数学文化课程论文

数学文化课程论文（精选6篇）

数学文化课程论文 第1篇

浅谈数学机械化

一、数学机械化的概念 何为数学机械化？所谓数学问题的机械化,就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有一个确定的、必须选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。即将数学的主要内容，方程求解与定理证明，转变为计算机可以接受的形式并利用计算机强大的计算功能解决数学与高新技术中的理论问题。即所谓的机械化就是刻板化和规格化，也就是对一类定理(可以是成千上万)提供一种统一的算法，使得该类定理中的每个定理，都可依此方法给出证明。从而实现从“一理一证”到“一类一证”的飞跃。在数学中，要通过推理和证明来建立定理，证明的每一个步骤都是通过逻辑推理，推出另一些命题。从它们出发进行推理的命题称为前提，由此推出的命题称为结论。而机器证明，就是要把这项推理和证明的工作交由计算机去完成。它是现代数学中一种新兴的边缘性学科，是现代人工智能发展的一个重要方向。

二、数学机械化的理论基础

数学机械化研究，是在初等几何定理的机器证明研究方面取得突破的。公理化体系的几何定理证明非常不机械化。以中学课程中的几何为例，－个定理的证明，往往要经过冥思苦想，奇巧构思，无章可循地填加辅助线，迂回曲拆地给出证明。如何利用计算机进行自动惟理，特别是进行几何定理的自动证明，是学术界长期研究的课题。所谓定理的机械化证明，就是对一类定理（这类定理可能成千上万）提供一种统一的方法，使得该类定理中每个定理，都可依此方法给出证明。在证明过程中，每前进一步，都有章可循地确定下一步该做什么和如何做。从“一理一证”到“－类一证”，是数学的认识和实践的飞跃。吴先生创立了初等几何（泛指不具有微分运算的几何，如欧氏几何、非欧几何、仿射几何、投影几何、代数几何等等）定理证明的机械化方法，国际上称“吴方法”，首次实现了高效的几何定理的机器证明。“吴方法”也可用于几何定理的自动发现和未知关系的自动推导。吴文俊先生的开创性成果，打破了国际自动推理界在几何定理自动证明研究中长期徘徊不前的局面，也使我国在这一领域处于领先地位。吴先生的杰出贡献，使他获得1998国际自动推理界的最高奖“Herbrand奖”。

例如机械化证明几何定理：首先引进坐标，使待证定理的假设与终结都转换成多项式方程。这在通常的情形都是如此的。然后依照某种确定的方式对代表假设的多项式方程进行处理，使在有限步骤后到达代表结论的那一个多项式方程，或与之相反。这就给出了一个机械地进行的证明或否定一个几何定理的过程。这一方法还具有普适的性质。即不论所考虑的定理出自何种初等几何，不论是欧氏的，还是非欧的，只要像通常出现的那样，假设与终结都可用多项式方程来表示，就可应用这同一的方法与过程

三、数学机械化的发展历程

历史上一些大师级的数学家，曾在几何定理的机器证明这条道路上艰辛地探索过。笛卡儿为了用代数的方法来处理千变万化的几何问题，发明了坐标方法，创立了解析几何，这是科学上的一件大事，从而为用计算机解决几何问题打下了基础。

莱布尼滋，微积分的创始人之一，曾有过“推理机器”的设想。他还提出了现代计算机上所用二进制记数法，这项工作促进了数理逻辑的早期工作。

大数学家希尔伯特在他的《几何基础》中，曾给出了一类几何问题的机械化解题方法。9 4 5年，波兰数理逻辑学家塔尔斯基(A．A．Tarski)证明了一个值得称道的定理——塔尔斯基定理：一切初等几何和初等代数的命题，都可以机器证明。(前提和结论都可以用有限个整系数多项式的等式或不等式来表达的命题，叫做初等几何和初等代数命题。)1 9 7 5年，考林斯(Collins)提出了“柱面代数分解方法”，比塔尔斯基的方法提高了许多，但在计算机上仍然只能解决个别稍难点的几何问题。

20世纪70年代以来，吴文俊研究机器证明问题。他提出的机械化方法，国际上称之为“吴方法”，被认为是机器证明的里程碑式的贡献。2001年，吴文俊获首届中国国家最高科技奖，而机器证明是获奖的主要原因。

1984年，吴文俊院士的学术专著《集合定理机器证明的基本原理(初等几何部分)》由科学出版社出版。这本专著遵循机械化思想引进数系和公理，依照机械化观点系统地分析了各类几何体系，诸如Pascal几何、垂直几何、度量几何，以及欧氏几何，证明确立了各类几何的机械化定理，系统地阐明了几何定理机器证明代数方法的基本原理。

后来，洪加威等人提出了通过数值实例的检验（即列举法）来证明几何定理的思

想方法，张景中、杨路提出了数值并行法和面积法，李洪波、王车明发展了不变量方法，极大地促进了数学机械化的发展。

四、数学机械化的应用

1.证明几何学问题

几何学包括定理证明、几何作图和几何不等式证明。在吴先生开刨性成果的影响和启迪下，在几何学的机械化方面，如定理机器证明、几何自动作图和几何不等式机器证明，我国学者都取得了很大成绩。

众所周知，直线和平面等几何概念可由一次代数方程描述，多项式方程则用于描

述曲线和曲面等。数学科学中，从线性到非线性的第一步跨跃，是由多项式实观的。因此，多项式方程组求解是非线性数学最基本的课题，这个问题的研究已经持续几百年。数学不同分支中许多的问题、自然科学不同领域中很多的问题、高新技术中大量的问题，都可转化为多项式方程组求解。在几何定理机器证明的过程中，必须理清多项式方程组的零点结构。这一需求，促使吴先生创立了多项式方程组求解的理论和方法，国际上称“特征列法”或“吴消元法”。吴先生还把这些方法拓展到微分情形，建立了微分几何定理机器证明和微分代数方程组求解的机械化理论和方法。自然，较之代数情形，微分代数的应用范围更为广阔，同时，问题的研究更为复杂和困难。

2.四色问题的证明

人工智能定理证明最有说服力的例子，是机器证明了困扰数学界长达100余年之久的难题——“四色定理”。据说，“四色问题”最早是1852年一位21岁的大学生提出的数学难题：任何地图都可以用最多四种颜色着色，就能区分任何两相邻的国家或区域。这个看似简单的问题，就象“哥德巴赫猜想”一样，不知难倒了多少著名数学家和献身数学的业余爱好者，属于世界上最著名的数学难题之一。

1976年6月，美国伊利诺斯大学的两位数学家沃尔夫冈·哈肯（W.Haken）和肯尼斯·阿佩尔（K.Apple）自豪地宣布，他们用电脑证明了这一定理。哈肯和阿佩尔攻克这一难题使用的方法仍然是前人提出的“穷举归纳法”，只是别人用的是手工计算，无论如何也不能“穷举”所有的可能性。哈肯和阿佩尔编制出一种很复杂的程序，让3台

IBM360大型电脑去自动高速寻找各种可能的情况，并逐一判断它们是否可以被“归纳”。十几天后，共耗费了1200个机时，做完了200亿个逻辑判断，电脑终于证明了“四色定理”。

3.数学定理的自动发现

数学机械化的发展方向不仅仅是定理自动证明，它还应该能使用户发现他以前并不知道的定理，即定理的自动发现或猜想的自动提出。

以HR系统为例，来阐述如何自动发现定理。

HR系统是一种主要做描述性归纳工作的机器学习系统，它能基于所给的背景知识提出经验性的猜想，并尝试使用第三方软件来证明该猜想的正确性。下面我们把该系统所能做的工作分为6大类：（ⅰ）使用由用户提供的背景信息（ⅱ）发明新的概念（ⅲ）提出经验性猜想（ⅳ）寻找反例（ⅴ）证明该定理（ⅵ）报告结果。

计算技术在纯数学领域一个最要的应用就是使用CAS进行数学家无法通过手工完成的计算工作，在计算过程中通过对由CAS内部产生数据的分析来探索新的函数和提出经验性猜想。在该探索和发现过程中，我们通过使用HR系统提出关于用户所给的Maple函数的猜想，使这个探索和发现过程完全机械化。在该过程中，HR先用用户所提供的Maple函数的信息来发明新的概念，进而提出与这些新概念相关的数学猜想，然后把这个猜想交给第三方定理证明机，通常是Otter theorem prover, 来证明该猜想的真伪。这种方法已经成功运用在20多个有限代数理论体系中，其中主要包括数论、图论、集合理论和ring理论，发现了很多重要的新定理。

五、数学机械化的发展前景

自20世纪70年代以来，计算机解几何问题的本领已飞跃提高。但是更难的问题的解决，要求发展更有力的新方法。发展非线性代数方程组的并行插值求解方法，综合不同方法的长处以建立有效的人机交互求解系统，都是极有希望的研究方向。对于几何不等式和几何作图的机器求解的研究，这不但有传统的兴趣，更有广泛的应用，是目前国际上一个很活跃的领域。这一方向方兴未艾，有大量的工作可做。在几何定理的机器证明的各种方法都有长足的发展，如何把不同的方法综合起来，组织成有效的几何问题计算机自动求解或人机交互求解系统，将成为更有意义的研究方向。

在研究几何定理机器求解时，创造或发展了一些新的方法或代数工具，它们也可以用来解决其他领域的问题。如机构设计、曲面造型、计算机辅助设计、机器人控制、计算机视觉、自动控制、化学平衡、几何模型等领域都有着广泛的应用。但这些都是本领域人员自己的设想，与技术领域的实际需求有一定的距离。因此，有必要做更具体的分析，并开发界面友好、易学易用的软件。另一种应用是把几何定理机器证明的程序发展成软件，或者直接嵌入计算机应用软件中。在这些方面，数学机械化有很大的发展前景。

【参考文献】

[1] 吴文俊 《论数学机械化》 山东教育出版社1996年7月

[2] 易南轩，王芝平《多远视角下的数学文化》 科学出版社 2007年9月

[3] 林东岱《数学与数学机械化》 山东教育出版社 2001

数学文化课程论文 第2篇

摘 要：数学教学中蕴涵着丰富的“ 文化”资源!数学能完善人的心智，净化人的灵魂。

如今种种新理念在价值取向上都在追求 教育的民主与公平，追求个性的 发展和群体的合作，追求“科学”与“人文”的融合，强调人的个性发展。

关键词：数学教学 数学文化终身教育

数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和 语言是现代文明的重要组成部分。

作为“文化”的数学，要充分展示数学知识发生、发展及其 应用的过程，体现数学与生活的 联系，体现数学的人文价值。

而其中“数学的观念、意识和思维方式”是“数学文化”的核心。

1、学习方式的丰富

传统的数学教学更多地倾向于“系统学习”，不可否认这是一种高效的接受式学习方式，但面对日益纷繁复杂的知识 经济 社会，仅有这种学习方式已远远不够。

把学生从大量 机械重复练习中解放出来，让儿童在动手、动口、动脑中进行创造性地学习已成为必然。

如在教学“圆的认识”中，一位教师先用现实生活中圆形的物体举例，使学生认识了圆与其他平面图形的不同之处。

至于怎样画圆，教师不作示范，就让学生自己想方设法大胆尝试。

“你们会画出标准的圆形吗?看谁的方法最好最多?”学生相互协作，人人动手、动脑，很快大部分学生都学会借用圆形物体(如硬币、墨水瓶盖等)或圆规画圆;然后，

教师进一步激励学生进行探索：“如果要建设一个圆形大花坛能用圆规画出来吗?”进而再探索“汽车的车轮为什么是圆的，而不是其他形状?”这种教学给学生提供了较大的想象空间，鼓励学生求异创新，大胆探索;使学生的 实践能力、思维能力有了很大的提高。

2、人格个性的完善

在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念。

人们把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。

但是数学是门大众文化，从古希腊数学发展至今，其中有着它自己深深的文化渊源。

数学教学就是要挖掘蕴藏在数学之中的丰富的文化资源，实现科学价值与人文价值的和谐，促进学生的可持续发展。

比如在教学“百分数的认识”一课中，在课接近尾声时引导学生就“我国人口占全世界的 2l%、我国耕地面积占全世界的5%”两条信息谈谈自己的看法。

学生充分调用自己的数学、地理、人文知识，各抒己见。

教师在不经意间升腾起学生的爱国豪情，更激起学生对地球资源的珍视。

一种关注地球未来命运的崇高精神随着百分数的认识得以滋养和生发，这也许正是人文化数学课程的独特魅力。

3、终身教育的建立

教育是培养人的社会活动，教育的最终目的并不只是让人学会认识若干条自然规律或一两种技能，而是使人得到全面有效地发展，成为一个思想素质、专业素质、 心理素质、德行等全方位发展的人才。

要培养这样的人才，仅靠传统的专业教育是难以实现的，必须通过加强人文教育才能达到这一目标。

所以终身教育与其说是一种制度，不如说是一种文化的追求，是一种理想。

它的基本要义就是使人人成为主动适应来来变化之人。

而要成为主动适应未来的可持续发展的人，其关键是学会学习!唯如此，才能以不变应万变，成为时代精神的领路人。

进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入。

一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。

如在教学“圆柱体体积计算公式”时，我先讲了曹冲称象的故事，一方面激发了学生学习的兴趣，另一方面又引起了学生的沉思：

可不可以把圆柱体转化成已经学过的图形来分析呢?而在把圆柱体转化成长方体时，我又根据学生的叙述，用多媒体演示了多种切拼方法，在切拼的时侯学生发现：无论哪种方法都要把圆柱分得很细小，拼成的图形才越接近于标准的长方体。

在这一过程中，向学生渗透了转化、微分、积分等数学思想方法。

我想，为学生的可持续发展服务，这可能在学生以后的人生中是比圆柱体积公式更有用，更有生命价值的知识。

日本著名数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》中指出：数学应该不仅指数学知识，而尤其是数学的精神、思想、方法。

学生在初中、高中等所接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以，通常是出校门后不到一二年便很快就忘掉了。

然而不管他们从事什么 工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法都随时随地发生作用，使他们受益终身。

数学的精神、思想方法对人的发展起着举足轻重的影响。

数学教学中蕴涵着丰富的“文化”资源!数学能完善人的心智，净化人的灵魂。

如今种种新理念在价值取向上都在追求教育的民主与公平，追求个性的发展和群体的合作，追求“科学”与“人文”的融合，强调人的个性发展。

一句话，强调“完人”的塑造，促进个体的持续发展。

数学文化融入高等数学课程的实践 第3篇

1 背景意义与现状分析

随着21世纪知识经济时代和信息时代的到来, 数学的地位和作用越来越被大多数人认可, 再加上计算机的普及和应用, 给出一个现实的启示:每一个想成为有较高文化素质的现代人都应当具备较高的数学素质, 数学素质对于现代大学生整体素质的意义来说尤为重要, “数学文化”融入到高等数学教学的意义亦尤为重大。

高等数学课程是我校各专业都开设的必修课, 这对提高学生的数学水平和数学能力起到了一定的作用。对于数、理、化、生等理科专业及采矿、自动化、材料冶金等工科专业, 高等数学课的课时虽然较多, 但教师多半以讲授数学知识及其应用为主, 对于数学在思想、精神及人文方面的一些内容很少涉及, 甚至连数学史、数学家、数学观点、数学思维这样一些基本的数学文化内容, 也只是个别教师在讲课中零星地提到一些。对于数学基础较差的文科生, 在几十年的数学教学过程中, 任课教师都是了解人文知识欠缺的理工科院校毕业的硕、博士生, 使用的教材和课程内容基本是理工科数学的简化和压缩, 普遍采取重结论不重证明、重计算不重推理、重知识不重思想的讲授方法, 而较少关注数学对学生人文精神的熏陶, 更多的是从“通用工具”的角度去设计的。因此, 大学生虽然从小学、中学到大学学了多年的数学课, 但大学生仍然对数学的思想、精神了解的很肤浅, 对数学的宏观认识和总体把握较差。而这些数学素养, 反而是数学让人终生受益的精华。现考虑大学生及数学教育的特点, 本项目组认为, 对于理工科专业的学生, 仍然加强数学在“工具”和“抽象思维”方面的能力培养, 适当地融入数学文化等人文方面的内容, 提高大学生学习数学的兴趣。但文科专业的学生不同于理工科专业的学生, 文科学生参加工作后, 具体的数学定理和公式可能较少使用, 而让他们能够受益的往往是在学习这些数学知识过程中培养的数学素养—从数学角度看问题的出发点, 把实际问题简化和量化的习惯, 有条理的理性思维、逻辑推理的意识和能力, 周到地运筹帷幄等等。所以, 对于文科学生而言, 数学教育在“工具、抽象思维”方面的作用相对次要, 在“理性思维、形象思维、数学文化”等人文融合方面的作用更加重要。即使是数学“工具”的方面, 不同的文科专业, 需要的侧重点也不同。

2 数学文化融入高等数学课程的方法

我校“高等数学”必修课采用传统板书方法为主、信息技术手段为辅的教学方法。根据数学学科的特点, 充分注意到理工科学生的情况和文科专业的特点, 在教学中我们主要实施下列一些方法。

2.1 提高学生学习数学的兴趣和积极性

因兴趣是最好的老师, 而高等数学基本都是在大学一年级开设的通识课程, 所以我们首先让学生知道进入大学之后“为什么还要学习数学 (高等数学) ”, 进一步让学生了解“学习高等数学有什么用”和“怎样学习高等数学”等问题, 至少消除学生对学习数学的畏惧感、厌烦感。如果在教学中讲解知识点时, 能让学生清楚地看到知识产生的原因, 就能揭开数学神秘面纱, 使他们在内心深处亲近数学。另外, 教学中我们也从学生熟悉的实际案例出发, 或从数学的典故出发, 介绍一些现实生活中发生的事件, 以引起学生的兴趣。例如:求极限 解题完成后, 进一步加以揭示:该题表达式中每一项的极限都为0, 但它们的和的极限为1, 而不为0。师语点拨:“万涓成河、水滴石穿、团结就是力量”等哲理。

2.2 融入数学科学的精神实质和思想方法等数学素养

文科数学课时比理工科少一半, 所学知识也只是高等数学的一点皮毛, 一些具体的定理、公式往往会忘掉, 但若通过学习能对数学科学的精神实质和思想方法有所新的领悟和提高, 才是最大的收获, 并会终身受益。这才是检验教学效果最根本的尺度。但这是一个潜移默化的过程, 需要教师引导, 学生领悟。因此, 我们在数学知识的教学中, 非常注重过程教学, 介绍一些问题的知识背景, 讲清数学知识的来龙去脉, 揭示渗透数学知识中的思想方法, 突出其所蕴含的数学精神, 让学生在学习数学知识的同时, 自己体会数学科学精神与思想方法。根据文科学生长于阅读的特点, 我们在教材的各章配置一些阅读材料, 要求学生课后认真阅读。这些材料适时适度地对基本概念发生发展的历史作介绍, 扼要地介绍数学发展史中一些有里程碑意义的重要事件及其对于科学发展的宝贵启示, 以及一些数学家的事迹与人品;并以较短的篇幅简要地介绍了数学科学中的一些重要思想方法[3]。

2.3 结合专业特点讲解数学知识

高等数学有抽象的一面, 尽管我们注重过程教学, 但数学基础较差的学生仍难以理解数学知识所蕴含的数学思想方法。考虑到文、理、工科学生对自身专业的偏好以及已有的专业知识, 我们在教学中, 常以学生专业为教学背景, 引入课题, 说明概念, 讲解例题, 使得抽象的数学知识与学生熟悉的专业联系起来, 激发了学生学习的情趣。比如介绍微积分在经济领域的应用, 通过边际效应帮助学生加深对导数概念的理解;引用李白的诗句:“孤帆远影碧空尽, 唯见长江天际流”来描写极限过程[5]。

在大学数学课程中渗透数学文化素质教育, 关键在于教师。作为教师, 我们首先要树立正确的数学教育观;其次要深刻理解和把握数学文化的内涵;再次是在教学活动中积极实践、不断探索、勇于创新。只有发挥了教师的关键作用, 数学文化素质才能真正进入课堂, 才能渗透得有效、出彩。对学生来讲, 只有利用一定的数学知识或数学思想解决一些现实问题, 或了解用数学解决实际问题的一些过程与方法, 他们才会体会到数学的广泛应用价值。也只有在实际应用中, 学生才会真正形成数学意识, 建立数学观念, 培养数学素养, 提高数学素质, 从而在源头上提高运用数学知识分析问题和解决问题的能力, 达到教学目标和提高数学素质的要求[6]。

参考文献

[1]何莉敏, 王嘉谋, 石琳.高等数学教学改革实践[J].高师理科学刊, 2011, 31 (6) :90-92.

[2]何莉敏, 程慧琴, 侯玉双, 等.数学文化融入大学数学课程教学的改革[J].高师理科学刊, 2013, 33 (3) :82-84.

[3]顾沛, 戴瑛.人文学科类数学课程设置和教学内容、体系改革的研究与实践[J].大学数学, 2004, 20 (2) :10-16.

[4]顾沛.南开大学开设“数学文化”课的做法[J].大学数学, 2003, 19 (2) :23-25.

[5]张奠宙.关于数学史和数学文化[J].高等数学研究, 2008, 11 (1) :18-22.

实施校本课程 感受数学文化 第4篇

关键词：校本课程；数学文化；数学情感

“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”学校的数学教学内容更多的是对数学基础知识、基本技能和数学思想方法的学习，而相关的数学事件、数学人物、数学发展的曲折历程等文化内容的渗透很少。冀教版七年级教材第一学期的数学教学内容主要涉及有理数、代数式、整式的运算和一元一次方程等内容。因此作为对七年级学生课堂教学的补充和延伸，校本课程更多的侧重于对数学事件以及相关人物的介绍，寻求数学进步的历史轨迹，激发学生对数学创新原动力的认识，接受优秀文化的熏陶，领会数学的文化內涵，从而提高学生自身的文化素养和创新意识，培养学生的数学情感，激发学生的学习兴趣。

一、介绍数学的奖项，感受数学在世界科学界的重要地位

这两年，随着我国的莫言获得诺贝尔文学奖，之后屠呦呦又获得诺贝尔生理医学奖，大家对诺贝尔奖非常关注，诺贝尔奖是授予前一年世界上在这些领域对人类作出重大贡献的人，仅有文学、化学、物理、生理或医学、和平五个奖项，而没有设立数学奖项，但是在世界上还有很多专门为数学设立的或者是包含数学的奖项：菲尔兹奖、沃尔夫奖、阿贝尔奖、高斯奖、晨兴数学奖、苏步青奖、陈省身奖、罗尔夫·内万林纳奖、邵逸夫奖。通过对这些奖项的介绍，让学生全面地感受科学家的无私奉献、精益求精、一丝不苟的科学精神，为其树立学习的榜样。

二、了解负数曲折的产生过程，关注数学发展经历

在小学，学生已经认识了负数，但是并没有对负数有太多的了解，初中的学习使学生对数的认识范围扩大到有理数，并且能进行有理数的混合运算。但是，课堂上学生用45分钟认识的负数，在数学发展史上，从发现到正式被承认，经历了1000多年的时间。负数在中国，在法华寺，有一个有趣的传说，传达着负数是因为实际的需要出现的；李悝的《法经》中对负数的记载；公元前3世纪刘徽在注解《九章算术》时率先给出了负数的定义，规定了负数的加减运算法则，并解释因为解方程，同样也需要负数；正负数的乘除法则直到1299年，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中才有明确记载：“同名相乘为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负；我国古代数学家为了区分正数和负数，创造了两种记录负数的方法：一种是用不同颜色的算筹分别表示，通常用红筹表示正数，黑筹表示负数；另一种是采取在正数上面斜放一支筹来表示负数。在西方，1484年，法国的舒开在《算术三篇》中曾给出二次方程的一个负根，却又不承认它，说它是荒谬的数；意大利学者卡丹在《大术》中承认负根，但认为负数是“假数”。直到1572年，意大利数学家邦贝利（R.Bombelli，1526～1572）在他的《代数学》中才给出了负数的明确定义。通过对这些事件的了解，学生感受到即使一个小小的改变，也需要不懈的努力，即使是看似简单的负数，中外的数学家都为它的出现、使用、发展付出了艰苦的探索。

在数的发展过程中，负数的出现，扩大了数的范围，又引出了有理数，于是紧随其后的是一系列新问题的出现，如无理数与希伯索斯、根号的使用……

三、认识中外数学人物，感受他们的人格魅力

古今中外，数学家前仆后继，为数学的发展做出了很多很大的贡献。我国数学家刘徽治学态度严谨，为后世树立了楷模。在求圆的面积公式时，在当时计算工具很落后的情况下，他开方即达12位有效数字。他在注释“方程”章节18题时，共用1500余字，反复消元运算达124次，无一差错，答案正确无误，即使作为今天的大学代数课答卷亦无逊色。近代数学家熊庆来、陈省身、丘成桐、华罗庚、陈景润等不仅自己在学术上一丝不苟，在培养学生方面同样也是尽心竭力。挪威的阿贝尔，不顾家境贫寒，一直致力于对数学的研究，数学的每一个进步，都凝结着数学家无数的辛苦，这些故事更是令学生感慨不已。

四、经历数形结合的神奇，体会数学思想的妙用

奇妙正方形带给学生意想不到的结果。正方形的面积是小学已经掌握的知识，将边长为a的正方形增大或者减小b后仍为一个正方形，那么对所形成的新正方形面积的探究，让学生体会从不同的角度考虑一个问题，体验图形与数量关系结合的数学思想，经历与同学交流、自主探究的有趣的过程，同时也为后面勾股定理的介绍打下一个基础。图形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式。

五、了解数学猜想，关注生活中的数学，培养应用数学的意识

数学来源于生活，又为生活服务。哥德堡七桥问题和商品中的条码来自于生活中。哥德堡的七桥问题被欧拉于1736年研究并解决，他把问题归结为“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的，并产生了有关图论的研究。商品中的条码有助于实现商品零售（POS）、进货、存货管理、自动补货、销售分析及其他业务运作的自动化。

校本课程是基础教育课程改革的一个重要方面，通过校本课程开发，让学生能够接受数学文化的熏陶，感受数学历史的渊源，能用理性的思维认识客观世界，激发学生学习数学的兴趣，培养较高的数学素养。

参考文献：

朴炅美.数学维生素[M].郑炳男，译.中国现代出版社，2012.

数学文化论文 第5篇

论文题目：数学文化与人类文明

学院：经济管理学院

专业：工商管理

学号：2134031755

姓名：丁岳凤

数学文化

引言

在当今社会,科学技术正以迅猛的势头强烈地影响、渗透并冲击着人类社会几乎所有的领域,数学与数学技术是其中最强劲的浪潮之一。在新技术革命和信息革命中,数学理论与技术起着十分重要的作用。纵观人类科学与文明发展的历史,我们可以发现:数学一直是人类文明发展的主要文化力量,同时人类文化的发展又极大地影响了数学的进步。按照现代数学研究，数学文化可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统，其基本要素是数学及与数学有关的各种文化现象。数学文化研究开展以来，数学的抽象、确定、继承、简洁、统一的文化属性和渗透、传播、应用、预见的功能特征被挖掘出来，数学的艺术性也深深吸引了人们的眼球。本文就是着重研究数学文化与人类文明的联系，发掘数学的文化功能。关键词：

数学，数学文化，数学教育，人类文明 1.数学文化的内涵

数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。历史地看，古希腊和文艺复兴时期的文化名人，往往本身就是数学家。最著名的如柏拉图和达·芬奇．近代，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等都是 20 世纪数学文明的缔造者。“广义的文化概念强调的是文化对人类创造活动的依赖性。数学对象终究不是物质世界中的真实存在,从这个意义上说,数学就是一种文化。狭义的文化概念强调的是文化对人的行为、观念、态度、精神等的影响。”①数学除了在科学技术方面的应用外,其在精神领域的功效,特别是在对人类理性精神方面的影响也是有目共睹的。作为一种人类的理性精神,作为理性精神最有力的倡导者和体现者,今天数学已在一定程度上渗透到以前由权威、习惯和风俗所统治的领域,成为人们思想和行动的先导之一。某些数学成果如无理数和非欧几何的发现所产生的精神方面的影响,并不亚于对数学本身产生的影响,它们对认识论、伦理观乃至人生观都产生了巨大的影响。因此,在这种意义上说,数学还是一种文化。

按照现代数学研究，广义地讲，数学文化可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统，其基本要素是数学及与数学有关的各种文化对象。2.数学文化与一般人类文化、科学文化

数学文化有与一般人类文化的共性,因为它既是人类文化的组成部分,也是人类文化发展的产物,都有对人类智力、美学和道德方面培养的功能。但数学文化有与一般人类文化相比又具有特殊性,即数学文化的个性:数学有自己独一无二的语言—数学语言,数学具有独特的价值判断标准一一数学认识论和真理观。这使得数学不仅与文学、艺术有很大差别,而且与科学(包括自然科学和社会科学)也有着巨大的不同。从社会学的角度看,数学还具有独特的发展模式。这些独特的个性,一 方面使数学自身构成了一种独立的文化体系,同时也使数学与一般人类文化有本质的区别。

数学文化与科学文化也有着本质的不同,从学科分类中数学与自然科学的关系可以说明这一点。历史上,数学曾经是哲学的一个分支,亚里士多德护Jistotle)将数学放在关于纯知识学问的理论哲学中,欧洲中世纪的学者也将数学作为哲学的分支放在神学类之下。古希腊早期的数学家都是哲学家,中国先秦对数学有贡献的数学家也均是哲学家(如管子、老子、庄子、墨子等)。直到文艺复兴时期,培根.F(Bacno)

数学文化

才把数学化归在自然科学的实用部分,认为数学是研究自然的工具。18世纪法国数学家达朗贝尔(J.Dalembe)rt明确地把数学放在自然科学之内,由此在理论上数学是自然科学的一个门类。但随着19世纪以后的日趋抽象化,数学在研究内容与研究方法上与自然科学有了越来越大的区别,学术界已不再将数学看作自然科学的一部分了。正如著名科学家钱学森所阐明的,数学已经与自然科学和社会科学相并列,成为一个独立的学科。这一新的划分标准适应了现代数学的发展要求,对于理解数学文化的本质有很大帮助。数学文化或许与科学文化有交叉重叠部分,但数学文化绝不简单是科学文化的一部分。数学作为联结自然科学与人文、社会科学的纽带,扮演着沟通文理、兼容并蓄、弥合裂痕的文化使者角色。3.数学的艺术特征（1）数学的艺术性

用美学的原则衡量数学，使得数学本身成为具有特定美学性质的艺术。

数的美妙性质令探寻的人折服；幻方、魔方神秘的美令人震颤；黄金分割使艺术家们创作出令人赞叹的作品；永无休止的莫比乌斯圈，四叶玫瑰线同样吸引着人们的目光，带给人们无尽的美的享受。数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本，所有这些都是美的标志，而进行数学创造的最主要的动力就是对美的追求。法国数学家阿达玛（J．Hndamard）说：数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。可见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。

阿根廷《21 世纪趋势》周刊网站报道，挪威卑尔根大学的数学家和心理学家首次证明，美是发现真理的源泉，无论是对美感还是对真理的判断，都取决于大脑思维处理的流畅性。卑尔根大学数学家罗尔夫·雷伯用数学实验证明了这一推断。在实验中专家发现，人们使用对称性来作为检验算术结果是否正确的指标。对称性被视为是美的代表。结合此前在数学认知和直觉判断领域的研究，科学家指出，人的直觉判断可能受某种与美感有关的机制指挥，至少在解决简单数学问题时是这样的。

（2）数学与音乐

在我们现行的教育体制中，数学与音乐似乎处在了两个极端的位置，数学让学生感到疲劳、辛苦，音乐让学生感到轻松、愉快，而这样的两门科目之间却有剥离不开的联系。

事实上，早在公元前 6 世纪，毕达哥拉斯就发现了数学与音乐间的比率关系。即一根拉紧的弦，取原长的 1/2 可弹出八度音调，取 2/3 可弹出五度音调，取 3/4可弹出四度音调，也就是说音调的和谐由弦长与标准弦长的比决定。通过试验，他创造了毕达哥拉斯八弦里拉理论，而后，他又发现弦的长度和振动数比例构成逆数形态，经过计算创造出了毕达哥拉斯音阶理论，也是现在西方音乐的雏形。

对于数学与音乐两者之间关系的研究，从数学的观点看，最高成就应当属于法国数学家傅立叶，他让我们了解了音乐声音的本质以及声音本质所具有的数学特征。傅立叶证明了所有的声音，无论是噪音还是仪器发出的声音，复杂的还是简单的声音，都可以用数学方式进行全面的描述。声音的本质包括音高、音调和音色，表现在数学函数图上则是波的振幅、频率和形状。这样一来，任何复杂的声音实际都能用音叉一样的简单声音经过适当的组合完全表现出来，也就是说从理论上讲，我们完全可以仅利用音叉就演奏出一曲由一个乐团才可以完成的交响乐。音乐声音的数学分析具有十分重大的意义，电话就是这种分析的产物之一，现在的数学文化

乐器制造商还将乐器的声音转化为波形图，然后比较这些图形与理想图形的匹配程度进而判断产品的优劣。（3）数学与美术

数量、形状和结构是数学研究的内容，也是美术绘画所要表现的对象，它们将数学与美术联系在一起，可以说，渗透了数学内容的美术作品更加具有感染力、亲和力，更能给人舒适、愉悦的感受。将三维空间的物象真实生动地表现在二维的画纸上是绘画的基本功——素描。通过对物象的形体结构、比例关系、明暗变化等因素的观察综合表现物象则需要透视理论。透视是制造绘画空间感、立体感的主要手段，将平面视觉提升为三维，很大程度上决定了作品“型”的准确性。15 世纪意大利画家阿尔贝蒂(L.B.Alberti)著书《绘画论》，专门叙述了绘画的数学基础，论述了透视的重要性，他认为数学是认识自然的钥匙，希望画家们能够通晓几何学。文艺复兴时期，经过众多画家、建筑师、工程师的共同努力，绘画透视学产生了，素描艺术也得到了空前的发展。黄金分割是数学术语，同时也是艺术家的挚爱，因为可以给人最舒适、最愉悦、最美丽的感受，像黄金一样珍贵，故称黄金分割，它就像一把金钥匙，灵动地活跃在艺术殿堂的每一处。绘画颜料的黄金配比能够使色泽更自然，绘画布局中黄金分割处的亮点能够突出画的鲜活，雕塑结构的黄金比例使作品更美丽，建筑物黄金分割处的装饰能够平添建筑的灵气„„如果说对称给人以视觉精确平衡的美感，那么黄金分割则给人心理张弛平衡的美感，更让人着迷、神往，所以

世界闻名的艺术珍品大多可以看到黄金分割的影子。（4）数学与文学

数学与文学的同一性来源于人类两种基本思维方式——艺术思维与科学思维的同一性。文学是以感觉经验的形式传达人类理性思维的成果，而数学则是以理性思维的形式描述人类的感觉经验。文学与数学的统一归根结底是在符号上的统一，数学揭示的是隐秘的物质世界运动规律的符号体系，而文学则是揭示隐秘的精神世界的符号体系。五言、七言诗共有十六种格式，平仄变化十分复杂，但从数学的角度理解，却具有简单的运算规律，只需知道第一句的平仄格式就可推断后面所有的格式。

数学语言中的量与序的概念和文字的结合能产生无穷的文学魅力，深化时空意境，使得文学作品更加引人入胜。例如“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，借助数字表现出对高度的艺术夸张；“千山鸟飞绝，万径人踪灭”，用数字体现尖锐的对比和衬托；卓文君的数字家书“一别之后，两地相思，只说是三四月，又谁知五六年，七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中拆断，十里长亭望眼欲穿。百思想，千系念，万般无奈把郎怨„„”从一写到万，又从万写回一，情感递进，心思巧妙，悲愤之意跃然纸上；华罗庚的妙对“三强韩赵魏，九章勾股弦”隐喻嵌入，对仗工整，令人拍案叫绝。对文学作品的语言研究也应用了大量的数学原理，形成了数理语言学，包括统计语言学、代数语言学、计算语言学和模糊语言学等分支。运用统计学、概率

论、信息论统计某种语言词汇出现的频率和概率可以确定这种语言的基本词汇；根据几部作品的词汇、词频统计，经过计算可以大致推定作者的词汇总量；对于作者不详的文献可以根据词汇的使用频率经过计算绘制成图形以判断作品的风格、年代，找出文献的主人。语言学的发展对数学不断提出新的要求，借助数学手段精确客观的分析必将使语言学的研究呈现新面貌。4.数学的作用

数学文化

（1）数学唤醒人类理性精神 数学的本质是逻辑的，数学关注的是逻辑上的必然性而不是偶然性，当人们讨论数学问题的时候，探求的是具有普遍意义的必然结果。古希腊哲学家柏拉图在论及数学的这一属性时便说：这门科学的真正目的在于探究关于永恒事物的知识，而不是关于某种有时产生有时灭亡的具体事物的知识。美国当代著名数学哲学家斯图尔特·夏皮罗（Stewart Sharpiro）也说：“数学至少表面上与其他求知的努力不同，特别是与科学追求的其他方面不同。基本数学命题似乎没有科学命题的偶然性”。夏皮罗的这一说法实际上与柏拉图是一致的，在他们看来，数学不是一门有关任何具体事物的知识，而是超越一切具体存在物的永恒的知识。

（2）数学促进人类思想解放

在以往有关数学史和文化史的研究中，人们更多注意到的是数学与自然科学之间的关系，但却很少谈到数学史与思想史之间的联系。事实上，数学的发展与人类思想的发展有着密切的相关性，甚至可以说，在历史上，这种相关性远远超过了自然科学对思想史的影响。思想解放，顾名思义就是解除思维禁锢，发展思想观念的一种创新活动。无论是过去还是现在，思想解放对社会发展、经济繁荣、政治文明都有巨大的社会功能。数学家齐民友说：“历史已经证明，而且将继续证明，一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。数学作为一种文化，在过去和现在都大大地促进了人类思想的解放。与发展生产力、发展经济相比，人类思想的转变和解放是更漫长、更困难的过程，同时，生产力、经济等的发展又受到人类思想意识的制约。可以推翻一时的压迫、一时的政权，但思想意识上的迷信和偏见却不是容易解除的。人是理性的存在者，人类社会的历史所以能够不断地从野蛮走向文明，就是因为人类在长期的生产活动中，通过知识的积累，不断地提高自己的认识能力，从而形成理性的生活态度。理性地对待生活是人类所特有的品质。知识和理性是思想解放的前提，只有掌握知识、掌握真理才能摆脱思想的桎梏、精神的枷锁。此种意义下，数学在人类思想解放的历史中发挥了至高无上的作用。（3）数学改善人类生活

数学深刻渗透到科学研究领域的方方面面早已成为不争的事实，从大的方面讲，数学发展促进科学技术的进步，进而大大促进了社会生活的进步。从小的方面讲，掌握数学知识、领会数学思想使我们具有解决问题的能力，很大程度上有助于改善生活方式、提高生活质量。用容易计算的数简化计算过程，根据需要确定向上或向下的估计方式是这个案例的中心思想，这就是估算。估算是对情况的一种整体把握，是对事物的直觉判断，进而对事物的发展前景和结果进行判断，洞察事物本质，具有很大的灵活性和变通性。计算税款、均摊消费、估计占地面积等都可以使用类似的方法简化计算。

结束语

数学文化研究站在人类文化与文明的高度反思数学的本质，使我们对数学有更高层次的理解。随着科学研究的发展与进步，数学已经空前广泛地渗入到数学以外的其他学科和我们的生活。数学的起源、发展、完善和应用的过程对于人类产生重大的影响，既包括对人类生产生活方式的改变，也包括对人的观念、思想和思维方式的潜移默化的作用，同时体现了人类在探索、认识真理过程中展现的精神和崇高境界。人类无论在物质生活上和精神生活上都大大得益于数学，所以，数学的教育价值不只在于科学，还在于人文。成功的数学教育应当同时体现出数学

数学文化 的应用价值、思维价值、精神价值。教育是国之根本，历来都是重要议题。应对复杂的经济局面，要提升中国在国际社会中的竞争力，让中国真正地发展腾飞，就必须全面提升人的素养。数学文化的研究引导我们重新思考数学的本质，重新认识数学教育，重新树立数学教育的目标和思考数学课程的建设。从全面提升人的素质角度出发，重视数学文化教育势在必行。

参考文献

[1] Kroeber A & Kluckhohn C.Culture: A critical Review of concepts and Definitions[M].New York:Random House,1954.[2]（美）塞缪尔·亨廷顿.文明的冲突与世界秩序的重建[M].北京：新华出版社，2005.[3] 范森林.中国政治思想的起源[M/OL].http:///zhongxin/.[10](美)莫里斯·克莱因.古今数学思想（第一册）[M].上海：上海科学技术出版社，2002.[11]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，2001.[12]张维忠.数学：丧失了确定性吗？[J]自然辩证法研究，1998，14(11).[13]郭光华，常春艳，王小燕.试论数学的文化特性[J].par 数学教育学报，2005，14(3)：25-27.[14]蒋岚.论数学美[J].温州职业技术学院学报，2003，3(2)：38-42.[15]杨毅.论体育数学与体育科学[J].衡阳师范学院学报，2002，23(3)：95-96.[16]数学地质四川省高校重点实验室，http:///list_view.php?sid=1

《数学文化论文》 第6篇

与中外数学文化的差异数学文化的思考

学 院： 理学院 专 业：化学工程与工艺 姓 名： Zen Ting 学 号： 联系电话：

电子邮箱： dzd1005@gmai.com 指导教师： 布 和 教师职称： 讲 师

论文完成日期：二零一二年十二月一日

摘 要

数学在人类发展史上有着举足轻重的作用，扮演着重要的角色，可以毫不夸张的说，没有数学这门科学，人类的历史就无法展开，它不仅在学术层面上重要，更是对我们绚丽多彩的文化起着重大的作用。本文将回顾数学的发展史，浅谈数学对文化的作用，以及中外数学文化的差异。

关 键 词：阿基里斯追龟论 飞箭静止论《算术》希腊数学文化 中国数学代表

引 言

数学文化哲学作为一门学科或一个研究方向,是将数学置于人类文化大背景下而对其进行哲学反思。从数学哲学转向数学文化哲学是在数学文化背景下的必然选择。数学文化哲学不仅涵盖了对于数学本质及其价值更为深入的认识,而且从一个更为广泛的角度指明了影响数学发展的各个因素,因此是对传统数学哲学的深化和拓展。数学文化哲学的孕育和产生有着深刻的学术背景和社会因素。这种转向有助于使数学哲学走出现在的困境,更为重要的是,还将大大拓宽数学哲学研究的视野,从而为数学哲学的发展开辟更为广阔的前景。

正 文

首先我们来回顾布和老师课上讲得第一个方面，即数学的发展。

古代数学最重要的两个分支就是古希腊和古代中国。古希腊文明是人类古代文明中的一个皇冠，而数学则是这皇冠上最大的那一颗钻石，向世人展示了希腊人的精神——好奇多思，渴求知识。其哲学与数学的发展则达到了那一时期的顶峰。公元480年以后鸭店称为希腊的文化，政治中心，各种学术思想开始在雅典争奇斗艳，古希腊数学家更是层出不穷，艾丽娅学派的芝若提出了四个著名的悖论（二分说，追龟说，飞箭静止说，运动场说）迫使哲学家和数学家开始思考极限的问题。

我依稀记得我接触最早的，也是使我对数学产生兴趣并选修这门课的原因，就是因为追龟说——阿基里斯永远跑不过乌龟，和飞箭静止说。下面我将详述这两个事列，阐述数学问题中极限对人类文化精神上带来的冲击与思考。

1.1追龟说

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟，“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先 应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。

我们看看这个故事的历史背景。当时柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“ 1-0.999...>0”思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1-0.999...=0, 但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0, 或1-0.999...>0”思想。有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。

其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/

2、1/

4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/

2、1/

4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。

所以说，整个故事看起来就像一场数学教学中的失败。也许在你的小学数学学习中，你可能对一些隐隐约约的数学问题产生疑问。这就好比我们会利用3无法被10整除产生很多的悖论。然而，对于这个数学问题中的无限话题又对人生有着思考。我们都知道，古希腊的数学与哲学是并行不悖的。很多知名的学者不仅是伟大的数学家，更是伟大的哲学家。而飞箭静止说，则更好的反应了哲学的思考，就像我们本学期开始学习的《马克思主义基本原理概论》，其中费尔巴哈的形而上学，就提到过无限对人类思想的启迪意义。

1.2飞箭静止说

我们可以很容易的拿初高中物理，相对静止与运动来辩驳这项悖论。运动是绝对的，静止是相对的！相对静止是运动的特殊情况。之所以是静止的是因为所选的参照物的速度与研究对象的速度相同（大小和方向相同）。回想我们上学期得《高等数学》，什么是极限？极限的概念是什么？。速度的定义是 v=limΔs/Δt（Δt-〉0）可以这么理解Δt越接近0，Δs就越接近0。当Δt接近于0时（永远不等于0），Δs/Δt就接近一个固定的值（这个值就是该时刻的瞬时速度v）。极限是一个过程，也就是一个变化的过程。而不能简单地认为就是Δt=0。上述错误就是简单的认为Δt=0。而另一方面，运动确实只是许多静止的总和，割裂了时间与空间，运动与静止的联系。只是片面地看到了其中一方面而忽略了另一方面的存在。根据机械运动理论的观点，要描述一个物体的运动。首先是要建立一个参照系，然后才能确定它的状态。如果我们把自己（观察者）当作参考系。这时认为飞箭是运动的。而当认为飞箭静止时，显然参考系选的是飞箭。对于飞箭运动状态的两个描述，都不是在同一个参考系下。再进行比较已经毫无意义。除非能确定这两个参考系的相对运动状态。

所以说，在现在，就我掌握的大学本科未毕业加12年教育来看，我的认知中，越发觉这简直，完全，已乎就是一个彻头彻尾的悖论。用简单的相对运动，运动，参照系来认知，芝若的飞箭静止论狭义来看，其实就是当时“见少识不广”人们对自然科学的朦胧思考。不过说来，也无不否认我的缺陷，无法看清这个悖论深层的意义。

为什么我会谈到这两个悖论？因为他构成了我对数学文化最初的认知。我们继续回到上文提到古希腊数学发展。

古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前5、6世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深远的。希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。

从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。

伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。

米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。

当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。

泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。

毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛 5 南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。

这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。

伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。

公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。

在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。

希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。

这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、„边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合。

公元前三世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了比例论，是欧几里得的前驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻 6 辑体系之中开辟了道路。

这个时期的希腊数学中心还有以芝诺为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给学术界以极大的震动。这四个悖论的其中两个我们已经提到了，即使我的数学启蒙兴趣的故事，另外一个也不妨跟大家分享： 二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去，总也追不上；飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的；运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。

以德谟克利特为代表的原子论学派，认为线段、面积和立体，是由许多不可再分的原子所构成。计算面积和体积，等于将这些原子集合起来。这种不甚严格的推理方法却是古代数学家发现新结果的重要线索。

公元前四世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科。数学的历史于是进入一个新阶段——初等数学时期。

这个时期的特点是，数学(主要是几何学)已建立起自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。由少数几个原始命题(公理)出发，通过逻辑推理得到一系列的定理。这是希腊数学的基本精神。

在这一时期里，初等几何、算术初等代数大体己成为独立的科目。和17世纪出现的解析几何学、微积分学相比，这一个时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，因此叫做初等数学时期。

埃及的亚历山大城，是东西海陆交通的枢纽，又经过托勒密王的加意经营，逐渐成为新的希腊文化中心，希腊本土这时已经退居次要地位。几何学最初萌芽于埃及，以后移植于伊奥尼亚，其次繁盛于意大利和雅典，最后又回到发源地。经过这一番培植，已达到丰茂成林的境地。从公元前四世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和 7 阿波罗尼奥斯。欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很出名。天文学家喜帕恰斯制作“弦表”，是三角学的先导。

公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明。海伦(约公元62)、门纳劳斯(约公元100)、帕普斯等人都有重要贡献。天文学家托勒密将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础。晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯(约公元100)和丢番图(约250)前者是杰拉什(今约旦北部)地方的人。著有《算术入门》，后者的《算术》是讲数的理论的，而大部分内容可以归入代数的范围。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于《几何原本》。公元325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。

公元529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重的打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数学至此告一段落。

我一直觉得我之所以选择数学文化这门课程，根本原因不是因为我喜欢数学，而是因为我热爱历史。就我看来，数学文化这门课程在农大的开设，更多的是通过睿智诙谐的数学小故事启迪思维，培养对数学的兴趣爱好。我们说古希腊的历史发展，也是通过希腊丰富多彩具有哲学性的数学家们的历史来谈论，欣赏这门学科。的确，希腊文化，尤其是他的数学文化，在幼儿教学中，有着十分中 8 意的指导作用。我们讲阿基里德的名言，“给我一个支点我将转动地球”，他的水量法测不规则物体的体积，甚至他颇为玄幻色彩的，运用镜面反射点燃敌军的战舰，都让人神往。

结 论

了解西方数学文化的发展，我们可以从中窥测中西文化差异之一所以存在的原因。

2.1希腊数学文化的特点

1.希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，具有不可估量的意义和价值。希腊人坚持使用演绎证明，认识到只有用勿容置疑的演绎推理法才能获得真理。要获得真理就必须从真理出发，不能把靠不住的事实当作已知。从《几何原本》中的10个公理出发，可以得到相当多的定理和命题。

2希腊人在数学内容方面的贡献主要是创立平面几何、立体几何、平面与球面三角、数论，推广了算术和代数，但只是初步的，尚有不足乃至错误；

3.希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术；

4.希腊人认为在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，使数学与自然界紧密联系起来，并认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。

2.2中国数学文化的特点如下：

1.中国数学最基本的特点是具有鲜明的社会性。通观中国古典数学著作的内容，几乎都与当时社会生活的实际需要有着密切的联系。从《九章算术》开始，中国算学经典基本上都遵从问题集解的体例编纂而成，其内容反映了当时社会政治、经济、军事、文化等方面的某些实际需要，具有浓厚的应用数学的色彩；

2.中国数学教育与研究始终置于政府的控制之下，以适应统治阶级的需要； 3.中国数学家的数学论著深受历史上各种社会思潮、哲学流派以至宗教神学的影响，具有形形色色的社会痕迹。

4.中国数学是以几何方法和代数方法的相互渗透表现为形数结合的，是用算筹来计算的。并采用了十进位制。同时，用一整套“程序语言”来揭示计算方法，而演算程序简捷而巧妙。

5.中国数学理论表现为运算过程之中，即“寓理于算”。中国数学家善于从 错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念，提炼出一般的数学原理，作为研究众多数学问题的基础。

古希腊数学属于公理化演绎体系，着眼于“理”——首先给出公理、公设、定义，尔后在此基础上有条不紊地、由简到繁地进行一系列定理的证明；中国数学属于机械化算法体系；着眼于“算”——把问题分门别类，然后用一个固定的方程式解决一类问题的计算。

2.3造成衰退的原因的比较：

希腊数学自公元前150年开始衰落，原因有以下几点： 1.缺少必要的设备。理论和假说有待于检验。2.公元前31年罗马战胜埃及之后，政府的支持减少。

3.奴隶劳动使用的增加，没有必要考虑节省劳动的办法，科学家失去了创造发明的动力。

4.兴趣转向哲学、文学和宗教；宗教首领常与科学的追根究底的精神互相对立。公元529年，最后一所希腊学校——雅典学校被关闭。

中国数学从14世纪开始，处于缓慢发展阶段。其原因有以下几点： 1.中国数学本身的弱点。例如，无适应性的符号，不便于运算等。2.数学家的思想或世界观的影响。例如，用唯心主义思想解释数学产生等。3.社会原因。例如，知识分子地位低下，废除科举制，自由思想窒息等。由于政治、社会、经济的落后，导致了古希腊数学的衰亡和中国数学的缓慢发展。

综上所述：在漫长的数学历史中；发源于古希腊的公理化演绎体系和中国的机械化算法体系曾多次反复互为消长，交替成为数学的主流。

中国数学的产生具有自己的特点，尤以实用性和发展算法为特征。讨论中国数学的成就，不应以在世界上出现的早迟为主要标准，而应该注意其对人类文明的贡献，注意其独特的科学创造丰富了人类的思想宝库。

致 谢

感谢布和导师对论文写作的指导及其一学期的辛苦授课； 感谢IMAU数学建模协会学术部的干事帮忙收集的文献资料； 感谢李瑜，董美等同学在本学期课程学习上提供的帮助。

参 考 文 献

[1]林夏水;论数学文化的本质[J];哲学研究;2000年09期

[2]高明,康纪权;浅析数学的文化价值[J];四川职业技术学院学报;2003年03期 [3]萧昌建;谈数学精神[J];成都大学学报(自然科学版);2003年03期 [4]张敬书;数学文化与数学课程改革[J];重庆师范学院学报(自然科学版);2002年03期