直接证明 分析法

直接证明 分析法（精选9篇）

直接证明 分析法 第1篇

2.2.1直接证明（分析法）

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式

二、讲授新课：

1.教学例题： ab(a0,b0).2

例1

.练习：求证：当a1

例2．如图，已知AB,CD相交于点O，△ACO≌△BDO,AE=BF,求证：CE=DF.2．练习：

① 设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab.② 已知a0,2ca

b，求证：cac

3．小结

直接证明 分析法 第2篇

课型：新授课

教学目标：

知识与技能：结合教学实例，了解直接证明的两种基本方法之一：分析法

过程与方法：通过教学实例了解分析法的思考过程、特点；体会分析法和综合法的联系与区别

情感态度与价值观：体会数学证明的特点，感受逻辑证明在数学以及生活中的作用养成言之有理，论证有据的习惯

重点：结合实例，了解分析法的思考过程、特点

难点：根据问题的特点，选择恰当的方法

教学方法：探究、精讲

学习方法：自主、合作探究学习法

教学过程：

【自主学习】

学习内容：

1：从要证明的，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、、、等），这种证明方法叫分析法。

2：分析法是一种…是。

3：分析法的框图为：

【合作探究】

探究任务：

1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

2：综合法与分析法的区别是什么？

【精讲释疑】 引例证明基本不等式abab

21：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．特点：执果索因.2：用框图表示分析法的思考过程、特点 框图表示：要点：逆推证法；执果索因.例题分析：

例1：求证：725

例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证：AF⊥SC（图见课本P40）

变式练习1：求证67225

变式训练2：已知a0，求证a2

【内化反馈】

1：当ab0时，求证：a2b2

2已知a,b,c∈R且不全相等，求证：a2b2c2abbcca

【拓展延伸】：

1设f(x)=ax2bxca0 ,若函数f(x+1)与f(x)的图像关于y轴对称，求证：f(x+)2

为偶数。

112a2 2aa2ab 2

【小结】：

（1）综合法：

由因导果，当条件明确，思路清晰时适用；

（2）分析法：

执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。

（3）综合法是分析法的逆过程。

【作业】：校本教材55页作业与测评

外商直接投资状况分析 第3篇

一、外商直接投资区域分布情况

(一) 三个地区吸收外资概况

改革开放以来, 东部地区一直是中国吸引外商直接投资的重镇, 而中部地区再利用外商直接投资的过程中落在了东部地区后面。西部地区由于经济基础较为薄弱, 改革开放相对滞后, 自然条件恶劣, 投资环境不够完善, 这使得长期以来西部地区吸引外商直接投资始终落在东、中部后面。

(二) 三地区行业分布情况

从历年的数据来总体上来看, 三大地区的FDI大多集中在制造业、房地产业、居民服务及其他服务业。

从1997-2005年, 东部地区这三个行业实际吸收外商直接投资金额占东部地区实际使用外资金额的比重分别为67.27%、10.53%和3.93%, 其比重和达到81.73%。中部地区这三个行业实际吸收外商直接投资金额占中部地区实际使用外资金额的比重分别为55.72%、14.19%和6.52%, 其比重和达到76.43%。

(三) 三地区投资方式情况

按照投资方式划分, 外商对中国直接投资有中外合资经营、中外合作经营、外商独资经营和中外合作开发四种形式。在吸收外商直接投资的初期, 由于我国投资政策和环境的限制, 同时, 也出于对风险的考虑, 外商一般选择以合作方式对我国进行直接投资, 其他形式的直接投资出于次要地位。

1982-2005年, 中国三地区累计实际使用外资金额中, 以中外合资企业方式进行的投资所占的比重为36.28%、51.73%、54.02%;以中外合作企业方式进行的投资所占的比重为9.92%、9.98%、13.34%;以外商独资企业方式进行的投资所占的比重为52.72%、37.87%、31.38%;以外商投资股份制企业方式进行的投资所占的比重为1.04%、0.36%、1.26%。

二、外商投资来源情况

从利用FDI的来源地看, 可以分为发展中国家和地区对华直接投资和发达国家对华直接投资两大类。改革开放初期, 中国吸收外国或者地区直接投资主要集中在港、澳、台地区, 但随着改革开放的不断加深, FDI来源地结构不断改变, 来自美国、日本、英国和德国等发达国家的直接投资不断增加。

(一) 发展中国家及地区对华直接投资

发展中国家及地区的直接投资一直是我国利用外商直接投资的主要来源。截至2005年底。香港、台湾、新加坡韩国对华投资 (以实际使用外资金额为准) 分别是2889.48亿美元、621.19亿美元、313.18亿美元、289.56亿美元、占全国实际使用外资金额比重为46.42%、9.98%、5.03%、4.56%。其在对华投资前十位国家和地区中分别居第一、二、四、六位。

(二) 投资行业及其地域分布

发展中国家及其地区投资大多分布在东部沿海地区, 对我国西部地区涉入较少。港台外商投资由于政策、地理和亲缘等方面的原因大多选在广东、福建、和珠江三角洲等沿海地区。新加坡的投资主要集中于上海和江苏两个地方, 内陆地区对新加坡投资的吸引力不大。由于环渤海地区和东北三省毗邻韩国, 交通发达, 运输便利。同时, 由于这些地区生活着一大批朝鲜族居民, 风俗习惯相近, 是韩国企业管理的可利用力量, 所以韩国在对华直接投资主要集中于环渤海地区和东北三省。

三、发达资本主义国家对华的直接投资

(一) 主要来源地

美国、日本和欧盟是发达国家对华直接投资的主要来源地, 其中欧盟的主要来源地主要来自英国、德国、法国、和荷兰。截至2005年底, 对华投资 (以实际使用外资金额为准) 分别是543.85亿美元、534.45亿美元、132.87亿美元、115.17亿美元、74.7亿美元、69.67亿美元, 占全国实际使用外资金额比重为8.74%、8.59%、2.13%、1.85%、1.2%、1.12%。其在对华投资前十位国家和地区中分别居第三、四、七、八、九、十位。

(二) 投资行业及其区域分布

来自发达国家的直接投资项目中, 其产业与行业技术密集程度较高。目前发达国家对华直接投资已涉及我国的汽车、电子通信、钢铁、建材、电站设备、家用电器制造和精细化工、医药、机械设备制造等领域。在发达国家不断增加对我国资本与技术密集型制造投资的同时, 随着产业结构的日趋软化和服务化, 从90年代中期开始对我国第三产业进行大规模直接投资, 已充分发挥其比较优势, 占领我国的服务市场。

发达国家对我国的投资主要集中于我国东部沿海地区, 同发展中国家和地区一样都向我国西部投资较少。具体情况来看, 美国对华直接投资的项目80%以上都分布在沿海城市如深圳、广州、珠海、汕头、厦门、福州、上海、天津等地。另外在首都北京的美国投资企业也较多。日企对华的投资, 从地域分布来看, 主要分布于珠江三角洲以及大连等环渤海湾一带, 以2 002年底为例, 在日本500强企业中, 投资企业主要分布在江浙两省以及环渤海圈的辽宁、山东和天津地区, 投资地区项目总量分别为199、59、124、79和95家。

摘要：随着经济全球化程度的加深和中国改革开放的深化, 外商直接投资进入中国的步伐显著加快。外商直接投资状况如何, 值得研究和探讨。

直接证明与间接证明 第4篇

综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.

1. 综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.

用[P]表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，[Q]表示所要证明的结论，则综合法可表示为：

[[P⇒Q1]→[Q1⇒Q2]→[Q2⇒Q3]→…→[Qn⇒Q]]

说明 （1）综合法格式：从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出待证的结论. 它的常见书面表达形式为“因为……，所以……”或“[⇒]”.

（2）综合法是“由因导果”，此法的特点是表述简单，条理清晰.

（3）在解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把题目中隐含的条件明确地表示出来.

例1 设[x、y、z]均为正实数，且[xyzx+y+z][=1]，求证：[x+yy+z2].

分析 本题需先将条件变形，再利用基本不等式证明.

证明 ∵[xyzx+y+z=1]，∴[x+y+z=1xyz].

∴[x+y+zy=1xyz⋅y=1xz].

即[xy+y2+yz=1xz]，

∴[xy+y2+yz+xz=1xz+xz2]，

即[x+yy+z2].

点拨 这个问题有点巧妙，为了应用均值不等式，不仅从已知条件和要证的结论中发现它们内在的联系，而且灵活地添项，使得证明过程格外简洁.

2. 分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.

用[Q]表示要证明的结论，则分析法可表示为：

[[Q⇒P11]→[P1⇒P2]→[P2⇒P3]] →…→得到一个明显成立的条件

说明 （1）分析法的思维特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步推理实际上是寻求它的充分条件. 分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫做逆推证法或执果索因法.

（2）分析法格式：“要证……，只需证……”或“[⇐]”.

例2 已知[ΔABC]的三个内角[A、B、C]成等差数列，记[A、B、C]的对边分别为[a、b、c].求证：[1a+b+1b+c=3a+b+c].

分析 从待证等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证等式出发，分析其成立的充分条件.

证明 要证[1a+b+1b+c=3a+b+c]，

只需证[a+b+ca+b+a+b+cb+c=3]，

即证[ca+b+ab+c=1]，

也就是证[cb+c+aa+b=a+bb+c]，

即证[c2+a2=ac+b2].

∵[ΔABC]的三个内角[A、B、C]成等差数列，

∴[B=60∘].

由余弦定理，有[b2=c2+a2-2cacos60∘]，

即[b2=c2+a2-ca]，亦即[c2+a2=ca+b2].

因为[c2+a2=ca+b2]成立，

所以[1a+b+1b+c=3a+b+c]成立.

点拨 分析法是思考问题的一种基本方法，可以减少分析问题的盲目性，容易明确解决问题的方向.分析法证明的步骤是：未知→需知→已知，在表述中“要证”“只需证”“即证”这些常用词语是不可缺少的.

3. 分析综合法

在解决问题时，我们经常把分析法和综合法结合起来使用. 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论[Q]；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论[P].若由[P]可以推出[Q]成立，就可以证明结论成立.

用[P]表示已知条件、定义、定理、公理等，用[Q]表示要证明的结论，则上述过程可表示为：

[ [P⇒P1→P1⇒P2→⋯→Pn⇒P]

[⇓]

[Q⇒Q1→Q1⇒Q2→⋯→Qm=Q]]

说明 分析综合法一般有两种方式：一种是先以分析法为主寻求证题思路，再用综合法有条理地表述证题过程.这是因为，就表达过程而言，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法表述简单，条理清晰.因此，分析法利于思考，综合法宜于表达.另一种是将分析法与综合法结合起来使用，用来证明某些更复杂的问题.

例3 设[a、b、c]均为大于1的实数，且[ab=10]，求证：[logac+logbc4lgc].

证明 要证[logac+logbc4lgc]，

只需证[lgclga+lgclgb4lgc]，

又[c>1]，∴[lgc>0].

∴只需证[1lga+1lgb4]，

即证[lga+lgblgalgb4].

又∵[ab=10]，∴[lga+lgb=1].

∴只需证[1lgalgb4].

又∵[a>1]，[b>1]，∴[lga>0]，[lgb>0].

∴[0

∴[1lgalgb4].

因为[1lgalgb4]成立，所以原不等式成立.

点拨 粗略一看，这里好像纯粹是分析法，其实不然，中间还同时使用了综合法. 一般地，证题时每一步到底使用何种方法没有明确的规定，主要是看证题的需要，有时是综合中带分析，有时是分析中带综合，或者综合与分析相互渗透.

例4 在两个正数[x]、[y]之间插入一个实数[a]，使[x]、[a]、[y]成等差数列，插入两个实数[b]、[c]，使[x]、[b]、[c]、[y]成等比数列.求证：[a+12b+1c+1].

分析 本题主要考查联合运用分析法和综合法来证明问题.解题的关键是同时从已知条件与结论出发，寻求其间的联系.

证明 由条件得，[2a=x+y,b2=cx,c2=by.]消去[x]、[y]，

即得[2a=b2c+c2b]且有[a>0,b>0,c>0].

要证[a+12b+1c+1]，

只需证[a+1b+1c+1]，

又[b+1+c+12b+1c+1]，

∴只需证[a+1b+1+c+12]，

即证[2ab+c].

而[2a=b2c+c2b]，只需证[b2c+c2bb+c]，

即证[b3+c3=b+cb2+c2-bcb+cbc]，

即证[b-c20].

因为[b-c20]显然成立，

所以[a+12b+1c+1]成立.

点拨 比较复杂的问题要求分析法、综合法交互运用，但表述要自然清晰、简洁明了.本题对数列知识、均值不等式的运用和代数式的恒等变形都进行了深入的考查.

二、间接证明

反证法是间接证明的一种基本方法，是数学家最有力的一件“武器”. 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

说明 （1）用反证法证明命题“若[p]则[q]”的过程如下：肯定条件[p]否定结论[q]→导致逻辑矛盾→“既[p]又[¬q]”为假→“若[p]则[q]”为真.

（2）反证法证明的步骤如下：

①反设：假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真.

nlc202309040930

②归谬：从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.

③存真：由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立.

（3）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.

（4）宜用反证法证明的题型有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④“唯一性”命题；⑤“存在性”命题；⑥“至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等.

例5 若[a、b、c∈0,2]，则[a2-b,b2-c,][c2-a]不可能都大于1.

分析 命题中的结论就是[a2-b>1,][b2-c>1,c2-a>1]不可能同时成立，即至少存在一个式子小于或等于1，显然命题的结论有多种可能性，而结论的否定只有一种情形：[a2-b,b2-c,c2-a]都大于1，所以宜用反证法证明.

证明 假设“[a2-b,b2-c,c2-a]不可能都大于1”不成立，

即[a2-b,b2-c,c2-a]都大于1成立，

即[a2-b>1,b2-c>1,c2-a>1]，

∴[a2-b⋅b2-c⋅c2-a>1].①

∵[a、b、c∈0,2]，

∴[2-b>0,2-c>0,2-a>0].

∴[0

即[0

同理，[0

∴[0

即[0

①与②矛盾，∴假设不成立，

∴原命题成立.

例6 如图，已知平面[α]∩平面[β][=]直线[a]，直线[b⊂α]，直线[c⊂β]，[b⋂a=A]，[c]∥[a].求证：[b]与[c]是异面直线.

分析 直接证明两条直线异面有困难，可考虑用反证法，否定结论“[b]与[c]是异面直线”时有两种情况：[b]与[c]平行或[b]与[c]相交，通过推理与证明，这两种情况都不成立.

证明 假设[b]、[c]不是异面直线，

则[b]∥[c]或[b⋂c=B].

（1）若[b]∥[c]，∵[a]∥[c]，∴[a]∥[b]，与[a⋂b=A]矛盾，∴[b]∥[c]不成立.

（2）若[b⋂c=B]，∵[c⊂β]，∴[B∈β].又[A∈β]，[A]、[B∈b]，∴[b⊂β].

又[b⊂α]，∴[α⋂β=b].又[α⋂β=a]，∴[a]与[b]重合，这与[a⋂b=A]矛盾，∴[b⋂c=B]不成立.

∴[b]与[c]是异面直线.

点拨 本题除了考查反证法，还需熟练应用立体几何的知识，解题时要注意分类讨论，因为[b]、[c]是异面直线的否定有两种情况：平行或相交，故应分别推出矛盾，问题才得以解决.

高中数学直接证明-分析法 第5篇

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2.2 直接证明与间接证明

第2课时

分析法

学习目标：了解分析法的思维过程和特点，掌握分析法的解题步骤；

会用分析法证明一些简单的命题。

证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反退回去寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻找P1成立的充分条件P2；为了保证P2成立，再去寻找P2成立的充分条件P3……知道找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

例 证明基本不等式

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做＿＿＿＿，又叫＿＿＿＿。

用Q表示所要证明的结论.则分析法用框图表示为:

abab(a0,b0).2

合作探究：

例1 求证3725.高二数学选修2-2导学案

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例2.已知,k2(kZ)，且

sincos2sin, sincossin2.1tan21tan2.求证221tan2(1tan)

巩固、提高：

1． 已知a,bR，且2cab.求证：ccabaccab.2 高二数学选修2-2导学案

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2.已知a0,b0,且ab1.求证：(a

课堂小结：

12125)(b)2.ab2 1.综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论；而分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.2.综合法是从原因推导到结果的思维方法，综合法又叫做由因导果法；分析法则是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，分析法又叫做执果索因法.配餐练习：

1.求证67225.22332.设x0,y0,求证；xy3xy.高二数学选修2-2导学案

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_直接证明--综合法与分析法 第6篇

直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和

综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析

问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证a(bc)b(ca)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

1.综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式用综合法证明不等式的逻辑关系是： 222

2PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公例

1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.教师——引导

学生——小组讨论

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

2.分析法

证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，明尸 2 成立，再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等）为止．乞，再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2 ；为了证 „ „ 直到找到一个明显成立的条件（已知条即使 Q 成立的充分条件尸 1 ．为了证明尸 1 成立，分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么用分析法证明不等式的逻辑关系是：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的思维特点是：分析法的书写格式：

要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

„„

这只需要证明命题A而已知A为真，故命题B例

3、求证372

学生——自主解决

例4 已知,k

2(kZ)，且

sincos2sin①

sincossin2②1tan21tan2求证：。221tan2(1tan)

教师——引导

学生——小组合作交流

练习：课本89页1,2,3

课后作业：第84页1，2,3

直接证明 分析法 第7篇

考情分析

1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．

2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法．

基础知识

1．直接证明

(1)综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q

(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．

(2)分析法

①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→

得到一个明显成立的条件.2．间接证明

一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒„⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法． 注意事项 1.综合法与分析法的关系

分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．

2.(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．

(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)„”“即要证„”“就要证„”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立． 题型一 综合法的应用

a2b2c

2【例1】►设a，b，c＞0，证明：bcaa＋b＋c.证明 ∵a，b，c＞0，根据均值不等式，a2b2c2

有bb≥2a，cc≥2b，aa≥2c.a2b2c2

三式相加：bcaa＋b＋c≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时取等号． a2b2c2

即bcaa＋b＋c.1

1【变式1】 设a，b为互不相等的正数，且a＋b＝1，证明：a＋b＞4.1111ba证明 a＋b＝a＋b·(a＋b)＝2＋ab2＋2＝4.11

又a与b不相等．故a＋b＞4.题型二 分析法的应用

a＋mb2a2＋mb2

≤【例2】►已知m＞0，a，b∈R，求证：.1＋m1＋m证明 ∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．

【变式2】 已知a，b，m都是正数，且a＜b.a＋ma求证：.b＋mb证明 要证明

a＋ma

＞，由于a，b，m都是正数，b＋mb

只需证a(b＋m)＜b(a＋m)，只需证am＜bm，由于m＞0，所以，只需证a＜b.已知a＜b，所以原不等式成立．

(说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法)题型三 反证法的应用

x－

2【例3】已知函数f(x)＝a＋(a＞1)．

x＋

1x

(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)用反证法证明f(x)＝0没有负根．

证明(1)法一 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.x2－2x1－2

所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以x2＋1x1＋1x2－2x1＋1－x1－2x2＋13x2－x1＝0，x2＋1x1＋1x2＋1x1＋1x2－2x1－2

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋0，x2＋1x1＋1故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 法二 f′(x)＝axln a＋

0，x＋1∴f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

x0－2

(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－，又0＜ax0＜1，所以

x0＋1x0－210＜1，即2＜x0＜2，与x0＜0(x0≠－1)假设矛盾．故f(x0)＝0没有负根．

x0＋1【变式3】 已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量a＋b与a－b不平行．

证明 假设向量a＋b与a－b平行，即存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)成立，则(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，1－λ＝0，λ＝1，∴得 1＋λ＝0，λ＝－1，

所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．重难点突破

【例4】设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；

(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0.这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交． y＝k1x＋1，(2)由方程组

y＝k2x－1，x＝

k2－k1，解得交点P的坐标(x，y)为k2＋k1

y＝k2－k1.22k2＋k12

 从而2x＋y＝2k－k＋

21k2－k1

8＋k2k22＋k1＋2k1k21＋k2＋4＝1，k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋

4此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．

巩固提高

1． pab＋cd，qma＋ncmnm、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为()．

A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定

解析 q＝

madnbc

ab＋nmcdab＋2abcd＋cd

madabc

ab＋cd＝p，当且仅当nm时取等号． 答案 B

2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()．A．a＞bC．a＝b

B．a＜b D．a≤b

解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.∴a＞b.答案 A

3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()． A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

解析 ∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确． 答案 D

4．设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()．A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞0 解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案 D

5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．

中国对外直接投资分析 第8篇

商务部、国家统计局、国家外汇管理局联合发布《2007年度中国对外直接投资统计公报》中指出，2007年中国的对外直接投资达到了历史最高水平。

(一) 中国的对外直接投资概况

公报数据显示，2007年，中国对外直接投资净额 (简称“流量”) 265.1亿美元，较上年增长25.3%，达到历史最高水平。截至2007年底, 中国近7000多家境内投资主体在全球173个国家 (地区) 设立境外直接投资企业超过1万家, 对外直接投资累计净额 (简称“存量”) 1179.1亿美元。

(单位：亿美元)

(二) 中国对外直接投资的特点

1. 中国对外直接投资的流量特点

公报指出在结束1990年以来的对外直接投资流量持平状态后，2004-2007年我国对外直接投资流量增长迅猛，继续保持两位数快速增长;年流量超过了1亿美元的国家 (地区) 有24个，较上年增加了17个;金融类对外直接投资流量主要分布在亚洲 (占73%) 和欧洲 (占27%) ，而从非金融类投资流量分析，2007年对拉丁美洲地区的投资下降幅度较大，对亚洲、北美洲、非洲、大洋洲的投资增长1倍以上。

2. 中国对外投资的存量特点

中国对外直接存量突破千亿美元达到1179.1亿美元，行业分布比较齐全，商务服务业 (主要为投资控股，占25.9%) 、批发和零售业 (主要为贸易类投资占17.2%) 、金融业 (占14.2%) 和采矿业 (占12.7%) 、交通运输、仓储和邮政业 (共占10.2%) 合计占存量的八成;亚洲 (占67.2%) 、拉丁美洲地区 (占20.9%) 仍是中国对外直接投资存量最集中的地区;中国香港、开曼群岛、英属维尔京群岛是中国对外直接投资存量较集中的前三位国家，合计存量922.2亿美元，占到存量规模的78.2%。

(注:1990至2001年中国对外直接投资数据摘自联合国贸发会议世界投资报告, 2002至2007年数据来源于中国商务部统计数据。)

二、中国对外直接投资存在的问题

改革开放以来，我国的对外投资事业取得了较大发展，但是从整体上看，我国目前的海外投资仍处于初期发展阶段，与发达国家相比还存在很大差距，这与我国经济大国的地位和发展速度极不相称，与世界经济全球化进程也不相适应。

(一) 投资总额少，企业规模小，集约化程度不高

一方面投资的主体规模较小，一般以中小型企业为主;另一方面是投资的资金量较小。目前，我国对外企业基本处于各自为政的分散状态，彼此之间缺乏资金联系或组织网络，从而使海外企业的整体规模难以与海外企业的数量扩容保持同步递增，并且由于投资规模偏小，我国的跨国企业很难获得规模优势，难以采用先进的设备和售后服务使企业降低成本，提高经济效益，提高产品价格竞争力，从而导致了恶性循环，难以适应竞争激烈的国际市场变化，难以与世界大型跨国企业相抗衡。实践证明，跨国企业能否成功，关键在于企业雄厚的综合实力和规模优势，而中国企业的集约化程度不高，其国际化还没有形成综合性力量，在很大程度上制约了企业的竞争力。

(二) 对外投资行业和区位分布不合理，产业层次较低，缺乏核心技术

1. 行业分布

从表2中的数据来分析，2007年度中国对外直接投资中，流向批发和零售业、商务服务业、交通运输仓储业、采矿业、制造业、金融业的投资占到当年对外直接投资净额的91%。这些中国直接对外投资的行业中，低附加值、低技术含量、低收益的劳动力密集项目居多，而技术密集型产业和高层次服务业比如计算机技术、软件业以及科研、技术服务业的投资偏少，只占到一个百分比左右。这种投资行业的分布明显不合理，影响我国对外直接投资的绩效。

资料来源：依据《2007年度中国对外直接投资统计公报》数据整理

2. 地区分布

表3和图2显示，我国企业的对外直接投资，从境外投资的地区来看过于集中在亚洲 (占62.6%) 和拉丁美洲 (占18.5%) ;从国家分布来看集中在发达国家，比如香港、欧盟以及美国，合计占到投资总量的60%左右。相比而言，我国的对外直接投资却忽视了对大洋洲 (占2.9%) 、北美洲 (占4.3%) 等地区的投资，合计占比仅有7.1%。

这种过度集中的国家和区域投资结构造成了一些企业自相竞争的不利局面，在另一方面也是造成了资源重复，缺乏投资效率，再加上对发展中国家和地区的投资明显偏少，影响对外直接投资市场的进一步拓展，与国际贸易环境的变化和市场多元化战略的实施要求不相适应，具有较大的地域局限性，不能充分利用产业优势和区位优势的互补性。

(单位：亿美元)

资料来源：依据《2007年度中国对外直接投资统计公报》数据整理

(三) 我国对外直接投资存在制度上的困境和缺失，没有完善的经营机制和政策支持，并且法律机制也不健全

我国境外直接投资起步较迟，一部分投资主体仍然沿用国内管理企业的一套老方法，缺乏现代企业制度的经营机制，仍然带有较强的计划经济色彩。一是国家直接干预企业的对外直接投资活动，从项目选择、外汇使用, 到项目的建设和运营, 一系列重要环节都需要由政府决策，导致我国对外直接投资活动效率低下, 成功率不高;二是政策不完善，部门分工不明确。目前，商务部、国家计委、国家经贸委、外经贸部和国家发展改革委员会对境外投资负责，各司其职，但是在实际的操作中往往界限不清，并且存在着审批内容重叠，职能交叉等各种问题。这大大增加了企业的投资风险，并很有可能导致一个较好的项目就此夭折。不仅如此，各个部门往往只重视对外投资项目的前置审批而对事后的监管基本处于放任自流的状态，其监管条例及其措施可操作性较差，在某种程度上说可以是有名无实流于形式的。

另外，我国对外直接投资的法律法规体系很不健全。从新中国成立到现在，我国仅制定和颁布了一些调整和管理海外投资的法规，如1985年外经贸部制定的《关于在国外开设非贸易性合资经营企业的审批程序和管理办法》，1989年国家外汇管理局发布的《境外投资外汇管理办法》等。但是，这些法规对于日益扩大的跨国投资的管理己显出其局限性，对外直接投资行为仍处于无法可依的状态。

三、促进我国对外直接投资的对策

随着世界经济不断的更迭变化，整个的世界环境都发生了巨大的变化，在经济全球化和寻求国际化发展道理的新形势下，对外投资战略的内涵、战略重点及实施措施都在不断地发展进化，我国的对外直接投资的整体战略结构并不完善，结合过去的对外直接投资的经验，明确中国企业对外直接投资的战略思想、指导原则、产业导向和重点区域等，从而使我国企业对外直接投资能更有力地利用国内外市场和各种资源，抓住新一轮产业转移的难得机遇，更好地参与国际产业分工，提升企业国际竞争力，推动中国经济的持续健康发展。

第一，选择合理的区域扩大对外直接投资，进一步促进投资主体的多元化和投资行业的转型。从区域选择来看，当今世界有上百个国家和地区，中国对外直接投资的区域却过于集中，因此在接下来战略制定中，必须选择合理的区域来扩大我国的对外投资。重点应放在发展中国家，特别是亚太地区，这些地区地理位置与我国相连，市场潜力大，经济发展水平、技术水平、产业结构和消费者偏好都与我国相近，并且华人居多。我国的产品和技术对其比较有吸引力，有助于我国发挥相对优势，获得比较优势。从投资主体来看，要进一步促进对外投资主体多元化。既要鼓励有实力、管理好、拥有自主品牌的国有控股大企业拓展境外投资业务，培养更多的大型企业或企业集团对外进行直接投资以提高我国企业的国际竞争力。同时还要鼓励更多的民营企业开展对外直接投资，加快民营企业对外投资的进程。从投资行业来看，应当发挥产业、行业优势，并利用产业结构调整对外投资，促进国内产业结构的升级换代，将投资从低附加值、低技术含量、低收益的劳动力密集型行业转向高附加值、低耗能的技术密集型产业，并且增加对高层次服务行业的投资力度，使我国的对外直接投资的行业分布更加合理，更加具有绩效。

第二，加快建立现代企业制度，实施规模经营战略和品牌战略，提高企业自身的素质和创新能力，增加企业的核心竞争力。中国企业在对外直接投资过程中存在大量问题的根源在于中国的企业没有建立真正意义的现代企业制度。对我国企业而言，要迈出国门，进行跨国经营，就必须要真正建立起现代企业制度，实行公司化改造，形成企业法人治理机制，才能为企业实施国际化战略提供制度保证。中国企业，特别是国有大中型企业，应该充分利用原有的国内规模优势，运用市场的作用和国家的指导，使企业之间通过强强联合或相互兼并等措施来不断壮大自己的实力，提高集约化程度。随着全球化的进程，先进的理念已经开始融合，中国企业已经意识到品牌建设的重要性，纷纷尝试打造中国企业的全球品牌。所以在对外直接投资过程中，中国企业应始终贯彻品牌战略的理念，努力建设国际知名品牌建立品牌优势。

创新是一个企业生存发展的动力，是树立企业核心竞争力的关键，企业的国际化经营也离不开创新。首先是观念的更新，我国企业要把创新能力和发展核心技术作为对外直接投资的战略目标，摒弃盲目对外投资、扩大经营的误区，增强全球战略规划的意识，从全球化经营的角度来优化资源配置。其次是技术的创新，在经济全球化背景下，我国要缩小与发达国家跨国公司存在的相对差距，必须尽快与国际接轨，而重点无疑是与国外产业领域内的核心技术接轨。我国企业可通过并购发达国家高新技术企业和跨国公司的研发部门，或与当地拥有先进技术的高新技术企业合资设立新技术开发公司，雇佣当地工程师、科研人员、管理人员，利用当地的先进设备，最大限度地获取国外技术集聚所产生的外溢效应;另外企业自身也应该加大研究开发的投入，把科研成果快速转化为市场需要的产品，增加产品的科技含量和附加值，发掘产品的核心竞争力。

第三，设立权威性管理机构并完善管理法规，为企业的对外直接投资活动提供各种政策支持，使我国的对外直接投资走出制度缺失的困境。政府有关部门应从战略高度来对待我国企业的对外直接投资活动，通过制定相关的法规、政策、措施从宏观上引导、协调、监督、管理、扶持我国企业的对外直接投资活动。鉴于这方面，政府可以借鉴美国的海外私人投资公司，建立一家“走出去”政策性金融机构，该机构的金融产品种类应该涵盖基金、债券、股权贷款和机构担保;或者是借鉴新加坡淡马锡模式新建一家“走出去”商业性金融机构，该机构面向海外企业开展参股投资，优先选择本国海外企业注资，同时兼顾推动中国企业海外资产优化重组;亦或者是加强保留在国家开发银行、中国进出口信用保险公司的“走出去”的金融服务，其目的主要是充足国家开发银行、进出口银行的资本金，并注意理顺新建机构和原有机构的业务关系。亦或是就官方的运作和业务开展配套完善公共管理机制。为配合对外直接投资政策性保险机构和业务建设，配套设立由商务部主管部门牵头的审批机构，建立审批程序，并积极开展相关联的投资保险国际条约法规建设。同时，就新成立和原有的官方背景机构，主管政府权限、机构权限、企业制度、绩效考核建立严格的管理规章和运作程序。

在设立权威管理机构的同时，应尽快建立和完善我国海外投资的法律体系，改变企业从事国际化经营无法可依的局面，强化法律和制度保障，以推动企业的海外投资和其他跨国经营活动的健康发展，并保障它们的权益。

参考文献

[1]吴先明.中国对外直接投资论 (第一版) [M].北京:经济科学出版社, 2003-04.

[2]刘洪忠.中国对外直接投资的实证研究及国际比较 (第一版) [M].上海:复旦大学出版社, 2001-04.

[3]刘卉.中国海外直接投资研究[D].上海外国语大学, 2005.

[4]张仁开.关于我国对外研发投资若干问题的思考[J].商务部研究院 (中国外资) , 2006, (1) .

直接证明和间接证明解析 第9篇

综合法

高考的热点问题，也是必考问题之一. 通常在解答题中某一问出现，一般为中、高档题，高考对综合法的考查常有以下三个命题角度：（1）三角函数、数列证明题；（2）几何证明题；（3）与函数、方程、不等式结合的证明题.

例1 （1）设数列[{an}]的各项都为正数，其前[n]项和为[Sn]，已知对任意[n∈N*，][Sn]是[a2n]和[an]的等差中项.

①证明数列[{an}]为等差数列，并求数列[{an}]的通项公式；

②证明：[1S1+1S2+…+1Sn<2].

（2）设[f（x）=lnx+x-1，]证明：当[x>1]时，[f（x）<][32（x-1）.]

解析 （1）①由已知得，[2Sn=a2n+an，]且[an>0.]

当[n=1]时，[2a1=a21+a1，]解得[a1=1][（a1=0舍去）.]

当[n≥2]时，有[2Sn-1=a2n-1+an-1.]

于是[2Sn-2Sn-1=a2n-a2n-1+an-an-1，]

即[2an=a2n-a2n-1+an-an-1].

于是[a2n-a2n-1=an+an-1，]

即[（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1.]

因为[an+an-1>0，]所以[an-an-1=1（n≥2）.]

故数列[{an}]是首项为1，公差为1的等差数列，

所以数列[{an}]的通项公式为[an=n.]

②证明：因为[an=n，]所以[Sn=n（n+1）2，]

则[1Sn=2n（n+1）=21n-1n+1，]

所以[1S1+1S2+…+1Sn]

[=21-12+12-13+…+1n-1n+1]

[=21-1n+1<2].

（2）证明：法一：记[g（x）=lnx+x-1-32（x-1），]

则当[x>1]时，[g（x）=1x+12x-32<0].

又[g（1）=0，]所以[g（x）<0，]即[f（x）<32（x-1）.]

法二：由均值不等式知，当[x>1]时，[2x

故[x

令[k（x）=ln x-x+1，]则[k（1）=0，k（x）=1x-1<0，]

故[k（x）<0，]即[ln x

由①②得，当[x>1]时，[f（x）<32（x-1）].

点拨 （1）综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性. 用综合法证明时的逻辑关系是：[A?B1?B2?…?Bn?B]（[A]为已知条件或数学定义、定理、公理，[B]为要证结论），它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”；（2）利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的.因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质.

分析法

分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，逆向分析，寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件.

例2 分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设[a>b>c，]且[a+b+c=0，]求证：[b2-ac<3a]”索的因应是（ ）

A. [a-b>0] B. [a-c>0]

C. [（a-b）（a-c）>0] D. [（a-b）（a-c）<0]

解析 [b2-ac<3a?b2-ac<3a2，]

[?（a+c）2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0，]

[?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0，]

[?（a-c）（2a+c）>0?（a-c）（a-b）>0].

答案 C

例3 已知[n≥0，]试用分析法证明：[n+2-n+1][

证明 要证原不等式成立，需证[n+2+n<2n+1，]

只需证[（n+2+n）2<（2n+1）2]，只需证[n+1>][n2+2n]，

只需证[（n+1）2>n2+2n，]即[n2+2n+1>n2+2n，]

只需证[1>0，]显然成立，

所以原不等式成立.

点拨 当要证的不等式较复杂、两端差异难以消除或者已知条件信息量太少、已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法. 分析法解决问题的关键：逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，注意把握转化方向.

反证法

反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立. 反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是[A]，或者是非[A]，即在同一讨论过程中，[A]和非[A]有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现.

例4 用反证法证明命题：“设[a，b]为实数，则方程[x3+ax+b=0]至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）

A. 方程[x3+ax+b=0]没有实根

B. 方程[x3+ax+b=0]至多有一个实根

C. 方程[x3+ax+b=0]至多有两个实根

D. 方程[x3+ax+b=0]恰好有两个实根

解析 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定. 方程[x3+ax+b=0]至少有一个实根的反面是方程[x3+ax+b=0]没有实根.

答案 A

例5 设[a，b]是两个实数，给出下列条件：①[a+b>1；]②[a+b=2；]③[a+b>2；]④[a2+b2>2；]⑤[ab>1].其中能推出：“[a，b]中至少有一个大于1”的条件是 .（填序号）

解析 若[a=12，b=23，]则[a+b>1，]但[a<1，b<1，]故①推不出；

若[a=b=1，]则[a+b=2，]故②推不出；

若[a=-2，b=-3，]则[a2+b2>2，]故④推不出；

若[a=-2，b=-3，]则[ab>1，]故⑤推不出；

对于③，即[a+b>2，]则[a，b]中至少有一个大于1，

反证法：假设[a≤1]且[b≤1，]则[a+b≤2]与[a+b>2]矛盾，因此假设不成立，故[a，b]中至少有一个大于1.

答案 ③

点拨 否定性命题，惟一性命题，至多、至少型命题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑采用反证法. 注意：推导出的矛盾可能多种多样，但必须是明显的. 有的与已知条件矛盾，有的与已有公理、定理、定义矛盾，有的与假设矛盾等.

练 习

1. 已知数列[{An}：a1，a2，…，an.]如果数列[{Bn}：b1，][b2，…，bn]满足[b1=an，][bk=ak-1+ak-bk-1，]其中[k=2，3，…，n，]则称[{Bn}]为[{An}]的“衍生数列”.

（1）写出数列[{A4}：2，1，4，5]的“衍生数列”[{B4}].

（2）若[n]为偶数，且[{An}]的“衍生数列”是[{Bn}，]证明：[bn=a1].

（3）若[n]为奇数，且[{An}]的“衍生数列”是[{Bn}，][{Bn}，]的“衍生数列”是[{Cn}，]…，依次将数列[{An}，{Bn}，{Cn}，…]首项取出，构成数列[{Ω}：a1，b1，c1，…，]证明：[{Ω}]是等差数列.

2. （1）如果[a，b]都是正数，且[a≠b，]求证：[a6+b6>a4b2+a2b4.]