高中数学奇偶性单调性

高中数学奇偶性单调性（精选8篇）

高中数学奇偶性单调性 第1篇

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高中数学难点解析 难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场

2(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式［flog2(x+5x+4)］≥0.

●案例探究

［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤5},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由0x6得23x336x3x3

32且x≠0,故03－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2f(0)对所有θ∈［0,的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m), 即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.京翰教育http:///

12)2－

134知：g(x)

2］都成立？若存在，求出符合条件

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http:// 设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t－mt+2m－2=(t－1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当m22

m2)－

2m42+2m－2在［0，<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；

m2当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－

m42+2m－2>0 4－221,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1.∴m>2 综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－22.●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于（）A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5 2.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围是（）A.(22，3)C.(22，4)

二、填空题

3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(1323

B.(3，10)D.(－2，3)),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题

5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)=(1)求a的值；

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a2112xx(a∈R)是R上的奇函数，高中数学辅导网

http://(2)求f(x)的反函数f(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg

1xk－

1.747.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(12m－任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)=有最小值2，其中b∈N且f(1)<

52ax2+cos2x)对

1bxc(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)

.(1)试求函数f(x)的解析式；

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案

难点磁场

解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2

或log2(x+5x+4)≤－2 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤－5或x≥0 由②得0＜x+5x+4≤2

252

① ② ③ ④

52

14得≤x＜－4或－1＜x≤由③④得原不等式的解集为 {x|x≤－5或5210≤x≤－4或－1＜x≤

5210或x≥0} 歼灭难点训练

一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B 2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).1a31∴1a29

1∴a∈(22,3).2a3a9答案：A

二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0x0x0 或f(x)0f(x)0x0x0x0x0  或 或f(x)f(3)f(x)f(3)x3x3京翰教育http:///

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http:// ∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)为R上的奇函数 ∴f(－23131323231)=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>

3>－1.∴f(－13)>f(－1323)>f(－1),∴f(2313)＜f（23)＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)

三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以 f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)=2121xx(x∈R)f－-1(x)=log21x(－1＜x＜1).1x(3)由log21x1x>log2

1xklog2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1};当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1}.msinx4m4sinx727.解：12mcosx4 即74m12msin472msinx12mcosx42xsinx1，对x∈R恒成立, m331

m或m22∴m∈［

32,3］∪{

12}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即

ax2ax21bxc1ax21bxcbxcbxc

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=

1bxabxbx2≥2

ab2，当且仅当x=

1a时等号成立，于是2ab2=2,∴a=b,由f(1)＜2

521x得

a1b＜

52即

b1b＜

52,∴2b2－5b+2＜0,解得

12＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)

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http:// x021y0x0图象上，则

2(2x0)1y02x0消去y0得x0－2x0－1=0,x0=1±2.∴y=f(x)图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称.2

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高中数学奇偶性单调性 第2篇

教学目标

1。了解函数的单调性和奇偶性的概念，把握有关证实和判定的基本方法。

(1)了解并区分增函数，减函数，单调性，单调区间，奇函数，偶函数等概念。

(2)能从数和形两个角度熟悉单调性和奇偶性。

(3)能借助图象判定一些函数的单调性，能利用定义证实某些函数的单调性;能用定义判定某些函数的奇偶性，并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程。

2。通过函数单调性的证实，提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察，归纳，抽象的能力，同时渗透数形结合，从非凡到一般的数学思想。

3。通过对函数单调性和奇偶性的理论研究，增学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学，严谨的研究态度。

教学建议

一、知识结构

(1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系。

(2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像。

二、重点难点分析

(1)本节教学的重点是函数的单调性，奇偶性概念的形成与熟悉。教学的.难点是领悟函数单调性， 奇偶性的本质，把握单调性的证实。

(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。单调性的证实是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证实，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证实自然就是教学中的难点。

三、教法建议

(1)函数单调性概念引入时，可以先从学生熟悉的一次函数，，二次函数。反比例函数图象出发，回忆图象的增减性，从这点感性熟悉出发，通过问题逐步向抽象的定义靠拢。如可以设计这样的问题：图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度，也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释，引导学生发现自变量与函数值的的变化规律，再把这种规律用数学语言表示出来。在这个过程中对一些关键的词语(某个区间，任意，都有)的理解与必要性的熟悉就可以融入其中，将概念的形成与熟悉结合起来。

(2)函数单调性证实的步骤是严格规定的，要让学生按照步骤去做，就必须让他们明确每一步的必要性，每一步的目的，非凡是在第三步变形时，让学生明确变换的目标，到什么程度就可以断号，在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准，以便帮助学生总结规律。

高中数学奇偶性单调性 第3篇

一、利用单调性求函数的值域

例1 求函数undefined的值域。

解:令undefined, 则t≥2,

考查其单调性, 发现f (t) 在[2, +∞) 上为增函数, undefined

故所求函数值域为undefined。

点评:求函数值域时, 利用函数的单调性是常见的方法之一。

二、利用单调性求函数的最值

例2 设f (x) 是定义域R的奇函数, 且满足如下两个条件:

(1) 对于任意x、y∈, 有f (x+y) =f (x) +f (y) ;

(2) 当x>0时, f (x) <0, 且f (1) =-2

求函数f (x) 在[-3, 3] 的最值。

解:设-3≤x1

f (x2) =f[ (x2-x1) +x1]=f (x2-x1) +f (x1) 即 f (x2-x1) =f (x2) -f (x1)

∵x2-x1, ∴由条件 (2) , 得f (x2-x1) <0 ,

即f (x2) -f (x1) <0, f (x2)

∴f (x) 在[-3, 3]上是减函数。

[f (x) ]min=f (3) =f (1) +f (2) =3f (1) =-6。

[f (x) ]max=f (-3) =-f (3) =6。

点评:对于抽象函数, 往往是通过研究函数的单调性确定其最值。

三、利用单调性比较函数值的大小例3 已知函数f (x) =ax2+2ax+4 (0

A.f (x1) >f (x2) B.f (x1)

C.f (x1) =f (x2)

D.f (x1) 与f (x2) 的大小不能确定

解:f (x) 的对称轴为undefined。

①当-≤x1

∵f (x) 在[-1, +∞) 上为增函数

∴f (x1)

②当x1<-1

|x1+1|=-x1-1, |x2+1|=x2+1

|x2+1|-|x1+1|=x1+x2+2>0

∴x1比x2离f (x) 的对称轴近,

∴f (x1)

四、利用单调性分析方程根的情况

例4 已知f (x) =-x-x3, x∈[a, b], 且f (a) f (b) <0, 则方程f (x) =0在[a, b]内

A.至少有一实根 B. 至多有一实根

C.没有实数根 D. 有唯一实数根

解:根据f (x) 的表达式和单调性定义, 可知f (x) 在[a, b]上是减函数, 所以f (a) >f (b) 。又由f (a) f (b) <0, 可知f (b) <0

点评:本题是运用数形结合思想解题, 在确定形的变化趋势时, 利用单调性来分析。

五、利用单调性解不等式

例5 :已知函数f (x) =sinx+5x, x∈ (-1, 1) , 解不等式f (1-a) +f (1-a2) <0。

解:此题若解不等式sin (1-a) +5 (1-a) +sin (1-a2) +5 (1-a2) <0, 则行不通, 此时可通过考查其单调性和奇偶性, 可知f (x) 是奇函数, 且在 (-1, 1) 上是增函数, 从而有f (1-a) <-f (-a2+1) =f (-1+a2) , 所以1-a

点评:在解决抽象函数不等式时, 往往要利用函数的奇偶性和单调性来转化。

六、利用单调性证明不等式

例6 已知△ABC的三边长分别是a、b、c, 且m为正数, 求证:undefined。

分析:因为undefined的结构相同, 相当于函数undefined中的变量x分别取a、b、c时的函数, 所以要证明它们的大小关系, 可考虑函数f (x) 的单调性。a、b、c、m 都为正数, 根据单调函数的定义可推导出f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数。

>证明:由a+b>c, 可推导出f (a+b) >f (c) , 即undefined。

又undefined,

所以undefined。

点评:在证明不等式时, 往往可构造函数, 利用函数的单调性来证明.

七、利用单调性解决数列问题

例7 已知undefined, 若an>2b-5恒成立, 且b为自然数, 求b的最大值。

分析:因为an>2b-5恒成立, 所以2b-5<{an}min, 从而转化成求an的最小值, 知an是以n为自变量的函数, 从而联想到分析数列{an}的单调性规律。

解:undefined。

undefined, 所以数列 是递增数列

undefined, 解得undefined,

故自然数 的最大值是3。

浅谈高中数学函数的单调性 第4篇

关键词：高中；函数；单调性

G633.6

函数是高中数学的函数学习当中的重点，所以在学习有关函数的知识时，我会从多个方面对函数进行认识与理解，包括函数的概念与定义、函数的性质等。其中很重要的一条性质便是函数的单调性，学好函数的单调性对于学好函数是必不可少的一步。函数的单调性在函数中具有很广泛的应用。比如，可以利用函数的单调性比较函数值的大小，也可以转化为比较自变量的大小；利用函数的单调性可以求函数的值域、最大值、最小值等等。

一、什么是函数的单调性

函数的单调性是函数的一条重要性质，它反映了函数值的变化规律。学习函数单调性的重点在于函数的单调性的有关概念。

1.增函数与减函数定义

对于函数 的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ：若当 < 时，都有 < ，则说 在这个区间上是增函数；

若当 < 时，都有 > ，则说 在这个区间上是增函数。

因而，判断一个函数为增函数还是减函数，是相对于定义域内某个区间而言的。有的函数在某个区间上是增函数，而在另一个区间上可能变成减函数。有这样特性的最典型的函数便是函数 ，当 时为增函数，当 时是减函数。

2.单调性与单调区间

若函数 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

需要注意的是函数的单调区间是其定义域的子集，应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

二、函数单调性的应用

函数的单调性在高考试卷上必不可少，而且对其的考查各式各样，考查的深度也远远高于课本。在考试中，对于函数单调性的考查难点往往在于证明或判断函数的单调性。在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集。接下来我想谈谈函数单调性的应用。

1.函数单调性的判别

2.定义法

在数学中，解题过程中最基本的方法就是依靠定义。万变不离其宗，无论是什么解题方法，都是由最基本的定义衍生而来的。因此，函数单调性判别的定义法为，自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数。

3.函数变换法

由上面的定义法我们可以得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若 、 都是单凋增（减）函数，则 + 也是单凋增（减）函数；若 单凋递增， 单凋递减，则 - 单调递增；若 单凋递减， 单凋递增，则 - 单调递减.

4.复合函数法

设函数 由两个函数 与 复合而成，则 与 单调性相同时， 单调递增； 与 单调性不同时， 单调递减，这就是通常所说的同增异减。多层复合，依此类推。

4.作差比较法

根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。其步骤为：（1）设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量 、 ，且 < ；（2）比较：即比较 ）与 大小，通常采用作差或作商的方法；（3）判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论。

5.等价变形法

三、函数单调性学习过程中的学习难点

了解了函数单调性的概念与定义，也知道了通过哪些方法可以判别函数的单调性，但是往往在应用中无法将这些定义与判别方法融会贯通，函数单调性经常是解题的关键点，如果无法将函数的这一性质运用得当，就无法轻松快速地解题，这也是我曾经在函数学习过程中遇到的一大困扰。我根据自己的理解，总结了一下这些问题的症结所在。

1.没有掌握数形结合的解题方法

華罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”数形结合的方法就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题，数形结合可以有效地解决许多数学问题。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化，我觉得这也很关键。

因为函数的单调性只凭想象是不好理解的，所以需要依靠直观的几何图形，把数与形一一结合起来，才能使得抽象问题具体化，优化解题步骤，解出正确答案。而我们在学习数学过程中，尤其是学习函数时，总是没有数形结合的习惯和意识，这给我们学习带来不利的因素。培养数形结合的解题意识，掌握好数形结合的解题方法，不但可以使我们学习函数单调性时遇到的问题迎刃而解，更对我们在以后学习数学的过程有很大的帮助。

2.不能深刻理解定义域的内涵

定义域也是函数中非常重要的一部分，而定义域与函数的单调性也是密不可分的，因为定义域决定了函数的单调性。而在平时的学习过程中，我们对定义域的理解往往太过于抽象，没办法深刻理解定义域的内涵，就不能在解题过程中得到正确的答案。因此，深刻理解函数的定义域，对于我们更好得运用函数的单调性有重要的意义。

若是在学习函数单调性的过程中遇到瓶颈，大家可以在这两个方面找原因，找突破口，问题也就迎刃而解了。以上便是我自己对函数单调性的认识与理解。

.

奇偶性与单调性及典型例题 第5篇

函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场

(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.案例探究

［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0

(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0

∵00,1－x1x2>0，∴>0，又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0

∴x2－x1<1－x2x1，∴0<<1,由题意知f()<0，

即f(x2)3a2－2a+1.解之，得0

结合0

本难点所涉及的问题及解决方法主要有：

(1)判断函数的奇偶性与单调性

若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)下列函数中的奇函数是（）

A.f(x)=(x－1)

B.f(x)=

C.f(x)=

D.f(x)=

2.(★★★★★)函数f(x)=的图象（）

A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线x=1对称

二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0

5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+(a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：

(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且

f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案

难点磁场

(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex.整理，得(a－)(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1

(2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=

由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数

证法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，e－x>0,e2x－1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练

一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C

2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C

二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上递减.答案：(－∞,－1

4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0，∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0）

三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, >1且>0，∴>0,又x1+1>0,x2+1>0

∴>0，于是f(x2)－f(x1)=+ >0

∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则>0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x≠0,∴f(x)=，设1＜x1＜x2＜+∞,则.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）

7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)= =－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0，∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0，∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二)

函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场

(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式［flog2(x2+5x+4)］≥0.

●案例探究

［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由且x≠0,故03－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)，即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；

当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>0

4－21,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1.∴m>2

综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于（）

A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5

2.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围是（）

A.(2，3)

B.(3，)

C.(2，4)

D.(－2，3)

二、填空题

3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题

5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；

(2)求f(x)的反函数f－1(x);

(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案

难点磁场

解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0

∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2

①

或log2(x2+5x+4)≤－2

②

由①得x2+5x+4≥4

∴x≤－5或x≥0

③

由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤

④

由③④得原不等式的解集为

{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}

歼灭难点训练

一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B

2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴

∴a∈(2,3).答案：A

二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0

∴x∈(－3,0)∪(0,3)

答案：(－3，0）∪(0，3）

4.解析：∵f(x)为R上的奇函数

∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－> －>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)

三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以 f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)=(x∈R)f－-1(x)=log2(－1＜x＜1.(3)由log2>log2log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立，∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则

消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场

(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.

●案例探究

［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由 且x≠0,故03－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m), 即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－ +2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当 <0,即m<0时，g(0)=2m－2>0 m>1与m<0不符； 当0≤ ≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－ +2m－2>0 4－2 1,即m>2时，g(1)=m－1>0 m>1.∴m>2 综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于（）A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5 2.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围是（）A.(2，3)

B.(3，)C.(2，4)

D.(－2，3)

二、填空题 3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题

5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；

(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(－ +cos2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案 难点磁场

解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2

① 或log2(x2+5x+4)≤－2

② 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤－5或x≥0

③ 由②得0＜x2+5x+4≤ 得 ≤x＜－4或－1＜x≤

④ 由③④得原不等式的解集为

{x|x≤－5或 ≤x≤－4或－1＜x≤ 或x≥0} 歼灭难点训练

一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B 2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴

∴a∈(2 ,3).答案：A

二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0

∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)为R上的奇函数

∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－ > － >－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)

三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以 f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)=(x∈R)f－-1(x)=log2(－1＜x＜1.(3)由log2 >log2 log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立，∴m∈［ ,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2，当且仅当x= 时等号成立，于是2 =2,∴a=b2,由f(1)＜ 得 ＜ 即 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得 ＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则

高中数学奇偶性单调性 第6篇

班级__________姓名__________学号___________成绩_________ A组（基础题

必做）

1、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在[-7,-3]上是（）

A．增函数且最小值为-5

B．增函数且最大值为-5 C．减函数且最小值为-5

D．减函数且最大值为-5 2．若f(x)是偶函数,其定义域为R,且在[0,+∞）上是减函数,则f(-3/4)与f(a2-a+1)的大小关系是______________________.x1x,3.判定函数的奇偶性 fxx1x.

B组(提高题

有能力的完成)1．已知函数y＝f(x)是偶函数(x∈R), 在x<0时,y是增函数,对x1<0, x2>0,有|x1|<|x2|,则（）。

A．f(－x1)>f(－x2)

B．f(－x1)

C．f(－x1)＝f(－x2)

D．以上都不对

2、设f(x)是R上的奇函数,且当x[0,)时f(x)=x(1x), 求f(x)的解析式

C 组

高考题尝试

6、(2006年山东理6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为（）

高中数学奇偶性单调性 第7篇

一、目标认知 学习目标：

1.理解函数的单调性、奇偶性定义；

2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.重点、难点：

1.对于函数单调性的理解；

2.函数性质的应用.二、知识要点梳理 1.函数的单调性

(1)增函数、减函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间

如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数；

如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数.如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间.要点诠释：

[1]“任意”和“都”；

[2]单调区间与定义域的关系----局部性质；

[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；

[4]不能随意合并两个单调区间.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？

基本方法：观察图形或依据定义.2.函数的奇偶性

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：

[1]奇偶性是整体性质；

[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：，f(-x)=-f(x)的等价形式为：；

[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

[5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0；

[6]，.三、规律方法指导

1.证明函数单调性的步骤：

(1)取值.设是

定义域内一个区间上的任意两个量，且

；

(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；

(4)得出结论.2.函数单调性的判断方法：

(1)定义法；

(2)图象法；

(3)对于复合函数在区间

或者，若

在区间上是单调函数；若

为增函数；若

上是单调函数，则

与与单调性相同（同时为增或同时为减），则单调性相反，则

为减函数.3.常见结论:

(1)若

(2)若是增函数，则和

为减函数；若

和

是减函数，则

为增函数；

均为增（或减）函数，则在的公共定义域上为增（或减)函数；

(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；

若

(4)若奇函数数，且有最小值 且在为减函数，则函数为减函数，则

在为增函数.在是增函是增函数.上是增函数，且有最大值

在；若偶函数是减函数，则 经典例题透析

类型

一、函数的单调性的证明

1.证明函数上的单调性.证明：

总结升华：

[1]证明函数单调性要求使用定义；

[2]如何比较两个量的大小？(作差)

[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)

举一反三：

【变式1】用定义证明函数

总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是减函数.上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型

二、求函数的单调区间

2.判断下列函数的单调区间；

(1)y=x2-3|x|+2；(2)

举一反三：

【变式1】求下列函数的单调区间：

(1)y=|x+1|；(2)

总结升华：

[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；

[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型

三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)

3.已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与 的大小.4.求下列函数值域：

(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3；

1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].举一反三：

【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.域.，第二问即是利用单调性求函数值

5.已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间

上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.类型

四、判断函数的奇偶性

6.判断下列函数的奇偶性：

(1)

(2)

(3)f(x)=x2-4|x|+3

(4)f(x)=|x+3|-|x-3|

(5)

(6)

(7)

思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性：

(1)；

(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；

(3)f(x)=x2+x+1；

(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.举一反三：

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型

五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).8.f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.6 9.设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a的取值范围.类型

六、综合问题

10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；

②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；

③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；

④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).(1)11.求下列函数的值域：

(2)

(3)的图象与f(x)

思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：

12.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.7 13.已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.证明：

14.判断函数上的单调性，并证明.15.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：

学习成果测评 基础达标

一、选择题

1．下面说法正确的选项()

A．函数的单调区间就是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间

C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称

D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

2．在区间上为增函数的是()

A．

C．

B．

D．

3．已知函数

A.B.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是()

C.D.为偶函数，则的值是()

A．

B．

C． 5．如果奇函数是()

A．增函数且最小值是

C．减函数且最大值是

6．设是定义在在区间

D．

上是增函数且最大值为，那么

在区间

上

B．增函数且最大值是

D．减函数且最小值是

上的一个函数，则函数，在上一定是()

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间

上是增函数的是()

A．

B．

C．

D．

8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则()

A.f(3)+f(4)＞0

B.f(-3)-f(2)＜0

C.f(-2)+f(-5)＜0

D.f(4)-f(-1)＞0

二、填空题

1．设奇函数的定义域为，若当的解是____________.时，的图象

如右图，则不等式

2．函数

3．已知

4．若函数____________.5．函数____________.三、解答题 的值域是____________.，则函数的值域是____________.是偶函数，则的递减区间是在R上为奇函数，且，则当，1．判断一次函数

2．已知函数(2)在定义域上

反比例函数，二次函数的单调性.的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；

单调递减；(3)

3．利用函数的单调性求函数

4．已知函数

① 当

求的取值范围.的值域；

.时，求函数的最大值和最小值；

在区间

上是单调函数.② 求实数的取值范围，使能力提升

一、选择题

1．下列判断正确的是()

A．函数数

C．函数函数

2．若函数

A．

C．

3．函数

A．

C．

4．已知函数围是()

A．

B．

是奇函数

B．函数是偶函

是非奇非偶函数

D．函数既是奇函数又是偶

在上是单调函数，则的取值范围是()

B．

D．的值域为()

B．

D．

在区间上是减函数，则实数的取值范

C．

D．

5．下列四个命题：(1)函数增函数；(2)若 函数的递增区间为正确命题的个数是()

在时是增函数，与；(4)

也是增函数，所以

且

是；(3)

轴没有交点，则

和

表示相等函数.其中

A．

B．

C．

D．

6．定义在R上的偶函数则()

A．

C．

二、填空题

1．函数

2．已知定义在______.上的奇函数，满足，且在区间上为递增，B．

D．的单调递减区间是____________________.，当时，那么时，3．若函数

4．奇函数

则

5．若函数

三、解答题

1．判断下列函数的奇偶性 在区间

在上是奇函数，则的解析式为________.上是增函数，在区间__________.上的最大值为8，最小值为-1，在上是减函数，则的取值范围为__________.(1)

(2)

2．已知函数且当时，的定义域为，且对任意

是，都有

上的减函数；(2)函数，恒成立，证明：(1)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是

且，是偶函数，是奇函数，且

4．设为实数，函数

(1)讨论

，求和的解析式.，的最小值..的奇偶性；(2)求综合探究

1．已知函数，的奇偶性依次为()

A．偶函数，奇函数

B．奇函数，偶函数

C．偶函数，偶函数

D．奇函数，奇函数

2．若是偶函数，其定义域为，且在，则

上是减函数，则的大小关系是()

A．＞

B．＜

C．

D．

3．已知_____.，那么＝

4．若

在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数果对于

6．当

7．已知

的定义域是，且满足，(1)求

；(2)解不等式，如

高中数学奇偶性单调性 第8篇

对于“研究性学习”, 从以下几个方面来说。

(一) 背景材料的选取

在教材中, 所有的重要的知识点都作为“研究性学习”的背景和材料, 这确实是一个富有的素材库, 它的意义很大, 即能够把所有的中学教师的优点发挥出来。有时, 还可以把各自所写论文材料作为“研究性学习”的背景和材料。

(二) “研究性学习”的教学目标

对于教学, 首要是目标的明确, 即在每一节课中, 把相关的重点教给学生, 而对于发现问题的方法, 需要我们逐步去引导, 反复进行结论前、后的思考。

在荷兰, 有位著名的数学教育家弗赖登尔曾经说过, 通过自己的反思, 尤其在数学活动中是很重要的, 我们把它作为数学的一个核心、动力的因素。所以, 反思构成了发现的根本之泉, 而教会学生去发现问题, 在“研究性学习”中是一个目标。

(三) “研究性学习”的课堂操作

1.通过建立课题小组而进行:一般情况, 以10个左右同学为基准, 作为一个课题的小组, 然后去确定课题小组的组长由谁担当。

2.把课内、课外的关系处理好。对于教师, 其主要精力安排在课外时间, 而在课内, 主要任务是积极促进各个课题组去展示自己的成果。

3.通过把点、面结合起来, 作为本教案的一个研究方案, 组成一个课题小组而进行。每一个小组进行一个方案的研究。主要研究的范畴有:函数的奇偶性;函数的中心对称;关于x轴上的两点成中心对称, 周期性;关于平行于y轴的两直线对称, 周期性;关于一条平行y轴的直线成轴对称, 与周期函数等。

二、通过不断观察、反思去进行研究性学习

在课前, 往往老师给大家提供了有关的背景、材料, 通过逐步的研究、学习, 在上课前, 让同学们去展示一下学习成果。采用先进的教学手段, 比如多媒体进行教学, 展示2个重点的函数图像, y=sinx奇函数对称轴x=kπ+, k∈z f (-x) =f (+x) (特例) f (2π+x) =f (x) f (-x) =-f (x) 对称中心 (kπ, 0) , k∈z f (π-x) =-f (π+x) (特例) 。

对于这两个函数, 从函数的“三性”角度来分析, 看起来比较优美, 而美, 在于把函数“三性”集中一起了, 那么, 这类函数还有别的, 即正切函数和余切函数。

三、通过试验、猜想进行研究性学习

对于偶然性, 其中有必然性, 让学生找一个函数去作进一步的试验。通过下面的做法, 让每一个课题组, 选出一位同学, 把本组所构造的函数给同学们进行展示, 即给大家一起分享成果。

组一的一位学生, 展示了:

1.已知函数y=f (x) 为偶函数, 且关于直线x=1对称, 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2, 作出函数的图象 (作图过程略) 从图3中不难发现, 函数具有周期性, 且周期为2。

2.已知函数y=f (x) 为偶函数, 且f (x+2) =f (x) , 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2, (作图过程略) , 由图3可知, 函数的对称轴为x=k, k∈z。

3.已知函数y=f (x) , 满足f (x+2) =f (x) , 且f (1-x) =f (1+x) , 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2 (作图过程略) , 由图3可知, 函数为偶函数。对于上面的三个命题, 我们能不能把其写成一个命题的形式, 让学生去思考。

有的学生说:已知函数y=f (x) , 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2, 给出三个论断:

1.f (-x) =f (x) ;

2.f (2-x) =f (x) ;

3.f (2+x) =f (x) 。

若把其中两个论断作为一个条件, 则另一个的论断, 被作为结论的命题, 即真命题。在此基础上, 我们就可以作出一个合情的猜想, 即:函数y=f (x) , 给出三个论断:

1.f (-x) =f (x) ;

2.f (2a-x) =f (x) ;

3.f (2a+x) =f (x) 。

把其中两个论断作为一个条件, 而另一个论断作为结论, 则该命题是真命题。

四、通过探索、发现进行研究性学习

我们可以从本课题组中, 选出三位同学进行, 即对猜想的证明, 其具体的分工, 往往由自己来定。有的学生认为:由f (2a-x) =f (x) , 得f (2a+x) =f (-x) , 又f (-x) =f (x) , 得f (2a+x) =f (x) 。又有学生认为:由f (2a+x) =f (x) , 得f (2a-x) =f (-x) , 又f (-x) =f (x) , 得f (2a-x) =f (x) , 还有学生认为:由f (2a-x) =f (x) , 得f (2a+x) =f (-x) , 又f (2a+x) =f (x) , 得f (-x) =f (x) 。对于三位同学的推证, 其关键抓住了变量x, 即其具有任意性, 这样, 根据目标而进行相关的变形。在探索过程中, 他们可以发现论断2、论断3的条件是:其中参数有2a是相同的, 通过反思图3, 即作图的过程, 又有新的发现, 即图象的特征是:在两条对称轴即x=0, x=1下, 产生了周期性, 而在作图过程中, 很容易发现2=2 (1-0) , 从而得到三个论断:1.y=f (x) 的图象关于直线x=a对称;2.y=f (x) 的图象关于直线x=b对称;3.y=f (x) 是周期函数, 且周期T=2|b-a|为其中一个周期, 而以其中两个论断为条件, 则另一个论断是结论的命题, 即真命题。

五、通过类比、发散而进行

在学生展示了偶函数、轴对称、周期性等相互关系时, 把图1、图2结合而作类比、发散, 在此基础上得到一些命题:

1.若函数y=f (x) 为偶函数, 其图象关于点A (a, 0) 对称, 则函数y=f (x) 为数, 且周期T=4|a|。这是把轴对称类比为中心对称。

2.若函数y=f (x) 为奇函数, 其图象关于直线x=a对称, 则函数y=f (x) 为周期函数, 且周期T=2|a|。

3.若函数y=f (x) 为奇函数, 其图象关于点A (a, 0) 对称, 则函数y=f (x) 为周期函数, 且周期T=2|a|。

综上所述, 对于“研究性的学习”, 在我们中学生中是可以做的。而研究一个问题, 往往需要我们去发现问题, 在反思的基础上, 不断去熟悉函数的性质、捕捉信息, 发现问题, 而反思属于发现的源泉, 通过反思、试验、猜想、论证, 从而发现问题再去解决问题。而在整个研究性学习过程中, 我们还可以应用逼近、联想即类比的思维, 这是发现、解决问题的两种思维模式。所以, 在学习过程中, 为了获得了一个知识, 需要在平时的点点滴滴的积累, 那么, 学问无处不在。

摘要：到了高三, 教师要不断培养学生的研究性学习, 这样才能很好地引导学生学会学习, 比如说理解函数的奇偶数的特性、周期性及图象的对称性等, 即“三性”, 在这个的基础上, 去进一步探求相互之间的关系.而在研究问题的过程中, 让学生转变自己的学习方式, 以及培养学生在探究方面的能力、创新的意识。本文结合具体的教学实践, 主要从以下几个方面对于高中数学中函数的相关问题进行探讨。

关键词：高中数学,研究性,观察,探究

参考文献

[1]彭家盛.中职数学中“指数函数与对数函数”章节的有效性教学[J].科教文汇:下旬刊, 2012 (7) .

[2]罗洁.中职数学函数奇偶性的教学模式探索[J].科技致富向导, 2012 (9) .