一轮复习数列典型例题

一轮复习数列典型例题（精选11篇）

一轮复习数列典型例题 第1篇

数学基础知识与典型例题

数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案

例1.当n1时，a1S11,当n≥2时，an2n2n2(n1)2(n1)4n

3,经检

验 n1时 a11 也适合an4n3,∴an4n3(nN)例2.解：∵aSn1nSnSn1,∴ Sn2Sn1

2n,∴

Sn2

n



n

11

设bn

Sn是公差为1的等差数列,∴bS112

n

则bnn

b1n1又∵b1

2a232,∴

Sn2

n

n

12,∴Sn

(2n1)2

n1,∴当n≥2时

anSnSn1(2n3)2

n2

∴a3

n1)n

(n≥2),Sn

(2n1)2

n1

(2n3)2

n2

(例3 解：a2

an1nSnSn1nan(n1)an1从而有n

n1an1 ∵a11,∴a1223,a3





13,a

4

5



13,a5





2143,∴a2n



(n1)(n2)321n(n1)

(n1).43

n(n1),∴Sn

na2nn

n1

例4.解：a

n



123n(n1)2(1n11111112n n



n1)∴Sn2(1)()()

223nn12(1)

n1n1例5.A

例6.解:S3

n1n12x3x24xnx

①xS2

n

n

x2x3xn1x

n1

nx

②

①②1xSn1

n1xx2

x

nx

n，xn

nxn

nx

n1

1nxn

nx

n1

11nx

n

nx

n1

当x1时,1xS

1x

n

n1x

nxn



11x



11x

∴Sn



1x

;

当x1时，Sn

1234n

n1n2

例7.C例8.192例9.C例10.解：a3

a58

a5q

a5

a54

542

2

1458

另解：∵a5是a2与a8的等比中项，∴542a82∴a81458

例11.D例12.C例13.解：a1S1321,当n≥2时,a2nSnSn13n2n[3(n1)22(n1)]6n5,n1时亦满足 ∴

an6n5,∴首项a11且 anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成等差数列且公差为

6、首项a

1

1、通项公式为an6n5





12a12111d354例14.解一：设首项为a2

1，公差为d则

)656(a1d2d d5

232

6a65

d17

122S奇S偶354

解二：

S偶32

S偶192



由

S偶S奇6dd5

SS奇162

奇

27例15.解：∵a101001a18

a9aa9a10，∴a18



a

20

例16.解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 

S7a7671设{aan}首项为a1，公差为

d，则d7

∴

12

d1

S1515a115142d75∴

Sn2

n(n1)

∴

Sn2n1n

2

n52



此式为n的一次函数

∴ {

Sn12

9n

}为等差数列∴

Tn

n

4n

S2

法二：{a+Bn∴

7A77B7n}为等差数列，设Sn=An2

S215A1515B75



1解之得：A

∴

S12

5n

B52

n

n，下略2

注：法二利用了等差数列前n项和的性质 例17.解：设原来三个数为a,aq,aq2 则必有 2aqa(aq2

32)①,(aq4)2

a(aq232)

② 由①：

q

4a2a

代入②得：a2或a



从而q5或13

∴原来三个数为2,10,50或2263389,9,9

例18.70

例19.解题思路分析：

∵ {an}为等差数列∴ {bn}为等比数列 

∴ b1b3=b22,∴ b23=1,∴ b2=1

b171b3

8,∴



8b12,∴

b1或



1

b1b214



b13

8b2

2∴ b2(1 或

b1n1

4)n12

32n

nn

42

2n5

∵

b1a

n

n(2),∴ anlog1bn,∴ an=2n-3 或 an=-2n+5

例20.3n9n

一轮复习数列典型例题 第2篇

例8 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（）．

A．有且只有一个B．一个或无穷多个

C．无数个D．以上均不正确

分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B．

答案：B

一轮复习数列典型例题 第3篇

关键词：典型例题,历史复习,有效性

历史学测旨在考查高中历史学习基础知识的掌握情况,同时注重培养和提高学生的历史意识和人文素养。如何让学生达到历史学测要求?笔者认为,历史教师应该多关注考试说明的典型例题,了解学业水平测试考什么,怎样考,考查的能力水平是什么。教师在备考复习阶段做到有的放矢,有利于提高历史复习效果。

一、典型例题命题的指导思想

笔者认真研读历史考试说明中的典型例题,理解到例题主要从考查内容、呈现形式、考查的能力要求3个方面体现命题指导思想。

1. 从典型例题的考查内容看

历史学测主要考查的是主干知识点。比如必修一中的“内阁制”“近代不平等条约”“五四运动”“国民大革命”“建国初期的三大政治制度”“雅典民主政治”“俄国十月革命”,必修二中的“古代中国的经济政策”“罗斯福新政”“民族资本主义发展历程”“苏联的社会主义建设”“新经济”,必修三中的“四大发明”“文人画作”“近现代物理学”“启蒙运动”等。这些都是历年考试中的高频考点,也是主干知识点。

2. 从典型例题的呈现形式看

历史学测重视情境题的考查(图表题、史料题等),在考查基础知识的同时,也注重考查获取和解读材料信息的能力。典型例题呈现的方式主要是材料型的题目,主观题则主要围绕一个微专题进行考查。历史学测典型例题共24题,题型共有4种:选择题、判断题、材料解析题、问答题。其中图表型共7题,材料型就有14题。主观题有“农耕时代的工商业和农业发展”“近代思想解放历程”“欧洲一体化”“世界经济一体化”等,这是用微专题形式来考查学生叙述和阐释历史事物以及论证和探讨历史问题的能力。

3. 从典型例题考查的能力要求看

历史学测主要测试4大类能力:调动和运用历史知识的能力、获取和解读材料信息的能力、叙述和阐释历史事物的能力以及论证和探讨历史问题的能力。在能力测试中渗透了情感态度和价值观的评价,凸显其培养和提高学生历史意识和人文素养的要求。下面结合第24题分析其是如何体现命题指导思想的。客观题旨在考查学生的前两大能力,主观题主要考查“叙述和阐释历史事物以及论证和探讨历史问题能力”。比如典型例题的第21题以“农耕时代工商业和农业发展”为主题的图文结合的材料解析题,考查的能力要求包括信息的获取、历史材料的解读及历史论证等,最后一问具有开放性,追求思维的发散性。

《普通高中历史课程标准(实验)》中对高中历史课程作过如下定位:“培养和提高学生的历史意识、文化素质和人文素养,促进学生全面发展的一门基础学科。”“掌握历史知识不是历史课程学习的唯一和最终目标,而是全面提高人文素养的基础和载体。”考试说明中的典型例题充分体现了命题及学科思想,然而眼下历史复习现状却背离命题指导思想和学科思想。其主要存在问题:一是“背多分”思想盛行,重知识识记轻能力培养。二是重结果轻情感,重考前突击轻平时教学。复习策略过于功利化,让学生学得枯燥,效果不显著。历史学测复习要多关注典型例题,领会命题者的意图,寻找合理的策略,提高历史复习的有效性。

二、优化历史学测复习的策略

1. 重视主干知识梳理,提高历史复习的针对性

从考试说明所给的典型例题和近几年历史学测的考试试题来看,其中有近70%的题目考查的是主干知识点。教师在平时教学中如果能讲透核心知识点并及时让学生过关,学生在应对历史学测中一定会轻松应对,顺利过关。

2. 关注地方史及周年纪念,提高历史复习的时代性

典型例题中的第5题就是用江苏地方史料来创设情境题,考查学生的知识记忆和分辨能力,教师在历史教学时也要有意识地适当补充与江苏地方史相关的一些内容。比如“近代开放通商口岸在江苏境内的有哪些”“抗日战争和解放战争中在江苏境内的战役有哪些”“历史教学中和南京相关的历史知识有哪些”。周年大事也是历史复习中的重点,例题中有考查1919年的五四运动和1924年的国民大革命。2014年是五四运动爆发95周年和国民大革命90周年,2015年是甲午中日战争结束120周年、抗日战争胜利70周年、“求同存异”方针提出60周年和同盟会成立110周年。教师在教学过程中,也应该将历史教学和时事热点紧密结合,增强历史教学的时代性,从学习历史与关注社会、关注生活、关注人类相结合的角度,帮助学生“不断加深对历史和现实的理解”,在历史和现实之间架起一座桥梁,真正让学生在把握历史的发展脉络过程中实现学以致用。

3. 关注微专题知识整合,提高历史复习的系统性

从大纲的典型例题我们还可以看出历史学测命题突破章节,注重微专题的考查。比如典型例题中的第1题,以图文结合的形式考查商周时代的内容,涉及“西周建立”“手工业的发展”“文字的演变”,分布于必修三本书。典型例题的第27题考查欧洲一体化进程中涉及必修一和必修二的相关知识。从典型例题可以看出,教师在历史复习时应适当关注一些微专题,如宋元时期的经济、思想、科技等,新中国成立初期在政治、经济、对外关系方面取得的成就,古代选官制度和监察制度等。教师将零散的知识条理化、系统化,有利于学生系统掌握历史知识,有效应对历史学业水平测试,提高历史概括和总结能力。

4. 精选精练考题,提高学生答题的正确性

“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”。学生背得好并不意味着能考得好,考前教师要通过必要的训练让学生懂得历史学习和解题的方法。历史学测考查学生调动和运用历史知识的能力、获取和解读材料的能力。命题者主要通过材料设计情境来考查能力,其主要形式有以下几种:第一种,依据一段史料让学生结合史料内容或所学知识,选出符合题意的选项。第二种,依托照片、漫画、歌词内容等来进行设问。第三种,通过表格题的数据变化让学生得出相关结论或运用历史知识。学生拼死记忆历史知识和搞题海战术是难以适应学测要求的,这就要求教师对考前模拟题精选精练,提高学生答题的正确性。

数列部分典型例题及训练 第4篇

每年高考与数列内容有关的试题，既有一条单纯关于数列内容的填空题，又有一条数列的综合题与实际应用题。在填空题中，主要考查等差、等比数列的概念和性质，重点是通项公式与前n项和的公式的灵活运用，突出了“小、巧、活”的特点。解答题属于中、高难度题，主要考查运算能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力、数学归纳能力及综合创新能力。

类型一 等差数列前n项和的最值问题，具有丰富的知识背景和价值，问题的探索过程中，将涉及到函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法

【例1】 已知等差数列{an}的首项不为零，前n项的和记作Sn，且S9=S23，当a1>0时，n= 时，Sn有最 值.

分析 数列可以看成是定义域为正整数集或是其子集的一种特殊的函数，因此可将前n项的和Sn的最值问题转化为研究函数的最值问题，故建立函数Sn是解决本问题的关键所在。

解法一 由S9=S23，结合等差数列前n项和公式得9a1+36d=23a1+23×11d，所以2a1+31d=0，因为a1>0，故d<0.从基本量入手，以n为未知数，建立二元函数Sn，并研究其最值：Sn=-312nd+12n（n-1）d=d2（n-16）2-128d，由于d<0，所以Sn有最大值，当且仅当n=16时取到最大值.

点拨 本题的实质是用函数的观点分析、解决有关数列问题。通过相应的函数及其图象的特征变动地、直观地认识数列的性质。

由于等差数列是单调数列，所以其前n项和Sn的最值可以转化为研究项an符号的变化规律来求Sn的最大值，即转化为累加{an}中的所有非负项，从下标入手，合理搭配。

解法二 由于S9=S23，利用一般数列前n项和定义知：

a1+a2+a3+…+a9=a1+a2+a3+…+a23，得到a10+a11+…+a23=0，故a10+a23=0，又a16+a17=a10+a23，所以a16+a17=0，a16=-a17，而d<0，得到a16>0>a17，故当且仅当n=16时，Sn有最大值.

由于非常数等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，二次函数具有良好的对称性，所以本题也可以从函数入手，数形结合解决。

解法三 易知Sn=pn2+（a1-p）n，其中p=d2，因为a1≠0，S9=S23，故d≠0.

考虑函数f（x）=px2+（a1-p）x是关于x的二次函数且其图象过原点.因f（9）=f（23），故其对称轴方程为x=16，而a1>0，则d<0，故当且仅当n=16时，Sn有最大值.

奇思妙想

1. 原题中将条件“a1>0”改为“a1<0”，其他条件不变，结论会有什么变化？

解析 a1<0时，d>0，故当且仅当n=16时，Sn有最小值.

2. 原题中将条件“S9=S23”改为“S10=S23”，其他条件不变，结论会有什么变化？

解析 a1>0时，由于a17=0，则当n=16或17时，Sn有最大值.

3. 本题是由S9=S23可以推出n=16时，Sn取到最值. 那么逆向探索：由n=16时，Sn取到最值，能否推出S9=S23？

解析 结论是不一定.

4. 问题进行一般化：将本题条件中的“S9=S23”改为“Sm=Sk（m≠k）”，你又能得到什么结论？

解析 问题变得复杂后，函数思想的优势便显现出来了.易知二次函数的对称轴方程为x=（m+k）2，

若a1>0，当m+k为偶数时，则当n=（m+k）2时，Sn有最大值；

若a1>0，当m+k为奇数时，则当n=（m+k±1）2时，Sn有最大值.

5. 由于等差数列与等比数列是一对对偶的同构数列，它们在很多方面具有极其相似的性质和结论，故考虑将原题进行类比研究.

如：已知等比数列{bn}的公比q>0且q≠1，首项b1>1，其前n项的积记作Tn，且T9=T23，则当n= 时，Tn有最 值.

解析 关键在数列{bn}中找到以“1”为项或者在“1”附近的项.

易知b1b2b3…b9=b1b2b3…b23，可得b1b32=1，故b16b17=1，又公比q>0且q≠1，首项b1>1知b16>1>b17>0，所以当n=16时，Tn有最大值.

类型二 已知两个不同等差数列前项和的比值，求对应项的比值问题。着重考察等差数列前项和与通项之间的联系

【例2】 已知数列{an}，{bn}均为等差数列，它们的前n项的和分别为Sn，Tn，且SnTn=7n+45n+3，求a9b9.

分析 已知条件中涉及等差数列的和，而要求解的部分中只与项有关，故需沟通等差数列的和与项之间的联系，因此使用等差数列求和公式的第一种形式Sn=n（a1+an）2。并且对照所求结论，要将两项之和转化为一项的形式，所以还需使用等差数列的下标和性质获解。

解法一 a9b9=2a92b9=a1+a17b1+b17=17（a1+a17）217（b1+b17）2

=S17T17=415.

（一般地，同理可证明anbn=S2n-1T2n-1.）

点拨 根据等差数列前n项和公式的结构（这是思考问题、抓住问题本质的一个视角：结构特征），和式是关于n的常数项为0的二次函数。

解法二 可设Sn=kn（7n+45），Tn=kn（n+3），其中k为非零常数，

则a9=S9-S8=164k，b9=20k，故a9b9=415.

奇思妙想

1. 考虑原问题的逆命题. “已知数列{an}，{bn}均为等差数列，它们的前n项的和分别为Sn，Tn，且anbn=7n+45n+3，求S9T9”.

解析 由于推导anbn=S2n-1T2n-1的过程是可逆的，故可以赋值令n=5即可得S9T9=10.

2. 原问题中的各条件不变，改为求“则使得anbn为整数的正整数n的个数有几个？”.

解析 由上例可得anbn=S2n-1T2n-1=7n+19n+1，显然分子大与分母，析出常数得anbn=S2n-1T2n-1=7+12n+1.

故要使得anbn为正整数，只需要分式部分的“n+1”为分子部分“12”的正约数即可，而12的正约数有1，2，3，4，6，12，显然1不合题意，舍去.所以令n+1=2，3，4，6，12，可得n=1，2，3，5，11，即正整数n的个数为5.

2. 数列{an}满足a1=a，a2=-a（a>0），且{an}从第二项起是公差为6的等差数列，Sn 是{an}的前n项和.

（1）当n≥2时，用a与n表示an与Sn；

（2）若在S7与S8两项中至少有一项是Sn的最小值，试求a的取值范围.

3. 已知等比数列{an}的首项a1=2 011，公比q=-12，数列{an}前n项和记为Sn，前n项积记为Tn.

（1） 证明：S2≤Sn≤S1；

（2） 求n为何值时，Tn取得最大值.

4. 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a2n=S2n-1，n∈N*.数列{bn}满足bn=1an·an+1，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和.

（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；

（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn

5. 数列{an}的前n项和为Sn，存在常数A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立.若数列{an}为等差数列，

（1）求证：3A-B+C=0；

（2）若A=-12，B=-32，C=1，设bn=an+n，数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn.

一轮复习数列典型例题 第5篇

例1．已知地球的半径为R，球面上A,B两点都在北纬45圈上，它们的球面距离为求B点的位置及A,B两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度． R，A点在东经30上，3分析：求点B的位置，如图就是求AO1B的大小，只需求出弦AB的长度．对于AB应把它放在OAB中求解，根据球面距离概念计算即可．

解：如图，设球心为O，北纬45圈的中心为O1，R，所以AOB=，33OAB为等边三角形．于是ABR． 由A,B两点的球面距离为由O1AO1BRcos452R，2O1A2O1B2AB2．即AO1B=

． 2又A点在东经30上，故B的位置在东经120，北纬45或者西经60，北纬45．

一轮复习数列典型例题 第6篇

例10 半径为R的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．

分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．

解：∵棱锥底面各边相等，∴底面是菱形． ∵棱锥侧棱都相等，∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．

∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥． 过该棱锥对角面作截面，设棱长为a，则底面对角线AC故截面SAC是等腰直角三角形．

又因为SAC是球的大圆的内接三角形，所以AC2R，即a∴高SOR，体积V2a，2R．

12S底SOR3． 33说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．

一轮复习数列典型例题 第7篇

例3．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求MA2MB2MC2的值．

分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．

解：以MA,MB,MC为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥MABC补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．

MA2MB2MC2=(2R)24R2．

一轮复习数列典型例题 第8篇

关键词：数列通项式,递推公式,求法

由数列的前若干项, 运用观察、归纳、猜想的方法;找出各项与项数的关系式, 然后以此类推。由递推公式求通项通常有以下几种情况:

1.形如, 其中a为常数

由递推式有:a2-a1=q (1) , a3-a1=q (2) , ……, an-an-1=q (n-2) , 诸式相加有:, 即为累和法求数列通式.

例1 (2008年四川文16)

设数列{an}中, a1=2, an+1=an+n+1, 则通项an=_____.

解:∵a1=2, an+1=an+n+1∴an-an-1= (n-1) +1, an-1-an-2= (n-2) +1, an-2-an-3= (n-3) +1, ……, a3-a2=2+1, a2-a1=1+1, a1=2=1+1

2.形如, 其中a为常数

由递推式有:a2=p (1) a1, a3=p (2) a2, ……, an=p (n-1) an-1, 依次向后代入得:, 即为迭代法求数列通项式;

3.形如, 其中p、q、a为常数且p≠1

由递推式有:an+1=pan+q, an-1=pan-1+q, 两式相减得an+1-an=p (an-an-1) , (n≥2) , 则可得数列{an-an-1}为等比数列, 故可求得

例3 (2008年安徽文21)

设数列{an}满足a1=a, an+1=can+1-c, n∈N*, 其中a, c为实数, 且c≠0.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;

解 (1) 方法一:

由递推式有:an+1=can+1-c, an=can-1+1-c, 两式相减得:an+1-an=c (an-an-1) , (n≥2) 则数列{an-an-1}是以{a2-a1}为首项, 以c为公比的等比数列, 故可求得数列{an}的通项公式为an= (a-1) cn-1+1 (n∈N*)

方法二:令an+1+x=c (an+x) 所以an+1=can+ (c-1) x

由递推关系an+1=can+1-c得 (c-1) x=1-c, 解得x=-1所以an+1-1=c (an-1) 故数列{an-1}是首项为 (an-1) , 公比为c的等比数列, 则有an-1= (a-1) cn所以数列数列{an}的通项公式为an= (a-1) cn-1+1 (n∈N*)

4.形如, 其中p、a为常数, 且p≠1, q (n) 为非常数

例4 (2008年四川理20)

设数列{an}的前n项和为Sn, 已知ban-2n= (b-1) Sn.

证明:当b=2时, {an-n·2n-1}是等比数列;

变:当b=2时, 求an的通项公式.解法如下:

解:当b=2时, 由题意知an=2an-1+2n-1

所以数列{an}的通项公式是an= (n+1) 2n-1

5.形如, 其中p, q, y, a, b为常数

令pan+1+pan+ran-1=0所对应的方程为px2+qx+r=0, 设α, β为px2+qx+r=0的两根.

那么当α≠β时, an=Aαn+Bβn, 其中A、B由方程组唯一确定;α=β时, an= (A+B) αn, 其中A+B由方程组唯一确定.

例5 (2008年广东文21)

设数列{an}满足a1=1, a2=2, 数列{bn}满足b1=1, bn (n=2, 3, ……) 是非零整数, 且对任意的正整数m和自然数k, 都有-1≤bm≤bm+1+……+bm+k≤1

(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式;

精选典型例题提高复习效率 第9篇

题目：设直线L经过点A（2，4），它被二平行线x-y+1=0，x-y+2=0所截线段的中点在直线x-2y+3=0上，求此直线方程。

下面以分析思路，介绍解题方法为主，解题过程从简。如图，设直线x-y+1=0，x-y+2=0，x+2y-3=0依次为L1，L2，L3，所求直线为L。显然，点A在直线L2上。

解法1：（点斜式）设L的方程为y=k（x一2）+ 4，L与L1，L3分别相交于点B、M，解L、L1对应的方程组，得点B的坐标，由中点公式得点M的坐标（含K），再代入L3的方程，求得 ，从而得出的方程为 5x-4y+6=0。

由此，学生立刻想到下面两种方法。

解法2：（斜截式）设L的方程为y=kx+b，将点A的坐标带入，得4=2k+b，b=4-2k，∴y=kx+4-2k。以下解法同解法1（略）。

解法3：（截距式）设L的方程 ，以下同解法2（略）。

问：直线方程还有什么形式？考虑片刻，学生异口同声：两点式和一般式。本题用一般式，显然十分复杂，于是有：

解法4：（设点法）设B（x0，y0），由中点公式得点M的坐标（ ），分别带入L1、L3的方程，解方程组得点B的坐标，再由两点式求得L的方程。

解法5：（设点法）设M（ ），由对称性得点B的坐标（2x-2，2y-4），以下类解法4。

以上解法都要解方程组，尤其含参数的方程组，计算量很大。同学们思考，有没有避免求交点的其他方法？

心理学原理提出：在人的心灵深处都有一个根深蒂固的需要，这就是自己是一个发现者、研究者。上述问题的提出，如一石击起千层浪，激荡着学生的想象力和好奇心。经过短暂的讨论和思索，很快就有不少学生提出“用同一字母表示点的坐标”——科学设点法。

解法6；（科学设点法）设B（x0，x0+1），由中点公式及点M的坐标，代入L3的方程，只需解一个一元一次方程，简洁明快、赏心悦目。

解法7：（科学设点法）设M（x0， ，由对称性即点B的坐标，代入L1的方程，轻而易举地得x0的值，问题迎刃而解。

在学生的想法产生奇效，得到老师肯定，品尝自己劳动的甜果，求知欲处于亢奋状态的时刻，教师不失时机地稍加点拨，学生的思维触角必然伸向一个新的领域。

请大家考虑：AB的中点还在哪一条特殊直线上？又一个问题的提出，将本来活跃的气氛推向新的高潮，人人想成为“新大陆”的发现者。纷纷举手回答；在平行于直线L1，L2且与两直线距离相等的直线L4上，问题的焦点又集中到求L4上。

在解法8-14中，求出L4的方程后，尚需解方程组求点M的坐标。能否找到绕过交点的解法？学生借图思解，注意到L是经过L3和L4交点的直线这个事实，答案自然成竹在胸。

解法15：（利用直线系方程）设L的方程x+2y-3+ =0 ，将点A的坐标代入，得 的值，直赴目标，引人入胜。

在学生激情犹酣、思维活跃、浮想联翩、欲要不能的情况下，及时引导他们解后反思，归纳出规律性的东西。

由解法6、7的巧妙设点，联想二次曲线中，抛物线上的点能否同一字母设出？回答是肯定的。而圆和椭圆上的点用x或y来表示就困难了。同学们有什么好的设法？他们在“最近发现区”让自己的思维驰骋，很快想到参数方程。如椭圆 上的点可以设为（ ， ）。从而总结出曲线上设点的技巧：

若曲线方程的变量中至少有一个是一次，则曲线上的点可用“科学设点”法；若方程中的两个变量都是二次，则可考虑用参数法设点。这样设点，常常可以把一些复杂的、运算量大的，以至难以解决的问题变得简单了，易解了。这也从一个侧面突出了学习参数方程的必要性和采用参数法解决问题的优越性，充分体现了数学的简单性原则。

一轮复习数列典型例题 第10篇

（一）（文科）

厦门理工学院附属中学徐丁钟

一、【课标要求】

1．理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；

2．能利用等差数列的知识解决有关问题，渗透方程思想、函数思想，培养学生的化归能力。

二、【重点难点聚集】

重点：等差数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差数列的性质理解和应用。难点：灵活应用以上知识分析、解决相关问题。

三、【命题走向】

等差数列是个特殊的数列，对等差数列的概念、通项公式、性质、前n 项和公式的考察始终没有放松。一方面考查知识的掌握，另一方面考察灵活运用数列的有关知识分析问题、解决问题的能力，对这部分的考察坚持小题考性质，大题考能力的思想，大题的难度以中档题为主，估计这种考查方式在今后不会有大的变化。同时这部分内容的考查对基本的计算技能要求比较高

预测2010年高考：

1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；

2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题

四、【教学过程】

（一）基本知识：：

定义：若数列{an}满足an1and(常数)，则{an}称等差数列。

注：1.从第二项起；2.同一常数 通项公式：ana1(n1)dam(nm)d

注：关于n的一次函数

n(a1an)

2na1n(n1)2d.=d

2n(a12前n项和公式：Snd2)nAn2Bn

注：关于n的二次函数，但没有常数项

等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项：2bac

注：2bac是a、b、c成等差数列的充要条件。

设元技巧：三个数成等差：ad,a,ad

四个数成等差：a3d,ad,ad,a3d

（二）等差数列常见的性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则有

（1）若mnpq，则amanapaq

特别地：若mn2p，则aman2ap

a1ana2an1amanm1（2）am,amk,am2k,am3k,仍是等差数列，公差为kd

（3）数列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差数列，公差为m2d

（4）数列{can}、{can}、{panqbn}也是等差数列，（其中c,p,q确立为常数，{bn}

是等差数列）

考点一：关于定义的应用 例1.（1）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，数项之和为30，则其公差（）A.5B.4C.3D.2（2）若mn，数列m,a1,a2,n和数列m,b1,b2,b3,n都是等差数列,那么

A.2

3a2a1b2b

1（）

B.3

4C.1D.43

设计意图：深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.考点二：等差数列的基本运算

例2． 等差数列{an}中：1）已知a39，a93，求a17

2）已知a120，an54，Sn999，求d及n 分析：1）法一：回归基本量a1,d

法二：采用等差数列通项公式等价形式anam(nm)d

2）法一：设等差数列{an}的公差为d，则由组方程

20(n1)d54

，采用整体思想求出n，再计算出d；n(n1)

d99920n

2

法二：由 Sn

n(a1an)

直接求出n；再由ana1(n1)d求出d

设计意图：复习通项公式:ana1(n1)dam(nm)d及前n项和公式：

Sn

n(a1an)

na1

n(n1)

2d，能够正确选用公式，回归基本量a1,d，在a1,d,n,an,Sn五个量中，知三求二。渗透方程思想，整体思想，培养化归能力

考点三：等差数列的证明

例3． 已知数列{an}的前n项和为Sn5n23n，证明：数列{an}是等差数列 分析：Snananan1常数或2anan1an1

设计意图：证明等差数列的方法：定义法：anan1d(常数)或2anan1an1 迁移：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1

求证：{

考点四：等差数列性质的应用

例4．(1）在等差数列{an}中，S10120，求a2a9

（2）若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn，且

SnTn

7nn3

1Sn

（2）求an的表达式.是等差数列；，求

a5b

5的值.分析：（1)由S10

10(a1a10)

a1a10，再利用性质若mnpq，则amanapaq

即可求得a2a9

（2）利用

a5b5

2a52b5

a1a9b1b9的关系求解

设计意图：解决此类问题的关键是灵活运用等差数列的性质，并将性质mnpq

amanapaq与Sn

n(a1an)

结合在一起，采用整体思想，简化解题过程.迁移：1）等差数列{an}中，a2、a11是方程x24x1800的两根，则

a1a3a10a12____

2）等差数列{an}中，a2a7a1224，则S13=_______

3）等差数列{an}中, a1a2a324，a18a19a2078，则此数列前20

项的和等于（）

A.160B.180C.200D.220

考点五：等差数列Sn的最值

例5.已知数列{an}为等差数列，a10,S9S15,求n为何值时Sn最小 解：法1：因为Sn为二次函数，由二次函数图象的对称性知S12最小

法2：回归基本量a1,d，再利用前n项和Sn是二次函数解题 an0

法3：由an的单调性:设前n项和Sn最小即来求解

an10

法4：由S9S15即a10a11a12a13a14a150 a120

得a12a130即

a130

所以n12时，Sn最小

设计意图：函数思想在数列中的应用，充分体现数列是特殊的函数，迁移：1）已知数列{an}为等差数列，a10,S9S14,求n为何值时Sn最小

（答案：n11或12）

归纳：等差数列前n项和Sn的最值求法有：

an0

（1）若a10,d0且，则前n项和Sn最大；

a0n1an0

（2）若a10,d0且，则前n项和Sn最小；

an10

（3）除上述方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数问题，利用图象或配方法求解.五、【课堂小结】

1．深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：

（1）利用定义，证明an1and(nN*)为常数；

（2）利用等差中项，即证明.2anan1an.2．等差数列中，已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个，便可求出其余两个.3．等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列.4．(1)当d0时，通项公式是项数n的“一次函数annab”；(2)当d0时，前n项和是项数n的“二次函数SnAn2Bn”.5．复习时，要注意以下几点：

（1）深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质.（2）注意方程思想、整体思想、函数思想、数形结合思想的运用.课后作业：

1．已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d（）A.－2B.－

C.12

D.2

2．设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于（）A．13B．35C．49D． 63

23.等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am0，S2m138,则m()

（A）38（B）20（C）10（D）94．等差数列{an}中，a1a4a8a12a152，则S15____ 5．等差数列{an}中，S100，则a2a9____

6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S636，Sn324，若Sn6144(n6)，则n____

7．（2009`全国）已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60,则{an}前n项和sn为

AnBn

7n2n3

a8b8

____

8．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是An,Bn，且

，求的值.9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10100，S100100，试求S110

10．等差数列{an}中，a125，S9S17.(1)求数列{an}中前多少项的和最大，（2）求S26 11．已知数列{an}满足2an1anan2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672.若bn

一轮复习数列典型例题 第11篇

一、知识梳理

数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列

通项公式，即anan的第n,那么这个公式叫做这个数列的，且任何一项an与它的前一项an1（或前几an的第一项（或前几项）f(n).3.递推公式：如果已知数列

f(an1)或anf(an1,an2)，那么这个式子叫做数

列an的递推公式.如数列an中，a11,an2an1，其中an2an1是数列an的递推项）间的关系可以用一个式子来表示，即an公式.4.数列的前n项和与通项的公式

S1(n1)①Sna1a2an；②an.SS(n2)n1n5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有an

1②递减数列:对于任何nN,均有an1

③摆动数列:例如: 1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,„„.⑤有界数列:存在正数M使an.an.anM,nN.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得anM.等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式ana1(n1)d，a1为首项，d

为公差.⑵前n项和公式Sn

3.等差中项 n(a1an)1或Snna1n(n1)d.2

2A叫做a与b的等差中项.如果a,A,b成等差数列，那么

即：A是a与b的等差中项2Aaba，A，b成等差数列.4.等差数列的判定方法

⑴定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列；

⑵中项法：2an1

⑴数列anan2(nN)an是等差数列.5.等差数列的常用性质 an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k,为等差数列，公差为kd.⑶anam(nm)d；ananb(a,b是常数)；Snan2bn(a,b是常数，a0)⑷若mn

pq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

1⑸若等差数列

Sn

an的前n项和Sn，则是等差数列；

n；

S偶an1

⑹当项数为2n(nN)，则S偶S奇nd,

S奇an

当项数为2n1(nN)，则S奇

S偶an,S偶n1

.

S奇n

等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q列，常数q称为等比数列的公比.0)，这个数列叫做等比数

2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式：an

a1qn1，a1为首项，q为公比.1时，Snna1

⑵前n项和公式：①当q

a1(1qn)a1anq

②当q1时，Sn.

1q1q

3.等比中项

如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项a，4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：

A，b成等差数列G2ab.an1

q（nN，q0是常数）an是等比数列； an

⑵中项法：an1⑴数列

anan2(nN)且an0an是等比数列.5.等比数列的常用性质

an是等比数列，则数列pan、pan（q0是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,ank,an2k,an3k,为等

比数列，公比为q.k

amqnm(n,mN)

⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

⑶an

⑸若等比数列

an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.二、典型例题

A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）

1）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n；

2、等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．

3、设an是公比为正数的等比数列，若a11,a516，求数列an前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100，则S11

2、设Sn、Tn分别是等差数列an、an的前n项和，3、设Sn是等差数列an的前n项和，若

Sn7n2a，则5.

Tnn3b

5a55S

,则9（）a39S5

Sa2n4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n,则n=（）

Tn3n1bn5、已知Sn为等差数列an的前n项和，Snm,Smn(nm)，则Smn

6、在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a725，则a3a5_______。

7、已知数列an是等差数列，若

a4a7a1017,a4a5a6a12a13a1477且ak13,则k_________。

8、已知Sn为等比数列an前n项和，Sn54，S2n60，则S3n.9、在等差数列an中，若S41,S84，则a17a18a19a20的值为（）

10、在等比数列中，已知a9a10a(a0)，a19a20b，则a99a100.11、已知an为等差数列，a158,a6020，则a75

12、等差数列an中，已知

SS

41,求8.S83S16

B、求数列通项公式

1）给出前几项，求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15, 21,,3，-33,333，-3333,33333„„

2）给出前n项和求通项公式

1、⑴Sn2n23n；⑵Sn3n1.2、设数列an满足a13a23a3…+3an

n-

1n

(nN*)，求数列an的通项公式

33）给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式an1anf(n)，可利用迭加法或迭代法；

an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a

1例：已知数列an中，a12,anan12n1(n2)，求数列an的通项公式；

aaaaa

b、已知关系式an1anf(n)，可利用迭乘法.annn1n232a

1an1an2an3a2a1

an1

例、已知数列an满足：n(n2),a12，求求数列an的通项公式；

an1n

1c、构造新数列

1°递推关系形如“an1panq”，利用待定系数法求解

2°递推关系形如“，两边同除pn1或待定系数法求解

n，求数列an的通项公式.a1,a2a31n1n例、例、已知数列an中，a11,an12an3，求数列an的通项公式.3°递推已知数列an中，关系形如“an2pan1qan”，利用待定系数法求解 例、已知数列an中，a11,a22,an23an12an，求数列an的通项公式.4°递推关系形如"anpan1qanan（1p,q0),两边同除以anan1 例

2、数列an中，a12,an1

d、给出关于Sn和am的关系

例

1、设数列an的前n项和为Sn，已知a1a,an1Sn3n(nN)，设bnSn3n，求数列bn的通项公式．

2例

2、设Sn是数列an的前n项和，a11，SnanSn

例

1、已知数列an中，anan12anan（an的通项公式.1n2),a12，求数列

2an

(nN)，求数列an的通项公式.4an

⑴求an的通项； ⑵设bn



1

(n2).2

Sn，求数列bn的前n项和Tn.2n

1C、证明数列是等差或等比数列

1)证明数列等差

Sn

(nN).求证：数列bn是等差数列.n

例

2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.例

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，bn

}是等差数列； Sn

2）证明数列等比

求证：{

1

例

1、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；

2

例

2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；

例

3、已知Sn为数列an的前n项和，a11，Sn4an2.⑴设数列bn中，bnan12an，求证：bn是等比数列； ⑵设数列cn中，cn

an

an，求证：cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前2n

n

例

4、设Sn为数列an的前n项和，已知ban2b1Sn

n

1⑴证明：当b2时，ann2是等比数列；

n项和.

⑵求an的通项公式

例

5、已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).⑴证明：数列an1an是等比数列； ⑵求数列an的通项公式； ⑶若数列bn满足4b114b21...4n

b

1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列.D、求数列的前n项和

基本方法： 1）公式法，2）拆解求和法.例

1、求数列{22n3}的前n项和Sn.n

23，，(n例

2、求数列1，1214181)，的前n项和Sn.n

2例

3、求和：2×5+3×6+4×7+„+n（n+3）

2）裂项相消法，数列的常见拆项有：

1()；

n(nk)knnk

1nn1

n1n；

111 12123123n1111

例

2、求和：.2124n1n

例

1、求和：S=1+

3）倒序相加法，x

2例、设f(x)，求：

21x⑴f()f()f()f(2)f(3)f(4)；

⑵f()f()f()f(2010).)f()f(2)f(2009

4）错位相减法，例、若数列an的通项an(2n1)3n，求此数列的前n项和Sn.5）对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n，求数列{|an|}的前n项和Tn.E、数列单调性最值问题

例

1、数列an中，an2n49，当数列an的前n项和Sn取得最小值时，n例

2、已知Sn为等差数列an的前n项和，a125,a416.当n为何值时，Sn取得最大值；

例

3、数列an中，an3n228n1，求an取最小值时n的值.例

4、数列an中，annn2，求数列an的最大项和最小项.*

例

5、设数列an的前n项和为Sn．已知a1a，an1Sn3n，nN．

（Ⅰ）设bnSn3n，求数列bn的通项公式；

（Ⅱ）若an1≥an，nN，求a的取值范围．

例

6、已知Sn为数列an的前n项和，a13，SnSn12an(n2).*

⑴求数列an的通项公式；

⑵数列an中是否存在正整数k，使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.例

7、非等比数列{an}中，前n项和Sn(an1)2，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn

4(nN*)，Tnb1b2bn，是否存在最大的整数m，使得对任意

n(3an)的n均有Tn

m

总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。

32F、有关数列的实际问题

例

1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,„

依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?

例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为a1,经过n年后绿化的面积为an1,试用10

an表示an1；

⑵求数列an的第n1项an1；