教学方案简称教案，是课堂教学的实施方案。教案是教学设计的浓缩,是教研的源头，是一堂课的总纲领,只有纲领设计的好,课堂才能精彩。今天小编为大家精心挑选了关于《函数与方程复习教案》相关资料，欢迎阅读！
第一篇：函数与方程复习教案
高三数学教案：高考数学总复习第一讲：函数与方程.
学而思教育·学习改变命运 思考成就未来!
高考网 高考数学总复习第一讲：函数与方程
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律.函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系.
在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想.
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程.一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决;反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决.总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题.在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案.
一、例题分析
例1.已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小.
分析：一般情况下，F(x)可以看成两个幂函数的差.已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在(1，+∞)上，或是在(0，1)上，或是在(0，1)内的常数，于是F(x)成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(0<α<1)是减函数，又因为xα-xβ>0，所以得α<β.
例2.已知0
分析：为比较aα与(aα) α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数 在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与aα的大小，由于指数函数y=ax(0a，所以a
比较aα与(aα) α的大小，也可以将它们看成底数相同(都是aα)的两个幂，于是可以利用指数函数
是减函数，由于1>a，得到aα<(aα) α.
由于a
综上，
.
解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单.
例3.关于x的方程 有实根，且根大于3，求实数a的范围.
分析：先将原方程化简为ax=3，但要注意0
，
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高考网 现要求0
，又因为x≠1，在图(1)中，过(1，3)点的.
若将ax=3变形为
，令
，现研究指数函数a=3t，由0
，如图(2)，很容易得到： .
通过本例，说明有些问题可借助函数来解决，函数选择得当，解决就便利.
例4.函数f(x)是定义在实数集上的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x,则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是( ).
(A)f(x)=x+4 (B)f(x)=2-x
(C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x)=3+|x+1|
解法
一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3，∴只有(A)、(C)可能正确.
又∵f(0)=f(2)=2，∴(A)错，(C)对，选(C).
解法
二、依题意，在区间[2，3]上，函数的图象是线段AB，
∵函数周期是2，
∴线段AB左移两个单位得[0，1]上的图象线段CD;再左移两个单位得[–2，1]上的图象线段EF .
∵函数是偶函数，
∴把线段CD沿y轴翻折到左边，得[–1，0]上的图象线段FC.
于是由直线的点斜式方程，得函数在[–2，0]上的解析式：
即
由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，
所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0].
解法
三、当x∈[-2,-1]时，x+4∈[2,3]，
∵函数周期是2，
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高考网 ∴f(x+4)=f(x).
而f(x+4)=x+4，
∴x∈[-2,-1]时，f(x)=x+4=3+(x+1).
当x∈[-1,0]时，-x∈[0,1]，
且-x+2∈[2,3].
∵函数是偶函数，周期又是2，
∴
，
于是在[–2，0]上， .
由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，
根据绝对值定义有x∈[-2,0]时，f(x)=3-|x+1|.
本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题.
例5.已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是( ).
(A)(0，1) (B)(1，2) (C)(0，2) (D)[2，+∞]
分析：设t=2-ax，则y=logat，
因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用.
解法
一、由于a≠1，所以(C)是错误的.
又a=2时，真数为2–2x，于是x≠1，这和已知矛盾，所以(D)是错的. 当0
故y=loga(2-ax)是x的增函数，所以(A)是错的.
于是应选(B).
解法
二、设t=2-ax，y=logat
由于a>0，所以t=2-ax是x的减函数，
因此，只有当a>1，y=logat是增函数时，y=loga(2-ax)在[0，1]上才是减函数;
又x=1时，y=loga(2-a)，
依题意，此时，函数有定义，故2–a>0
综上可知：1
故应选(B).
例6.已知则g(5)=_____________-
，函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称， 解法
一、由 去分母，得 ，解出x，得 ，
故 ，于是 ，
设 ，去分母得， ，解出x，得 ，
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高考网 ∴ 的反函数 .
∴ 解法
二、由 ∴ ，∴
.
，则
.
，
即 根据已知： 的反函数为
，
∴ .
解法
三、如图，f(x)和f-1(x)互为反函数，当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时，做为“镜面”的另一侧的“象”f(x)的图象一定向下平移1个单位，因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称.
故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1，
∴ .
本解法从图象的运动变化中，探求出f-1(x+1)的反函数，体现了数形结合的优势出
二、巩固练习
(1) 已知函数值.
在区间 上的最大值为1，求实数a的(1)解：f(x)在区间 上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得， ，得，故此解舍去.
，而顶点横坐标 ，最大值在顶点外取 当最大值为f(2)时，f(2)=1，合理.
，顶点在应在区间右端点取得最大值，此解
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高考网 当最大值在顶点处取得时，由 ，解得 ，当 ，此时，顶点不在区间内，应舍去.
综上，
.
(2)函数 的定义域是[a，b]，值域也是[a，b]，求a.b的值.2)解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论.
当a
解得， 当0≤a
，由于b>0，应舍去.
有 ，解得：a=1，b=2.
当a<0
当a
解得， 当0≤a
，由于b>0，应舍去.
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高考网 有 ，解得：a=1，b=2.
当a<0
， ，所以最小
，解得： ，
综上，
或
(3)求函数 的最小值.
解(3)分析：由于对数的底已明确是2，所以只须求 的最小值.
(3)解法一：∵ ，∴x>2.
设 ，则 ，
由于该方程有实根，且实根大于2，
∴ 解之，μ≥8.
当μ=8时，x=4，故等号能成立.
于是log2≥0且x=4时，等号成立，因此 的最小值是3.
解法二：∵ ，∴x>2
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高考网 设 ，则 =
∴μ≥8且 ，即x=4时，等号成立，
∴log2μ≥3且x=4时，等号成立.
故 的最小值是3.
(4)已知a>0,a≠1，试求方程 有解时k的取值范围. 4)解法一：原方程 由②可得：
③，
当k=0时，③无解，原方程无解;
当k≠0时，③解为 ，代入①式，
.
解法二：原方程 原方程有解，应方程组
，
，
即两曲线有交点，那么ak<-a或00)
∴k<-1或0
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高考网 (Ⅰ)解不等式f(x)≤1
(Ⅱ)求a的取值范围，使f(x)在[0,+∞]上是单调函数.
5)解(Ⅰ)，不等式f(x≤1)，即 由此得：1≤1+ax即ax≥0，其中常数a>0，
∴原不等式 即
∴当0
(Ⅱ)在区间[0,+∞)上任取x1,x2，使得x1
，
(ⅰ)当a≥1时，
∵
∴ 又 ∴
所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数.
(ⅱ)当0
满足f(x1)=1,f(x2)=1 ，即
第二篇：函数与方程教案
第四章：函数应用
§1：函数与方程
教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。 教学目标：
1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。
2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。 重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念。 复习引入：
同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a0) 这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=-.②ax2+bx+c=0(a0) 这是一个一元二次方程，在对一ab元二次方程求解时我们会先用判别式△=b2-4ac来判断方程是否有实解。当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x1≠x2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x1=x2;当△<0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=
bb4ac2a2。③x5+4x3+3x2+2x+1=0
- 1函数的零点。
说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。
②零点是一个实数，并不是一个点。 ③函数的零点就是相应方程的根。
④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。
学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。
2. 判断零点的方法：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。可得出：方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。
那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢?
观察例1中第一个方程的对应图像：f(x) = x2-2x-3 从图像上看，我们知道函数f(x) = x2-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。且有f(-2)=5>0,f(0)=-3<0, f(-2)×f(0)<0; f(2)=-3<0, f(4)=5>0, f(2)×f(4)<0.可以发现f(-2)×f(0)<0，函数f(x) = x2-2x-3在区间(-2,0)内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根;同样地，f(2)×f(4)<0，函数f(x) = x2-2x-3在区间(2,4)内有零点3是方程x2-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：
3.零点存在性定理： 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲
- 35，一个小于2。
分析：转化判断函数f(x) =(x-2)(x-5)-1在区间(-∞，2)和(5, +∞) 内各有一个零点。
解：考虑函数f(x) =(x-2)(x-5)-1，有f(2) =(2-2)(2-5)-1=-1<0，f(5) =(5-2)(5-5)-1=-1<0，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在(-∞，2)内存在一点a，使f(a)>0;在(5, +∞)内存在一点b，使f(b)>0，所以抛物线与横轴在(a，2)内有一个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。
四、 零点存在性定理说：“若f(a)×f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解”，它只指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为f(a)×f(b)>0时，
问题：如果函数y=f(x) 在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)×f(b)>0，那么函数y=f(x) 在区间(a,b)内是否有零点?可能有几个零点?
解：零点个数可以是任意自然数。可讨论在区间[-3,3]上函数零点个数，来画图进行观察。
第三篇：《方程的根与函数的零点》教案设计
1、教学设计的理念
本节课以提升数学核心素养的为目标任务，树立学科育人的教学理念，以层层递进的“问题串”引导学生学习，运用从特殊到一般的研究策略，进行教学流程的 “再创造”，积极启发学生思考。
2、教学分析
在本节课之前，已经学习了函数概念与性质，研究并掌握了部分基本初等函数，接下来就要研究函数的应用。函数的应用，教材分三步来展开，第一步，建立一般方程与相应的函数的本质联系.第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，进一步体现函数与方程的关系.第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系.
3、教学目标
(1)经历函数零点概念生成过程，理解函数的零点与方程的根之间的本质联系;
(2)经历零点存在性定理的发现过程，理解零点存在定理，会判断函数在某区间内是否有零点;
(3)积极培养学生良好的学习习惯，提升数学核心素养。
4、教学重点、难点
教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。
教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。
5、教学过程
环节一：利用一个学生不能求解的方程来创设问题情境，激发学生的求知欲，引导学生将复杂的问题简单化，从已有认知结构出发来思考问题
环节二：建立一元二次方程的根与相应二次函数图象的关系，突出数形结合的思想方法，并引导学生从特殊到一般，得到方程的根与相应函数零点的本质联系
环节三：利用二次函数的图象与性质，从直观到抽象，具体到一般，得到判断函数零点存在的充分条件(即函数的零点存在性定理)
环节四：学会判断函数在某区间内是否存在零点
教学过程与操作设计： 环节
教学内容设置 师生双边互动 创
设
情
境
《方程的根与函数的零点》教学设计先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： 方程与函数 方程与函数 方程与函数
师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念.
组
织
探
究
二次函数的零点： 二次函数
.
1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.
生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流.
师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样?
环节
教学内容设置 师生双边互动 组
织
探
究 函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点.
函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标. 即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
函数零点的求法： 求函数的零点：
(代数法)求方程的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法.
生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：
代数法;
几何法.
环节
教学内容设置 师生互动设计 探 究 与 发 现
零点存在性的探索：
(Ⅰ)观察二次函数的图象：
在区间上有零点______; _______，_______, ·_____0(<或>).
在区间上有零点______; ·____0(<或>).
由以上探索，你可以得出什么样的结论?
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点.
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，形成结论.
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系. 环节
教学内容设置 师生互动设计 例 题 研 究
例1.求函数的零点个数. 问题：
1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?
2)判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性?
《方程的根与函数的零点》教学设计
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识.
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数.
6、小结与反馈：说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤.
第四篇： 一次函数与一元一次方程教案
教学目标：
1.知识与技能
会用一次函数图象描述一元一次方程的解，发展抽象思维.
2.过程与方法
经历探索一元一次方程与一次函数的内在联系，体会数与形结合的数学思想.
3.情感、态度与价值观
培养良好的应用能力，体会代数的实际应用价值.
重、难点与关键
1.重点：理解用函数观点解决一元一次方程的问题.
2.难点：对一次函数与一元一次方程的再认识.
3.关键：应用数形结合的思想.
教具准备
直尺、圆规.
教学方法
采用“直观操作”教学方法，让学生在图形的认知中领会本节课内容.
教学过程
一、回顾交流，知识迁移
问题提出：请思考下面两个问题：
(1)解方程2x+20=0.
(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0?
【学生活动】观察屏幕，通过思考，得到(1)、(2)的答案，回答问题.
【教师活动】在学生充分探讨的基础上，引导学生思考：“一元一次方程与一次函数之间有何内在联系”?
【思路点拨】在问题(1)中，解方程2x+20=0，得x=-10;解问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值，这可以通过解方程2x+20=0，得出x=-10.这两个问题实际上是一个问题，从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是(-10，0)，这说明，方程2x+20=0的解是x=-10.(课本图14.3-1)
【问题探索】
教师叙述：由上面两个问题的关系，能进一步得到“解方程ax+b=0(a，b为常数”与“求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系?
【学生活动】小组讨论，观察上述问题的图象，联系方程、函数知识，领会贯通，踊跃回答.
【师生共识】由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.
【教学形式】小组合作讨论，教师巡视、引导.
二、范例点击，领会新知
【例1】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒?
【教师活动】激发学生思考.
【学生活动】先不看课本解答，独立地思考问题，抓住问题的本质：“设未知数，寻找等量关系.”得出方程，再应用函数的观点建立两个变量的关系式，上讲台演示自己的做法.
【评析】这两种解法分别从数与形两方面得出相同的结果，培养学生识图能力.
解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒.
依题意得：2x+5=17
解得：x=6
解法2：设速度y(单位：米/秒)是时间x(单位：秒)的函数.
y=2x+5
由2x+5=17
得2x-12=0
由如图看出，直线y=2x-12与x轴的交点为(6，0)，得x=6.
三、随堂练习，巩固深化
1.看图2填空：
(1)当y=0时，x=_______.
(2)直线对应的函数解析式是________.
2.一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系?
3.某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满后，油箱中的剩油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系式如图所示.
根据图象所提供的信息，回答下列问题：
(1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?
(2)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油?
(3)油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警.
四、课堂总结，发展潜能
1.请同学们谈一谈，函数与方程的联系和区别.
2.对数形结合的思维方法进行总结.
五、布置作业，专题突破
1.课本P129习题14.3第1，2，5题.
2.选用课时作业设计.
第五篇：人教版八年级下册：19.2.3一次函数与方程、不等式教案
初二数学教案
课题： 一次函数与方程、不等式
课型：新授
主备人：
集体备课时间：
审核：
一.教学目标：
1.经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系.
2.了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.
3.通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
二.教学重难点：
1通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系.
2.了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.
三.教学过程
复习：
(1)方程2x+4=0解是_______
;
(2)不等式2x+4>0的解集为________;
(3)不等式2x+4<0的解集为________.
二、探索归纳
1.一次函数y=2x+4的图像是一条经过点(
，
)，点(
，
)的直线.
2.试根据一次函数y=2x+4的图像说出方程2x+4=0的解和不等式2x+4>0、2x+4<0的解.
归纳总结：
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系.
已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值.
当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围.
三、例题讲解
例 一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为x
kg，弹簧的长度为y
cm.写出y与x之间的函数表达式，画出函数图像，并求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量.
你还能用什么方法解决这个问题?
四、课堂小结
这节课你有什么收获?
五、布置作业
1、一次函数y=-3x-9,当函数值y大于-3是，自变量x的取值范围是
。
2、如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b>0解集是
。
3、图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组(
)的解.
A.
B.
C.
D.
4、甲、乙两地相距600千米，快车匀速走完全程需10小时，慢车匀速走完全程需15小时，两车分别从甲、乙两地同时相向而行，求从出发到相遇，两车的距离y(千米)与行驶时间x(时)的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并在坐标系中画出函数的图象.
5、如图，L1，L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(h)的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000h，照明效果一样.
(1)根据图像分别求出l1，l2的函数关系式.
(2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?
六.教学反思：