高等代数数学分析

高等代数数学分析（精选9篇）

高等代数数学分析 第1篇

高等代数与高等数学的区别

高等代数、数学分析是数学专业中更细的数学研究的分类。高等代数是代数方向的究，而数学分析使用极限方法研究函数特性的数学。而高等数学是对非数学专业的人学习的区别于初等数学的数学，应当包括高等代数和数学分析部分。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。

其研究对象不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。高等数学比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。

高等代数数学分析 第2篇

1、求下列行列式中元素a12，a31，a33的余子式及代数余子式：

210311001751（ⅱ）（ⅰ）4

111解：M42121A2424212(1)11111

M103112

A1)31101031(1212

M213341

A(1)3321213341412、用定义计算行列式：

123（ⅰ）31

2231123解：31212232331 231312123522118

23310012115 解：M12231

01211 A12231

012107

M31015 012107

A31015 012317

M33105 002317

A33105 002112（ⅱ）031 224112解：031 2231010242422320

1210210300130011212212110002100211210021110000 1（ⅲ）1100

11解：11001201301012012(21)2132(1)32610 10***30***405132（ⅳ）40510012

10解：405100120120022001108246

3、用定义计算下列行列式，再按第二列或第三列展开，比较所得到的值是否相同

12321312503211403（ⅰ）01

2（ⅱ）11

1（ⅲ）

011100101223(1)10 解：（ⅰ）0121112111211

（ⅱ）11111001213123411

12540（ⅲ）***1411(31113420132011)

(34462)14

4、用定义计算下列行列式

132281（ⅰ）396

（ⅱ）057 1175001aa2a31aa2（ⅲ）bb2b3

（ⅳ）1bb2

cc2c31cc2132解：（ⅰ）3969633211328787001175757596281

（ⅱ）05725710 00101aa2a33

（ⅲ）bb2b3ab2ba32a3c2c3c2c3ba2c2c3cab2b3

c

a(b2c3c2b3)b(a2c3a3c2)c(a2b3a3b2)

abc(ab)(bc)(ca)

1aa22

（ⅳ）1bb2bba2aa2cc2acc2bb2

1cc2

(bc2b2c)(ac2a2c)(ab2a2b)

有关数学分析在高等代数中的应用 第3篇

一、纯数学分析的方法应用

高等代数的多项式理论中,一个函数可以按要求展成方幂和的形式.一般情况下,直接采用综合除法来求得.而数学分析中的泰勒多项式恰好具备方幂和的形式,形式如下

其中函数f(x)在点x0存在直到n阶的导数.因此,可以试用它来解答.

例1将多项式f(x)=x4-6x3+12x2-7x-4按x-1的方幂展开.

解由泰勒公式得

而一些高等代数中的题目本身就含有数学分析内容,有时也是采用纯数学分析的方法,见下例.

证明令

显然有

由已知条件f(x),g(x),h(x)均连续且可导知Z(x)也必然连续且可导,从而有Z(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)上可导.

于是由罗尔定理知至少存在一个ξ∈(a,b),使得

二、数学分析方法与高等代数方法混合使用

一般情况下,在解决问题时,需将代数与分析结合起来.下面通过例子来展现.

解由于f1(x),f2(x),f3(x)存在=阶导数,故将所求极限进行适当变形,并由导数定义和洛必达法则得

原式=

高等代数和中学数学的联系 第4篇

关键词： 高等代数 中学数学 行列式 矩阵

高等代数在大学数学学习中占有重要的地位，其与数学分析、解析几何是大学数学里最基础的三门学科，三者相互联系，相互渗透。不仅如此，高等代数对中学数学也有着很重要的指导作用。高等代数中的方法和思想灵活多变，涵盖的知识面较广。在面对中学数学的问题中，联系一定的高等代数知识，往往可以分类、整理、简化中学数学中所碰到的难题。

1.高等代数与中学数学观念方面的联系

数学研究的对象有很多，单从基本研究对象来说，从简单的中学代数研究的数、代数式方程、函数、多项式等到中学几何研究的点、线、面、圆等常见图形的内容，很容易得到，初等数学中研究的绝大部分对象是现实世界的数量之间的关系和空间位置与形式。然而这种研究观念在高等代数等后继逐渐对知识的深化的课程中却发生了许多变化。例如，多项式与多项式之间的整除关系、集合元素之间的包含关系、不同向量间的线性关系、矩阵的相似、合同关系等许多高等代数中研究的关系，已不再是在中学数学中所接触到的数量关系[1]。其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于平常的空间形式，《高等代数》和《近世代数》等许多大学里所学的课程都说明了数学是一门应用抽象化、具体化的方法研究元素之间关系和研究对象结构的科学。这一新的观念对于指导现在所提倡的中学教改是至关重要的[2]。

作为数学专业的高校教师，我们最重要的责任是致力于培养和发展学生解决问题的能力、在教学和学习中树立理论的应用意识，总结和归纳理论的应用方法。同时深入发掘最近几年大学里高等代数的教学实践，结合中学课程特点及对教师示范性的要求，突出高等代数的理论应用特点和优点，将抽象的理论概念与相应层面上的具体问题结合，加深学生对理论的理解，同时培养学生应用理论分析、解决具体问题的能力。

2.高等代数与中学数学应用方面的联系

高等代数课本中的某些知识，在指导中学数学中相对比较困难的一些问题时会发挥很好的作用，为解决问题提供捷径。首先，谈到高等代数，就不得不提到其中三个最基础的概念：行列式、矩阵、线性方程组。这些概念是高等代数中研究的主要内容和重点，它们相互联系、彼此有着重要的指引关系，且对中学数学解题有重要作用。

2.1行列式在中学数学解题中的应用

行列式是高等代数中运用比较广泛的一个概念。行列式可以应用于中学数学中的因式分解，同时也可以把行列式应用到不等式的证明上。如果能在中学数学中构造适当的行列式，就会达到事半功倍、简化问题的效果。

2.2矩阵在中学数学解题中的应用

矩阵是由方程组的系数及常数项组成的方阵，行列式和矩阵具有很多关系，矩阵是由数值组成的，而行列式的值是按可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数性质和概念。根据矩阵的基本定义，可以自然想到能够利用引入矩阵的方法解决中学数学里经常碰到的问题——求数项通项。又由矩阵和行列式在概念和计算方面有很多近似的地方，类比上述利用行列式对等式因式分解，同样的，可以发现利用矩阵也可以对等式因式分解。矩阵的乘积和矩阵的逆对中学数学具有指导作用。

2.3线性方程组在中学数学解题中的应用

线性方程组无疑是高等代数知识中的另外一个重要组成部分，其与行列式、矩阵共同构成高等代数的重要部分，矩阵的出现可以解决线性方程组的求解问题，而行列式又可以看成矩阵的内部。运用线性方程组解决某些复杂的函数问题中，在对于研究中学数学中求函数的取值问题中有重要作用。

结语

随着现代教学开放性程度的提高，高等代数的思想理论方法在中学数学中渗透得越来越深[3]。作为高校教师，我认为把高等代数课程思想与中学数学相融合，从更高的角度研究中学数学中的重难点，将教会学生以更开阔的眼界看待中学数学问题，从而会提高学生对高等代数的兴趣。

参考文献：

[1]李珍珠.在高等代数习题课教学中培养学生能力的探讨[J].湖南科技学院学报，2011，10（12）：1-2.

[2]方次军.浅析高等代数与中学数学的关联[J].新校园（理论版），2013，12（4）：23-24.

[3]阮国利.高等数学方法在中学数学中的应用研究[D].内蒙古：内蒙古师范大学数学系，2008.

[4]代业明.从方法论和知识论看线性代数与中学数学的联系[J].煤炭高等教育，2011，6（5）：124-125.

高等代数数学分析 第5篇

第一章 函数

考试内容：函数

单调函数

周期函数

奇偶函数

复合函数，反函数

初等函数

考试要求：（1）正确理解和掌握函数的概念和性质，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式，了解函数的四则运算，复合函数及反函数的定义；（2）掌握初等函数的性质了解几个常见非初等函数的定义及性质；（3）理解函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等，会对初等函数是否具备这些性质进行验证。

第二、三章

数列极限与函数极限

考试内容：数列极限

数列极限的性质

单调有界数列

子数列

函数极限

函数极限的性质

函数极限与数列极限的关系

两个重要极限

无穷小量与无穷大量

闭区间套定理

上确界与下确界

确界存在定理 有限覆盖定理

致密性定理

柯西收敛准则

考试要求：（1）理解和掌握数列极限的“ε-N”定义；（2）会用数列极限的“ε-N”定义证明极限的存在性；（3）掌握数列极限的性质，并会证明；（4）会运用极限的四则运算、单调有界定理、两边夹定理、归结原则、柯西收敛准则证明极限的存在性；（5）会运用极限的四则运算、单调有界定理、夹逼定理、归结原则、柯西收敛准则求数列的极限；（6）会运用归结原则、柯西收敛准则证明极限不存在；（7）正确理解和掌握函数极限的严格定义，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；（8）会用极限的严格定义解决有关问题和证明极限的存在性，对极限不存在的含意会叙述并能正确理解；（9）掌握无穷小量、无穷大量的定义，掌握无穷小量阶的比较方法，会用等价无穷小求极限；（10）会用四则运算性质、复合运算性质、两个重要极限来计算函数极限；（11）理解闭区间套定理、确界存在定理、有限覆盖定理、致密性定理、柯西收敛准则的条件和结论，理解这些定理的含意及其关系，熟练掌握各定理的证明方法。

第四章 连续函数

考试内容：连续 左连续 右连续 间断点 函数在一点连续的性质 中间值定理 有界性定理 最大值与最小值定理 反函数的连续性定理 一致连续性定理 初等函数的连续性

考试要求：（1）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），区间上函数连续的概念、间断点及其分类等概念；（2）对一般的函数，特别是初等函数会判别函数间断点的类型；（3）掌握函数在连续点的局部性质；（4）掌握闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理、反函数的连续性定理、一致连续性定理），并会应用这些性质；（5）理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法；（6）熟练掌握一致连续的概念，并会证明函数在某区间上的一致连续性与非一致连续性；（7）了解初等函数的连续性，并会应用这些性质求极限。

第五章 导数和微分 考试内容：导数 求导法则 微分 微分与导数的关系 高阶导数 高阶微分 参数方程求高阶导数

考试要求：（1）理解导数的定义及其几何、物理意义；（2）掌握可导与连续的关系；（3）熟练掌握求导运算的四则运算法则、复合函数求导法则及初等函数求导公式；（4）会求参数方程所决定函数的导数；（5）会求平面曲线的切线方程和法线方程；（6）理解高阶导数的定义，熟记几个重要基本函数的高阶导数公式；（7）理解函数微分的概念，了解一阶微分形式的不变性的含意及高阶微分不具有微分形式的不变性。

第六章 微分中值定理及其应用

考试内容：费尔马定理 洛尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 洛必达法则 泰勒公式 单调性判断法 极限 凹凸性 拐点 曲线的渐进线函数作图

考试要求：（1）熟练掌握微分学中值定理的条件，结论和证明方法；（2）能用中值定理解决一些证明问题；（3）掌握洛必达法则求极限的方法，了解定理的条件；（4）会求一些重要函数的泰勒公式及拉格朗日余项，皮亚诺余项；（5）会用泰勒公式求极限和求常见函数的近似值；（6）熟练掌握函数取得单调区间、极值、最值、凹凸性、拐点的各充分必要条件；（7）对一般的函数会求其单调区间、极值、最值、凹凸性、拐点及曲线的渐近线；（8）会作一般函数的图象。

第七章 实数理论简介

考试内容：闭区间套定理，上确界与下确界，确界存在定理，有限覆盖定理，致密性定理，柯西收敛准则以及闭区间上连续函数性质的证明。

考试要求：掌握各定理的条件和结论。

第八章 不定积分

考试内容：不定积分 换元法 分部积分法 有理函数积分法 三角函数有理式积分 无理函数的积分

考试要求：（1）掌握原函数、不定积分的概念；（2）熟练掌握基本积分公式及线性运算法则；（3）熟练掌握换元积分法和分部积分法；（4）会计算有理函数的积分，能熟练将三角函数和几类常见的无理函数化为有理函数进行积分。

第九章 定积分

考试内容：定积分 定积分存在的条件 可积函数类 定积分的性质 微积分基本定理 定积分的换元法 分部积分法

考试要求：（1）掌握定积分的定义，大、小和的定义及性质等；（2）掌握可积的必要条件、充分条件和证明思路；（3）掌握可积的充分必要条件及证明思路；（4）掌握可积函数类及其证明；（5）掌握微积分基本定理的条件、结论及应用方法；（6）熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

第十章 定积分的应用

考试内容：平面图形的面积 立体的体积平面曲线的弧长

考试要求：（1）熟练掌握平面图形面积的计算方法；（2）掌握体积的计算方法；（3）掌握平面曲线的弧长的求法，了解曲线的曲率；（4）掌握旋转体的侧面积。第十一章 反常积分

考试内容：无穷积分 瑕积分 反常积分的收敛与发散 反常积分的计算

考试要求：（1）理解反常积分的概念；（2）会判断反常积分的收敛与发散；（3）掌握反常积分的绝对收敛与条件收敛；（4）会利用牛顿—莱布尼兹公式、换元积分、分部积分法计算反常积分。

第十二章 数项级数

考试内容：上极限 极限 数项级数 正项级数 任意项级数，绝对收敛 条件收敛

考试要求：（1）理解上、下极限的定义、性质、相互关系及上、下极限和极限的关系；（2）深刻理解数项级数收敛的定义及其与数列收敛的关系；（3）掌握正项级数及交错级数的收敛与发散判断方法，理解收敛级数，绝对收敛级数与条件收敛级数的关系、性质及证明方法；（4）会用柯西准则判断一些数项级数的敛散性，特别是级数发散性的判别；（5）了解绝对收敛级数的性质；（6）了解无穷乘积的概念与性质，了解无穷乘积与无穷级数的关系，了解无穷乘积的绝对收敛性。

第十三章

函数列与函数项级数

考试内容：函数列

函数项级数

一致收敛

非一致收敛

一致收敛级数的性质

考试要求：（1）正确理解函数列、函数项级数的收敛及一致收敛的定义、关系和性质；（2）能熟练地运用魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判断法，阿贝尔（Abel）判断法和狄里克莱（Dirichlet）一致收敛判断法；（3）理解函数列的极限函数、函数项级数的和函数的分析性质。

第十四章 幂级数

考试内容：幂级数的收敛域 幂级数的性质 幂级数的展开

考试要求：（1）理解幂级数的概念及其性质；（2）会求幂级数的收敛半径和收敛域；（3）熟练掌握一些初等函数的幂级数展开式；（4）会利用幂级数求某些数项级数的和。

第十六章 多元函数的极限与连续

考试内容：平面点集 多元函数的极限 多元函数的连续性

考试要求：（1）掌握三维空间中点集的一系列概念；（2）深刻理解一元函数与多元函数的极限连续及重极限、累次极限的区别和联系；（3）会证明平面点集的闭矩形套定理、致密性定理、有限覆盖定理；（4）掌握求多元函数极限的基本方法；（5）对比一元函数，正确理解有界闭区域上二元连续函数的性质，并要求会证明。

第十七章 多元函数微分学

考试内容：偏导数 全微分 方向导数 复合函数的偏导数 一阶全微分形式的不变性 高阶偏导数 高阶全微分 泰勒公式 多元函数的极值

考试要求：（1）掌握二元函数的偏导数、全微分的定义，并能熟练地求多元函数的偏导数及高阶偏导数，会证明函数在一点是否可微；（2）能熟练掌握二元函数的偏导数存在、可微、连续之间的关系：（3）理解二元函数的中值定理和泰勒公式；（4）会求简单二元函数的极值；（5）掌握方向导数的概念，并会计算函数在某点沿某一方向的方向导数。第十八章 隐函数理论与应用

考试内容：隐函数存在定理 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 条件极值

考试要求：（1）会求由一个方程或方程组确定的隐函数的偏导数；（2）会求空间曲线的切线与法平面；（3）会求曲线的切线平面与法线；（4）会求条件极值（只要求含有两个条件的极值问题）。

第十九章 含参量积分

考试内容：含参变量的定积分 含参变量反常积分的一致收敛 含参变量反常积分的分析性质 欧拉积分

考试要求：（1）掌握含参量的定积分的概念与性质，并会利用含参量的定积分的性质计算某些含参量的定积分；（2）掌握含参量的反常积分收敛和一致收敛的概念及两者的区别，会判断一些反常积分收敛和一致收敛性；（3）掌握含参量的反常积分的分析性质，并会利用含参量的反常积分的分析性质计算某些含参量的反常积分的值：（4）掌握伽马函数与贝塔函数的关系，了解伽马函数与贝塔函数的其它表示形式，并会利用伽马函数与贝塔函数及其它们之间的关系计算某些积分。

第二十、二十二章 曲线积分与曲面积分

考试内容：第一型曲线积分 第二型曲线积分 格林公式平面曲线积分与路径无关的条件 第一型曲面积分 第二型曲面积分 奥高公式 斯托克斯公式

考试要求：掌握第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义、性质及计算公式。

第二十一章 重积分

考试内容：二重积分 三重积分

考试要求：（1）二重积分的可积性的讨论只要求学生理解其基本思想；（2）掌握二、三重积分的定义以及利用累次积分计算它们的方法；（3）理解二重积分的变量替换定理的内容，会用变量替换计算某些二重积分，特别要求会用极坐标变换、反常极坐标变换计算二重积分，会计算某些简单的反常二重积分；（4）理解三重积分的变量替换定理的内容，会用变量替换计算某些三重积分，特别要求会用柱面坐标变换、球面坐标变换和反常球面坐标变换计算三重积分；（5）了解重积分在几何和物理上的应用。

825 北京科技大学高等代数研究生考试大纲

一、多项式

考试内容：数域、一元多项式、整除、最大公因式、互素、因式分解定理、重因式、多项式函数、实、复系数多项式的因式分解、有理系数多项式、齐次多项式、一元多项式根与系数的关系及一元多项式有重根的判别式。考试要求： 1.理解整数与多项式的基本概念.2.掌握求最大公因数和最大公因式的Euclid算法.3.掌握多项式函数的特点及根与系数的关系，Eisenstein准则.二、行列式 线性方程组 矩阵

考试内容：

排列、行列式及其性质、行列式的计算技巧、行列式按一行（列）展开、行列式按多行（列）展开、Cramer法则.n维向量空间、向量的线性相关性与线性无关性、向量组的极大无关组与秩、矩阵的秩、线性方程组有解判别定理、齐次和非齐次线性方程组解的结构.矩阵的运算、矩阵的行列式与秩、矩阵的逆、矩阵的分块运算、初等矩阵与矩阵的初等变换、矩阵的等价与等价标准形、分块乘法的初等变换.考试要求：

1.熟练掌握行列式的计算法及计算技巧。掌握关于Gramer法则应用要强调的前提条件.2.掌握求解线性方程组的Guass消元法，有解判定准则和解的结构定理.3.熟练掌握初等变换以及在求秩、逆矩阵及解线性方程组等方面的应用.4.了解矩阵及其运算以及和数域P上向量空间上的线性映射的关系.5.熟练掌握矩阵的计算方法和行列式的基本性质及计算技巧；学会线性方程组问题和矩阵问题的对应关系.三、二次型 考试内容：

二次型的矩阵表示、二次型的标准形（规范形）及标准形（规范形）的唯一性、用非退化线性替换化二次型为标准形（规范形）、矩阵的合同，正定、负定、半正定、半负定二次型与正定、负定、半正定、半负定矩阵.考试要求：

1.理解二次型的概念，矩阵的合同概念及其性质.2.掌握将二次型化为标准形的方法.3.熟练掌握复数域与实数域上二次型的规范形和唯一性定理.4.掌握正定二次型与正定矩阵的概念和判别法.5.掌握实二次型的分类.四、线性空间

考试内容：线性空间的概念、基与维数、坐标；子空间的交与和、和与直和的判定、维数定理；线性空间同构.考试要求：

1.理解线性空间、线性映射的基本概念和理论.2.掌握子空间、不变子空间和直和的定义与性质.3.熟练掌握基变换与坐标变换方法.五、线性变换

考试内容：线性变换的矩阵与线性变换的运算，线性变换的特征值与特征向量，矩阵的特征值与特征向量，矩阵的相似与对角化，线性变换的值域与核，不变子空间，Jordan标准形，最小多项式求法.考试要求：

1.掌握线性变换的运算性质.2.熟练掌握特征值、特征向量和特征多项式的定义和计算.3.熟练掌握矩阵相似的概念和判定方法，Jordan标准形的计算应用，矩阵对角化的条件和判定方法.4.了解矩阵的性质和应用及有理标准形的定义.5.了解最小多项式的求法.六、欧几里德空间

考试内容：两个向量的内积,欧氏空间,向量的长度、两个向量的夹角,度量矩阵,标准正交基，正交变换和正交矩阵,正交相似矩阵，对称变换与对称矩阵。实对称矩阵的对角化.考试要求：

高等代数在抽象代数中的应用 第6篇

高等代数为抽象代数教学提供了很多模型和例子，本文从变换、等价关系、群、环、域、零因子和环上的运算规律等方面具体阐述如何在抽象代数教学中应用高等代数知识.

摘 要：高等代数是数学专业一门重要的基础课程，为学生学习抽象代数提供了必要的基础[1-4].抽象代数是数学专业的必修课程，是对高等代数中出现的数域、多项式等概念进一步抽象概括，是高等代数的继续和高度抽象化[5-8].因此，高等代数为抽象代数提供了很多具体的模型.

关键词：抽象代数;高等代数;数学专业

高等代数和抽象代数联系紧密，但鲜有学生能领悟到它们之间的关系.学生普遍认为，高等代数比较容易接受和理解，抽象代数难以理解[9-13].作为一名教师，要利用学生熟知的高等代数知识引入定义或设为例子，使学生接受“抽象代数知识来源于熟悉的模型”这一观念.本文将从以下知识点入手，探讨如何在抽象代数教学中应用高等代数知识.

1 “变换”概念的巩固

一个集合A到A的映射称为A上的一个变换.教材[8]首先给出变换的定义，随之给出3个简单例子，学生基本上能掌握这个概念.但是教材[8]中没有适合学生做的课后习题，为了巩固学生所学的知识，可布置这样一道课后习题：高等代数书[4]中也有“变换”和“线性变换”这两个概念，请同学们分析[4]中的变换和这里的变换有什么关系.到下次上课前，先帮助学生温习变换的概念，再检查其课后作业，最后总结：高等代数中所提到的变换是某个线性空间到自身的映射，线性变换是线性空间上的变换并保线性性，而抽象代数中的变换是指任何集合到自身的映射.

2 “等价关系”概念的引入

等价关系是集合A上的一个关系，并满足自反性，对称性和传递性.在教材[8]中，作者先给出关系的概念和一个关系(不是等价关系)的例子，再直接给出等价关系的概念.如果引入不当，学生比较难以接受等价关系这一概念.事实上，等价关系的例子在高等代数书中很多，可信手拈来.因此，可以提前布置学生去复习高等代数中的矩阵“合同”和“相似”等概念，看这些概念具有什么共性.在讲述“等价关系”之前，先给出实数集R上的n×n阶矩阵集合Mn(R)，并分别给出该集合上的“合同”和“相似”等关系，引导学生发现它们不仅是Mn(R)上的关系，并且都具有自反性、对称性和传递性，然后自然地引出“等价关系”的.概念.学生恍然大悟：原来等价关系并不陌生，在高等代数中已经接触过.如果要进一步巩固该内容，还可以引导学生分析Mn(R)上的矩阵秩相同关系，整数集Z上的模4同余关系等，让学生自己发现来自于高等代数的某些例子也是等价关系.

3 群、环和域概念的处理

在教材[8]中，作者给出群的第一定义和第二定义，并证明了这两个定义的等价性.课堂上先给出第一定义，并引导学生理解Ζ关于普通加法，非零整数集合关于普通乘法按照第一定义都是群，接着由第一定义推导出第二定义，由第二定义又推导出第三定义：一个非空集合G，对于其上的一个运算满足封闭性，满足结合律，存在一个单位元，每个元素都有逆元，则G关于该运算是群，由第三定义推导出第一定义，这样即证明了三个定义的等价性，并将重点放在第三定义.有了第三定义后，提问：Mn(R)关于矩阵加法是群吗?Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法是群吗?同时，让学生翻阅教材[4]中关于矩阵加法和矩阵乘法的定义及性质，学生会发现：Mn(R)关于矩阵加法满足封闭性与结合律，零矩阵是单位元，每个矩阵的逆元是其负矩阵，因此Mn(R)关于矩阵加法是群;Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法也构成群.进一步，引导学生发现：矩阵加法满足交换律，因此Mn(R)关于矩阵加法是交换群;而矩阵乘法不满足交换律，因此Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法不是交换群.接着，再告诉学生：高等代数中还有很多群的例子，请同学们把这些例子全部找出来.学生通过总结，找出了一元实系数多项式集合R[x]关于多项式加法是群、实数集R上的n维行(列)向量的全体关于向量加法构成群等.

可类似地处理环和域概念的讲解与巩固，这样不仅促使学生去复习高等代数知识，让学生深刻领悟到：群、环和域等概念是对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵和线性空间等概念的进一步抽象概括，也让学生逐渐意识到抽象代数并不是那么抽象，抽象代数的模型是现实中有例可循的，更增强了学生的学习兴趣和学习积极性.

4 零因子

零因子对学生来说是个全新的概念，教材[8]中先给出了整数模n的剩余类环Zn的例子：当n是合数时，存在两个不是零元的元素相乘却是零元，接着给出了零因子的概念：在一个环里，a≠0， b≠0，但ab=0，则称a是这个环的一个左零因子，b是一个右零因子，若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称其为零因子，最后还举了一个比较抽象的例子和一个比较泛的矩阵环的例子.虽然Zn在抽象代数中经常出现，但是毕竟该环是通过模n取余运算构成的环，该运算跟学生以前学过的运算有很大的区别，对学生来说仍具有一定的抽象性，而书上列举的矩阵环的例子只说该环有零因子，并没有列举具体的零因子.如果完全按教材的编排按部就班地讲解，学生很容易忘记.这时，不妨引导学生回想：Mn(R)中两个非零的矩阵相乘会是零矩阵吗?大部分学生知道这是可能发生的，但是还有少数学生可能忘记相应的高等代数知识了，这时给出如下例子.

高等代数学习精选心得 第7篇

中学学的是三维向量，在几何中用有向线段表示，代数上用三个数的有序数组表示。那么我们线性代数中的向量呢，是将中学所学的向量进行推广，由三维到n维(n是任意正整数)，由三个数的有序数组推广到n维有序数组，中学的向量的性质尽可能推广到n维，这样，可以解决更多的问题;矩阵呢?就是一个方形的数表，有若干行、列构成，这样看起来，概念上很好理解啊。可是研究起来可不那么简单，我们以前的运算是两个数的运算，而现在的运算涉及的可是整个数表的运算!可以想象，整个数表的运算必然比两个数的运算难。但是我们不必怕，先记住并掌握运算，运算再难，多练几遍必然就会了。关键是要理解概念与概念间的联系。 再进一步说吧：中学解方程组，有一个原则，就是一个方程解一个未知量。对于线性代数的线性方程组，方程的个数不一定等于未知量的个数。比如4个方程5个未知量，这样就不可能有唯一的解，需要将一个未知量提出来作为“自由未知量”，也就是将之当做参数(可以任意取值的常数);还有，即使是方程个数与未知量个数相同，也未必有唯一的解，因为有可能出现方程“多余”的情况。(比如第三个方程是前两个方程相加，那么第三个方程可以视为“多余”)

总之，解方程可以先归纳出以下三大问题：第一， 有无多余方程;第二， 解决了这三大问题，方程组的解迎刃而解。我们结合矩阵、向量可以提出完全对应的问题。刚才讲了，三者联系紧密，比如一个方程将运算符号和等号除去，就是一个向量;方程组将等号和运算除去，就是一个矩阵!你们说它们是不是联系紧密?大家可不要小看这三问，我认为它们可以作为学习上学期高代的提纲挈领。 下学期主要讲“线性空间”和“线性变换”。所谓线性空间，就是将上学期所学的数域上的向量空间加以推广，很玄是吧?首先数域上的向量空间，是将向量作为整体来研究，这就是我们大学所学的第一个“代数结构”。所谓代数结构，就是由一个集合、若干种运算构成的数学的“大厦”，运算使得集合中的元素有了联系。中学有没有涉及代数结构啊?有的，比如实数域、复数域中的“域”就是含有四则运算的代数结构。

数学实验在高等代数教学中的应用 第8篇

长期以来, 内容多、理论证明枯燥、学生的学习兴趣不浓、学习积极性不高, 一直困扰着高等代数的教学。以教师、课本为中心的传统式教学, 将无助于学生的数学探究与创新。独立学院大学生与一、二本大学生相比, 不仅在推理证明方面有劣势, 在动手能力、应用能力、创新能力等方面也存在很大的差距, 这就要求我们独立学院的数学教师必须进行教与学的改革以及创新, 数学实验软件MATLAB就是帮助学生进行探究和创新的一个重要载体。借助数学软件MATLAB, 让学生自己动手, 使得课堂上难以理解的定理和难以解决的实际问题能够得到形象、直观的发现和解决, 从而使学生独自探索, 发现新的数学思想和结论。

二、数学实验软件MATLAB辅助高等代数教学的必要性

(一) 克服传统教学弊端, 提供多元化的教学模式

高等代数的传统教学方式是一种填鸭式的教学, 学生的学习完全是被动的, 学生在课堂中很少有机会尝试和探究问题的解答以及创新思想。高等代数的教学往往侧重于定理的证明和固定的解题方法, 导致学生只能按照固定的思路和模式解题, 当条件稍微改变, 就无从下手。这种忽略了学生对问题的实际背景的理解的教学方式, 使得学生动手能力较差, 解决实际问题的能力较差, 进而导致学生的创新能力也差。

(二) 突出高等代数的应用, 加强学生应用能力的培养

通过MATLAB与高等代数的结合学习, 既能能突出高等代数这门课在生产实际的作用, 还能培养现代化建设的应用型人才。改变重“理论轻应用”的教学模式势在必行, 它不仅能促进大学数学教学改革的健康发展, 还能拓宽应用型人才的培养途径, 进而提高大学数学教学质量。

三、数学实验软件MATLAB在高等代数教学中的应用

(一) 数学实验MATLAB

数学实验是数学理论和计算机现代科技发展形成的一种独特的研究数学的方法;引入数学实验教学的重要意义在于:它把“讲授、记忆、测验”的传统数学学习转变成“探索、思考、应用”的现代化学习模式, 重点培养学生的创新能力和实践应用能力;它将多种数学思想和逻辑思维结合起来, 提高学生运用数学知识并借助数学软件解决实际问题的综合能力;除此之外还能应用数学实验教学加强课堂教学的过程化考核, 提高学生对每个模块知识的深入认知、巩固和应用, 这是传统的数学教学模式无法比拟的

(二) 数学实验在高等代数教学中的典型案例

1.数学实验与高等代数的结合教学, 既能节约课堂教学时间又能保证学生对典型计算方法的理解和应用。在高等代数的学习中, 矩阵的初等行变换是非常重要的, 通常对矩阵进行初等行变换以后, 再来解决其他高等代数的问题, 而一个稍微复杂的矩阵想要对其进行行初等变换, 所要花的时间是非常很多的, 仅仅靠教师在课堂上讲解少数的例题是不够的。如果借助数学实验, 通过实验的演示, 可以加深学生对初等行变换后的矩阵的认识以及应用。

运行以上命令以后, 可以很快看出问题的结果, 大大提高了解题的效率以及正确率。

2.数学实验与高等代数的结合教学, 促进学生对复杂计算的理解以及应用于生产实践。在高等代数的教学中, 矩阵的特征值和特征向量以及对称矩阵的对角化的计算量是非常大的。虽然从内容上理解不难, 但是其计算的复杂, 是学生的一大心病。如果该知识点再跟生产实践 (转移矩阵) 结合在一起计算方阵的幂, 问题更加复杂, 计算量更大。假如借助于数学实验, 使学生亲身经历对角化的实践操作, 必然会使其加深对该知识的理解, 进而消除掉心理障碍。

3.数学实验与高等代数的结合教学, 不仅能加深学生对定理条件的理解, 还能对定理进行拓展, 应用MATLAB解决更一般的问题。解线性方程组是高等代数教与学的过程中非常重要的一个知识点, 课本上只介绍了方程组有解的情况下, 如何解线性方程组, 然而在实际问题中, 也会碰到线性方程组是无解的, 但在生产实际中, 这个方程组确实存在近似解, 这样就无法用课本中的知识解决该问题;如果借助数学实验进行教学, 就能很好地解决这一类问题。当然数学实验介绍了若干种方法求线性方程组的近似解, 比如最小二乘法, 随机模拟法等。在这种情形下, 将数学实验引入高等代数的教学既能培养学生自主探究学习的能力, 又能将所学用于生活实际, 进而提高学生的应用能力。

四、数学实验与高等代数结合教学的意义

数学实验辅助高等代数教学, 意义深远。首先, 应用比较简单的命令语句, 可以实现高等代数中的复杂计算, 而且准确率高, 计算速度快。其次, 将数学实验与高等代数结合教学, 学生不仅能够掌握数学软件的基本操作以及简单的数学类编程, 同时大大增加了学生学习高等代数的兴趣。第三, 将数学实验引入高等代数的教学, 能够很好地培养学生独立探究数学的能力, 进而提高学生的创新能力和应用能力, 这正是大学数学课程改革的核心。最后, 高等代数应用数学实验辅助教学, 对增强教学效果、提高教育质量、促进教学改革等方面都是有积极作用的。经过多年的教学实践证明, 自从数学实验进入到高等代数的教学, 学生的知识面得到拓宽, 学习的主观能动性得到提高, 毕业生的就业面也变得广阔。

摘要：数学实验MATLAB辅助高等代数教学, 改变传统的教学模式。首先介绍了MATLAB辅助高等代数教学的必要性, 然后重点介分析了MATLAB在高等代数教学中的三个应用, 最后, 总结了高等代数与数学实验结合教学的重要意义。

关键词：MATLAB数学实验,高等代数

参考文献

[1]赵静, 但琦.数学建模与数学实验[M].高等教育出版社, 2014.8.

高等代数数学分析 第9篇

关键词：近世代数数学美和谐美

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近世代数是以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科，它不仅是现代数学的重要基础，也是许多其他现代科学的基础，已成为数学专业成人高等教育学生的重要专业必修课程之一。近世代数中的等价、划分、同态、同构等思想方法，不仅是最重要的数学方法之一，而且也是观察和研究自然和社会的普遍采用的方法。随着科技的不断发展与实际应用的需要，近世代数的基本理论与基本思想逐渐渗透到编码与信息安全等领域。本文将以近世代数中几个重要而又典型的代数系统为切入点，探讨近世代数中蕴涵的数学美，从而揭示其臻美取向和人文底蕴。

一、代数结构的简单美

在最基本的逻辑层次——集合和映射基础上抽象而成的各大代数系统，由于其抽象出的概念不再是客观事物原本的形象，从抽象概念逐级演绎出的推理论证的方法，排除了自由、价值、人文等生活中的终极意义的信念，完全置身于抽象的世界之中。要还原抽象系统的物理及其本质属性，需要利用多种方法对其本身结构加以认识，找出系统间的结构关系，实现系统的同构、同态等等。下面仅通过同构进行研究和分析上面所提到的代数系统。

同构也称同构映射，是现代数学一个很重要的基本概念。同构关系是一种等价关系，等价的两个代数系统具有完全相同的代数性质和数学构造，在代数性质上可以视为同等的。继群之后逐步建立的其他代数系统结构研究，常常也会使用同构和同态等工具。比如，向量空间的扩展就是模。又如，对于很多域的研究可以转化为本身的同构群，进而使研究变得更清晰易懂。竭力找出系统间的结构关系，实现同构、同态等意义下的简单形态，这是研究代数系统的方法论准则。

二、代数理论的结构美

无论系统结构在深度和广度上如何扩展，系统最基本的属性就是集合，而由代数运算和公理条件所限定的结构，将本来彼此独立的各元素密切的联系起来，使得元素之间有了远近关系、大小之分及运算，使得系统有了架构。因此，代数系统的逻辑起点是一致的，集合和映射以及必要的公理条件是所有系统都具备的要素。不同的系统有着统一的逻辑起点，统一的系统又会有差异，差异中有统一、统一中又存在差异，这正是近世代数建构美的本质所在。代数系统的建立都是希望用统一的、抽象的方法来整体考察，并不去考虑独立的元素。近世代数建立的理性美体现在：逻辑一致、统一协调、整体把握。

.我们认识近世代数建立与扩展中逻辑基础的简单一致，以及为了研究系统之间的结构关系，实现同态、同构等意义下的简单形态的理性思维，就是从共性上把握对象间的本质，品味数学表达与分析中的质朴、和谐、涵盖美的数学内在美，体验数学的联系带来的深刻美学价值。.

三、代数理论的现实美

数学和其他任何学科都面临着同一个问题：它能派在什么用场？就是说它的实实际意义或价值是什么。数学能发展到高度抽象的近现代数学时期，使得逻辑抽象实现的纯数学领域更渴望找到其本身存在的直接或间接的实际意义，尽管数学家纯粹的思维实现的只是数学体系内部逻辑发展的必然性，这样必然走向理论先行的、超验的道路上，而现代物理学在寻求本身发展的同时找到了其必需的工具——数学，意外的为数学找到了存在的意义，回归了价值美。

比如，群论的产生最初是在探讨高次方程的求解时，发现了方程的根的对称性和平等性是解决全部问题的关键。随着科学的发展，近世代数的研究成果和方法已逐步被应用到工程技术中，如代数编码学、语言代数学、代数自动化理论等领域，并对组合数学的突起和发展产生了重要影响。

四、代数系统的和谐美

数学美之根源在于统一和和谐统一性，源于对事物的本质认识和科学抽象，如在解决五次或者五次以上代数方程的根式解问题时，阿贝尔和伽罗华引入了置换群的理论之后，人们慢慢发现，对于这一理论中大多数的本质问题来说，用以构成群的特殊材料——置换并不是最主要的，重要的只是在于对任意集合里所规定的代数性质的研究，这样就把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去，把群的研究建立在公理化的基础上，使他的理论变得更加严谨和清晰。这种和谐统一将特殊问题化为一般讨论，是科学抽象的典型应用。

在近世代数中，除了研究某种代数系统如群环域等自身的内部结构之外，考虑代数系统间的联系也是具有重大的意义，这种联系往往以某种代数系统在另一种代数系统上的作用来实现。譬如模就是具有环作用的交换群。许多在表面上看来差异很大的代数系统，如交换群环理想线性空间，在模的语言下都统一了起来。

五、近世代数的抽象美和自由美

从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。从伽罗瓦和阿贝尔开创以来，近世代数以绝对抽象的代数系统的结构为研究中心，实体化的公理转变成了形式化的公理，数学的公理化方法所體现的理论简单性更加复杂了。近世代数中所处理的概念，比如，群、环、域、模等及其理论是抽象的，脱离了具体事物内容，它们当中都蕴含着抽象美和自由美。

总之，近世代数的教学是一个伴随着研究和创新的过程，它需要掌握一定的数学方法。在近世代数的教学中，通过挖掘其中所蕴涵的数学美和数学思想方法，有助于揭示数学知识的精神实质，可以让学生掌握近世代数的精髓，有利于培养学生的抽象思维能力和审美能力，有利于培养学生的综合素质和创新意识。

参考文献：

[1] 数学辞海（第二卷） [ Z]. 北京：中国科学技术出版社，2002.

[2] 张禾瑞. 近世代数基础 [M]. 北京：高等教育出版社，1985.

[3] M. 克莱茵. 数学与知识的探求 [M]. 刘志勇译. 上海：复旦大学出版社， 2005.

[4] 吴品三.近世代数[M].北京： 高等教育出版社， 1979： 61-63.

[5] 郭华光， 徐祥， 裴定一. 近世代数课程教学内容的改革与实践[J]. 广州大学学报（自然科学版）， 2003， （6） .