常见不等式的证明

第一篇：常见不等式的证明

证明不等式的常见方法4

三角代换法

例 已知xR，求证：-1≤x+1x2≤2

2解：∵xR 又 1x01x1 ∴可设x=sin(-22) 则有y=sin +∣cos ∣

∵-22 ∴cos≥0

) ∴y=sin ∵- + cos=2sin(+422 ∴-

3≤≤+≤ 444)≤2 4例

5、已知a2b21,x2y21.求证：axby1. ∴-1≤2sin(+分析 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。

x2y21,可设

asin,bcos.xsin,ycos 证： ab1,22axbysinsincoscoscos()1,

思考题

若x为任意实数，求证：—

1x1≤≤ 21x22提示：类比万能公式中的正弦公式。 构造函数f(x)= 即可。

证明：设 y=

x11，从而只需证明f(x)的值域为[—，]21x22x2 ， 则yx-x+y=0 1x2 ∵x为任意实数

22 ∴上式中Δ≥0，即(-1)-4y≥0 1 411得：—≤y≤

221x1 ∴—≤≤

21x22 ∴y≤2[说明]应用判别式说明不等式，应特别注意函数的定义域。还可采用平均值不等式求证。

第二篇：构造函数法证明不等式的常见方法公开课

选修2-2

导数及其应用

构造函数法证明不等式

一、教学目标：

1.知识与技能：利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性和最值来证明不等式. 2.过程与方法：引导学生钻研教材，归纳求导的四则运算法则的应用，通过类比，化归思想转换命题，抓住条件与结论的结构形式，合理构造函数. 3.情感与态度：通过这部分内容的学习，培养学生的分析能力(归纳与类比)与推理能力(证明)，培养学生战胜困难的决心和解题信心。

二、教学重难点：解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。难点：将命题的结论进行转化与化归，变成熟悉的题型。

三、教法学法：变式训练

四、教学过程：

(一)引入课题：

1.复习导数的运算法则：

2.问题探源：

(教材第32页B组题第1题)

利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证

(3)ex1x(x0)(4)lnxx1(x0)

3.问题探究：

1、直观感知(几何画板演示);(2)推理论证 4高考探究：

例

1、(2013年北京高考)设L为曲线C：ylnx在点(1，0)处的切线. x(I)求L的方程;

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.

(类似还有2011年课标全国卷第21题)

1 选修2-2

导数及其应用

变式练习1：

证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)11n111n 都成立

(类似还有2012年湖北高考题第22题)

变式练习2：

若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf/(x)f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：.af(a)>bf(b)

变式练习3：

若定义在(0,)上的两函数yf(x),yg(x)均可导，满足f/(x)g(x)f(x)g/(x)，且对任意x(0,+)，都有f(x)0,(g)x0

变式练习4：

证明当x0时，不等式(1x)

思考题5.(全国卷)已知函数g(x)xlnx 设0ab,证明 ：

五.小结： (1)知识点： (2)解题步骤： (3)数学思想方法

11x，设0ab，求证f(a)g(b)f(b)g(a)

e

g(a)g(b)abg()

222 选修2-2

导数及其应用

课后巩固训练：

1、已知函数f(x)12xlnx. 求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数2g(x)

23x的图象的下方;

32、证明：对任意的正整数n，不等式ln(

3. 证明当x0时,(1x)

课后提高训练：

11x1111)23 都成立. nnne1x2

1. 已知m、n都是正整数，且1mn,证明：(1m)n(1n)m

2.(2013年陕西高考最后一题) 已知函数f(x)ex,xR. f(b)f(a)ab设ab, 比较f的大小, 并说明理由. 与

ba23

第三篇：不等式的证明

复习课：不等式的证明

教学目标

1. 知识与技能

(1).理解绝对值的几何意义并能用其证明不等式和解绝对值不等式. (2).了解数学归纳法的使用原理.(3).会用数学归纳法证明一些简单问题. (4).了解证明不等式的常用方法.

2. 过程与方法

通过自主学习、课上讨论、提问、分析点评，让学生更加熟练解决有关不等式证明有关的问题. 3. 情感、态度和价值观

(1)培养学生分析、探究问题的能力，进一步培养学生学习数学的兴趣及综合运用基本知识解决问题的能力.(2)培养他们合作、交流、创新意识以及数形结合、抽象理解能力,使学生学会数学表达和交流，发展数学应用意识.

学法与教具

(1)学法：课下自主复习、课堂上合作探究.(2)教具：教学案、多媒体.一、【知识梳理】

不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容.1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述.

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野. 2.不等式证明还有一些常用的方法：、放缩法、反证法、函数单调性法、、数形结合法等.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法. 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.(1)反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾(得出结论); (2)放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意

放缩的适度。常用的方法是：

131

①添加或舍去一些项，如：a1a，n(n1)n，aa

242

2

22

②将分子或分母放大(或缩小)如：

1n

2



n(n1)n

ab)

,

2



1n(n1)

③真分数的性质：“若0ab，m0,，则

ambm(lg

④利用基本不等式，如：lg3lg5(

n(n1)

lg3lg

52

2

)(lg

2

)

2

(lg4)

2

lg4;

n(n1)

2

.⑤利用函数的单调性

⑥利用函数的有界性：如：sinA1,AR;2x0,xR . ⑦利用常用结论： Ⅰ、

1K1K

2K2K1k(k1)1k

K



2K

2K1k

K1K

12(K1K)(kN,k1)

*



K

2(KK1)(kN,k1)

*

Ⅱ、

1k



1k

1 ;

1k



1k(k1)

1k1



1k



1k1

(程度大)

Ⅲ、

1k





1

(k1)(k1)



2k1

(

) ; (程度小)

⑧绝对值不等式：ababab;

nn1n1

⑨应用二项式定理.如：2(11)1CnCn12(n1)(n4)

3构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.二、【范例导航】

例1.设不等式2x11的解集为M. (I)求集合M;(II)若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小.

解：(I)由2x11解得0x1.所以Mx0x1(II)由(I)可知aMbM，故0a1,0b1 所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0故ab1ab

例2.已知a、b、c∈R+，且abc1求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c).剖析：在条件“abc1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“abc”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题. 证

明

：

∵

a,b,cR且abc

1



∴要证原不等式成立，即证

(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c

也就是证

(ab)(ca)(ab)(cb)(ac)(bc)8(bc)(ca)(ab)1

∵(ab)(bc)2(ab)(bc)0，(ac)(bc)2(ac)(bc)0 (ab)(ac)2(ab)(ac)0，

三式相乘得①式成立.故原不等式得证. 例3.证明不等式1

1213

1n



2n(nN)

证：对任意nN，都有： 1k

2k12k13

2k

k11n

2(kk1),

2)2(n

n1)2n.

因此122(21)2(3

例4. 证明

：(1)(1)(1

112n1

)

2n12n1



75

2n12n1



2n1

3

2n1

2证明方法

一、1

(1

13)(1

1

512n

1

2n2n1

)

43

65

(2n1)(2n1)2n12n1



2n2n1





53

)(1

5476

2n176

证明方法

二、设B则AB又因为所以A

435465

2n2n

12n1



2n

2n12n

，

2n1

32n2n1

2n12n

2n1

4,A

2n1

2AB

2n13

例5. 已知：a,b,c都是小于1的正数;求证(1a)b,(1b)c,(1c)a中至少有一个不大于.证明：假设(1a)b

14

,(1b)c

14

,(1c)a

1232,

14

，则有

12,

(1c)a

12

∵a，b，c都是小于1的正数，(1a)b从而有(1a)b

(1b)c

(1c)a

(1b)c



1bc



1ca

32

但是(1a)b(1b)c(1c)a

1ab

故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确.

【说明】反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的.反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法.

三、【解法小结】

1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.

3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.

4.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法(特别是三角换元)、放缩法以及数学归纳法等，在放缩法中一定要注意放缩的尺度问题不能过大也不能过小.

四、【布置作业】

必做题：

1.不等式x3x1a3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()

A.,14,2.设an

sin1

2sin22

B.,25,C.1,2D.,12,

sinn2

n

, 则对任意正整数m,n(mn), 都成立的是 ()

mn2

A.anam

mn2

B.anam C.anam

12

n

D.anam

12

n

3.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设

1ba

()()1，那么() 222

A.aaabbaB. aabaabC。abaabaD. abbaaa

4.(2012,四川文)设a,b为正实数,现有下列命题:

① 若a2b21,则; ab1 ②若③若

1b1a

1,则ab1;

ab1,则ab1;

④若a3b31,则ab1.其中的真命题有___________(写出所有正确的题号) 必做题答案:

1. A解析:因为x3x1a3a对任意x恒成立，又因为x3x1最大值为4所以 a3a4解得a4或a

sinn12

n

12. C

anam



sinn22

n2



sinm21

m



sin(n1)2

n1



sin(n2)2

n2



sinm2

m



n1



12

n2



12

m



12

n1



12

n2



12

m

12

n1



12

12

m1



12

n



12

m



12

n

1

故应选C

16.答案C1

7、①④

选做题：(辽宁2011理21)已知函数f(x)lnxax2(2a)x. (I)讨论f(x)的单调性; (II)设a0，证明：当0x

1x

时，f(

1a

x)f(

1a

x);

(III)若函数yf(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0. 解：(I)f(x)的定义域为(0,), f(x)

1x

2ax(2a)

(2x1)(ax1)

x

)(i)若a0则f(x)0,所以f(x)在(0，单调增加.(ii)若a0则由f(x)0得x

1a

且当x(0,)时，f(x)0,当x

a

11a

时，f(x)0

,1单调增加，在(,)单调减少.所以f(x)在(0)a

a

(II)设函数g(x)f(

a1ax

1x

1a

x)f(

1a

x)则g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax

1a

g(x)

a1ax

2a

1a

2ax

1ax

1a

,当0x时，g(x)0,而g(0)0,所以g(x)0.

故当0x时，f(

x)f(

x)

(III)由(I)可得，当a0函数yf(x),的图像与x轴至多有一个交点，

11

,且f0不妨设aa

1ax

2故a0，从而f(x)的最大值为f

A(x1,0)B(x20),0x1x2,则0x1

2a

1a

1a

由(II)得f(

x1)f(



x1)f(x1)0从而x2

2a

x1,于是x0

x1x2



1a

由(I)知，f(x)0

五、【教后反思】

1.本节内容在整个高中阶段是属于比较困难的问题，本节教学案我们用了以后学生普遍感觉非常困难，题目数量不是太多，但是用的时间很长，另外还有很多的思想方法不是很清晰.

2.再利用放缩法证明不等式的时候很多学生对于方法的利用太死板,不灵活,对方法的掌握还有待于进一步加强.

第四篇：不等式的证明

比较法证明不等式

a2b2ab1.设ab0，求证：2. ab2ab

2.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

(1)已知x、y都是正实数，求证：x3y3x2yxy2;

(

2对满足xyz1的一切正实数 x,y,z恒成立，求实数a的取值范围

.,1综合法证明不等式(利用均值不等式) 3.已知abc, 求证：1 114. abbcac

4.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

1(Ⅰ)ab+bc+ac3;

a2b2c2

1ca(Ⅱ)b

5.(1)求不等式x32x1的解集;

121225(

a)(b)a,bR,ab1ab2. (2)已知，求证：

6.若a、b、c是不全相等的正数，求证：

分析法证明不等式

7.某同学在证明命题“7要证明732”时作了如下分析，请你补充完整. 62，只需证明________________,只需证明___________,

+292，展开得9即,只需证明1418,________________,所以原不等式:62成立.

22263, (72)(63)，因为1418成立。

abc8.已知a,b

,cR。 3

9.(本题满分10分)已知函数f(x)|x1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)f(x4)8;{x|x≤-5，或x≥3} (Ⅱ)若|a|1,|b|1，且a0，求证：f(ab)|a|f().

10.(本小题满分10分)当a,bMx|2x2时,证明:2|a+b|<|4+ab|. 反证法证明不等式

11.已知a，b，c均为实数，且a=x2y+2baπππ22，b=y2z+，c=z2x+， 236

求证：a，b，c中至少有一个大于0.

12.(12分)若x,yR,x0,y0,且xy2。求证：1x和1y中至少有一个小于2. yx

放缩法证明不等式

13.证明不等式：1111121231

123n2

214.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4SnannN,且

14n1,

a2,a5,a14构成等比数列.

(1) 证明：a2

(2) 求数列an的通项公式;an2n1

(3) 证明：对一切正整数n，有11a1a2a2a311. anan12

15.设数列an的前n项和为Sn.已知a11,2Sn12an1n2n,nN*. n33

(Ⅰ) 求a2的值;a24 (Ⅱ) 求数列an的通项公式;ann2 (Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有数学归纳法证明不等式

16.(本小题满分12分)若不等式11

n1n21a对一切正整数n都成立，求正3n12411a1a217. an4

整数a的最大值，并证明结论.25

17.用数学归纳法证明不等式：

.

第五篇：不等式的证明（推荐）

不等式的基本性质

1、不等式：(1)a222a,(2)a2b22(ab1),(3)a2b2ab恒成立的个数是()

(A)0(B)1(C)2(D)3[C]

2、下列命题正确的是()

c1c1 ba

ab(C)ab,cd(ab)2(dc)2(D)ab0,cd0 dc(A)abac2bc2(B)ab0,c1

[D]

3、下列命题中真命题有()

①ab0,dc0

③ab②ab,cdacbd cdabab④abanbn(nN,n1) 22cc

(A)①②③(B)①③(C)②③④(D)①③④[B]

4、若a,b,x,yR，则xyabxa是成立的() (xa)(yb)0yb

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件[C]

5、已知a0,1b0，那么下列不等式成立的是()

(A) aabab2(B) ab2aba

(C) abaab2(D) abab2a[D]

6、已知ab，则不等式：①a2b2;②;③1

a1b11中不能成aba

立的个数是()

(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个[D]

7、若xy0，试比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小。