最近刚好讲到选修内容中的圆锥曲线这一章, 发现学生对于椭圆和双曲线是分不清楚的。定义、标准方程、几何性质等等都混淆在一起, 对学习造成了极大的影响。所以在这里将椭圆与双曲线进行对比分析, 希望可以增强同学们对这两个易混知识点的理解。
接下来主要从以下三方面进行对比分析。
1 从定义上对比
从定义上可以看出, 等式左边都是|PF1|和|PF2|的关系, 右边都是2a。区别在于符号, 椭圆为“+”而双曲线为“-”。当然, 双曲线的定义中还多了一个绝对值, 这是因为双曲线有两支, 一支|PF1|-|PF2|=2a, 一支|PF1|-|PF2|=-2a。焦点在x轴上就是左右支, 焦点在y轴上即为上下支。
2 从标准方程上对比
椭圆的标准方程
可以看出, 方程形式非常类似。区别仅仅在于“+”和“-”。这也刚好和两种曲线定义中的+和-是相符合的。
3 从几何性质上对比
3.1 图像对比
对于椭圆, 学生都很熟悉, 比如鹅蛋。而双曲线有两支, 是向内“拱”的非封闭曲线。在课堂上有学生说双曲线就是椭圆从中切开再往外翻的结果。虽然说的不对, 但在图像的记忆上我觉得这种大胆设想未尝不可, 不失为一个记忆的好办法。
3.2 范围对比
对于两种曲线的范围, 在考题中出现的并不多, 似乎并不那么重要。但在数学学习上, 不单单只是单纯的做题, 思维的培养也是很重要的。学生可以自己通过图像来分析一下两种曲线的范围, 既锻炼了思维, 又进一步巩固了图像的记忆。
3.3 顶点及焦点坐标对比
顶点及焦点坐标可以通过图像来记忆, 椭圆显然有4个顶点。焦点在x轴上时, 坐标为 (±c, 0) 。此时顶点坐标分别为 (±a, 0) 和 (0, ±b) 。焦点在y轴上时, 坐标为 (0, ±c) 。此时顶点坐标分别为 (0, ±a) 和 (±b, 0) 。双曲线的交点坐标和椭圆一样, 而顶点从图上可以看出只有2个, 总是为 (±a, 0) 。
3.4 a, b, c关系的对比
椭圆和双曲线中, c都为焦半距, 意义也一样, 而a和b是不一样的。椭圆中a和b称为长半轴和短半轴, 因为a比b要长, 所以椭圆中a最大, 关系式为a2=b2+c2。而在双曲线中, a叫实半轴, b叫虚半轴, 可以记作a是实实在在看得到的, 而b是看不见。所以a和b没有大小关系, 最大的是c, 所以关系式为c2=b2+a2。
3.5 离心率第二定义及准线对比
椭圆和双曲线离心率第二定义及准线在对比上非常相似。都是表达式完全相同, 在范围或位置上有少许差别。
至于准线方程, 要分为两种形式: 可以记为准线跟着焦点走, 总是和焦点在同一条轴上。椭圆的准线在图像外侧, 双曲线的准线则在图像内侧。
3.6 离心率与图像变化趋势对比
通过这三方面的对比分析, 可以增强椭圆和双曲线在学生头脑中的可辨别性, 留下更深刻的印象, 也希望学生可以将这种对比分析的方法应用到以后的学习当中, 大大提高学习效率。