方程。
关键词：黎卡提方程,可积,充分条件,性质
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