解方程3优秀教案

解方程3优秀教案（精选13篇）

解方程3优秀教案 第1篇

3.3解一元一次方程——去分母

教者：班级：

七、一审核：_______

学习目标：

1、会用去分母的方法解含分母的一元一次方程；

2、掌握解一元一次方程的一般步骤；

3、将含有分母的方程转化成已熟悉的方程，体会数学中的“转化”思想。重点：去分母解一元一次方程

难点：去分母解一元一次方程时的计算

教学过程：

一、知识回顾------导学

问题1.如何求几个数的最小公倍数？方法是什么？（1）2和3的最小公倍数是；（2）3、4、6 的最小公倍数是； 问题2.等式的性质二是什么？

等式两边乘以同一个数（或除以同一个不为 0的数），所得结果仍是等式。问题3.前面学的解一元一次方程的步骤有哪些？ 去括号---移项---合并同类项---系数化为1

二、情境导入

英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸莎草文书.这是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，它于公元前1700年左右写成，至今已有三千七百多年.这部书中记载了许多有关数学的问题，其中有如下一道著名的求未知数的问题.问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数？

分析：你认为本题用算术方法解方便，还是用方程方法解方便？ 解：设这个数为x，则列方程得：3x12x17

xx33

用前面学的解方程的方法解此方程：

解：合并同类项，得：（211

1）x33

327

x33

系数化为1，得： 1386

x97思考：你能用其他简单方法解上面这个方程吗？

三、自学质疑

自学课本95页—97页上的内容，思考以下问题：

问题1.利用等式的什么性质可将方程中的分母去掉，怎么操作？

问题2.去分母时，方程两边不含分母的项怎么处理，分数线和分子上的多项式怎么处理？ 问题3.解含有分母的一元一次方程的步骤有哪些？

四、互动释疑 2 x1x1

xx33

327

解：方程两边同乘42得：42（2x1x1

xx）33

327

42即：28x21x6x42x1386

合并同类项得：97x1386

系数化为1得：x

1386

97方法应用：解方程：

x1x2

精点展示

例题2：解方程： 3x13x22x32210

5五、方法点拨

1、去分母时，方程两边每一项乘以所有分母的；

2、去分母的依据是；

3、去掉分母以后，分子是多项式的要用括号括起来；

4、去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号。课堂检测1：

方程3x1  1 

4x1

去分母后,得到方程_________.六、归纳延伸，提升能力。3

解一元一次方程的步骤：

去分母---去括号---移项---合并同类项---系数化为1

课堂检测2:

1、x  12 12 2 x2、x12xx

43x23

提升能力x1  0.50.3x方法点拨

30.2

分母中含有小数怎么办？ 当方程的分母出现小数时，一般利用分数的基本性质，先将小数化为整数，然后再去分母。

七、课堂总结：这节课你学到了什么?有何收获?

九、作业布置：第一组：P98 练习（3）（4）；习题3题（3）（4）

第二组：P98 练习（1）（2）；习题3题（1）（2）

解方程3优秀教案 第2篇

（二）——去括号第1课时教学设计

一．教学目标：

（1）知识与技能：经历在具体情境中寻找等量关系以及探索符号一元一次方程的求解过程，能比较熟练地解方程。

（2）情感态度价值观：认识到方程是作为刻画现实世界的一种重要

模型以及在解决实际问题中的重要作用，从而对方程的求解不怕困难，充满信心。

(3)过程与方法：

1、能对具体情境中的等量关系作出合理的推断，并能用方程来刻画其中的相互关系。

2、尝试从不同的角度，用不同的方法有效地解方程，并能评价不同方法之间的差异。

二．重点与难点：

教学重点：经历在具体情境中寻找等量关系以及探索含有括号的一元

一次方程的求解过程，能比较熟练地解方程。

教学难点：尝试从不同的角度，用不同的方法有效地解方程，并能评价不同方法之间的差异。

三．教学过程：

（一）回顾旧知，承前启后

（1）、你还记得分配律吗？用字母怎样表示？ 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．a(b+c)=ab+ac 练习： １、2（X+8）

2、-3（3X+4）

3、-（7y-5)

(2)、一元一次方程的解法我们学了哪几步？

移项

→

合并同类项

→

系数化为1

3、移项，合并同类项，系数为化1，要注意什么？

在学生的回顾和教师适当引导补充下，学生说出①移项要变号 ②合并同类项时，只有把同类项的系数相加作为所得项的系数，字母部分不变 ③ 系数化为1，要方程两边同时除以未知数前面的系数。

（二）情景探究学习，解决问题

情景问题： 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电15万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？

分析：若设上半年每月平均用电X度，则下半年每月平均用电___________________ 度

上半年共用电_________________ 度，下半年共用电___________________ 度.因为全年共用了15万度电，所以,可列方程_____________________

6x+ 6（x-2000）=150000 问题：这个方程有什么特点，和以前我们学过的方程有什么不同？怎样使这个方程向x=a转化？

去括号--------移向--------合并同类项-----系数化为1

6x+6(x-2ooo)=150000 去括号得：6X+6x-12000=150000 移向得：

6x+6x=150000+12000 合并同类项得：

12X=162000 化系数为1得：

X=13500

答：这个工厂去年上半年每月平均用电13500度

设立情景，引导学生探究学习，运用所学知识解决生活中的实际问题。并让学生在这一环节中体会到列方程解应用题更为了简捷明了，与此同时，也让学生体会到数学来源于生活，数学与生活是息息相关、密不可分的，现实生活中的很多问题都需要我们用数学中学到的知识去解决。

在以上的这几个环节中，我注重培养学生独立思考、勇于创新的精神和学生间的相互交流、沟通，协作的意识。

（三）范例讲解：

例1：

3x-7(x-1)=3-2(x+3)解：去括号，得

3x-7x+7=3-2x-6

移项，得

3x-7x+2x=3-6-7

合并同类项，得

-2x=-10

系数化成１，得

X=5 出示例题1，学生自己分析解法后尝试着独立完成，对于有困难的同学，可以在小组内合作完成。

（四）巩固练习

(1）

4x + 3(2X-3)= 12-(x+4)

(2)

6(x1)这两道练习题我让学生先独立完成，在巡视的过程中适当给予学生指导，并让两个学生上黑板完成。最后在通过师生互动结束两道题。

（五）拓展探究

已知２ｘ＋１与－１２ｘ＋５的值是相反数，求ｘ的值。解：根据题意得：

（２Ｘ＋１）＋（－１２Ｘ＋５）＝０ 解得

Ｘ＝０.６

理论依据：这道方程是在前面新授的基础上，拓展出来的。本题对刚刚接受新知的学生而言，是一道很有趣味的挑战。四．课堂小结

这节课你学到了什么？ １、去括号的依据是：分配律 ２、解一元一次方程的步骤

（1）去括号

（2）移项

（3）合并同类项（4）系数化成１

五．布置作业 P102 第1，4题 六．板书设计

解方程3优秀教案 第3篇

丢番图方程 (Diophantine Equation) :有一个或几个变量的整系数方程, 它们仅在整数范围内求解.这一限制使得丢番图方程求解与实数范围内方程求解有了本质上的区别.

研究不定方程主要解决三个问题:判断什么时候有解、有解时确定解的个数、求出所有的解.

丢番图方程的例子有勾股定理的整数解、费马最后定理、四平方和定理以及贝祖等式等.

以下是对不定方程 (x+y+z) 3=27xyz的解答:

(一) 当x, y, z中至少有一个为0时, 不妨设x=0, 则原方程可以转化为 (y+z) 3=0, 从而有y=-z, 所以 (0, T, -T) (T为整数) 是原方程的正数解.

(二) 当x, y, z均为非0整数, 且x, y, z中至少有两个相等时, 不妨设x=y=t (t为非0整数) 、z=mt (m为适合的非0有理数) (1) , 将 (1) 代入原方程中并化简得 (m+2) 3=27m (2) , 令m+2=A (可知A不为0) (3) , 将 (3) 代入 (2) 得A3=27 (A-2) (4) , 因为A为非0有理数, 所以可设A=c/a (a、c互素, a为正整数) (5) , 将 (5) 代入 (4) 中并化简得c3=27a2* (c-2a) (6) .

若c为奇数, 因为 (a, c) =1, 所以 (a2, c3) =1, (c-2a, c3) =1, 从而由 (6) 可得a2=1, c-2a=1, c3=27或a2=1, c-2a=-1, c3=-27, 从而a=1, c=3, 又由 (3) 、 (5) 可知此时m=1, 所以根据 (1) 可知 (t, t, t) (t为非0整数) 是原方程的整数解.

若c为偶数, 不妨令c=2e (7) , 将 (7) 代入 (6) 并化简得4e3=27a2* (e-a) (8) , 因为 (c, a) =1, 即 (2e, a) =1, 所以 (a2, 4e3) =1, (e-a, e3) =1, 又由 (8) 得a2=1, e-a=4、e3=27或a2=1, e-a=-4, e3=-27, 从而a=1, e=-3, 所以由 (3) 、 (5) 、 (7) 得m=-8, 又根据 (1) 可知 (t, t, -8t) (t为非0整数) 是原方程的整数解.

当x, y, z均为非0整数, 且x, y, z两两不相等时, 由原方程可知x+y+z≡0 (mod3) (9) , 由 (9) 可知x, y, z皆为3k, 3k+1, 3k+2型的数或分别为3k, 3k+1, 3k+2型的数.

若x, y, z全是3k型的数, 不妨设x=3f, y=3g, z=3h (10) , 将 (10) 代入原方程中并化简得 (f+g+h) 3=27fgh, 依此下去, 有限个步骤后, 必有不全为3k型的三个数F, G, H满足原方程, 所以对于x, y, z只需讨论三个数不全为3k型的数的情况, 此时由原方程可令x, y, z两两互素, 依据 (9) 可设x+y+z=3p (11) , 将 (11) 代入原方程中并化简得p3=xyz, 又x, y, z两两互素, 所以可令x=W3, y=N3, z=M3, p=WNM (W≠N≠M≠0) (12) , 将 (12) 代入 (11) 中得W3+N3+M3=3WNM (13) , 对 (13) 进行变形得 (W+N+M) (W2+N2+M2-WN-NM-MW) =0 (14) , 因为W≠N≠M, 所以有W2+N2+M2-WN-NM-MW>0, 所以要想 (14) 成立, 必有W+N+M=0, 又由 (12) 可知x=W3, y=N3, z=M3 (W, N, M均为整数, W+N+M=0, 且W≠N≠M≠0) 是原方程的整数解.

综上所述, 当不考虑x, y, z的顺序时, 不定方程的整数解有:

(Ⅰ) (0, t, -t) ;

(Ⅱ) (t, t, t) ;

(Ⅲ) (t, t, -8t) ;

(t为整数)

(Ⅳ) (b3, d3, q3) (b, d, q皆为整数, 且b+d+q=0) .

摘要：利用互素、换元、同余式、不定方程的性质对不定方程 (x+y+z) 3=27xyz进行了解答.

关键词：互素,不定方程,整数解

参考文献

[1]甄海燕.中学生数学问题解决效率的归因研究[D].山东师范大学, 2006.

[2]沈利玲.蒙汉族初中生数学学习策略及其教学研究[D].山东师范大学, 2006.

多种方法解方程 第4篇

我用上一期学会的方法来做。

这是一个减法算式，x在等式中是减数，根据“减数=被减数-差”，方程可以这样解。

20-x=9

解： x=20-9

x=11

我有不同的解法。我根据“等式两边加上相同的式子，左右两边仍然相等”这一等式的性质来解方程。

20-x=9

解：20-x+x=9+x

20=9+x

将20=9+x左右换位得到9+x=20，再用一次等式的性质，左右两边减去9，即9+x-9=20-9，最终算得x=11。

如果是除法的题目，你会做吗？请看题：2.1÷x=3。

2.1÷x=3

解： 2.1÷x×x=3×x （等式两边乘以相同的式子，左右两边仍然相等）

2.1=3×x

3×x=2.1 （左右换位，将含x的式子放到等号左边）

3×x÷3=2.1÷3 （等式两边除以相同的数3，左右两边仍然相等）

x=0.7

你学会了吗？来挑战下面的题目吧！

一、解方程。

43-x=38 6.3÷x=7

3÷x=1.5 15-x=2

二、用方程表示下面的等量关系，并求出方程的解。

1. 8除以x等于5。

2. x加上35等于91。

3. x的3倍等于57。

三、挑战巅峰。

解方程：9x+25=7x+60

（答案在本期找）

解方程3优秀教案 第5篇

（一）（1）

教学目标

1.会按去括号、移项、合并同类项、系数化为1四步解一元一次方程.2.知道解一元一次方程过程的实质是使方程向x＝a的形式转化.教学重点和难点

1.重点：按四步解一元一次方程.2.难点：解一元一次方程过程的实质.教学过程

（一）基本训练，巩固旧知 1.填空：

（1）x＋6＝1移项得

；（2）－3x＝－4x＋2移项得

；（3）5x－4＝4x－7移项得

；（4）5x＋2＝7x－8移项得

.2.完成下面的解题过程： 解方程2x＋5＝25－8x.解：移项，得

.合并同类项，得

.系数化为1，得

.3.解方程＋6＝x.21 x4.填空：

（1）式子（x－2）＋（4x－1）去括号，得

；

（2）式子（x－2）－（4x－1）去括号，得

；

（3）式子（x－2）＋3（4x－1）去括号，得

；

（4）式子（x－2）－3（4x－1）去括号，得

.（二）尝试指导，讲授新课

例1 解方程3x－7（x－1）＝3－2（x＋3）.师：与上节课解过的一元一次方程相比，这个一元一次方程有什么特点？

生：……

师：这个一元一次方程的特点是带有括号，解带有括号的一元一次方程，先要去括号.（以下师给出步骤，逐步让生尝试）

师：请同学们自己画出表示解这个方程过程的框图.（生画框图，师巡视指导，然后由生说，师在黑板上画出框图）

（三）试探练习，回授调节 5.完成下面的解题过程：

解方程4x＋3（2x－3）＝12－（x＋4）.解：去括号，得

.移项，得

.合并同类项，得

.系数化为1，得

.6.解方程6（x－4）＋2x＝7－（x－1）.231

1（四）归纳小结，布置作业

解方程3优秀教案 第6篇

1.教学目标

知识与技能：

①掌握去括号解一元一次方程的方法，能熟练求解一元一次方程（数字系数），并判别解的合理性。

②会用去分母的方法解一元一次方程，通过去分母解方程，让学生了解数学中的“化归”思想。

③会根据实际问题中数量关系列方程解决问题，提高数学建模能力，熟练掌握一元一次方程的解法。

过程与方法：

①会将实际问题抽象为数学问题，进而通过列方程解决问题，逐步渗透方程思想和化归思想。

②经历把“实际问题抽象为方程”的过程，发展用方程的方法分析解决问题的能力。情感态度与价值观 ：

①增强数学的应用意识，激发学习数学的热情。

②让学生了解数学的辉煌历史，培养学生热爱数学，勇于探索的精神。

2.教学重点/难点

教学重点

①去括号解方程，将实际问题抽象为方程，列方程解应用题。②会用去分母的方法解方程。教学难点

①将实际问题抽象为方程的过程中，如何找出等量关系。②实际问题中如何建立等量关系，并根据等量关系列出方程。

3.教学用具 4.标签

教学过程 1 要点回顾

一元一次方程的解法我们学了哪几步？每一步都要注意哪些问题？ 【教师说明】总结同学们的答案，指出以前学过的解方程的步骤为：移项同类项

合并系数化为1.移项时应注意：移项要变号。合并同类项应注意：只是把同类项的系数相加作为所得项的系数，字母部分不变。系数化为1时应注意：要方程两边同时除以未知数前面的系数。问题引入

问题一：某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电15万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？

【教师说明】若设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电 x-2000 度，上半年共用电 6x 度，下半年共用电 6(x-2000)度。因为全年共用了15万度电，所以,可列方程 6x+6(x-2000)=150000.【板书】 6x+6(x-2000)=150000 去括号，得： 6x+6x-12000=150000 移项，得： 6x+6x=150000+12000 合并同类项，得： 12x=162000 系数化为1，得： x=13500 答:这个工厂去年上半年每月平均用电13500度。

【问题】1.去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号。括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。

2.解一元一次方程的步骤：去括号

移项

合并同类项

系数化为1 3巩固练习

练习1 解下列方程

（1）(1)3x-7(x-1)=3-2(x+3)（2）3x-2[3(x-1)-2(x+2)]=3(18-x)解 去括号，得： 3x-7x+7=3-2x-6 解 去括号，得：3x-6x+6+4x+8=54-3x 移项，得： 3x-7x+2x=3-6-7 移项，得：3x-6x+4x+3x=54-6-8 合并同类项，得： －2x=-10 合并同类项，得：4x=40 系数化为1，得： x=5 系数化为1，得：x=10 4问题引入

问题二：丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一又过十二分之一,两颊长胡.再过七分之一,点燃结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.”

【教师说明】设令丢番图年龄为x岁，依题意，得

解 去分母，得：14x+7x+12x+420+42x+336=84x 移项，得：14x+7x+12x+42x-84x=-420–336 合并同类项，得：-9X=-756 系数化为1，得：X=84 答:丢番图的年龄为84岁。

由上面的解法我们得到启示:如果方程中有分母我们先去掉分母解起来比较方便。巩固练习

练习2 解方程

解 去分母，得：y-2 = 2y+6 移项，得：y-2y = 6+2 合并同类项，得：-y = 8 系数化为1，得：y =-8 如果我们把这个方程变化一下,还可以像上面一样去解吗?

解：去分母,得 2y-(y-2)= 6 去括号,得2y-y+2=6 移项,得 2y-y=6-2 合并同类项,得 y=4 【教师说明】去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数；去分母的依据是等式性质二，去分母时不能漏乘没有分母的项； 去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号。

练习3 解方程

解： 4(2x–1）–2(10x + 1）=3(2x + 1）–12 8x–4–20x–2 = 6x+3–12 8x–20x–6x = 4 + 2 + 3–12 –18x =–3 X=交流讨论

如何求解方程呢？例如 分母化为整数

去分母，得20x=6+3(12-3x)去括号，得20x=6+36-9x 移项，得20x+9x=6+36 合并同类项，得29x=42 系数化为1，得x=

课堂小结

1.括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数；去分母后如分子中含有两项,应将该分子添上括号。

2.解一元一次方程的一般步骤：

课后习题

1.大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉的千克数为（C）

A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．9.5 2.某物品标价为130元, 若以9折出售,仍可获利10%, 则该物品进价约是(B)A.105元 B.106元 C.108元 D.118元 3.已知关于x的方程3x + a = 0的解比方程2x – 3 = x + 5的解大2，则a = ___-30____。4.关于X的方程2-(1-X)=-2与方程mX-3(5-X)=-3的解相同,则m=__-7___.5.解下列方程(1)(2)

(3)

解 8（2x-1）=6(5x+1)解 3(x-1)-12=2(2x+1)解 3(3y+12)=24-4(5y-7)16x-8=30x+6 3x-3-12=4x+2 9y+36=24-20y+28-14=14x-17=x 29y=16 X=-1 x=-17 y=

板书

第三章 一元一次方程

3.3解一元一次方程 去括号与去分母

1.去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号。括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。

2.解一元一次方程的步骤：去括号

移项

合并同类项

解方程3优秀教案 第7篇

（二）——去括号与去分母

第2课时

利用去分母解一元一次方程

学习目标：1.会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次方程解决一些实际问题；

2.通过观察、讨论等活动经历从实际中抽象数学模型的过程。学习重点： 弄清题意，用列方程的方法解决实际问题。学习难点： 寻找实际问题中的等量关系，建立数学模型。学习要求：1.阅读教材P97---P98的例

2、例3；

2.限时25分钟完成本导学案（独立或合作）；

3.课前在组内交流展示。

4．组长根据组员的完成情况进行等级评价。

一、自主学习：

1.解方程：

（1）

x－4[x－3(x＋2)－5]=12 ；

(2)8(3x－1)－9(5x－11)=2(2x－7)＋30

2.阅读教材例2，并完成下列填空：

（1）一般情况下，可认为这艘船往返的路程相等，即：顺水速度____顺水时间=逆水速度_____逆水时间.（2）顺水速度=_______________________ ,逆水速度=___________________________.（3）寻找相等关系列方程：

设船在静水中的速度为x千米／时，则顺流速度为___________ ,逆流速度为___________ ,顺流航行的路程为______________ ,逆流航行路程为_____________________ ,根据往返路程相等，可列方程为：________________________________________ ,解出并作答。

反思：若要求出甲、乙两码头的路程，又如何解？ 提示：（1）可间接设未知数的方法；想一想：该怎样设？

（2）可直接设未知数的方法.即：设甲、乙两码头的路程为x千米，则顺水速度为_________ ,逆水速度为____________ ,静水速度为______________ ,或表示为___________________ ,从而列出方程为_______________________________，并解出来。

3.教材例3.生产调度问题。

（1）如果设x名工人生产螺钉，则_________名工人生产螺母；

（2）为了使每天的产品配套，应使生产的螺母恰好是螺钉数量的______.解：见P98，认真阅读。

（3）还可以怎样设未知数？你不妨试一试。

二、合作探究：

1.对于方程7(3－x)－5(x－3)＝8.去括号正确的是（）

A 21－x－5x＋15＝8

B 21－7x－5x－15＝8

C 21－7x－5x＋15＝8

D 21－x－5x－15＝8

2.解方程：32x[(－1)－2]－x＝2 233.一架飞机在两城之间飞行，顺风时需5小时，逆风时需6小时，已知风速是每小时24千米，求两城之间的路程。（要求用两种方法设未知数）

4.在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和植树的人分别有多少人？

三、学习小结：

本节课你学习了什么？有哪些收获？

四、课后作业：

1.课本P102习题3.3第5、7题；

2.若x＝-2为方程 111(ax－4)－(6x＋1)＝-的解，试求a的值。

3323.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项

第1课时 用合并同类项的方法解一元一次方程

教学目标:

1.经历运用方程解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.2.学会合并同类项,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程.3.能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程.教学重点:建立方程解决实际问题,会解 “ax+bx=c”类型的一元一次方程.教学难点:分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程.教学过程:

一、设置情境,提出问题

(出示背景资料)约公元820年,中亚细亚的数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢?通过下面几节课的学习讨论,相信同学们一定能回答这个问题.出示课本P86问题1:

某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机?

二、探索分析,解决问题 引导学生回忆: 实际问题

一元一次方程

设问1:如何列方程?分哪些步骤? 师生讨论分析:

(1)设未知数:前年这个学校购买计算机x台;(2)找相等关系:

前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台.(3)列方程:x+2x+4x=140.设问2:怎样解这个方程?如何将这个方程转化为“x=a”的形式?学生观察、思考: 根据分配律,可以把含 x的项合并,即 x+2x+4x=(1+2+4)x=7x 老师板演解方程过程:略.为帮助有困难的学生理解,可以在上述过程中标上箭头和框图.设问3:在以上解方程的过程中“合并”起了什么作用?每一步的根据是什么? 学生讨论回答,师生共同整理:

“合并”是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近“x=a”的形式.三、拓广探索,比较分析

学生思考回答:若设去年购买计算机x台,得方程 +x+2x=140.若设今年购买计算机x台,得方程 ++x=140.课本P87例2.问题:①每相邻两个数之间有什么关系?

②用x表示其中任意一个数,那么与x相邻的两个数怎样表示? ③根据题意列方程解答.四、综合应用,巩固提高 1.课本P88练习第1,2题.2.一个黑白足球的表面一共有32个皮块,其中有若干块黑色五边形和白色六边形,黑、白皮块的数目之比为3:5,问黑色皮块有多少?

(学生思考、讨论出多种解法,师生共同讲评.)

3.有一列数按一定规律排成-1,2,-4,8,-16,32,……,其中某三个相邻数的和是-960.求这三个数.五、课时小结

1.你今天学习的解方程有哪些步骤,每一步的依据是什么? 2.今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点? 学生思考后回答、整理:

巧求方程与妙解方程 第8篇

一、巧求一类由解组合的方程

例1已知直线a1x+b1y+1=0与直线a2x+b2y+1=0的交点为 (2, 3) , 求过A (a1, b1) 和B (a2, b2) 的直线方程.

解由已知直线a1x+b1y+1=0与直线a2x+b2y+1=0的交点为 (2, 3) , 得

所以可以看成是A (a1, b1) 和B (a2, b2) 两点的坐标满足方程2x+3y+1=0, 所以过A (a1, b1) 和B (a2, b2) 两点的直线方程为2x+3y+1=1.

评注此题是巧妙利用解组合方程, 事半功倍.

例2已知圆C: (x-2) 2+ (y-3) 2=16, 过点P (5, 9) 作圆的两条切线, 切点为A, B, 求直线AB的方程.

解设A, B的坐标为 (x1, y1) 、 (x2, y2) , 可求过点A, B的切线方程分别为: (x1-2) (x-2) + (y1-3) (y-3) =16与 (x2-2) (x-2) + (y2-3) (y-3) =16, 且都过点P (5, 9) .

把 (1) 、 (2) 看成是点A, B满足方程3 (x-2) +6 (y-3) =16,

所以过点A, B的直线方程为3 (x-2) +6 (y-3) =16.

评注此题若按正常思路求解, 需求出A, B的坐标, 较为复杂, 但这里A, B满足相同的条件, 利用解组合方程, 实在高明.此题也可以先求出以圆心O与P为圆心的圆的方程, 直线AB看成是两圆的公共弦, 进而求之, 也较为简单, 不再解, 但以上解法更妙.

二、巧求一类方程的组合解

例3已知实数x, y满足等式: (1) x3-3x2+5x=1, (2) y3-3y2+5y=5.试求x+y的值.

解构造函数

f (x) =x3-3x2+5x= (x-1) 3+2 (x-1) +3,

则由题设知, 等式 (1) 、 (2) 的左边分别等于f (x) 和f (y) .

设g (y) =y3+2y, 容易证明g (y) 是奇函数, 且在R上为单调增函数.

由于g (x-1) =f (x) -3=-2, g (y-1) =f (y) -3=2,

所以g (x-1) =-g (x-1) =g (1-y) .

由g (x) 的单调性可知x-1=1-y, 所以x+y=2.

此题如果通过求各个方程的解来达到目的, 显然是十分困难的, 无法实现, 但是通过观察构造函数, 通过函数的性质求得结果则十分简捷.

例4已知方程x+2x=2 (1) 的根为x1, 方程x+log2x=2 (2) 的根为x2, 求x1+x2.

解方程 (1) 可化为2x=2-x, 它的根为函数y=2x与函数y=2-x的交点P的横坐标;

方程 (2) 可化为log2x=2-x, 它的解为函数y=log2x与函数y=2-x的交点Q的横坐标, 而直线y=2-x的图像关于直线y=x对称, 函数y=2x与函数y=log2x互为反函数, 它们的图像也关于直线y=x对称, 所以P, Q两点关于直线y=x对称.

又因为P, Q两点在直线y=2-x, 上所以x1+x2=2.

由例3和例4知, 如果单独解方程根本无法实现, 如果通过构造函数或者数形结合找出两个方程解的内在联系, 利用函数的性质或图形特征, 问题可迎刃而解.

巧解分式方程 第9篇

一、利用换元法

例1解方程：

2－5

＋6＝0.

解：设y＝，则原方程可以化为y2－5y＋6＝0，所以

（y-2）（y-3）＝0，y1＝2，y2＝3．

当y1＝2时，＝2，解得x1＝2．

当y2＝3时，＝3，解得x2＝．

经检验，x1＝2，x2＝均是原方程的解．

二、利用拆分法

例2 解方程：－＝－．

分析：若直接去分母，将得到一个高次方程，解起来比较困难．当分式方程中分式的分子次数大于或等于分母次数时，可先把分式化成分子次数小于分母次数的真分式，然后去分母求解.

解：原方程可化为1＋－1－＝1＋－1－，

－＝－，

＝，

（x＋1）（x＋3）＝（x＋5）（x＋7）．

解之，得 x＝－4．

经检验，x＝－4是原方程的解.

例3 解方程：＝．

解：由原方程得－1＝－1．

所以＝，所以x＝0或2x－3＝3x－5．解得x1＝0，x2＝2．

经检验，x1＝0，x2＝2均是原方程的解．

三、利用分解因式

例4解方程：＋＝．

解：原方程化为

＋＝，

－＋－＝－，

＋＝．

去分母，解得x＝－8．

经检验，x＝－8是原方程的解.

四、利用添项法

例5 解方程：＋＝＋．

解：注意到每个分式的分子、分母均有可抵消的“数”，方程两边都加上2，得

＋1＋＋1＝＋1＋＋1，

＋＝＋，

－＝－，

＝．

于是得x＝0或（x＋2）（x＋3）＝（x＋4）（x＋5），解得x1＝0，x2＝－．

解方程3优秀教案 第10篇

一元一次方程

3.2 解一元一次方程

（一）——合并同类项与移项 第1课时

用合并同类项的方法解一元一次方程

教学目标

1.通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用题的优越性.2.掌握合并同类项解“ax+bx=c”类型的一元一次方程的方法，能熟练求解一元一次方程，并判别解得合理性.3.通过学生间的相互交流、沟通，培养他们的协作意识。重点：1建立列方程解决实际问题的思想方法。

2.学会合并同类项，会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程。

难点：1.分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程。

2.使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法 使用说明：1.阅读课本P88——89 2.限时20分钟完成本导学案。然后小组讨论。

一、导学

书中88页问题1：

（1）如何列方程？分哪些步骤？

设未知数：设前年购买计算机x台.则去年购买计算机_____台，今年购买计算机______台.找相等关系:__________________________________________________

列方程：___________________________________________________

(2)怎样解这个方程？

x+2x+4x=140

合并同类项，得

_____x=140 系数化为1，得

x=_____（3）本题还有不同的未知数的设法吗？试试看

一、合作探究

1、解方程 7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3

2、练习：解下列方程：

（1）23x-5x=9

(2)-3x+0.5x=10

(3)0.28y-0.13y=3

(4)

x3x7 223、小雨、小思的年龄和是25，小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是多少岁？

二、总结反思

小组讨论：本节课你学了什么？有哪些收获？

三、作业：课本P93习题3.2第1、4题.3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项

第1课时 用合并同类项的方法解一元一次方程

教学目标:

1.经历运用方程解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.2.学会合并同类项,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程.3.能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程.教学重点:建立方程解决实际问题,会解 “ax+bx=c”类型的一元一次方程.教学难点:分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程.教学过程:

一、设置情境,提出问题

(出示背景资料)约公元820年,中亚细亚的数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢?通过下面几节课的学习讨论,相信同学们一定能回答这个问题.出示课本P86问题1:

某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机?

二、探索分析,解决问题 引导学生回忆: 实际问题

一元一次方程

设问1:如何列方程?分哪些步骤? 师生讨论分析:

(1)设未知数:前年这个学校购买计算机x台;(2)找相等关系:

前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台.(3)列方程:x+2x+4x=140.设问2:怎样解这个方程?如何将这个方程转化为“x=a”的形式?学生观察、思考: 根据分配律,可以把含 x的项合并,即

x+2x+4x=(1+2+4)x=7x 老师板演解方程过程:略.为帮助有困难的学生理解,可以在上述过程中标上箭头和框图.设问3:在以上解方程的过程中“合并”起了什么作用?每一步的根据是什么? 学生讨论回答,师生共同整理:

“合并”是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近“x=a”的形式.三、拓广探索,比较分析

学生思考回答:若设去年购买计算机x台,得方程 +x+2x=140.若设今年购买计算机x台,得方程 ++x=140.课本P87例2.问题:①每相邻两个数之间有什么关系?

②用x表示其中任意一个数,那么与x相邻的两个数怎样表示? ③根据题意列方程解答.四、综合应用,巩固提高 1.课本P88练习第1,2题.2.一个黑白足球的表面一共有32个皮块,其中有若干块黑色五边形和白色六边形,黑、白皮块的数目之比为3:5,问黑色皮块有多少?

(学生思考、讨论出多种解法,师生共同讲评.)

3.有一列数按一定规律排成-1,2,-4,8,-16,32,……,其中某三个相邻数的和是-960.求这三个数.五、课时小结

1.你今天学习的解方程有哪些步骤,每一步的依据是什么? 2.今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点? 学生思考后回答、整理:

解方程例2、3教学设计 第11篇

第五单元：简易方程—解方程（1）

教学内容：教材P68例

2、例3 教学目标： 知识与技能：

1、使学生会利用等式的性质解形如ax=b和a±x=b的方程。重点学会利用加减乘除各部分之间的关系求方程的解，养成及时检验的学习习惯

2、学习过程中，是学生感受到转化思想在数学中的应用，培养学生积累知识的学习习惯。

教学重点：会解形如ax=b和a±x=b的方程。

教学难点：理解形如a±x =b的方程原理，掌握正确的解方程格式及检验方法。

教学方法：演示法、观察法、讲解法。教学准备：多媒体课件。教学过程

一、复习导入

课件出示：看图列方程并解方程，思考：在解方程过程中需要注意什么？

二、探究新知

1．出示教材第68页例2情境图。

让学生观察图，理解图意并用等式表示出来：3x =18 引导学生：通过刚才解方程的经验尝试解决这个题。学生自主尝试解决，教师巡视指导。

汇报解题过程：等式的两边同时除以3，解得x =6。根据学生的回答，师板书：3x =18

解： 3x ÷3=18÷3

x =6 质疑：你是根据什么来解答的？

引导小结：根据等式的性质：等式两边同时乘或除以一个不为O的数，左右两边仍然相等。

还有其他的方法？根据学生回答板书

3x =18

解：

x=18÷3

x =6 质疑：你是根据什么来解答的？两种方法，你喜欢哪一种？为什么？ 引导小结：根据乘除法各部分之间的关系。让学生尝试检验计算结果是否正确。

2．出示教材第68页例3，并让学生尝试解答。

由于此题是“a-x ”类型，有些学生在做题时可能会出现困难，不知道怎么做。有些学生可能会在等号两边同时加上“x ”，但x 在等号的右边，不会继续做了。

教师可以引导学生思考，根据加减法各部分之间的关系来求解。学生继续完成答题，汇报。根据汇报板书：

20-x =9

请学生自主尝试检验：方程左边=20-x

x=20-9

=20-11 x=11

=9

=方程右边 求方程的解：x-8=9学生自由完成，汇报。引导小结:根据加减法各部分之间的关系来求解.被减数 － 减数 = 差 减数 = 被减数 － 差

3．讨论：解方程需要注意什么？让学生自主说一说，再汇报。小结：根据加减乘除各部分之间的关系解方程，解方程时要先写“解”，等号要对齐，解出结果后要检验。

三、巩固练习，提升认识。1.解方程。

X ＋ 3.2=4.6

5X=80

32－X=12

43－X=38

X－35=91 教材68页，做一做

2、看图列方程并求解。

学生自主计算解答，部分学生板演，并集体订正答案。

四、拓展训练 解方程：（100－3X)÷2=8

五、课堂小结

通过这节课的学习，你有什么收获？请你说一说。师：这节课你学会了什么知识？有哪些收获？

引导总结：解方程时是根据加减乘除各部分之间的关系来解。求出解后要检验。

作业： 作业：

1、完成优化设计练习题。

2、预习例

4、例5。

六、板书设计：

解方程（1）

例2：

例3：

3x ＝18

20-x ＝9

x ＝18÷3

x ＝20-9

x＝6

x=11

检验：方程左边=20-x

=20-11

=9

解方程例2、例3教学设计 第12篇

第五单元：简易方程—解方程（1）

教学内容：教材P68例

2、例3及练习十五第2、7题。教学目标： 知识与技能：

1、使学生会利用等式的性质解形如ax=b和a±x=b的方程。养成及时检验的学习习惯

2、学习过程中，是学生感受到转化思想在数学中的应用，培养学生积累知识的学习习惯。

教学重点：会解形如ax=b和a±x=b的方程。

教学难点：理解形如a±x =b的方程原理，掌握正确的解方程格式及检验方法。

教学方法：引导法、观察法、猜想验证法。教学准备：多媒体课件。教学过程

一、复习导入

出示：解方程

3+x=18

x+15=34

x-24=42 你是如何进行求解的（应用等式的性质），如何知道你所求出的解一定是正确的呢（检验）？

二、探究新知

出示教材第68页例3，并让学生尝试解答。

由于此题是“a-x ”类型，有些学生在做题时可能会出现困难，不知道怎么做。有些学生可能会在等号两边同时加上“x ”，但x 在等号的右边，不会继续做了。

教师可以引导学生思考，根据等式的性质，只要等式的两边同时加或减相等的数或式子，左右两边仍然相等，那么我们可以同时加上“x ”。

通过计算让学生发现，等号左边只剩下“20”，而右边是“9+x ”。继续引导学生思考：20和9+x 相等，可以把它们的位置交换，继续解题。学生继续完成答题，汇报。根据汇报板书：

20-x =9

请学生自主尝试检验：方程左边=20-x 20-x+x=9+x

=20-11 20=9+x

=9

9+x =20

如何用OpenLu解方程 第13篇

解方程 (组) 有符号求解和数值求解两种。工程中遇到的方程大多没有符号解, 而只有数值解, 故数值求解是更广泛应用的方法。下文仅讨论方程 (组) 的数值求解。

目前, Matlab、Mathematica、Maple等数学软件都具有强大的解方程能力, 但普遍存在的问题是:

(1) 需要初值, 这是令人十分头痛是问题。

(2) 在需要获得方程 (组) 全部解时, 需要复杂的编程实现。

推荐使用OpenLu求解方程 (组) 。OpenLu是国产软件, 绿色免安装, 体积小巧而又不失功能强大, 在解方程方面尤其出色。OpenLu在解方程时, 不需要初值, 而且容易获得方程的全部解, 在方程 (组) 的软件求解方面前进了一大步。

OpenLu使用Lu脚本作为编程语言。Lu是一种易于扩展的轻量级嵌入式脚本, 代码简洁、运行效率高, 具有丰富的运算符和数据类型, 非常适合于数值计算。

方程 (组) 的求解, 难易程度差别较大。在OpenLu中, 普通的方程 (组) 可借助LuMath库中的拟牛顿法netn和对分法btFindRoot求解, 难度大的方程 (组) 须借助优化库LuOp中的iFind、Find和Opt函数求解。例子多来自于互联网, 部分例子难度较大, 例子4~7使用Matlab、Mathematica、Maple等软件不易获得正解。

(1) math::btFindRoot (f, a, b, h, k, eps) :对分法求非线性方程的实根。

f:自定义一元函数句柄。函数自变量不能重新赋值。

a, b:求根区间的左端点和右端点 (b>a) 。

h:搜索求根时采用的步长 (h>0) 。

k:可能的实根个数。可缺省, 缺省值为10。

eps:控制精度 (eps>0) 。可缺省, 缺省值为1e-6。

返回值:返回一个数组 (存放搜索到的实根) , 或者返回nil。若返回数组的长度为k, 则有可能在求根区间[a, b]内的实根未搜索完。

例子1:解方程f (x) =x^6-5*x^5+3*x^4+x^3-7*x^2+7*x-20;

Lu代码:

结果:

(2) math::netn (f, x, eps, t, h, k) :求非线性方程组一组实根的拟牛顿法。

f:自定义二元或2n (n>1) 元函数句柄, 由用户自编。

如果f是二元函数, 则两个参数为等长的一维数组:

或者:

x:双精度实型一维数组, 长度不小于n, 存放一组初值, 返回方程组的一组实根。

eps:控制精度 (eps>0) 。可缺省该参数, 缺省值eps=1e-6。t:控制h大小的变量, 0

k:允许的最大迭代次数。可缺省该参数, 缺省值k=100。

返回值:返回值为实际迭代次数。若返回值为-1或-2表示求解失败, 但这两种情况可放宽精度要求、改变各个初值或改变各个方程顺序再试;若返回值等于0说明迭代了k次仍未满足精度要求, 程序工作失败。

例子2:解方程组

Lu代码1:

Lu代码2:

结果:

(3) luopt::iFind (f, luopt::optmax, m, luopt::optrange, min, max, luopt::opteps, eps, luopt::optpara, x1, x2, ..., luopt::optthis, i) :求单变量方程的全部解。

f:自定义n元函数句柄, 不可缺省。格式如下:

默认求方程f (x1, x2, ..., xn) =0第一个自变量的全部解, 而其他自变量赋值为0.0。可以用参数optthis指定求解的自变量, 也可以用参数optpara给出其他自变量的值。

luopt::optmax, m:区间分割数目 (大于等于10) , 区间分割数目越多精度越高。可以缺省该参数, 缺省值为200。

luopt::optrange, min, max:指定求解区间。若缺省该参数, 则min为-1e50, max为1e50。

luopt::opteps, eps:控制精度要求, eps>0。可以缺省该参数, 缺省值为1e-6。

luopt::optpara, x1, x2, ...:给指定求解自变量之外的其他自变量赋值, 参数x1, x2, ...的个数比全部自变量个数少1。若缺省该参数, 其他自变量缺省值均为0.0。

luopt::optthis, i:指定求解的自变量。0表示第一个自变量;1表示第二个自变量, 以此类推。若缺省该参数, i为0。

返回值:解的个数。

例子3:求方程的全部实数解f (x) =x^6-5*x^5+3*x^4+x^3-7*x^2+7*x-20;

Lu代码:

结果 (解, 误差) :

例子4:解方程f (A, B, x) =8.314*298*[ln (1-x) +0.999*x+A*x^2]-B;

已知A和B为等长的数组 (原题数组长度为1000, 本例为了简单, 数组长度取3) , 求x的值, 需要得到方程的所有实数解。A和B如下:

Lu代码:

结果 (A, B, x, 误差) :

(4) luopt::Find (f, luopt::optmode, mode, luopt::optrange, x1min, x1max, x2min, x2max, ..., xnmin, xnmax, luopt::opteps, eps) :求方程组的全部解。

f:自定义2*n元函数句柄, 不可缺省。格式如下:

luopt::optmode, mode:工作模式, 取0、1、2、3、......。通常, 工作模式取值越大, 搜到的解越多, 但耗时越长。若缺省该参数, 工作模式取0。

luopt::optrange, x1min, x1max, x2min, x2max, ..., xnmin, xnmax:指定求解区间。若缺省该参数, 则所有变量区间均为[-1e50~1e50]。

luopt::opteps, eps:控制精度要求, eps>0。可以缺省该参数, 缺省值为1e-6。满足sqrt[ (y1*y1+y2*y2+...+yn*yn) /n]

返回值:解的个数。

说明:该函数的解是不稳定的, 需要多次运行该函数以获得需要的解。

例子5:解含积分方程组

Lu代码:

结果 (p, q, 误差) :

(5) luopt::Opt (f, optwaysimdeep, optwayconfra, ……) :求无约束或约束条件下的n维极小值, 可用于解方程 (组) 。

f:自定义n元函数句柄, 用于计算目标函数f (x1, x2, ..., xn) 的值, 不可缺省。该函数由用户自编, 格式如下:

optwaysimdeep, optwayconfra:当求解难度较大时使用这两个参数。

Opt函数的其他参数, 这里不做介绍。

返回值:极小值个数。

说明:该函数使用随机算法搜索全局最小值, 故解是不稳定的, 应多次搜索甚至变换参数搜索, 以最小者为最优。

有些方程 (组) 用常规方法求解比较困难, 须借助于优化函数Opt求解。

例子6:解方程组

Lu代码:

结果 (x1, x2, x3, 误差) :

例子7:解方程组

Lu代码: