平行线的证明单元测试题（精选19篇）
平行线的证明单元测试题 第1篇
平行线单元测试卷
班级
一、选择题（每题4分，共40分）
1.下列各语句中命题有（）
（1）你吃过午饭了吗？（2）同位角相等；（4）红扑扑的脸蛋；（3）若两直线被第三直线所截，同位角相等，则内错角一定相等.A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列图形中，已知∠1=∠2，则可得到AB∥CD的是（）
C
FA
DA
B
A
1E
B
A
1C
2B
D
D
C
C
DB
A1
2D
CB
F
3.如图所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()
A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD4.如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于()
A.63°
A
B.62°C.55°
D
D.118
3B
C
°
D
A
第3题第4题第5题
5.如图所示，AB∥CD，AD∥BC，则下列各式中正确的是（）A.∠1+∠2＞∠3B.∠1+∠2=∠3C.∠1+∠2＜∠3D.∠1+∠2与∠3无关
6.等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为()A.7B.22C.13D.17或22
7.在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的 2倍，则这个三角形中最小的角是（）
A.15°B.30°C.60°D.90°
8.已知△ABC的三个内角，∠A、∠B、∠C满足关系式：∠B+∠C=2∠A，则此三
角形（）
A.一定有一个内角是45°； B一定有一个内角是60°； C.一定是直角三角形；D.一定是钝角三角形。
9.（2013•安徽中考）如图，AB∥CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（）
A．60°B．65°C．75°D．80° 10.学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画 这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张透明的纸 得到的，如图：
从图中可知，小敏化平行线的依据有①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。（）A.①②B.②③C.③④D.①④
二、填空题（每题4分，共32分）
第17题
C17、在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I, 若 ∠A=60°，则∠
18.把一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果∠1=55°，那么∠2等于。
三、解答题
19、如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B=50°，∠EDA=60°，求∠CDO.20、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?•为什么?
de
abc21、已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.22.（6分）如图，已知AB∥CD，∠A =1000，CB平分∠ACD，求∠ACD、∠ABC的度数。
23.如图18，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？
24.如图19，AB∥CD，HP平分∠DHF，若∠AGH=80°，求∠DHP的度数.25.已知：如图22，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°，求证：DA⊥AB.
平行线的证明单元测试题 第2篇
（考试时间120分钟试卷满分100分）
姓名：班级：得分：
一、精心选择（30）
1.下列图形中，由A，能得到的是（）B∥CD1
2A A B B1 2 2C C D DA． B C． D．
2.如图，直线L1∥L2 ,则∠α为（0 000A.150 B.140C.130D.120
3.下列命题： ①不相交的两条直线平行；
②梯形的两底互相平行； ③同垂直于一条直线的两直线平行；
④同旁内角相等，两直线平行.（第2题图）其中真命题有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.下列命题：
①两个连续整数的乘积是偶数；②带有负号的数是负数；
③乘积是1的两个数互为倒数；④绝对值相等的两个数互为相反数.其中假命题有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个 A
5.如图，AB∥CD，那么∠BAE+∠AEC+∠ECD =（）
E A.1800B.2700C.3600D.5400
6.下列说法中，正确的是（）
A．经过证明为正确的真命题叫公理
B．假命题不是命题 C 1D
C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备
命题结论的命题即可
D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可.7.下列选项中，真命题是（）.A．a＞b，a＞c，则b=c
B．相等的角为对顶角
C．过直线l外一点，有且只有一条直线与直线l平行
D．三角形中至少有一个钝角
8．下列命题中，是假命题的是（）
A．互补的两个角不能都是锐角B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．乘积为1的两个数互为倒数D．全等三角形的对应角相等，对应边相等.9．下列命题中，真命题是（）
A．任何数的绝对值都是正数B．任何数的零次幂都等于
1C．互为倒数的两个数的和为零 D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大 10.如图所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()
A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD
A
D
二、细心填空（15）
11.观察如图所示的三棱柱.（1）用符号表示下列线段的位置关系：
ACCC1 ,BCB1C1 ；C
B1A
1AB
E
B D B F（第13题图）（第12题图）
（第11题图）
12.如图三角形ABC中，∠C = 900，AC=2
3,BC=32,把AC、BC、AB的大小关系用“>”号连接：.13.如图，直线AB、CD相交于点E ,DF∥AB，若∠AEC=1000，则∠D的度数等于.D
（第14题图）
14.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠15.图中有对对顶角.三.用心解答（55）
16.如图，AB∥CD,AD∥BC,∠A﹦∠B.求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.D
C
17.如图，AB∥CD,直线EF交AB、CD于点G、H.如果GM平分∠BGF,HN平分∠CHE，那么，GM与HN平行吗？为什么？
EA B
CH
00
18.如图，AB∥CD，∠BAE=30,∠ECD=60,那么∠AEC
度数为多少？
F
A
E
D C
19.如图，B处在A处的南偏西450方向，C处在B处的北偏东80
0方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD∥AB，D处应在C处的什么方向？（12分）
20、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180?（13分）D
de
abc
参 考 答 案
一、1.B2.D3.B4.B5.C6.C7.C8.B9.D10.D
二、11.（1）⊥
12.AB >BC >AC13.80014.115015.9
三、16.1350,450,1350,450
提示：可以用方程.设∠B=x0 ,根据AD∥BC，得x+3x=180（两直线平行，同旁内角互补）,解得x=45.以下略.11
17.GM∥HN.理由：因为GM平分∠BGF,HN平分∠CHE，所以∠MGF= ∠BGF，∠NHE=
∠CHE,又因为AB∥CD，所以∠BGF=∠CHE（两直线平行，内错角相等），所以∠MGF=∠NHE.所以GM∥HN（内错角相等，两直线平行）.18.如图，过E作EF∥AB，0
则∠1=∠A=30（„„）；
因为AB∥CD，所以EF∥CD（如果两条直线 都与第三条直线平行，那么这
两道有关平行线的证明经典题例 第3篇
这个几何事实常常被忽视, 其实大有用处, 有时运用起来妙不可言.下面例举两道经典题供大家欣赏.
例1如图2, 在五边形A1A2A3A4A5中, B1是A1对边A3A4的中点, 连接A1B1, 我们称A1B1是这个五边形的一条中对线.如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分.
求证:五边形的每条边都有一条对角线和它平行.
证明:如图3, 取A1A5中点B3, 连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5.
因为A3B1=B1A4,
所以S△A1A2A3=S△A1B1A4.
又因为四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4B5的面积相等,
所以S△A1A2A3=S△A1A4A5.
同理S△A1A2A3=S△A3A4A5,
所以S△A1A4A5=S△A3A4A5.
所以△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等,
所以A1A3∥A4A5.
同理可证A1A2∥A3A5, A2A3∥A1A4, A3A4∥A2A5, A5A1∥A2A4.
例2如图4, △ABC的面积是10, 点D、E、F (与A、B、C不同的点) 分别位于AB、BC、CA各边上, 而且AD=2, DB=3.如果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等, 求这个相等的面积值.
《不等式、推理与证明》单元测试 第4篇
17.（本题满分14分）
某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-km+1（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2015年生产该产品的固定投入为8万元.每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将2015年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2015年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
18.（本题满分16分）
设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有f（a）+f（b）a+b>0.
（1）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式：f（x-12） （3）证明：若-1≤c≤2，则函数g（x）=f（x-c）和h（x）=f（x-c2）存在公共定义域，并求出这个公共定义域. 19.（本题满分16分） 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）的图像与x轴有两个不同的交点，若f（c）=0，且0 （1）证明：1a是f（x）=0的一个根； （2）试比较1a与c的大小； （3）证明：-2 20.（本题满分16分） 已知函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减. ∴原不等式成立. （本小题也可用数学归纳法证明） （作者：朱振华，江苏省海门中学） 一、填空题（每空3分，共 42分） 1、“两直线平行，同位角互补”是命题（填真、假） 2、把命题“对顶角相等”改写成“如果„那么„”的形式 3、如图所示，∠1+ ∠2=180°，若∠3=50°，则∠X Kb1.C om4、如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°,则∠∠ 5、在△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，则∠ 6、在△ABC中，∠B—∠C=40°，则∠ 7、在三角形中，最多有个锐角，最多有个钝角（或直角） 8、△ABC的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为 9、在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I, 若∠A=60°，则∠ 10、已知如图，平行四边形ABCD中，E为AB上一点，DE与AC交于点F，AF∶FC=3∶7，则AE∶ 二、选择题（每小题3分，共18分） 11、下列命题是真命题的是（）A、同旁内角互补B、直角三角形的两锐角互余C、三角形的一个外角等于它的两个内角之和 D、三角形的一个外角大于内角 12、下列语句为命题的是（）A、你吃过午饭了吗？B、过点A作直线MNC、同角的余角相等D、红扑扑的脸蛋 13、命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（） A、垂直B、两条直线C、同一条直线D、两条直线垂直于同一条直线 14、已知△ABC的三个内角度数比为2∶3∶4，则个三角形是（）Xk B 1.co m A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形 15、如图，一个任意的五角星，它的五个内角的度数和为（） A、90°B、180°C、360°D、120° 16、如图，AB∥EF，∠C=90°，则α、β、γ的关系为 （） A、β=α+γB、α+β+γ=180°C、β+γ-α=90° D、α+β-γ=90° 三、完型填空（每空2分，共8分） 17、已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线。 求证：∠A= 2∠H 证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠ABC+∠A （） ∠2是△BCD的一个外角，∠2=∠1+∠H() ∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线 ∴∠1= 11∠ABC，∠2= ∠ACD（）2 2∴∠A =∠ACD-∠ABC= 2（∠2∠1（等式的性质） ∴∠A= 2∠H（） 四、解答题（每题8分，共 32分） 18、已知如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE。求证：∠1> ∠ 219、求证：两条直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直。（提示：先画图，写出已知，求证，然后进行证明） 19、已知如图，O是四边形ABCD的两条对角线的交点，过点O作OE∥CD，交AD于E，作OF∥ BC，交AB于F，连接EF。 求证：EF∥BD20、已知如图，AB∥DE。（1）、猜测∠A、∠ACD、∠D有什么关系，并证明你的结论。 1、(2013•广安）如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4=． 2、（2013•遂宁）如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边 上．如果∠1=18°，那么∠2的度数是． 3、（2013宜宾）如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2=． 则∠2的度数是（） 第6题图 6、（2013•漳州）如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1＝20°，那么∠2的度数是 A．30° B.25° C.20° D.15° 7、（2013•南通）如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折 纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D、C两点分别落在D ′、C ′的位 置，并利用量角器量得∠EFB＝65°，则∠AED ′等于度． 8、（2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“ 距离坐标”，根 9、（2013•北京）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于 A.40°B.50° C.70°D.80° 10、（2013山东莱芜，6，3分）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（） 第11题图 A.10° B.20°C.25° D.30° 11、（2013• 枣庄）如图，AB//CD，∠CDE=140，则∠A的度数为 A.140B.60C.50D.40 12、（2013•江西）如图△ABC中，∠ A =90 °点D在AC 边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为． 测试：1．如图，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分 ∠BEF，若∠1=72º，则∠2=； 2．在△ABC中，∠BAC＝90º，AD⊥BC于D，则∠B与∠DAC的大小关系是________ 3．写出“同位角相等，两直线平行”的题设为，结论为____．4．如图，已知AB∥CD，BC∥DE，那么∠B +∠D =__________.AEBB E 12CFD GD B 第1题 第4题 第5题 第67题 5．如图，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝_______ 6．如图，写出两个能推出直线AB∥CD的条件________________________..命题“任意两个直角都相等”的条件是________，结论是___________，它是________（真或假）命题.7．下列语句是命题的是【】(A)延长线段AB(B)你吃过午饭了吗？(C)直角都相等(D)连接A，B两点 8．如图，已知∠1＋∠2＝180º，∠3＝75º，那么∠4的度数是【】 (A)75º(B)45º(C)105º (D)135º 9．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形 是【】(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不能确定 10．如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB, 则∠DEC等于【】 （A）63°(B)118° D(C)55°（D）62° 11．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是【】（A）锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形（D）无法确定 12．如图，AD=CD，AC平分∠DAB，求证DC∥AB.13．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A=55°，求∠BDC的度数． C 14．如图，已知BE、CE分别是△ABC的内角、外角的平分线，∠A=40°，求∠E的度数． 15．已知：如图，D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求： （1）∠BDC的度数；（2）∠BFD的度数． ［例1］若∠1=52°，如图2－18，问应使∠C为多少度时，能使直线AB∥CD？ ［例2］如图2－19，若∠1= ∠4，∠1+∠2=180°，则AB、CD、EF的位置关系如何？ 1.如图2－20，∠1=45°，∠ 2=135°，则l1∥l2吗？为什么？ 2.如图2－21，∠1=120°，∠2=60 °，问直线a与b的关系？ 3.在三角形ABC中，∠B=90°,D在AC边上，DF⊥BC于F，DE⊥AB于E，则线段AB与DF平行吗？BC与DE平行吗？为什么？ 2.如图1，三条直线交于同一点，则∠1+∠2+∠3=_____.19.已知直线a、b、c两两相交，∠1=2∠3，∠2=40°,求∠4.20.如图16，EF交AD于O，AB 交AD于A，CD交AD于D，∠1=∠2，∠3=∠4，试判AB和CD的位置关系，并说明为什么.*21.如图17，∠ABD= 90 °,∠BDC=90°,∠1+∠2=180°,CD与EF平行吗？为什么？ 1.如图1，若∠1=∠2，则_________ ∥_________（） 图1 若∠3=∠4，则_________∥_________ （） ∴DB∥EF（）若∠5=∠B，则_________∥_________∴∠1＝∠2（）（） 若∠D+∠DAB=180°，则_________1．已知：如图 2-83，AD∥BC，∠D∥_________（） ＝100°，AC平分∠BCD，2.如图2，∠1+∠2=180°（已知）求∠DAC的度数． ∠3+∠ 2．已知：如图2-84，∠ AEH＝130°，2=180 °∠EFD＝50°，∠SMB＝120°． （） 求∠DNG的度数． ∴∠1=_________ ∴AB∥CD（）（６）如图１－３： ①∵∠1=∠2，∴_____∥_____,理由是________________.②∵AB∥DC,∴∠3=∠_______,理由是3．已知：如图 2-85，CD∥AB，OE_________________.平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，③∵AD∥______,∴∠5=∠ADC,理由是求∠BOF度数． __________________.4．已知：如图2-86，AB//CD，∠1= ∠A，∠2=∠C，B、E、D在一条直线上． 三 解答题: 如右图,AB //CD ,AD // BE ，求∠AEC的度数． 试说明 ∠ABE=∠D.∵ AB∥CD(已知) ∴ ∠ABE=___________(两直线平行,内错 角相等)1．已知；如图 2-87，DF//AC，∠C∵ AD∥BE(已知)＝∠D，∴ ∠D=_________ 求证：∠AMB=∠ENF()∴∠ABE=∠D(等量代换) 1．已知：如图，DE∥GF，BC∥DE，EF∥DC，DC∥AB（图2-81） 求证：∠B＝∠F． 2．已知：如图2-88，E、A、F在一条直线上，且EF//BC，求证：∠B+∠C+∠BAC=180° 证明：∵DE∥GF（）∴∠F＋∠E＝180°（）∵EF∥DC（） ∴∠E＋∠D＝180°（）∴∠F＝∠D（）3．已知：如图2-89，DC//AB，∠又 ∵BC∥DE，（） ABD+∠A＝90°． ∴∠D＋∠C＝180°（）求证：AD⊥DB ∵DC∥AB（） ∴∠B＋∠C＝180°（）∴∠B＝∠D（）∴∠F＝∠B（） 2．已知：如图2-82，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，求证：∠1＝∠2 在之前的学习中,我们曾运用同位角证明一个十分典型的对边平行的图形———等 腰梯形 . 受这个图形的启发,我制作了平行线校对器. 之所以采用圆形框架,主要是通过圆形的对称性, 可以选择在原线段的上面或者下面作平行线,其次,通过调节半径长短及线段与圆的交点的位置可以控制平行线间的距离. 通过制作这个校对器,我发现学习数学,不仅要能够将所学知识与实际生活相结合,更需要考虑实用性以及它的可操作性,将自己的知识与实践结合,进行创造,这样才是真正的学以致用. 1． 下列命题中，正确的是（）． A． 有公共顶点的两个角是对顶角 B． 有公共顶点且又相等的角是对顶角 C． 两条直线相交所成的角是对顶角 D． 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角 2． 下列说法正确是（）． A． 和为180°的两个角叫做邻补角 B． 直线是平角 C． 不相交的两条直线叫做平行线 D． 互补的两个角若相等，则此两角都是直角 3． 如图1，如果∠1＝∠2，那么（）． A． AB∥CD（内错角相等，两直线平行） B． AD∥BC（内错角相等，两直线平行） C． AB∥CD（两直线平行，内错角相等） D． AD∥BC（两直线平行，内错角相等） 4． 如图2，下列条件不能判断直线l1∥l2的是（）． A． ∠1 ＝ ∠3B． ∠2 ＝ ∠3 C． ∠4 ＝ ∠5D． ∠2 ＋ ∠4 ＝ 180° 5． 如图3，直线a、b被直线c所截，如果a∥b，那么（）． A． ∠1 ＞ ∠2 B． ∠1 ＝ ∠2 C． ∠1 ＜ ∠2D． ∠1 ＋ ∠2 ＝ 180° 6． 如图4，Rt△ABC中，∠ACB ＝ 90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE ＝ 35°，则∠A的度数为（）． A． 35°B． 45°C． 55°D． 65° 7． 如图5，直线AB∥CD，EF⊥CD于F，如果∠GEF ＝ 20°，那么∠1的度数是（）． A． 20° B． 70°C． 80°D． 160° 8． 如图6，已知，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有（）． A． 5个B． 4个C． 3个D． 2个 二、填空题 9． 如果∠A ＝ 35°18′，那么∠A的余角等于[ ]． 10． 如图7，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE ＝ 60°，则∠AOC的度数是[ ]． 11． 如图8，已知直线a∥b，∠1 ＝ 35°，则∠2的度数是[ ]． 12． 如图9，已知a∥b，∠1 ＝ 70°，则∠2 ＝ [ ]． 13． 如图10，添加一条件可使a∥b，你添加的条件是[ ]． 14． 如图11，已知AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，∠MFD＝50°，EG平分∠MEB，那么∠MEG的大小是[ ]． 15． 如图12，AB∥CD，∠A ＝ 48°，∠C ＝ ∠E， 则∠C的度数为[ ]． 三、解答题 16． 一个角的补角比它的余角的3倍多16°，求这个角的度数． 17． 如图13，已知∠1 ＝ 60°，∠2 ＝ 120°，那么直线a与b平行吗？为什么？ 18．如图14，已知AB∥DE，求证：∠B ＋ ∠D ＝ ∠BCD． 19． 如图15，已知∠1 ＝ ∠2，∠3 ＝ ∠4，求证AC∥DF，BC∥EF． 20． 如图16，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，动手操作，解决下列问题： （1）过点E画EF∥BC，交CD于F． （2）度量AD、BC、EF的长度，发现EF与AD、BC有何数量关系？ （3）EF与AD平行吗？请说明理由． 一、选择题（每题3分，共24分） 1、①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有一组对边平行且相等④对角线相等。以上四个条件中可以判定四边形是平行四边形的有（）。 （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 2011乌鲁木齐 20如图，在ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G。 （1）求证：四边形DEBF是菱形； （2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。 C 2012南京中考（8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 （1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。 （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折 叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE=AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 2 2A E D B 特殊的平行四边形 2010河南中考 （9分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x． （1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形； （2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；； （3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由． AD 1、在同一个平面里，两条直线相交，有个交点，形成（）个角。 2、两条直线相交成直角时，这两条直线（），其中一条直线叫做另一条直线的（），交点又叫（）。 3、过直线外一点，可以画（）条直线与已知直线垂直，可以画（）条直线与已知直线平行。 4、在同一平面内不相交的两条直线叫做（），组成平行线的两条直线（）。 5、平行四边形的两组对边（），长方形相邻的两条边（）。 6、两条直线相交所成的角中，只要有一个角是90°，其余3个角都是（）角。 7、两条直线相交成4个角，其中一个角是50°，其余三个角的度数分别是（）、（）、（）。 8、一个正方形中有（）组互相垂直的线段；一个平行四边形中有（）组平行线。 9、过直线外一点，可以画（）条线段与已知直线相交，其中（）距离最短。 二、判断。 1、小明的生日是2月30日。（） 2、可以画无数条直线与已知直线平行。（） 3、直角三角形中有一组垂线。（） 4、与已知直线垂直的线有无数条，且任意两条都互相平行。（） 5、用一副三角板可以画已知直线的垂线和平行线。（） 6、明天可能要下雨。（） 7、太阳不可能从西方升起。（） 三、按要求作图。 1、过直线外一点画已知直线的垂线。 2、过直线上一点画这条直线的`垂线。 3、过直线外一点画已知直线的平行线。 4、过直线外一点，分别画出已知直线的垂线和平行线。 这里以人教版一年级下册“找规律”为例, 见下图: 这里的一个“应”字, 就是不妥当的。它意味着找的规律只有一种 (两个一组间隔出现) , 第一排的第10面旗只能是黄色, 即“红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红, 黄”。 小学数学界一向认为, 此题的答案非“黄”不可, 必须让学生无条件地接受“两两间隔”这一规律。这妥当吗? 事实上, 我们可以找到许多其他的规律, 使得第10面旗是“红”。 例1: (9个一组, 周期重复) 于是第9、第10;第18、第19, 连续两面都是红旗, 即: 红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红;红, …… 例2: (10个一组, 最后两面都是红旗) 第9、10、11连续地出现三面红旗, 即: 红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红, 红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红、红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红, 红;红…… 你能说这不是规律吗? 实际上, 找规律问题是一个开放性问题。任何一个有限序列, 都可以生成无限的多种的规律。认为只有一个规律, 推断出“必须是什么”和“应该是什么”, 把开放题封闭成一个唯一答案的题目, 在数学上是不对的。 有人说, 小学生只能找最简单的一种, 多种规律是以后的事情。这可以理解。但问题在于, 小学数学的大量课件、教师用书都没有指出这是一个开放性问题。有些文章在讨论, 重复几次才算“规律”, 更是误导。 怎么办?只要改一个字:把“后面一个应是什么”改成“后面一个会是什么”就可以了。“应”和“会”一字之差, 意义完全不同。苏步青先生在指导中小学教材编写时, 提出“混而不错”的原则。用在找规律的时候是, 如果问“会是什么”, 其答案可以有许多种, 其意义比“应是什么”宽泛许多。至于将来在几年级将它当做一个开放性问题来处理, 可以讨论, 但是必须有这样一步才好。 让我们回到“三角形内角和为180度”的问题上。马建平和戎松魁两位老师的争论点, 在于矩形可否定义为“四个角都是直角的四边形”。马老师认为可以, 于是就认为由此可以证明三角形内角和定理, 而无需平行公理。戎老师认为不可以, 必须用平行四边形定义矩形, 由此说明三角形内角和定理不能绕开平行公理。 笔者认为, 两位老师都有对的部分, 也有不对的部分。马老师觉得矩形可以定义为“有四个直角的四边形”, 这是对的。但是, 以为由此定义出发, 可以避开平行公理来证明三角形内角和为180度, 则是错的。戎老师坚持三角形内角和定理, 必须使用平行公理, 这是对的。但是, 说矩形不能定义为“有四个直角的四边形”, 则是不对的。 实际上, 将矩形定义为“四个角都是直角的四边形”, 完全可以。属和种差式的逻辑定义方法, 并没有规定所从属的“属”必须是其外延最相近的。打个比方, 要定义“杭州人”, 可以说成“居住在杭州的中国人”, 没有错。也就是说, 并非一定要把“杭州人”定义为“居住在杭州的浙江人”, 因为二者是等价的。对于矩形的“四直角”定义, 一旦服从平行公理, 就和“有一个角是直角的平行四边形”定义等价 (如果没有平行公理, 那么两者是不等价的) 。 然而, 如同马建平老师和许多其他文章所说的那样, 可以从“四个角都是直角的四边形”出发, 绕开平行公理就能够直接推出“三角形内角和为180度”, 则是不可能的。理由如下。 依照四个角都是直角的矩形定义, 自然得出矩形的内角和是360度, 这毫无问题。矩形的对角线把矩形分为两个一样的直角三角形, 只要运用平移旋转的刚体运动也可以做到。小学生也知道一点平移、旋转、对称的知识, 可以直观地接受, 严密地逻辑证明需要引用合同公理得出两个三角形三边相等则全等的结论, 逻辑上引用就是了。于是, 得到了如下的结论:“矩形对角线分成的两个直角三角形, 每一个的内角和都是180度。”逻辑的正确性到此为止。问题在于, “任意的直角三角形, 是不是都能成为某一个矩形用对角线分成的直角三角形?”这需要证明, 不能想当然。马老师及许许多多作者都振振有词地把两者混为一谈, 犯了逻辑上的错误。 换句话说, 马老师等作者的所谓证明, 必须从任意的“直角三角形”出发, 作出一个矩形, 使其成为该矩形的一半。但是没有平行公理, 这是作不出来的。那个貌似正确的三角形内角和证明, 这一关过不去, 整个证明的逻辑链条就断裂了。 马建平老师可能会说, 从已知的直角三角形出发, 作一个和自身一样的直角三角形, 两者拼起来就是一个矩形。这是一厢情愿。这样拼起来的四边形只有两个直角;无法证明它有四个直角, 除非引进平行公理。 这就是说, 想从“矩形有四个直角”作为矩形的定义出发, 避开平行公理来证明三角形内角和为180度的企图, 是决然不可能实现的。 一、由线线平行证明线面平行 证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决. 二、由面面平行证明线面平行 在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的. 点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行. 三、法向量法 由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解. 所以PQ∥平面BMN. 点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN. （责任编辑钟伟芳）endprint 平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律. 一、由线线平行证明线面平行 证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决. 二、由面面平行证明线面平行 在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的. 点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行. 三、法向量法 由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解. 所以PQ∥平面BMN. 点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN. （责任编辑钟伟芳）endprint 平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律. 一、由线线平行证明线面平行 证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决. 二、由面面平行证明线面平行 在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的. 点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行. 三、法向量法 由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解. 所以PQ∥平面BMN. 点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN. 第一章证明 （二）单元测试题 一、选择题：（每小题3分，共21分） 1、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形 2．若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50 B．80 C．50或80 D．65或50 3．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（） A．315°B．270°C．180°D．135° 第3题 A D B C 第4题 4．如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（）A．50°B．20°C．25°D． 40° 5.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠AOB∠AOB的依据是（） Ａ．S．S．S． Ｂ．S．A．S． Ｃ．A．S．A．Ｄ．A．A．S． A 6.如图，在等边△ABC中，AC9，点O在上，且，点是上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）A ． 4A B． 5C．6D．8 P C E D P 第6题 B 第7题 7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；⑤ ∠AOB=60°．恒成立的有（）A．①②③ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①③④ 二、填空题（每小题3分，共27分） 8.命题“如果三角形的一个内角是钝角，则其余两个内角一定是锐角”的逆命题是.9、图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有 B (第10题图) D C 第9题 10．如图，已知AE＝CF，∠A＝∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件______________________（只需写一个）． 11.11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.12.如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且ADCE，则 BCDCBE B 第12题 A B C D a 第13题 第14题 13如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_________cm.14.如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A，B，C，D的面积之和是． Rt△ABF中，AFB90，AF3，15、如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．AB5．四边形EFGH的面积是 B 第15题 第16题 Ｃ 16.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的π （结果保留根号） 侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是 三、解答题（共72分） 17.（8分））如图，在Rt△ABC中，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC． 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想． 18、（本题10分）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”； 彬彬：“作△ABC的角平分线AD”． 数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程． （第18题图）已知：如图，在△ABC 中，BC． 求证：ABAC． 19.（本题10分）把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F． 探索AF与BE的位置关系，并说明理由。 20、（本题10分）有一个角为30°且腰长为2的等腰三角形，你能求出腰上的高吗？ 21.（本题10分）如图a，ABCD是一张正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上（如图b），折痕交AE于G． E C 19题 A 图a G 图b 图c （1）求∠ADG的度数。 （2）活动探究：你能利用图b折出一个等边三角形吗？你能证明你的结论吗？ 22.（8分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若 23.(12分)如图，点O是等边△ABC内一点，AOB110，BOC．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60得△ADC，连接OD．（1）判断△COD的形状，并证明你的结论。 （2）当150时，试判断△AOD的形状，并说明理由； 2，求BE的长.D （3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？22.C 并按要求进行证明． 24.已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE．求证：ABCD.D B E 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰 三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．B 21．（2013山西，21，8分）（本题8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。 （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。 ①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。 D D E F （1） C B CF∥AB F（2） F E E EF=DE（3） D 《推理与证明》质量检测试题参赛试卷 陕棉十二厂中学（宏文中学）命题人：司琴霞 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至6页。考试结束后.只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 2．由>，，„若a>b>0且m>0，则与之间大小关 10811102521a＋ma系为() A．相等B．前者大 C．后者大D．不确定 3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。 (A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度； (C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。 5、用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)212(2n1)”（nN）时，从 “nk到nk1”时，左边应增添的式子是 n 京翰教育网 http:/// A．2k1 D． 2k2k 1（）B．2(2k1) C ． 2k1k1 成立 8、在十进制中20044100010101022103，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（） A.29B.254C.602D.20049、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○● ○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（） 6、某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立.现已知当n7时该命题不成立，那么可推得 7、已知n为正偶数，用数学归纳法证明1 121314 1n 12（1n 2 1n 4 12n)时，若已假 （） B．当n=6时该命题成立 D．当n=8时该命题成立 A．当n=6时该命题不成立 C．当n=8时该命题不成立 A．12B.13C.14D.1510、数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）A． 21 2（） n1n 设nk(k2为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 A．nk1时等式成立 C．n2k2时等式成立 n 1B． 212 n1 n C． n(n1)2 n D．1－ B．nk2时等式成立 D．n2(k2)时等式 二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 京翰教育网 http:/// 11、设等差数列{an}的前n项和为Sn ,则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为 T16 Tn，则T4，________，________成等比数列． T1212、设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则 f(4)=； 三、解答题（共6小题，满分80分） 15、（14分）观察以下各等式： sin30cos60sin30cos60sin20 cos50sin20cos50 34343 4，sin15cos 45sin15cos45 202000 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，17、当ｎ＞４时，表示）。 f(n)＝（用含n的数学表达式、从 1= 1，设 a，b，x，y∈R，且 31-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),„,推广到第n个等式为_________________________.18、（13分）已知正数a,b,c成等差数列，且公差d0，，不可能是等差数列。 111abc14、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边 AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系： AB AC BC 。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB20、（14分）已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2,两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 京翰教育网 http:/// a3,并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论。（14分） 京翰教育网 http:/// 数学选修2－2质量检测题参考答案及评分标准 2011.03.10 一、选择题： T8T1 21二、填空题：11、12、5;(n2)(n1) T4T8213、14916...(1) 14、n 1.n 2ABD (1) n1 .(123...n) S 2BCD S 2ABC S 2ACD 三、解答题： 22 15、猜想：sincos(30)sincos(30) 4………………4分 证明： sincos(30)sincos(30) 1cos2 2 1cos(602) sin(302)sin30 00 1 cos(602)cos2 2sin(302)sin30 [sin(302) ..] 1 [sin(302)]22 1 sin(302) sin(302) ………………………..14分 17、设a=cos,b=sin,x=cos,y=sin,„„„„„4分 则axbycoscossinsin=cos()1„„13分 京翰教育网 http:/// ∴2ac=b(c+a)=2b„„„„„5分∴ac=b„„„„„7分∴(b-d)(b+d)= b„„„„„9分∴b+bd-bd-d∴ d =b„„„„„10分 =0即 d=0这与已知d0矛盾„„„„„11分 2116 故 假设错误，原命题成立。„„„„„13分 19、（1）当n＝1时，左=1，右=1，左=右，当n＝2时，左=1+ +=，右=2，边 左<右,所以命题成立；„„„„„3分 （(1 k）)（k 当 k1 nk1)k 时，左 21221 1111k （k kk）k2kk1=右边，所以当2222 „„„7分 „„10分 2项 所以nk1时命题正确„„„„„12分 + 命题一般由条件和结论组成。通常可以写成如果…那么…的形式。如果引出的是条件那么引出的是结论。 正确的为真命题不正确的为假命题 要证明一个命题是假命题通常要举一个例子，使它具备问题得条件不具备问题得结论，我们称这样的例子为反例。 经过证明的真命题为定理 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。 （内错角相等，两直线平行） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么 两条直线平行。 （同位角相等，两直线平行） 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行。 （同旁内角互补，两直线平行） 平行线的性质：两直线平行同位角相等 两直线平行内错角相等 两直线平行同旁内角互补 平行线及其判定练习题 一、选择题: 1.如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是() A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD A D AE DA E C (1)(2)(3)2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么() A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF3.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是() A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE4.下列说法错误的是() A.同位角不一定相等B.内错角都相等 C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行 5.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互()A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交 二、填空题: 1.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是______.2.在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.CD3.如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是 三、训练平台:(每小题15分,共30分) 1.如图所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,试说明DC∥AB.A 2.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=•30°,试说明AB∥CD.E AC 四、提高训练: K H BD 如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?•为什么? de abc 五、探索发现: 如图所示,请写出能够得到直线AB∥CD的所有直接条件.24AC B 657D 六、中考题与竞赛题: (2000.江苏)如图所示,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:•①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为() A.①②B.①③C.①④D.③④ c 41a “两条直线平行的充要条件”是高考的重点之一, 教材中给出的结论是:当直线L1和L2有斜截式方程:L1:y=k1x+b1, L2:y=k2x+b2时, 两直线平行的充要条件是k1=k2且b1≠b2.显然, 在运用这个结论解决有关两条直线平行的问题时, 还需要讨论斜率不存在的情况.一般形式下两条直线平行的充要条件, 在运用时可以避免分类讨论, 可惜教材中没有给出.一些教辅资料给出了一般形式下两条直线平行的充要条件, 但是, 有些是错误的.常见的错误有:若两条直线的方程分别为L1:A1x+B1y+C1=0 (A1, B1不全为0) , L2:A2x+B2y+C2=0 (A2, B2不全为0) , 则L1//L2的充要条件是:其一, (错误的原因是忽视了A2x+B2y+C2=0中的三个系数不一定均不为0) ;其二, A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0 (错误的原因是排除了斜率不存在的情况) ;其三, A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0 (错误的原因是排除了斜率为0的情况) ;其四, A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0, B1C2-B2C1≠0 (错误的原因是排除了斜率不存在和斜率为0两种特殊情况) .以下给出一般形式下两条直线平行的充要条件及其证明. [定理]若两直线方程分别为L1:A1x+B1y+C1=0 (A1, B1不全为零) , L2:A2x+B2y+C2=0 (A2, B2不全为零) , 则L1//L2的充要条件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0 (B1C2-B2C1≠0) . [证明]1.充分性. (1) ∵A1C2-A2C1≠0且B1C2-B2C1≠0, ∴A1与A2、B1与B2均不同时为0, 又∵A1B2-A2B1=0, ∴A1、A2、B1、B2都不为0 (假若A1=0, 则A2、B1中至少有一个为0) .又∵, ∴k1=k2≠0.∵B1C2-B2C1≠0, ∴, 所以L1//L2.即 即L1//L2圯A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0 (B1C2-B2C1≠0) . 这里以人教版一年级下册“找规律”为例，见下图： 这里的一个“应”字，就是不妥当的。它意味着找的规律只有一种（两个一组间隔出现），第一排的第10面旗只能是黄色，即“红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红，黄”。 小学数学界一向认为，此题的答案非“黄”不可，必须让学生无条件地接受“两两间隔”这一规律。这妥当吗？ 事实上，我们可以找到许多其他的规律，使得第10面旗是“红”。 例1:（9个一组，周期重复）于是第9、第10；第18、第19，连续两面都是红旗，即: 红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红，…… 例2:（10个一组，最后两面都是红旗）第9、10、11连续地出现三面红旗，即: 红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红、红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红，红；红…… 你能说这不是规律吗？ 实际上，找规律问题是一个开放性问题。任何一个有限序列，都可以生成无限的多种的规律。认为只有一个规律，推断出“必须是什么”和“应该是什么”，把开放题封闭成一个唯一答案的题目，在数学上是不对的。 有人说，小学生只能找最简单的一种，多种规律是以后的事情。这可以理解。但问题在于，小学数学的大量课件、教师用书都没有指出这是一个开放性问题。有些文章在讨论，重复几次才算“规律”，更是误导。 怎么办？只要改一个字：把“后面一个应是什么”改成“后面一个会是什么”就可以了。“应”和“会”一字之差，意义完全不同。苏步青先生在指导中小学教材编写时，提出“混而不错”的原则。用在找规律的时候是，如果问“会是什么”，其答案可以有许多种，其意义比“应是什么”宽泛许多。至于将来在几年级将它当做一个开放性问题来处理，可以讨论，但是必须有这样一步才好。 让我们回到“三角形内角和为180度”的问题上。马建平和戎松魁两位老师的争论点，在于矩形可否定义为“四个角都是直角的四边形”。马老师认为可以，于是就认为由此可以证明三角形内角和定理，而无需平行公理。戎老师认为不可以，必须用平行四边形定义矩形，由此说明三角形内角和定理不能绕开平行公理。 笔者认为，两位老师都有对的部分，也有不对的部分。马老师觉得矩形可以定义为“有四个直角的四边形”，这是对的。但是，以为由此定义出发，可以避开平行公理来证明三角形内角和为180度，则是错的。戎老师坚持三角形内角和定理，必须使用平行公理，这是对的。但是，说矩形不能定义为“有四个直角的四边形”，则是不对的。 实际上，将矩形定义为“四个角都是直角的四边形”，完全可以。属和种差式的逻辑定义方法，并没有规定所从属的“属”必须是其外延最相近的。打个比方，要定义“杭州人”，可以说成“居住在杭州的中国人”，没有错。也就是说，并非一定要把“杭州人”定义为“居住在杭州的浙江人”，因为二者是等价的。对于矩形的“四直角”定义，一旦服从平行公理，就和“有一个角是直角的平行四边形”定义等价（如果没有平行公理，那么两者是不等价的）。 然而，如同马建平老师和许多其他文章所说的那样，可以从“四个角都是直角的四边形”出发，绕开平行公理就能够直接推出“三角形内角和为180度”，则是不可能的。理由如下。 依照四个角都是直角的矩形定义，自然得出矩形的内角和是360度，这毫无问题。矩形的对角线把矩形分为两个一样的直角三角形，只要运用平移旋转的刚体运动也可以做到。小学生也知道一点平移、旋转、对称的知识，可以直观地接受，严密地逻辑证明需要引用合同公理得出两个三角形三边相等则全等的结论，逻辑上引用就是了。于是，得到了如下的结论：“矩形对角线分成的两个直角三角形，每一个的内角和都是180度。”逻辑的正确性到此为止。问题在于，“任意的直角三角形，是不是都能成为某一个矩形用对角线分成的直角三角形？”这需要证明，不能想当然。马老师及许许多多作者都振振有词地把两者混为一谈，犯了逻辑上的错误。 换句话说，马老师等作者的所谓证明，必须从任意的“直角三角形”出发，作出一个矩形，使其成为该矩形的一半。但是没有平行公理，这是作不出来的。那个貌似正确的三角形内角和证明，这一关过不去，整个证明的逻辑链条就断裂了。 马建平老师可能会说，从已知的直角三角形出发，作一个和自身一样的直角三角形，两者拼起来就是一个矩形。这是一厢情愿。这样拼起来的四边形只有两个直角；无法证明它有四个直角，除非引进平行公理。 这就是说，想从“矩形有四个直角”作为矩形的定义出发，避开平行公理来证明三角形内角和为180度的企图，是决然不可能实现的。 马建平和戎松魁两位老师，还就此事提到“我的课堂我做主”的高度来议论。但是，由上可见，这种所谓“拔高了的教学目标”和“到初中才能学习的”内容，其实是一个错误的论证。 【平行线的证明单元测试题】相关文章： 关于平行线的证明题09-10 平行线的证明典型题10-07 平行线的证明教学反思03-14 平行线的证明练习题10-07 测试题平行线的性质08-24 平行线的性质测试题10-07 四年级数学上册第六单元相交与平行测试题08-19 平行线的判定基础测试03-14 初一数学下册《平行线的性质》测试题08-06 面面平行的证明方法10-02平行线的证明单元测试题 第5篇
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