高中数学导数教案

教案环节内容/特点身体表演与空间互动+理论讲解将“空间尺度、限定与围合方式、光线、材料、建造、场地、结构”等知识点的认知与训练综合地介入教学。今天小编为大家精心挑选了关于《高中数学导数教案1》，希望对大家有所帮助。

第一篇：高中数学导数教案1

高中数学 3.1.1 导数与函数的单调性(一) 教案 北师大选修2-2

3.1.1 导数与函数的单调性

教学过程： 【引 例】

1、 确定函数yx24x3在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数? 解：yx24x3(x2)21，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。 问：

1、为什么yx24x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数?

2、研究函数的单调区间你有哪些方法?

都是反映函数随自(1) 观察图象的变化趋势;(函数的图象必须能画出的)

变量的变化情况。 (2) 利用函数单调性的定义。(复习一下函数单调性的定义)

322、确定函数f(x)=2x-6x+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?

(1) 能画出函数的图象吗?那如何解决?试一试。提问一个学生：解决了吗?到哪一步解决不了?(产生认知冲突)

(2) (多媒体放映)

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不

32知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x-6x+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

(研究的必要性)事实上用定义研究函数yx24x3的单调区间也不容易。 【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

32问：如何入手?(图象) 从函数f(x)=2x-6x+7的图象吗?

1、研究二次函数yx4x3的图象; (1) (2) (3) (4) (5) 学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的? (开口方向，对称轴)既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律? 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。 得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。(学生总结)： ①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负; 在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正;

注：切线斜率等于0，即其导数为0;如何理解?

②就此函数而言这种规律是否一致?是否其它函数也有这样的规律呢?

2、先看一次函数图象;

3、再看两个我们熟悉的函数图象。(验证) (1) 观察三次函数yx的图象;(几何画板演示)

(2) 观察某个函数的图象。(几何画板演示)

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数

专心

爱心

用心

- 13

∴y=x-9x+24x的单调增区间是(4，+∞)和(-∞，2) 令3(x-2)(x-4)<0，解得20，解得-11或x<-1. 3∴y=3x-x的单调减区间是(-∞，-1)和(1，+∞)

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的 图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是( ) 32小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系? 【课堂小结】

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 【思考题】

32对于函数f(x)=2x-6x+7 思考

1、能不能画出该函数的草图? 思考

2、2x76x在区间(0，2)内有几个解? 【课后作业】 3课本p42习题2.4 1,2

专心

爱心

用心

第二篇：高中数学补习教案----导数压轴题7大题型归类总结

导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+

一、导数单调性、极值、最值的直接应用

涉及本单元的题目一般以选择题、填空题的形式考查导数的几何意义，定积分，定积分的几何意义，利用图象判断函数的极值点，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等. 1. 利用导数研究函数的单调性

(1)首先确定所研究函数的定义域，然后对函数进行求导，最后在定义域内根据f′(x)>0 ，则函数单调递增，f′(x)<0，则函数单调递减的原则确定函数的单调性.

(2)利用导数确定函数的单调区间后，可以确定函数的图象的变化趋势.

2.利用导数研究函数的极值、最值

(1)对函数在定义域内进行求导，令f′(x)=0，解得满足条件的xi(i=1,2…)，判断x=xi处左、右导函数的正负情况，若“左正右负”，则该点处存在极值且为极大值;若“左负右正”，则该点处存在极值且为极小值;若左、右符号相同，则该点处不存在极值.

(2)利用导数判断函数y=f(x)的最值通常是在给定闭区间[a,b]内进行考查，利用导数先求出给定区间内存在的所有极值点xi(i=1,2…)，并计算端 点处的函数值，最后进行比较，取最大的为最大值;最小的为最小值，即max{f(a),f(b),f(xi)}，min{f(a),f(b),f(xi)}.

(3)注意函数单调性与极值、最值之间的联系.导数值为零的点的左、右两端的单调性对其极值情况的影响，单调性对函数最值的影响，都要注意结合函数的图象进行分析研究.

(4)注意极值与最值之间的联系与区别，极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 2. 定积分及其应用

(1)简单定积分的计算，能够把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差，然后分别用求导公式求出F(x)，使得F′(x)=f(x)，利用牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值，最后求得结果.

(2)微积分基本定理的应用：能够根据给出的图象情况，建立简单的积分计算式子，求值计算.理解微积分基本定理的几何意义：曲线与 轴围成的曲边多边形的面积，可以通过对该曲线表示的函数解析式在给定区间内求其积分而得到.其一般步骤是：画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限;确定被积函数，特别是注意分清被积函数的上、下位置;写出平面图形面积的定积分的表达式;运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.

(2017高考新课标Ⅱ，理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-l)ex-1的极值点，则f(x)的极小值为(

) A.-1 B.-2e-

3C.5e-3

D.1

【答案】A 【解析】

由题可得f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-l)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1，

因为f′(-2)=0，所以a=-1，f(x)=(x2-x-1)ex-1，故f′(x)=(x2+x-2)ex-1，

令f′(x)>0，解得x<-2或x>1，

所以f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，

所以f(x)的极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1，故选A. 【名师点睛】

(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)=0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同;

(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值.

(2015高考新课标Ⅰ，理12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a ,其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是(

)

B.

C.

D.

.(2016高考新课标II，理16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=______.

(2016高考新课标III，理15)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,−3)处的切线方程是______.

二、交点与根的分布

三、不等式证明

(一)做差证明不等式

(二)变形构造函数证明不等式

(三)替换构造不等式证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围

(一)恒成立之最值的直接应用

(二)恒成立之分离参数

(三)恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用

六、导数应用题

七、导数与三角函数的结合

补充练习题：

6. (2018，全国1)

7. (2018，,全国2)

8. (2018，全国3)

第三篇：11-12学年高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2

1.3.1

函数的单调性与导数

一、选择题

1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是(　　)

A.b2-4ac>0

B.b>0，c>0

C.b=0，c>0

D.b2-3ac<0

[答案]　D

[解析]　∵a>0，f(x)为增函数，

∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立，

∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0，∴b2-3ac<0.

2.(2009·广东文，8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)

A.(-∞，2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D.(2，+∞)

[答案]　D

[解析]　考查导数的简单应用.

f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex，

令f′(x)>0，解得x>2，故选D.

3.已知函数y=f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)

A.[-1，+∞)

B.(-∞，2]

C.(-∞，-1)和(1,2)

D.[2，+∞)

[答案]　B

[解析]　令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(-∞，2].

4.已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是(　　)

[答案]　C

[解析]　当0

∴f′(x)<0，故y=f(x)在(0,1)上为减函数

当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y=f(x)在(1，+∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.

5.函数y=xsinx+cosx，x∈(-π，π)的单调增区间是(　　)

A.和

B.和

C.和

D.和

[答案]　A

[解析]　y′=xcosx，当-π

cosx<0，∴y′=xcosx>0，

当00，∴y′=xcosx>0.

6.下列命题成立的是(　　)

A.若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0

B.若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数

C.若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在

D.若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数

[答案]　B

[解析]　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错;f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错;f(x)=2在(a，b)上的导数为f′(x)=0存在，但f(x)无单调性，故D错.

7.(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)

A.f′(x)>0，g′(x)>0

B.f′(x)>0，g′(x)<0

C.f′(x)<0，g′(x)>0

D.f′(x)<0，g′(x)<0

[答案]　B

[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.

8.f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

A.af(a)≤f(b)

B.bf(b)≤f(a)

C.af(b)≤bf(a)

D.bf(a)≤af(b)

[答案]　C

[解析]　∵xf′(x)+f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，

∴f′(x)≤-，即f(x)在(0，+∞)上是减函数，

又0

9.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f′(x)≥0，则必有(　　)

A.f(0)+f(2)<2f(1)

B.f(0)+f(2)≤2f(1)

C.f(0)+f(2)≥2f(1)

D.f(0)+f(2)>2f(1)

[答案]　C

[解析]　由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1，+∞)上单调递增，在(-∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，

故f(0)+f(2)≥2f(1).故应选C.

10.(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S′(t)的图像大致为

(　　)

[答案]　A

[解析]　由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.

二、填空题

11.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数，则b的范围为________.

[答案]　b<-1或b>2

[解析]　若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立，则Δ=4b2-4(b+2)≤0，∴-1≤b≤2，

由题意b<-1或b>2.

12.已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)>1在区间(1，+∞)内恒成立，实数a的取值范围为________.

[答案]　a≥1

[解析]　由已知a>在区间(1，+∞)内恒成立.

设g(x)=，则g′(x)=-<0　(x>1)，

∴g(x)=在区间(1，+∞)内单调递减，

∴g(x)

∵g(1)=1，

∴<1在区间(1，+∞)内恒成立，

∴a≥1.

13.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.

[答案]　(-∞，-1)

[解析]　函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2，+∞)∪(-∞，-1)，

令f(x)=x2-x-2，f′(x)=2x-1<0，得x<，

∴函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞，-1).

14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________.

[答案]　[3，+∞)

[解析]　y′=3x2-2ax，由题意知3x2-2ax<0在区间(0,2)内恒成立，

即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.

三、解答题

15.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11).

(1)求a、b的值;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

[解析]　(1)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b.

由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11)，所以f(1)=-11，f′(1)=-12，

即，

解得a=1，b=-3.

(2)由a=1，b=-3得

f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)

=3(x+1)(x-3).

令f′(x)>0，解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0，解得-1

所以当x∈(-∞，-1)时，f(x)是增函数;

当x∈(3，+∞)时，f(x)也是增函数;

当x∈(-1,3)时，f(x)是减函数.

16.求证：方程x-sinx=0只有一个根x=0.

[证明]　设f(x)=x-sinx，x∈(-∞，+∞)，

则f′(x)=1-cosx>0，

∴f(x)在(-∞，+∞)上是单调递增函数.

而当x=0时，f(x)=0，

∴方程x-sinx=0有唯一的根x=0.

17.已知函数y=ax与y=-在(0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.

[分析]　可先由函数y=ax与y=-的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.

[解析]　∵函数y=ax与y=-在(0，+∞)上都是减函数，∴a<0，b<0.

由y=ax3+bx2+5得y′=3ax2+2bx.

令y′>0，得3ax2+2bx>0，∴-

∴当x∈时，函数为增函数.

令y′<0，即3ax2+2bx<0，

∴x<-，或x>0.

∴在，(0，+∞)上时，函数为减函数.

18.(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.

(1)若a=，求f(x)的单调区间;

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.

[解析]　(1)a=时，f(x)=x(ex-1)-x2，

f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).

当x∈(-∞，-1)时，f′(x)>0;当x∈(-1,0)时，f′(x)<0;当x∈(0，+∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(-∞，-1]，[0，+∞)上单调递增，在[-1,0]上单调递减.

(2)f(x)=x(ex-1-ax).

令g(x)=ex-1-ax，则g′(x)=ex-a.

若a≤1，则当x∈(0，+∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.

综合得a的取值范围为(-∞，1].

第四篇：北师大版数学选修1-1教案：第3章-拓展资料：用辨证的观点学导数

拓展资料：用辨证的观点学导数

导数的重要性是人所共知的.它不仅仅应用于数学、物理、化学，而且在天文、地理、经济等科学领域中也有非常广泛而重要地应用;学好它是应该的也是必须的.但这个内容与我们前面学习的东西又有很大的区别，如何理解它呢?只要你能辨证的看问题也许就不难了.下面我们看几个例题：

例1 自由落体的瞬时速度问题

我们知道自由落体运动是一种变速运动，它的下落高度h12.如图，当物体gt(g为自由落体加速度，t为下落的时间)2从点A处自由下落时，由B到C的过程是变速的，但当h很小时，我们可以把它看成是匀速运动.若由B到C的时间为t，则此时的11g(tt)2gt2h212gtt.由于t很小，当t0速度为vtt2

时，点B与点C将无限接近，当趋于一点时，就得到了我们平时用的自由落体的瞬时速度公式vgt.

例2 交流电的瞬时电流强度问题

由物理知识我们知道，对于直流电，单位时间内流过导线截面的电量叫做电流强度.设t从t0变到t0t时，通过导线截面的电量为q，电流强度公式为：电流强度q. t

对于交流电，电量是随时间变化的.设电量q与时间t的关系为qq(t)，当t从t0变到t0t时，电量为qq(t0t)q(t0)，从而电流强度qq(t0t)q(t0)，tt显然，这只是在时间段t内的平均电流强度.当t很小，即t0时，t0tt0，此时，就得到了t0时的瞬时电流强度.

例3 非均匀细棒的密度问题

所谓细棒是指棒的横断面很小，且在任何部位的横断面面积都相等.如果棒的任何长度相等的两段质量都相等，就说棒是均匀的，否则，棒就是非均匀的.因此，非均匀细棒有的地方质量分布较密、有的地方质量分布较疏.对于均匀的细棒的密度可用公式：密度质量长度，来计算.

下面我们来探求非均匀细棒的密度.设棒的一端为A，棒上的任意一点为P，且PAx，PA段的质量记为pp(x)，当PA由x变到xx时，质量的改变量pp(xx)p(x)，则此时的密度p(xx)p(x)，显然，这是由x到xx的平

x均密度.当x很小，即x0时，xxx，此时，就得到了P处的密度.

可以看出：以上三例的处理方式很相近，无论是“当h很小时，我们可以把它看成是匀速运动”，还是“这只是在时间段t内的平均电流强度”、“这是由x到xx的平均密度”都是一个辨证的过程，在这个辨证的过程中，量变促使了质变.

第五篇：高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之导数与推理与证明student

高中数学新课标讲座之导数与推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标讲座之导数与推理与证明

【基础回归】

1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，„，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似的，称图2中的1，4，9，16，„，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是()

A.289B.1024C.1225D.1378

2.在R上定义运算:xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立， 则()A.1a1B.0a2C.1a3D.3a1 222

23.已知数列{an}满足a10,an1

an3an1(nN*)，则a20=() A.0B.3C.3D./2

2231151117,122,1222，„，则可归纳出式子为() 2342323

41n24.观察式子：1A.1

C.112213212n12n1nB.1D.11221321n212n11

221

321

n21

221

321

n22n 2n1

315.设n为正整数，f(n)111„，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)5，f(16)3， 2n22

37f(32)。观察上述结果，可推测出一般结论() 2

A.f(2n)n22n1B.f(n2)n2C.f(2n)D.以上都不对 222

26.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2 成立时，总可推出f(k1)≥(k1)

成立”，那么，下列命题总成立的是若()成立

A.f(1)1成立，则f(10)100B.f(2)4成立，则f(1)≥1

C.f(3)≥9成立，则k≥1时，均有f(k)≥k2D.f(4)≥25成立，则k≥4时，均有f(k)≥k2

7.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，bS，对于有序

元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对任意的a，bS，有a*(b*a)b，则对任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是()

A.(a*b)*aaB.[a*(b*a)]*(a*b)aC.b*(b*b)b

则必有()

A.bf(a)≤af(b)

【典例剖析】

〖例1〗用分析法证明：722。

B.af(b)≤bf(a)C.af(a)≤f(b)D.bf(

b)

≤f(a) D.(a*b)*[b*(a*b)]b )上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，8. f(x)是定义在(0，

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高中数学新课标讲座之导数与推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

〖例2〗用三段论证明函数yx22x在(-∞，1]上是增函数。

222〖例3〗已知：sin30sin90sin15033222; sin5sin65sin125。 22

通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度都成立的一般性的命题，并给予证明。

22xy〖例4〗已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C:221(ab0)上关于原点O对称的两个点，点P是 ab

椭圆C上任意一点，且直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN)，则kPM·kPN是与点P位置无关

x2y2的定值。试写出双曲线E:221(a0,b0)的类似性质，并加以证明。 ab

【思维训练】

1.对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：

① a122220;② (ab)a2abb;③ 若|a||b|，则ab;④ 若aab，则ab。 a

那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是()

A.①②B.②③C.③④D.②④

2())≥0，2.已知二次函数f(x)axbxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x，有f(x则f1

f(0)

的最小值为()

A.3B.5/2C.2D.3/2

3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个

四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为_____

21114.已知函数f(x)x，那么f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()____________ 2341x2

5.在△ABC中，射影定理可以表示为abcosCccosB，其中a,b,c分别为角A、B、C的对边，

类似以上定理，在四面体PABC中，S

1、S

2、S

3、S分别表示△PAB、△PBC、△PAC、△ABC的面积，，，分别表示面PAB、面PBC、面PAC与底面ABC所成角的大小，请给出一个空间四面体性质的猜想：________________

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