第一篇：霍尔效应法测磁场实验
霍尔效应法测磁场
学时 3 授课时间 秋季学期 教案完成时间 07.11
实验目的：
1.了解产生 霍尔效应的物理过程 。
2.学会应用 霍尔效应测量磁场的原理和方法 。
实 验 原 理: 霍尔效应是1879年霍尔在研究载流导体在磁场中受力的性质时发现的。如图所示,一块长为 ,宽为 ，厚为 的矩形半导体薄片(N型，载流子是电子 ，带负电)，沿Y方向加上一恒定工作电流 ，沿X方向加上恒定磁场 仑兹力 。
(1)
式中： 为运动电荷的电量;
为电荷运动的速度，
沿Z负方向。在洛仑
，就有洛兹力的作用下，样品中的电子偏离原流动方向而向样品下方运动，并聚积在样品下方。随着电子向下偏移，在样品上方会多出带正电的电荷(空穴)。这样，在样品中形成了一个上正下负的霍尔电场 便有霍尔电压 。当
，根据
，在
、
面间
建立起来后，它又会给运动的电荷施加一个与洛仑兹，其大小为
。随着电子在
面继续积累， 力方向相反的电场力 的电场力 也逐渐增大，当两力大小相等(即 )时，霍尔电场对电子
、
间便形成的作用力与洛仑兹力相互抵消，电子的积累达到动态平衡， 一个稳定的霍尔电场 ，则有：
(2)
设N型半导体的载流子浓度为
(3)
，流过半导体样品的电流密度为
(4)
则
式中, 为半导体薄片的宽度;
(5)
为半导体薄片的厚度，
为载流子的电量。将(5)式代入(3)式，并令 ，可得
(6)
式中 称为霍尔系数，它是反应霍尔效应强弱的重要参量。
在实际应用中(6)式常写成
(7)
式中 称为霍尔元件的灵敏度，单位mV/(mA·T)或mV/(mA·kGS);
为垂直于半导体薄片的磁感应强度(单
和霍尔电压
，为霍尔元件的工作电流(单位mA); 位T或kGS)。若
已测定，实验中测出样品的工作电流
，即 利用(7)式便可测得磁感应强度
(8)
半导体材料有N型(电子型)和P型(空穴型)两种，前者载流子为电子，带负电;后者载流子为空穴，带正电。由原理图可以看出，若载流子为N型，则 、 点电位高于
点，
;若载流子为P型，则
点电位低于
点， 。可见，知道载流子的类型，可根据 的正、负确定待测磁场的方向。 同样，按原理图所示的 点，则
和 的方向，若测得的 ，即、 点电位高于
为负值，样品为N型;反之，则为P型。
(8)式是在理想情况下才成立的。但在实际情况中，除霍尔效应外，还存在着其他因素引起的几种副效应。这些副效应所产生的电压总和有时甚至远大于霍尔电压，形成测量中的系统误差。实验分析表明，这些副效应有的与流过霍尔元件的工作电流方向有关，有的与加到霍尔片的磁场方向有关，在测量过程中只要按要求改变工作电流方向和磁场方向，就可以减少或消除这些副效应的影响。
设 、 、 、
为副效应产生的四个电压，它们的符号与磁场、电流
和磁场
的方向，就有： 方向有关,在测量过程中分别改变电流 + +- + ： ： ： ：
将上述四式进行如下的计算：
(9)
所以
由于温差电压 一般比
(10)
小得多，在误差允许的范围内可以略去，故得：
(11)
将(11)式得到的 代入(8)式即可求得 实 验 内 容 ：
测量电磁铁间隙的磁感应强度 操 作 指 导: 测量
”)、
(对应于“- 开关换向 。
-
值为 ”)、
(对应于“+ (对应于“-
+ +
”)、”)。 (对应于 “+ 注意：若 值为负时，将
4.调节励磁电流逐次递增0.2A，直至1.60A，重复(3)。
5.将测得的值代入公式 值。
6.在坐标纸上，以 思考题：
1.若磁场不恰好与霍尔元件片底法线一致，对测量结果有何影响，如果用实验方法判断B与元件发现是否一致? 2.能否用霍尔元件片测量交变磁场? 3.实验中对磁场测量有影响的磁场有哪些? 4.为什么要把电流和磁场同时换向? 5.列出计算螺旋管磁场强度公式。
6如已知存在一个干扰磁场，如何采用合理的测试方法，尽量减小干扰磁场对测量结果的影响。
7.用霍尔传感器测量载流线圈磁感应强度比探测线圈有何优点?霍尔传感器能否测量交流磁场?
8.用霍尔传感器测量磁场时，如何确定磁感应强度方向?
为横轴，
为纵轴，作出
-
曲线 。
和
，求出相应的
第二篇：大学物理实验报告霍尔效应
一、实验名称：霍尔效应原理及其应用
二、实验目的：
1、了解霍尔效应产生原理;
2、测量霍尔元件的、曲线， 了解霍尔电压与霍尔元件工作电流、直螺线管的励磁电流间的关系;
3、学习用 霍尔元件测量磁感应强度的原理和方法，测量长直螺旋管轴向磁感应强度及分 布;
4、学习用对称交换测量法(异号法)消除负效应产生的系统误差。
三、仪器用具：YX-04 型霍尔效应实验仪(仪器资产编号)
四、实验原理：
1、 霍尔效应现象及物理解释霍尔效应从本质上讲是运动的带电粒子在磁场中受洛 仑兹力作用而引起的偏转。当带电粒子(电子或空穴)被约束在固体材料中，这 种偏转就导致在垂直于电流和磁场的方向上产生正负电荷的聚积，从而形成附 加的横向电场。对于图1 所示。半导体样品，若在x 方向通以电流，在z 方向 加磁场，则在y 方向即样品A、A′电极两侧就开始聚积异号电荷而产生相应的 电场，电场的指向取决于样品的导电类型。显然，当载流子所受的横向电场力 时电荷不断聚积，电场不断加强，直到样品两侧电荷的积累就达到平衡，即样 品
A、A′间形成了稳定的电势差(霍尔电压)。设为霍尔电场，是载流子在电流 方向上的平均漂移速度;样品的宽度为，厚度为，载流子浓度为，则有：(1-1)
因为，，又根据，则(1-2)其中称为霍尔系数，是反映材料霍尔效应强弱的重要 参数。只要测出、以及知道和，可按下式计算：(1-3)(1-4)为霍尔元件灵敏度。
根据RH 可进一步确定以下参数。(1)由的符号(霍尔电压的正负)判断样品的导 电类型。判别的方法是按图1 所示的和的方向(即测量中的+，+)，若测得的 <0(即A′的电位低于A 的电位)，则样品属N 型，反之为P 型。(2)由求载流子 浓度，即。应该指出，这个关系式是假定所有载流子都具有相同的漂移速度得 到的。严格一点，考虑载流子的速度统计分布，需引入的修正因子(可参阅黄昆、 谢希德著《半导体物理学》)。(3)结合电导率的测量，求载流子的迁移率。电 导率与载流子浓度以及迁移率之间有如下关系：(1-5)
2、霍尔效应中的副效应 及其消除方法上述推导是从理想情况出发的，实际情况要复杂得多。产生上述 霍尔效应的同时还伴随产生四种副效应，使的测量产生系统误差，如图 2 所示。
(1)厄廷好森效应引起的电势差。由于电子实际上并非以同一速度v 沿y 轴负向 运动，速度大的电子回转半径大，能较快地到达接点3 的侧面，从而导致3 侧 面较4 侧面集中较多能量高的电子，结果
3、4 侧面出现温差，产生温差电动势。
可以证明。的正负与和的方向有关。(2)能斯特效应引起的电势差。焊点
1、2 间接触电阻可能不同，通电发热程度不同，故
1、2 两点间温度可能不同，于是 引起热扩散电流。与霍尔效应类似，该热扩散电流也会在
3、4 点间形成电势差。
若只考虑接触电阻的差异，则的方向仅与磁场的方向有关。(3)里纪-勒杜克效 应产生的电势差。上述热扩散电流的载流子由于速度不同，根据厄廷好森效应 同样的理由，又会在
3、4 点间形成温差电动势。的正负仅与的方向有关，而与 的方向无关。(4)不等电势效应引起的电势差。由于制造上的困难及材料的不均 匀性，
3、4 两点实际上不可能在同一等势面上，只要有电流沿x 方向流过，即 使没有磁场，
3、4 两点间也会出现电势差。的正负只与电流的方向有关，而与 的方向无关。综上所述，在确定的磁场和电流下，实际测出的电压是霍尔
效应 电压与副效应产生的附加电压的代数和。可以通过对称测量方法，即改变和磁 场的方向加以消除和减小副效应的影响。在规定了电流和磁场正、反方向后， 可以测量出由下列四组不同方向的和组合的电压。即：，：，：，：，：然后 求，，，的代数平均值得：
通过上述测量方法，虽然不能消除所有的副效应，但较小，引入的误差不 大，可以忽略不计，因此霍尔效应电压可近似为(1-6)
3、直螺线管中的磁场分 布
1、以上分析可知，将通电的霍尔元件放置在磁场中，已知霍尔元件灵敏度， 测量出和，就可以计算出所处磁场的磁感应强度。(1-7)
2、直螺旋管离中点处 的轴向磁感应强度理论公式：(1-8)式中，是磁介质的磁导率，为螺旋管的匝数， 为通过螺旋管的电流，为螺旋管的长度，是螺旋管的内径，为离螺旋管中点的 距离。X=0 时，螺旋管中点的磁感应强度(1-9)
五、实验内容：测量霍尔元件的、关系;
1、将测试仪的"调节"和"调节"旋 钮均置零位(即逆时针旋到底)，极性开关选择置"0"。
2、接通电源，电流表显 示"0.000"。有时，调节电位器或调节电位器起点不为零，将出现电流表指示末 位数不为零，亦属正常。电压表显示"0.0000"。
3、测定关系。取=900mA，保持 不变;霍尔元件置于螺旋管中点(二维移动尺水平方向14.00cm 处与读数零点对 齐)。顺时针转动"调节"旋钮，依次取值为1.00，2.00，…，10.00mA，将和极 性开关选择置"+"和"-"改变与的极性，记录相应的电压表读数值，填入数据记 录表 1。
4、以为横坐标，为纵坐标作图，并对曲线作定性讨论。
5、测定关系。
取=10 mA,保持不变;霍尔元件置于螺旋管中点(二维移动尺水平方向14.00cm 处与读数零点对齐)。顺时针转动"调节"旋钮，依次取值为0，100，200，…， 900 mA，将和极性开关择置"+"和"-"改变与的极性，记录相应的电压表读数值， 填入数据记录表2。
6、以为横坐标，为纵坐标作图，并对曲线作定性讨论。测 量长直螺旋管轴向磁感应强度
1、取=10 mA，=900mA。
2、移动水平调节螺钉， 使霍尔元件在直螺线管中的位置(水平移动游标尺上读出)，先从 14.00cm 开始， 最后到0cm 点。改变和极性，记录相应的电压表读数值，填入数据记录表3， 计算出直螺旋管轴向对应位置的磁感应强度。
3、以为横坐标，为纵坐标作图， 并对曲线作定性讨论。
4、用公式(1-8)计算长直螺旋管中心的磁感应强度的理 论值，并与长直螺旋管中心磁感应强度的测量值比较，用百分误差的形式表示 测量结果。式中,其余参数详见仪器铭牌所示。
六、注意事项：
1、为了消除副 效应的影响，实验中采用对称测量法，即改变和的方向。
2、霍尔元件的工作电 流引线与霍尔电压引线不能搞错;霍尔元件的工作电流和螺线管的励磁电流要 分清，否则会烧坏霍尔元件。
3、实验间隙要断开螺线管的励磁电流与霍尔元件 的工作电流，即和的极性开关置0 位。
4、霍耳元件及二维移动尺容易折断、变 形，要注意保护，应注意避免挤压、碰撞等，不要用手触摸霍尔元件。
七、数 据记录：KH=23.09，N=3150 匝，L=280mm,r=13mm 表1 关系 (=900mA)(mV)(mV)(mV)(mV)
1.00 0.28-0.27 0.31-0.30 0.29 2.00 0.59-0.58 0.63-0.64 0.613.00 0.89-0.87 0.95-0.96 0.904.00 1.20-1.16 1.27-1.29 1.235.00 1.49-1.46
1.59-1.61 1.546.00 1.80-1.77 1.90-1.93 1.857.00 2.11-2.07 2.22-2.25
2.178.00 2.41-2.38 2.65-2.54 2.479.00 2.68-2.69 2.84-2.87 2.7710.00
2.99-3.00 3.17-3.19 3.09 表2 关系(=10.00mA)
(mV)(mV)(mV)(mV)
0-0.10 0.08 0.14-0.16 0.12 100 0.18-0.20 0.46-0.47 0.33200 0.52- 0.54
0.80-0.79 0.66300 0.85-0.88 1.14-1.15 1.00400 1.20-1.22 1.48- 1.49
1.35500 1.54-1.56 1.82-1.83 1.69600 1.88-1.89 2.17-2.16 2.02700
2.23-2.24 2.50-2.51 2.37800 2.56-2.58 2.84-2.85 2.71900 2.90-2.92
3.18-3.20 3.05 表3 关系=10.00mA，=900mA (mV)(mV)(mV)(mV)B×10-3T 00.54-0.56-0.73-0.74 2.88 0.5 0.95-0.99 1.17-1.18 4.641.0 1.55-1.58
1.80-1.75 7.232.0 2.33 2.37-2.88-2.52 10.574.0 2.74-2.79 2.96-2.94 12.306.0 2.88-2.9
第三篇：霍尔效应在高考试题中的应用
霍尔效应在高考试题中的应用 南海区黄岐高级中学张葆
摘要：高考内容改革的方向总体上注重能力和素质的考查，命题的原则遵循教学大纲，但是不拘泥于大纲，特别是加大应用性和能力的考查。霍尔效应本来是大学物理的内容，但它依然可以用高中所学的物理知识来解释，由于它与现代科技应用联系紧密，是考查学生能力的很好的材料，命题者把它融入到现代科技的实际应用中可作为信息迁移题来考查学生的能力，所以在物理高考备考复习中应该引起注意。
关键词：霍尔效应霍尔元件磁流体发电机电磁流量计磁强计
霍尔效应：置于磁场中的载流体，如果电流方向与磁场方向垂直，则垂直于电流和磁场方向会产生一个附加的横向电场，这个现象是霍普金斯大学研究生霍尔于1879年发现的，后被称为霍尔效应。
霍尔效应从本质上讲是运动的带电粒子在磁场中受到洛伦兹力作用而引起的偏转，所以可以用高中物理中的电磁学、力学、运动学等有关知识来进行解释。霍尔效应原理的应用常见的有：霍尔元件、磁流体发电机、电磁流量计、磁强计等。 考题一(全国高考题)：如图-1所示，厚度为h、宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B 的均匀磁场中，当电流通过导体板时，在导体的上侧面A和下侧面A′之间会产生电势差，这种现象称为霍尔效应，实验表明：当磁场不太强时，电势差U，电流I和B的关系为：,式中的比例系数K称为霍尔系数。 霍尔效应可解释如下：外部磁场的洛伦兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横向电场对电子施加与方向相反的静电力，当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差。设电流I是由电子的定向流动形成的，电子的平均定向速度为v,电荷量为e，回答下列问题：(1)达到稳定状态时，导体板上的侧面A的电势下侧面A′的电势(填高于、低于或等于).(2)电子所受洛伦兹力的大小为
.(3)当导体板上、下两侧面之间的地势差为U时，电子所受的静电力的大小为
.(4)由静电力和洛伦兹力平衡的条件，证明霍尔系数为(其中n代表导体板单位体积中电子的个数)。答案(1)低于(2)电子所受洛伦兹力的大小f =evB (3) 电子所受静电力的大小F = (4)略 这是一道信息迁移题，此题出于命题者别具匠心的取材，全题所提供的材料可以说是完全参考于大学物理内容，对中学生来说，霍尔效应是一个陌生的规律，要求考生必须通过仔细读题，对霍尔效应的原理深入分析，透彻理解，熟练结合高中物理所学的知识才能正确求解。这充分体现了高考“依据中学教学大纲，但又不拘泥于大纲”的命题原则，不是中学教材上叙述什么，高考试题才考什么，特别是命题者在超出中学教材内容部分，均作了较为详细的阐述，因此学生绝不会因为没有自学过大学物理教材，因不懂得超出中学物理内容的知识而失分，所以对每位考生来说是公平的。 考题二(北京东城区试题)：一种半导体材料称为“霍尔材料”，用它制成的元件称为“霍尔元件”。这种材料有可定向移动的电荷，称为“载流子”，每个载流子的电量大小为1元电荷，即q =1.6×10-19C. 霍尔元件在自动检测、控制领域得到广泛应用，如录象机中用来测量录象磁鼓的转速、电梯中用来检测电梯门是否关闭以控制升降电动机的电源通断等。在一次实验中，一块霍尔材料制成的薄片宽ab=1.0×10-2m、长bc=4.0×10-2m、厚h=1.0×10-3m，水平放置在竖直向上的磁感应强度B=1.5T的匀强磁场中，bc方向通有I=3.0A的电流，如图-2所示，沿宽度产生1.0×10-5V的横向电压。(1)假定载流子是电子，a、b两端中哪端电势较高?(2)薄板中形成电流I的载流子定向运动的速率多大?答案(1)b端电势较高(2)载流子定向运动速率v =6.7×10-4m/s。
磁流体发电机所依据的基本原理就是霍尔效应。如图-3所示，等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生偏转而聚集到A、B板上，产生电势差。设A、B平行金属板的面积为S，相距L，等离子气体的电阻率为ρ，喷入气体速度为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻为R，当等离子气体匀速通过A、B板间时，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，即为电源电动势。此时离子受力平衡：Eq=qvB，E=Bv，ε=EL=BLv。电源内阻。
考题三(江西省试题)：图-4为磁流体发电机的示意图。设两金属板间的距离为d，两极板间匀强磁场的磁感应强度为B。等离子体垂直进入磁场的速度为v,单个离子所带的电量为q。离子通道(即两极板内所围成空间)的等效电阻为r，负载电阻为R。求(1)该发电机的电动势;(2)发电机的总功率。答案(1)电动势E=Bdv (2)总功率
电磁流量计根据霍尔效应其原理可解释为：如图-5所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动。导电液体中的自由电荷(正负离子)在洛伦兹力作用下横向偏转，a、b间出现电势差。当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定。由qvB=Eq=，可得v=，流量Q=sv= 考题四(湖北省高考题)：电磁流量计广泛应用于测量可导电流体(如污水)在管中的流量(单位时间内通过管内横截面的流体的体积)。为了简化，假设流量计是如图-6所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c。流量计的两端与输送流体的管道连接(图中虚线)。图中流量计的上下两面是金属材料，前后两侧面是绝缘材料。现于流量计所在处加磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接，I表示测得的电流值。已知流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为()。答案—A A.
B.
C.
D.
磁强计是利用霍尔效应来测量磁感应强度B的仪器。其原理可解为：如图-7所示，一块导体接上a、b、c、d四个电极，将导体放在匀强磁场之中，a、b间通以电流I，c、d间就会出现电势差，只要测出c、d间的电势差U， 就可测得B。 设c、d间电势差达到稳定，则U=EL，此时导电的自由电荷受到的电场力与洛伦兹力相平衡，Eq=qvB，式中v为自由电荷的定向移动速度。由此可知，。设导体中单位体积内的自由电荷数为n，则电流I=nqsv，式中S为导体横截面积，S=Ld。因此，由此可知B∝U。这样只要将装置先在已知磁场中定出标度，就可通过测定U来确定B的大小了。
高考大纲新增的许多知识点更有利于试题的情景与生活实际、与科技应用、与近现、代物理知识相联系。近年来，霍尔效应在科学技术的许多领域如测量技术、电子技术、自动化技术等得到广泛应用。在平时对学生进行能力训练时，它可作为较好的训练素材之一。 参考文献：
第四篇：新型玻璃瓶壁测厚仪-霍尔效应的典型应用
CH-1B霍尔效应玻璃瓶测厚仪
CH-1B霍尔效应玻璃瓶测厚仪是一款国产的利用著名的物理现象霍尔效应转化为实际应用的新型仪器设备。仪器经受了实践的检验，可以大大方便对于玻璃瓶底厚、壁厚的测定，深圳市中科远大科技有限公司特向您推荐.
仪器测试的理论依据：是在测试过程中，仪器先采集并感知到电势差的变化，在其它因素不变的情况下，电势差的变化与磁场的作用强度成正比关系，而磁场强度与被测厚度成反比关系，这样电势差就与被测厚度就成反比关系，用户可以依据在该电磁环境达到平衡态时，电荷所受磁场的洛伦兹力与偏移后聚集电荷产生电场的电场力相等这一结论进行推理得出以上关系。
测量方法其实很简单：在被测的玻璃瓶罐内放入一粒钢珠，当被测瓶罐内的钢珠靠近仪器上的测量探头时，测量头上磁场的引力就把钢珠吸在瓶罐的内壁上。这时钢珠与测量头之间的距离就是被测的厚度，当然，需要内部单片机系统测量该磁场强度并矫正线性、补偿温度系数才能得出被测玻璃瓶的实际厚度值并显示出来。
关于温度因素的影响：主要是影响电荷的移动速度，电流是“自由电荷”发生定向移动形成的，金属导体内部发生定向移动的电荷是自由电子。分子动理论认为，温度越高分子运动越剧烈;因而就增大了阻碍自由电子定向移动的畅通。因为洛伦兹力与电荷的速度有关，进而影响到电势差的大小。所以温度对测量也会有所影响，只是在一定范围内影响程度很小，仪器自身也做了温度曲线矫正，但温度若超过仪器适应范围，可能会影响到测量结果。
仪器特点：
1. 测量直观方便、无损
· 2. 对玻璃瓶的瓶身、瓶肩、瓶底等部位均可进行测量
3. 仪器设有按键可以显示最小厚度和锁存厚度
4. 测量数据可以通过RS232接口传输到电脑或其他外设
主要技术参数：
1. 测量范围： 0～8.0mm
2. 测量误差： ≤±0.1mm
3. 环境温度： 0～45℃
4. 消耗功率： AC220V 5W
5. 外形尺寸：长×宽×高 240mm×180mm×130mm
6. 环境温度范围： 0～40℃
7. 环境湿度范围 ：小于95%相对湿度
第五篇：电磁场仿真实验报告
电气工程学院 2011级2班 2011302540056 黄涛
实验题目：
有一极长的方形金属槽，边宽为1m，除顶盖电位为100sin (pi*x)V外，其它三面的电位均为零，试用差分法求槽内点位的分布。
1、有限差分法的原理
它的基本思想是将场域划分成网格，用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程，然后解这些差分方程求出离散节点上位函数的值。
一般来说，只要划分得充分细，其结果就可达到足够的精确度。
差分网格的划分有多种不同的方式，这里将讨论二维拉普拉斯方程的正方形网格划分法。
如下图1所示，用分别平行与x，y轴的两组直线把场域D划分成许多正方行网格，网格线的交点称为节点，两相邻平行网格线间的距离h称为步距。
用表示节点处的电位值。利用二元函数泰勒公式，可将与节点(xi，yi)直接相邻的节点上的电位值表示为
上述公式经整理可得差分方程
这就是二维拉普拉斯方程的差分格式，它将场域内任意一点的位函数值表示为周围直接相邻的四个位函数值的平均值。这一关系式对场域内的每一节点都成立，也就是说，对场域的每一个节点都可以列出一个上式形式的差分方程，所有节点的差分方程构成联立差分方程组。
已知的边界条件经离散化后成为边界点上已知数值。若场域的边界正好落在网格点上，则将这些点赋予边界上的位函数值。一般情况下，场域的边界不一定正好落在网格节点上，最简单的近似处理就是将最靠近边界点的节点作为边界节点，并将位函数的边界值赋予这些节点。
2、差分方程的求解方法：简单迭代法
先对静电场内的节点赋予迭代初值，其上标(0)表示初始近似值。然后再按 下面的公式：
进行多次迭代(k=0,1,2,3…)。当两次邻近的迭代值差足够小时，就认为得到了电位函数的近似数值解。
实验程序： a=zeros(135,135); for i=1:135 a(i,i)=1; end; for i=1:7 a(15*i+1,15*i+2)=-0.25;a(15*i+1,15*i+16)=-0.25;a(15*i+1,15*i-14)=-0.25; end for i=1:7 a(15*i+15,15*i+14)=-0.25;a(15*i+15,15*i+30)=-0.25;a(15*i+15,15*i)=-0.25; end a(1,2)=-0.25;a(1,16)=-0.25; a(121,122)=-0.25;a(121,106)=-0.25; a(135,134)=-0.25;a(135,120)=-0.25; a(15,14)=-0.25;a(15,30)=-0.25; for i=2:14 a(i,i-1)=-0.25;a(i,i+1)=-0.25;a(i,i+15)=-0.25; end for i=122:134 a(i,i-1)=-0.25;a(i,i+1)=-0.25;a(i,i-15)=-0.25; end for i=1:7 for j=2:14; a(15*i+j,15*i+j-1)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j+1)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j+15)=-0.25; a(15*i+j,15*i+j-15)=-0.25; end end b=a^(-1); c=zeros(135,1); for i=121:135 c(i,1)=25; end d=b*c;s=zeros(11,17);for i=2:16 s(11,j)=100*sin(pi.*i); end for i=1:9 for j=1:15 s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1); end end subplot(1,2,1),mesh(s) axis([0,17,0,11,0,100]) subplot(1,2,2),contour(s,32) 实验结果如下：
1110100806040200101555001098765432151015
以上是划分为135*135个网格的过程，同理可有如下数据：
(1)将题干场域划分为16个网格，共有25各节点，其中16个边界的节点的电位值是已知，现在要解的是经典场域内的9个内节点的电位值。而且先对此场域内的节点赋予了迭代初值均为1. 第十七次迭代值：
0 70.7107 100.0000 70.7107 0 0 33.1810 46.9251 33.1811 0 0 15.0887 21.3387 15.0887 0 0 5.8352 8.2523 5.8352 0 0 0 0 0 0 第二十次迭代值：
0 70.7107 100.0000 70.7107 0 0 33.1812 46.9253 33.1812 0 0 15.0888 21.3388 15.0888 0 0 5.8353 8.2523 5.8353 0 0 0 0 0 0 当第十七次迭代以后，9个内节点的电位就不再发生变化了
(2)现在对此场域内的节点赋予了迭代初值均为6，并且进行了20次的迭代，最终场域内的9个节点的电位值如下：
0 70.7107 100.0000 70.7107 0 0 33.1812 46.9253 33.1812 0 0 15.0888 21.3388 15.0888 0 0 5.8353 8.2524 5.8353 0 0 0 0 0 0 由(1)与(2)的仿真结果最终可知：
在求解区域范围、步长、边界条件不变的情况下，迭代的次数越多，计 算的结果的精确度约高。反之，迭代的次数越少，计算结果的精确度就越低。 在求解区域范围，步长、边界条件不变的情况下，静电场域内节点的电位值与初次对节点赋予的初值没有关系。
(3)将题干场域划分为100个网格，共有121个节点，其中40个边界的节点的电位值是已知，现在要解的是经典场域内的81个内节点的电位值。而且先对此场域内的节点赋予了迭代初值均为3. 第二十次迭代值：
0 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 0 0 48.2854 66.3866 74.0119 77.3076 78.3009 77.4690 74.2874 66.6887 48.4991 0 0 27.0168 43.6521 52.8451 57.4418 58.9298 57.7234 53.3258 44.1789 27.3891 0 0 16.5163 28.9413 36.9756 41.4270 42.9609 41.7787 37.5756 29.5985 16.9803 0 0 10.5512 19.2828 25.4843 29.1706 30.5094 29.5435 26.1204 19.9791 11.0423 0 0 6.8488 12.8113 17.2975 20.0959 21.1586 20.4495 17.9004 13.4708 7.3135 0 0 4.4311 8.4049 11.5060 13.5063 14.2947 13.8111 12.0256 8.9729 4.8310 0 0 2.7968 5.3519 7.3931 8.7404 9.2875 8.9779 7.7977 5.7939 3.1078 0 0 1.6445 3.1640 4.3957 5.2207 5.5627 5.3809 4.6685 3.4620 1.8541 0 0 0.7662 1.4782 2.0595 2.4518 2.6160 2.5312 2.1947 1.6258 0.8700 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第五十次迭代值：
0 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 0 0 48.8655 67.4302 75.3721 78.8226 79.8105 78.8295 75.3837 67.4429 48.8744 0 0 28.0421 45.4992 55.2553 60.1293 61.6104 60.1416 55.2763 45.5222 28.0583 0 0 17.8198 31.2938 40.0502 44.8604 46.3903 44.8765 40.0777 31.3239 17.8409 0 0 11.9629 21.8358 28.8270 32.9095 34.2501 32.9276 28.8578 21.8695 11.9865 0 0 8.2172 15.2911 20.5504 23.7407 24.8108 23.7588 20.5812 15.3247 8.2408 0 0 5.6353 10.5912 14.3788 16.7301 17.5298 16.7465 14.4066 10.6216 5.6566 0 0 3.7505 7.0859 9.6746 11.3039 11.8628 11.3171 9.6971 7.1104 3.7677 0 0 2.2945 4.3470 5.9536 6.9725 7.3239 6.9816 5.9691 4.3640 2.3065 0 0 1.0894 2.0667 2.8347 3.3238 3.4929 3.3283 2.8425 2.0752 1.0954 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第五十一次迭代值：
0 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 0 0 48.8681 67.4348 75.3782 78.8295 79.8173 78.8357 75.3887 67.4463 48.8762 0 0 28.0468 45.5077 55.2663 60.1416 61.6227 60.1528 55.2854 45.5285 28.0614 0 0 17.8259 31.3049 40.0647 44.8765 46.4065 44.8912 40.0896 31.3321 17.8450 0 0 11.9697 21.8482 28.8432 32.9276 34.2681 32.9440 28.8710 21.8786 11.9911 0 0 8.2240 15.3035 20.5665 23.7588 24.8289 23.7751 20.5944 15.3339 8.2454 0 0 5.6414 10.6024 14.3934 16.7465 17.5462 16.7612 14.4186 10.6299 5.6608 0 0 3.7555 7.0949 9.6864 11.3171 11.8760 11.3290 9.7068 7.1171 3.7711 0 0 2.2980 4.3533 5.9617 6.9816 7.3330 6.9899 5.9758 4.3686 2.3088 0 0 1.0912 2.0698 2.8388 3.3283 3.4974 3.3325 2.8459 2.0775 1.0966 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 由以上仿真结果可知场域内的近似的电位值。