命题证明教案范文

2024-08-19

命题证明教案范文（精选6篇）

命题证明教案第1篇

《命题、定理与证明》教案

教学目标

知识与技能：

1、了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解；会区分命题的条件和结论；知道判断一个命题是假命题的方法；

2、了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性.过程与方法：

1、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识；

2、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识.情感、态度与价值观：

初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.重点

找出命题的条件（题设）和结论；知道什么是公理，什么是定理.难点

命题概念的理解；理解证明的必要性.教学过程

【一】

一、复习引入

BADC教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等.根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确.1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

2、两直线平行，同位角相等；

3、同旁内角相等，两直线平行；

4、平行四边形的对角线相等；

5、直角都相等.二、探究新知

（一）命题、真命题与假命题

学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4是错误的.像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论.有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了.例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等.”

（二）实例讲解

1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论.学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”.这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”.2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题.（1）对顶角相等；

（2）如果a＞b，b＞c，那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等.学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案.（1）条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等，这是真命题.（2）条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a=c；这是假命题.（3）条件：如果一个四边形是菱形；结论：那么这个四边形的四条边相等.这是真命题.（4）条件：如果两个三角形全等；结论：那么它们的面积相等，这是真命题.（三）假命题的证明

教师讲解：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”.例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可.三、随堂练习

课本P55练习第1、2题.四、总结

1、什么叫命题？什么叫真命题？什么叫假命题？

2、命题都可以写成“如果.....，那么.......”的形式.3、要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.【二】

一、复习引入

教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题.二、探究新知

（一）公理

教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.我们已经知道下列命题是真命题：

一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角相等.在本书中我们将这些真命题均作为公理.（二）定理

教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重要性.1、教师讲解：请大家看下面的例子：当n=1时，（n2-5n+5)2=1；当n=2时，（n2-5n+5)2=1；当n=3时，（n2-5n+5)2=1.我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25.2、教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b，那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞b时，a2＞b2.这个命题是真命题吗？

［答案：不正确，因为3＞-5，但32＜（-5）2］

教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.(三）例题与证明

例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余.教师板书证明过程.教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.三、随堂练习

课本P58练习第1、2题.四、课时总结

1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理.2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理

命题证明教案第2篇

第二十四章证明与命题(一)复习

一、教学目标：

1、了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。

2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。、了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。

4、会根据一些基本事实证明简单命题。

5、通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。

6、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。

二、本章知识结构框架图：

三、教学过程：

(一)知识回顾

1、一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题分为真命题与假命题。

2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。

(二)说一说

1.指出下列句子，哪些是命题，哪些不是命题?

(1)有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形;

(2)有两条边对应相等的两个三角形全等;

(3)作A的平分线;

(4)若a=b 则 a2= b2

(5)同位角相等吗?

2.说出一个已学过定理:

说出一个已学过公理:

3、下列把命题改写成如果，那么的形式。并判断下列命题的真假.(1)不相等的角不可能是对顶角.(2)垂直于同一条直线的两直线平行;

(3)两个无理数的乘积一定是无理数.(三)练一练 1.用反例证明下列命题是假命题：

(1)若x(5-x)=0，则x=0;

(2)等腰三角形一边上的中线就是这条边上的高;

(3)相等的角是内错角;

(4)若x2,则分式有意义.(四)例题分析

例1求证:全等三角形对应角的平分线相等.证明命题的一般步骤:

(1)根据题意,画出图形;

(2)用符号语言写出已知和求证

(3)分析证明思路;(4)写出证明过程;

例2已知：如图，△ABC中,C=2B，BAD=DAC.求证：AB=AC+CD

还有其他方法吗? A A E

B D C B D C

(第三题)(第二题)

例3已知：如图D,E分别是BC,AB上的一点,BC、BD的长度之比为3:1, △ECD的面积是△ABC的面积的一半.求证： BE=3AE[来源:学|科|网]

例

4、已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且AB ∥ EF，CD ∥ EF，[来源:学科网]

求证：AB ∥ CD。

证明：假设AB∥CD,那么AB与CD一定相交于一点P

∵AB ∥ EF，CD ∥ EF(已知)

过点P有两条直线AB，CD都与直线EF平行。

这与经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行矛盾。[来源:学科网]

AB ∥ CD不能成立。

AB ∥ CD

反证法的一般步骤：[来源:学科网]

1.反设(否定结论);

2.归谬(利用已知条件和反设，进行推理，得出与已学过的公理、定理、定义或与已知条件矛盾);

3.写出结论(肯定原命题成立)。

练习：

如图,已知:AB=AE，BC=DE，AFCD于F.求证:CF=DF.(五)小结：

(六)作业布置：练习一份

例谈“微分中值命题”的证明方法第3篇

关键词：中值定理,构造辅助函数,F (f' (ξ) f (ξ) ξ) =0类型

中值定理通常是指罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理及其相关的定理和推论, 中值定理在解决许多数学问题如复杂的等式证明、不等式的证明、方程求根及许多应用问题中都起到了重要作用。在高等数学的学习中, 我们会接触到许多要利用中值定理来证明求解的题目, 这类题目通常称为“微分中值命题”。“微分中值命题”中有证明等式、不等式的, 还有讨论方程根及许多应用问题, 其中最为复杂、最为灵活、难度也最大的就是有关等式的一些命题的证明。要利用中值定理证明等式, 特别是含有和导数的等式问题证明, 其关键是要根据待证的结论来构造一个辅助函数。构造辅助函数是解决数学问题中经常使用的一个手段, “根据待证结论构造辅助函数”的方法, 这对许多证明题都是一种很有效的方法, 在证明“微分中值命题”中使用的较多, 尤其重要。那么如何构造辅助函数就是摆在学生面前的一个难题。

“微分中值命题”中证明等式的题目很多, 方法也有很多种, 在这里我只根据命题结论的形式及解题方法的不同, 通过例题方式讨论其中一种结论为F (f' (ξ) , f (ξ) , ξ) =0形式的题目的证明方法, 主要是讲解如何构造辅助函数。这类题目的题型特点:要证结论为一包含有ξ、f (ξ) 、f' (ξ) 的F (f' (ξ) , f (ξ) , ξ) =0方程。其一般解法:根据所给题目构造一个辅助函数并找出一个区间使其具有某个中值定理的形式并适合其条件, 然后用中值定理解题。而这类辅助函数的构造有很大的灵活性, 一般可以通过移项变形等方法来观察可以构造什么样的辅助函数。

下面举例介绍构造辅助函数证明“微分中值命题”的方法。

例1设函数覼 (x) 在[0, π/4]上连续, 在 (0, π/4) 内可导, 且覼 (0) =0, 覼 (π/4) =1。试证在 (0, π/4) 内至少存在一点ξ, 使得覼' (ξ) =sec2ξ。

证要证f' (ξ) =sec2ξ,

只要证f' (ξ) -sec2ξ=[f (x) -tanx]'|x=ξ.

令F (x) =f (x) -tanx, 则F (x) 在[0, π/4]上连续, 在 (0, π/4) 内可导。又F (0) =0=F (π/4) , 根据罗尔定理可知, 在 (0, π/4) 内至少存在一点ξ, 使得F' (ξ) =f' (ξ) -sec2ξ=0, 即f' (ξ) =sec2ξ。

[讨论]例1可以归结为所证的结论是f' (ξ) =g' (ξ) 类型的“微分中值命题”, 是F (f' (ξ) , f (ξ) , ξ) =0题型中最为简单的一种。因为f' (ξ) -g' (ξ) =[f (x) -g (x) ]'|x=ξ, 要证f' (ξ) =g' (ξ) , 只要证f' (ξ) -g' (ξ) =0, 即证[f (x) -g (x) ]'|x=ξ=0, 构造函数F (x) =f (x) -g (x) 利用罗尔定理即可得证。解题关键是要由f' (ξ) =g' (ξ) 中能观察出g (x) 是什么函数。

例2设函数f (x) 在[0, 1]上连续, 在 (0, 1) 内可导, 且f (1) =0。试证在 (0, 1) 内至少存在一点ξ, 使得f' (ξ) =-f (ξ) /ξ。

[分析]待证结论f' (ξ) =-f (ξ) /ξ可以变形改写成ξf' (ξ) +f (ξ) =0, 而ξf' (ξ) +f (ξ) =[xf (x) ]'|x=ξ, 所以只要证[xf (x) ]'|x=ξ=0, 构造辅助函数F (x) =xf (x) 为再利用罗尔定理即可得证。 (证明略)

类似例2通过对证明结论的简单移项变形来构造辅助函数的还有以下几种:

1.证明结论为若将其变形为就不难想到柯西定理, 一个函数为f (x) , 另一个函数可设为g (x) =lnx即容易得证。

2.设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, f (a) =f (b) 。试证:存在ξ∈ (a, b) , 使f (a) -f (ξ) =ξf' (ξ) .

[分析]欲证f (a) -f (ξ) =ξf' (ξ) , 即证ξf' (ξ) +f (ξ) -f (a) =0, 也就是[xf (x) -f (a) x]'|x=ξ=0, 故可构造辅助函数F (x) =xf (x) -f (a) x。

相比较而言, 上述各题构造函数尚不算困难, 通过观察和简单的变形移项就容易找到需要构造的辅助函数, 但多数结论为F (f' (ξ) , f (ξ) , ξ) =0类型的题目并不是都这么简单, 构造辅助函数就有一定的技巧和难度。

例3证明:可导函数f (x) 的任意两个零点间, 必有f' (x) -kf (x) 的零点, 其中k是任一实数。

[分析]此题等价于:设函数f (x) 在[a, b]上可导, 且f (a) =f (b) =0, 证明:至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得f' (ξ) -kf (ξ) =0。要证明f' (ξ) -kf (ξ) =0, 只要证明e-kξ[f' (ξ) -kf (ξ) ]=0, 而e-kξ[f' (ξ) -kf (ξ) ]=e-kξ[f' (x) -kf (x) ]|x=ξ=[e-kξf (x) ]'|x=ξ, 构造辅助函数为F (x) =e-kξf (x) 利用罗尔定理即可得证。

(证明略)

例3对学生而言难度就显得大了一些, 许多学员遇到这类题目往往是束手无策, 不知从那里入手, 更不知道该如何构造辅助函数。例3难就难在要将f' (ξ) -kf (ξ) =0变形为e-kξ[f' (ξ) -kf (ξ) ]=0, 原式两边要同时乘以不为零的e-kξ, 然后再观察构造辅助函数, 这一点是许多学生都想不到的。

类似的还有待证结论为ξf' (ξ) +nf (ξ) =0形式:要从ξf' (ξ) +nf (ξ) =0, 变形到ξn-1[ξf' (ξ) +nf (ξ) ]=ξnf' (ξ) +nξn-1f (ξ) =[xnf (x) ]'|x=ξ, 从而构造辅助函数F (x) =xnf (x) , 这对学生来说也是需要多做多练才能达到轻松解题。

宜用反证法证明的命题第4篇

命题与证明平行四边形教案第5篇

1、定义（一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义）

2、命题（一般地，判断一件事情的句子叫做命题）命题是一个“判断句”，判断“是”或“非”．其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，如“对顶角相等”是真命题，“相等的角是对顶角”是假命题.注意：(1)命题是语句，而且必须是能判断正确和错误的句子．(2)错误的命题也是命题．

过直线外一点做一条直线与已知直线垂直。

过直线外一点做一条直线，要么与已知直线相交，要么与已知直线平行。

3、每个命题是由条件（题设）和结论（题断）两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．一般形式是“如果p，那么q”，其中用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论．（判断清楚哪些是条件，哪些是结论）

写成“如果，那么”的形式

①在同一个三角形中等角对等边

②角平分线上的点到角两边的距离相等

③同角的余角相等

3、公理、定理、推论

人们在长期实践中检验所得的真命题，并作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做公理．如“过两点有且只有一条直线”；“两点之间，线段最短”等等．有些命题的正确性是通过推理证实的，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的真命题叫定理．由公理、定理直接得出的真命题叫做推论．如三角形内角和定理三角形的内角和等于180°．

推论1 直角三角形的两锐角互余．

推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

4、证明真命题的方法

根据题设、定义、公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫证明.证明一个真命题一般按以下步骤进行：

（1）审题，分清命题的条件与结论.（2）画图，依题意画出图形，画图时应做到图形正确且具有一般性，切忌将图形特殊化.（3）写“已知”“求证”，按照图形，分析、探求解题思路，然后写出证明过程，证明的每一步都要做到叙述清楚，而且要有理有据.5、证明假命题的方法

证明一个命题是假命题，只需举一个“反例”即可，也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子.用反证证明下列命题是假命题

有一条边、两个角相等的两个三角形全等

任何三条线段都能组成三角形

6、重难点及归纳

①命题的理解：本节的一个难点是找出一个命题的题设和结论，它是后面证明中，书写已知求证的基础，对那些条件结论不明显的命题．应在学习中多练，必要时结合图形来区分．例如命题“如果两条直线和

第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，其中“两条直线和第三条直线平行”是条件，“这两条直线也平行”是结论．再如命题，“对顶角相等”，它的条件和结论不明显，应将它改成“如果两个角为对顶角，那么这两个角相等”，再指出条件和结论．

②定义、命题、公理和定理之间的联系与区别

这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．

③证明真命题的方法和步骤，难点是分析证明思路，有条理地写出推理过程．

④三角形内角和定理的三个推论常用来求角的大小和进行角的比较．

7、证明的思路： ①从已知出发，推出可能的结果，并与要证明的结论比较，直至推出最后的结果。②从

要证明的结论出发，探索要使结论成立，需要什么条件，并与已知条件对照，直到找到所需要的并且是已知的条件。

探索证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60度

9、用反证法（证明的思路如何，苦李子的故事）

用反证法证明命题，一般有三个步骤：

反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）

归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾，或者与假设所推出的任何一个已知相矛盾）结论从而得出命题结论正确。

例如用反证法证明：

在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60度

例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行

已知：如图∠1＝∠2A1B

求证：AB∥CD

证明：设AB与CD不平行C2D

那么它们必相交，设交点为MD

这时，∠1是△GHM的外角A

1∴∠1＞∠2G这与已知条件相矛盾

2∴AB与CD不平行的假设不能成立H

∴AB∥CDC

例2.求证两条直线相交只有一个交点

证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。

（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。

例3.已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数

例4.求证：2不是有理数

《平行四边形》

1、四边形的定义

2、定理：四边形的内角和等于360度

推论：四边形的外角和等于360度

N边形的内角和外角和（为什么）

正五边形能镶嵌平面吗（为什么）

单独和镶嵌平面的正多边形有哪几种？为什么只有这几种？

（2011浙江省，8，3分）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M,N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）（如何作辅助线，培养感觉）

A.100°B．110°C.120°D.130°

3、平行四边形的定义性质

定理：平行四边形的对角相等

定理1：平行四边形的两组对边分别相等。

推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等。

推论1：夹在两条平行线间的垂线段相等。

定理2：平行四边形的对角线互相平分。

4、中心对称图形定义对称中心

性质：对称中心平分两个对称点的线段。（在平面直角坐标系中，点（x，y）关于原点对称的点的坐标是多少？为什么？）

5、平行四边形的判定

①定义②定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

6、三角形的中位线定理（如何证明？）

7、逆命题与逆定理

两个命题，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。每个命题都有逆命题。每个定理都有逆命题。如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。

因此，每个命题有逆命题；每个定理有逆命题，但不一定有逆定理。

1.（2011浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是

.3.（2011四川成都，20,10分）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.5CD

1(1)若BK=2KC，求AB的值；(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=2AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=nAD(n2)，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

6、如图，已知△ABC中，ABC45，F是高AD和BE的交点，CD4，则线段DF的长度为（）.A

．B． 4C

．D

．