数学《推理与证明(文科)

数学《推理与证明(文科)（精选14篇）

数学《推理与证明(文科) 第1篇

2008年高二文科数学期末复习教学案

高二文科数学期末复习---推理与证明

一.1.二.1.观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,„中x,y,z的值依次是()

(A)42,41,123;(B)13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,27,123.2.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性

质，你认为比较恰当的是（）

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A．①； B．①②； C．①②③； D．③。

3.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据

“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）

(A)正方形的对角线相等(B)平行四边形的对角线相等(C)正方形是平行四边形(D)其它

4.下列表述正确的是（）

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤

5.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）

(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

三.典型例题：

例1、在必修⑤里面我们曾经学习了基本不等式：当a0,b0时,有

且还知道此结论对三个正数、四个正数均成立，即 abab成立,并

2当a,b,c0时,有abcabcdabc成立当a,b,c,d0时,有abcd成立 3

4猜想，当a1,a2,,an0时，有怎样的不等式成立？

例

2、用适当方法证明：已知：a0,b0，求证：

例

3、求证：

(1)a2b23abab);(2)6+>22+5。

例

4、用反证法证明：2,3,5不能为同一等差数列的三项.例

5、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)求出a1, a2, a3的值；

(2)推测an的表达式并证明。

例

6、已知数列an的前n项和为Sn，且a11,Snn2an(nN)，（1）试计算S1,S2,S3,S4，并猜想Sn的表达式;

(2)证明你的猜想，并求出an的表达式。

例

7、已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.aba ba

巩固练习：

1、设a,b,c大于0，则3个数：a111，b，c的值()bca

A、都大于2B、至少有一个不大于2C、都小于2D、至少有一个不小于

22、已知f(x1)2f(x)（xN*）,f(1)1，猜想f(x）的表达式为()f(x)

24212A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x) 22x1x12x

13、下列推理正确的是()

(A)把a(bc)与 loga(xy)类比，则有：loga(xy)logaxlogay ．

(B)把a(bc)与 sin(xy)类比，则有：sin(xy)sinxsiny．

(C)把(ab)与(ab)类比，则有：(xy)xy．

(D)把(ab)c 与(xy)z 类比，则有：(xy)zx(yz)．

4、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是()

(A)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ．

(B)如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．

(C)如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．

(D)如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行． nnnnn

353,1 , ，„„归纳出通项公式an =____。28816、数列{an}中，a1，an13an0，则an的通项公式为。

25、由数列的前四项:

7、有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为_______________

8、在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为_______________

9、图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥

物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”，则012

3f(5)f(n)f(n1)（答案用数字或n的解析式表示）

10、设f(x)

122x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得

f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是________________

11、平面内的1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成4部分，3条相交直线但不

共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成____部分。

12、若数列{an}，(n∈N)是等差数列,则有数列bn=

列，类比上述性质，相应地：若数列{C

dn=____________(n∈N)也是等比数列。

13、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),„,推广到第n个等式为

_________________________.14、数列{an}的前n项和为Sn，已知a11,an1

证明：（Ⅰ）数列{

15、在数列{an}中，a11,16、观察（1）tan10tan20tan20tan60tan60tan101;

（2）tan5tan10tan10tan75tan75tan51 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论*a1a2an*(n∈N)也是等差数nnn}是等比数列,且C＞0(n∈N*),则有*n2Sn(n1,2,3).nSn是等比数列；（Ⅱ）Sn14an.nan12an2an(nN)，猜想这个数列的通项公式并证明。000000000000

数学《推理与证明(文科) 第2篇

高考文科试题解析分类汇编：推理和证明

1.【高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，1AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反3

射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）3

115123，233

11151222 2343……

照此规律，第五个不等式为.．．．

高中数学

【答案】1

1111111.22324252626

1，【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=111

2232n1

右边=

11111112n11，所以第五个不等式为122222．

234566n1



5.【高考湖南文16】对于nN，将n表示为nak2kak12k1a121a020,当ik时ai1，当0ik1时ai为0或1，定义bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知1a020,a01,b11；212100,1b21； 一次类推3121120,b30；4120,5122021120,b50；221060，b71,b81，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成{an}中的第______项；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k5k1

n(n1)，写出其若2

【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为an

干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故b1a4,b2a5,b3a9,b4a10,b5a14,b6a15.从而由上述规律可猜想：b2ka5k

5k(5k1)

（k为正整数），2

(5k1)(5k11)5k(5k1)

b2k1a5k1，22

故b2012a21006a51006a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想

需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.质，并且，因此，不妨设112，由的定义，(A从)c而k(1A)r(1A),k(A)k3k1(A)r1(A2)c(A )c(A)a(b(abcdef)(abf)abf3

因此k(A)1，由（2）知，存在满足性质P的数表A，使k(A)1，故k(A)的最大值为知，1。

8.【高考福建文20】20.（本小题满分13分）

初中数学几何推理与图形证明对策 第3篇

一、几何的重要推理过程

在解答几何图形习题时, 推理是关键的一步。合理推理的有效方式是借助对比和归类, 即在解题时找准点线的关系。分析图形中点线面之间的联系, 要大胆地猜想图形中可能存在的关联性, 哪些点之间可以连成线, 也可从一点或一线入手, 或在一面中做出线段, 使其分成多面, 以求证最后的关系。推理的过程需要仔细研究图形的不同特点, 并运用其特点进行推算。在平时的推理中, 我们应多看一些必要条件, 如平行、相等、相似等字眼, 也可以适当地运用“跳跃性”思维。跳跃性思维要求解题者在推理的时候不要用陈旧思维, 可以把看似没有关系的线段和面结合在一起, 这样往往会得到意想不到的结果。在运用跳跃性思维时也要注意各面和线的关系, 只有在同一空间下的线和面才可连接, 不可把两个或多个图形相连接。

二、巧用基本图形进行推理

(一) 掌握简单图形

初做立体几何题时, 学生会分不清几何与代数之间的差别, 有时也会用错方式和方法, 这时只要巧妙运用基本的几何图形, 就能很快找到解题方法。基本的图形在解题中比较常见, 通常会在题中出现证明相似、相等这样的字眼时用到。这就要求学生对基本图形有一定的了解, 在复杂的图形中找出基本图形。复杂图形都是基本图形组成的, 所以学生在做题时不用担心找不到解题方法, 只要把基本的图形从复杂图形中挑出来, 几何证明就会变得简单了。基本图形有很多种, 有的只要稍稍变化就可以成为另一种图形, 所以我们在运用基本图形时, 可以多变化几种形式, 如三角形可以有等腰三角形、等边三角形等, 这样学生在进行几何推理时就更加方便了。

(二) 图形简单化

由于几何推理是在图形中进行有规则的分析和解答。当图形比较复杂时, 我们可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来, 一步一步地进行解答, 这样有利于学生的进一步思考。对于分离图形, 我们可以根据已知条件来进行, 这样的分离方式不会遗漏任何条件, 并且能使学生对题目有更准确的分析和判断。图形分离的越简单, 对学生解题就越有利, 所以在分析图形时, 积极拆分图形是很有必要的。

三、明确题目中各要素

在几何推理命题中, 题目的各个给出条件都是很重要的, 通过这些, 我们可以知道哪些是已经知晓的, 可以直接用来解题, 哪些条件能够推出结论, 特别是在复杂的命题面前, 这些因素都要考虑。在解题中, 找到各种条件是很重要的, 把握条件和结论之间的逻辑关系也是解题的关键, 如从已知条件推出什么样的结论, 什么样的结论该由哪些条件推理得出, 包括怎样推出。读题是解答几何图形的关键步骤, 题中的一些关键字眼可以帮助我们完成几何推理的过程。因此, 掌握好各要素, 并加以分析, 在几何解题中有着不可或缺的意义。

四、正确利用辅助线推理

(一) 辅助线的重要作用

辅助线是几何推理中的重要的部分, 辅助线可以分解图形, 更有利于推理和分析。在分析如何绘制辅助线时, 我们要仔细观察图形的特点, 比如, 三角形的辅助线多以某一顶点开始;而立方体的辅助线多是在空间中体现的, 有时甚至是在不同面连接而成。

(二) 合理的推理过程

初中数学几何更倾向的是考查学生的推理思维能力, 单一的死记硬背不能应用于所有几何推理中, 只有找到几何推理的窍门并加以运用, 才能在每一种几何推理中取得成功。注重面与面之间的构成关系, 以及线与线之间的连接关系是推理的重要步骤。在做好辅助线后, 一定要标明各个线面的名称, 为后续的推理做铺垫。在几何推理中, 面面证明和线线证明是很重要的, 我们要理清每一个面之间的合理关系及线与线的相辅关系。

运用辅助线是推理和解答几何题的重要一步。好的辅助线能让学生轻松地解答几何图形题, 所以在几何解题中, 我们要保持清醒的头脑, 知道辅助线的运用及合适的位置, 以便顺利完成几何题的推理过程。

摘要：初中数学中的几何推理与图形证明有很多的技巧和规律, 本文从几何的重要推理过程、基本图形的利用、题目要素的分析与辅助线的应用四个方面入手, 分析了其在几何推理与图形证明过程中的作用, 以期为初中数学几何推理与图形证明提供良好的对策。

关键词：初中数学,几何推理,图形证明

参考文献

[1]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈.数理化解题研究:初中版, 2014 (10) .

[2]沈定祥.浅谈基本图形在初中数学几何教学中的作用[J].学科科学, 2014 (104) .

几何推理与数学证明的教学策略 第4篇

【关键词】几何推理    数学证明    教学    策略

1前言

有效教学指的是在教学活动中教师遵循一定的教育教学规律，采用各种方式和手段，以尽可能少的时间、精力、教学设施的投入，取得尽可能多的教学效果，实现特定的教学目标，满足社会和个人的教育价值需求而组织实施的活动。提高课堂教学效率是无数教育工作者的共同心愿和奋斗目标，时代要求我们构建一种新型的、高效率的课堂教学模式。教学有没有效益，并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真，而是指学生有没有学到什么或学得好不好。因此，教学策略显得尤为重要。

2教学策略及其特点、分类

教学策略是实施教学过程中的教学思想、方法模式、技术手段这三方面动因的简单集成，是教学思维对其三方面动因的进行思维策略加工而形成的方法模式。

教学策略具有指向性、整合性、可操作性、灵活性、调控性、层次性等特点。所谓指向性，指教学策略是为实际的教学服务的，是为了达到一定的教学目标和教学效果。目标是教学整个过程的出发点。教学策略的选择行为不是主观随意的，而是指向一定目标的。所谓整合性，指教学过程是一个彼此之间相互联系、相互作用的整体，各个教学环节连接紧密，各个教学因素的变化都会起到牵一发而动全身的作用。所谓可操作性，指所有的教学活动并不是一成不变的，一成不变的教学只会让学生感觉枯燥乏味，影响教学效果，因此，必须从学生的整体出发不断调整适合学生的、学生易于接受的教育教学策略。所谓灵活性，指教师在教学活动中具有很强的调控权利，能够从学生的整体利益和教育教学效果出发，适当调整自己的教育教学方法策略，灵活地运用多种教学策略。所谓调控性，是教师在教育教学工作中的调控能力。每一位教师都有自己的教育教学策略和教学风格，最好的教育教学策略是真正适合大部分学生的方式方法，所以，教师在选择教育教学策略时的调控力显得更为重要。层次性指教学具有不同的层次，加涅把教学分为课程级、科目级、单元级和要案级四种水平。

根据各种教学策略的不同特点，可以将其分为产生式教学策略、替代式教学策略、独立学习与小组学习策略和竞争与合作学习策略。

3几何推理与数学证明的教学策略研究

几何推理和数学证明具有抽象性，并且对于毕业生来说，该部分所占分数比例较重，但是掌握了相关的方法策略确实很容易得分，因此，教师必须设计较为良好的教学策略，使学生在短时间内更好地掌握。

3.1讲授法

讲授法是指教师通过口头语言，辅助以板书、挂图、投影等媒体向学生传递语言信息的方法，是一种教师讲、学生听的活动。讲授法的优点是能在短时间内让学生获得大量系统的科学知识;缺点则是学生比较被动，师生都难以及时获得反馈信息，个别差异也很难全面照顾。因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位，所以首先要采用讲授法教学生，并在讲授的基础上归纳出“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求。 例如定理：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。 “一划”就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分，如“直角三角形”“高线”“相似”。 “二画”就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。“三写”即能用符号语言表达，争取不丢分。

3.2演示法

演示法指借助实物、图片，或使用投影、电视、电影等手段，将要感知的过程或要学习的技能记录下来播放、演示，通过不同形式的直观化方式，增强学生的感性认识，或在已有理性认识的情况下，再通过感性材料深化理性认识的教学方法。借助现代教学媒体，如电影、电视、多媒体计算机等，可以化静态为动态，因而其逼真程度和直观程度更高。学生觉得几何抽象还因为几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤，因此必须采用演示的方法，使学生能够有一个全方位的理解。演示法的具体教学步骤：首先选择各种类型的证明题，根据方法利用进行分类，再将正确的、规范的解答步骤向学生演示，同时给予一道解题方法相似的题目加以巩固。

3.3训练和实践法

训练和实践法是让学生通过一系列设计好的实践活动来进行练习，运用所学知识解决同类任务，以增加技能的熟练程度或增加新能力的方法。使用这种方法的前提是假设学习者在练习之前已基本掌握了与某种训练有关的概念、原理和技能。现代多媒体技术、人工智能技术和虚拟现实技术可以为学习者创设逼真的学习和实践情境，使学习者在真实的情境中进行练习和实践。基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

4小结

教学策略是教学效果的重要影响因素，结合几何推理与数学证明问题的抽象性和考试相关要求提出的教学策略具有适应性、针对性、灵活性和快捷性。在教育教学工作中，结合学生实际情况，有针对性地创新教学策略，使学生易于接受、牢固记忆，不断促进教育教学工作更好发展。

【参考文献】

[1]和学新.教学策略的概念、结构及运用[J].教育研究.

[2]熊川武.反思性教学[M].上海：上海华师大出版社.

数学《推理与证明(文科) 第5篇

1.【2012高考全国文12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，1AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射

3角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）8（B）6（C）4（D）3

【答案】B

【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可.2.【2012高考上海文18】若Snsin

中，正数的个数是（）

A、16B、72C、86D、100

【答案】C

【解析】由题意可知，S13S14=S27S28=S41S42=…=S97S98=0，共14个，其余均为正数，故共有100-14=86个正数。

3.【2012高考江西文5】观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为

A.76B.80C.86D.92

【答案】B

【解析】个数为首项为4，公差为4的等差数列，所以an44(n1)4n，a2080，选

B.4.【2012高考陕西文12】观察下列不等式 7sin2n...sin（nN），则在S1,S2,...,S10077

113 222

1115，22333

11151222 2343

……

照此规律，第五个不等式为.．．．

【答案】1

【解析】通过观察易知第五个不等式为1

5.【2012高考湖南文11111112222.22345661111111.2232425262616】对于

0nN，将n表示为11nak2kak1k2a2a1k时ai1，,当i2当0ik1时ai为0或1，定义bn如下：在n的上述表示中，当a0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）观察知1a020,a01,b11；2121020,a11,a00,b21； 一次类推3121120,b30；4122021020,b41；

5122021120,b50；6122121020，b60，b71,b81，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.6.【2012高考湖北文17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3，6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；

（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）

5k5k1 【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）2

【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为ann(n1)，写出其若干2

项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故b1a4,b2a5,b3a9,b4a10,b5a14,b6a15.从而由上述规律可猜想：b2ka5k5k(5k1)（k为正整数），2

(5k1)(5k11)5k(5k1)b2k1a5k1，22

故b2012a21006a51006a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.7.【2102高考北京文20】（本小题共13分）

记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），Cj（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

对如下数表A，求k（A）的值

设数表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值。

【答案】

8.【2102高考福建文20】20.（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

【答案

数学《推理与证明(文科) 第6篇

14复数、推理与证明

一、选择题:

1.（2011年高考山东卷文科2)复数z=2i

2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为

（A）第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

2.（2011年高考海南卷文科2)复数5i

12i=()

A.2iB.12iC.2iD.1

2i

5．(2011年高考广东卷文科1)设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z=（）A．iB．iC．1D．

16.（2011年高考江西卷文科1)若(xi)iy2i,x,yR，则复数xyi=（）

A.2iB.2iC.12iD.12i.7.（2011年高考江西卷文科6)观察下列各式：则749,7343,72401，…，则7的末两位数字为（）A.01B.43C.07D.49

10．（2011年高考湖南卷文科2)若a,bR,i为虚数单位，且(ai)ibi，则 Ａ．a1,b1Ｂ．a1,b1Ｃ．a1,b1Ｄ．a1,b1 2342011-1-

13.（2011年高考辽宁卷文科2)i为虚数单位，

i

11i



1i



1i

7（）

（A）0（B）2i（C）-2i（D）4i

二、填空题:

14.(2011年高考江苏卷3)设复数i满足i(z1)32i（i是虚数单位），则z的实部是15.（2011年高考陕西卷文科13)观察下列等式

照此规律，第五个等式应为__________________.三、解答题:

17．（2011年高考四川卷文科22)（本小题满分14分）

已知函数f(x)

23x

12,h(x)

（Ⅰ）设函数F(x)=18 f(x)-x [h(x)],求F(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）设aR,解关于x的方程lg[

*

f(x-1)-

]=2lgh(a-x)-2lgh(4-x);

数学《推理与证明(文科) 第7篇

M单元 推理与证明

M1 合情推理与演绎推理

16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．

16．201 [解析](i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．

(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．

则100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.14．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

14．A [解析] 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．

x14．[2014·陕西卷] 已知f(x)＝x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则1＋x

f2014(x)的表达式为________．

xx14.[解析] 由题意，得f1(x)＝f(x)＝ 1＋2014x1＋x

x

1＋xxxf2(x)＝f3(x)＝，…，x1＋2x1＋3x11＋x

由此归纳推理可得f2014(x)＝x.1＋2014x

M2 直接证明与间接证明

21．、[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)．

(1)求f(x)的单调区间；

111(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有x1x2xn

321．解：(1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．

当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin x>0，此时f′(x)<0;

当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sin x<0，此时f′(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．

ππ(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又f＝0，故x1＝.2

2当n∈N*时，因为

＋f(nπ)f[（n＋1）π]＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n1(n＋1)π＋1]＜0，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故

nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.142因此，当n＝1时，＜； x1π3

1112当n＝2时，＋(4＋1)＜ x1x2π3

当n≥3时，1111114＋1＋ 2（n－1）x1x2xnπ

11151＜＜（n－2）（n－1）1×2ππ5＋1－1＋11＋…＋11 223n－2n－1

1162＝6－n－1＜＜π3π

1112综上所述，对一切n∈N*，.x1x2xn3

M3数学归纳法

sin x23．、[2014·江苏卷] 已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.x

πππ(1)求2f1＋f2的值； 222

πππ2(2)证明：对任意的n∈N*，等式nfn－1＋n＝ 4442

sin xcos xsin x23．解：(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，xxx

cos xxsin ′＝ 于是f2(x)＝f1′(x)＝′－xx－sin x2cos x2sin x＋，xxx

ππ4216所以f1＝－f2＝－22πππ

πππ故2f12＝－1.222(2)证明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，π即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sinx＋.2

类似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，3π3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sinx＋，2

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．

nπ下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinx＋对所有的n∈N*都成立． 2

(i)当n＝1时，由上可知等式成立．

kπ(ii)假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sinx.2

因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，sinx＋kπ′＝cosx＋kπ·x＋kπ′＝sinx＋（k＋1）π，2222

（k＋1）π所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sinx＋2，因此当n＝k＋1时，等式也成立．

nπ综合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinx＋对所有的n∈N*都成立． 2

πππππnπ令x＝nfn－1＋fn＝sin＋(n∈N*)，424444

πππ所以nfn－1＋fn＝444

离散数学逻辑推理证明方法的探讨 第8篇

1 命题逻辑证明题及常见证明方法概述

命题逻辑证明题通常由若干个前提和一个需要证明的结论组成。前提和前提直接用逗号或者合取符号相连。

设H1,H2,…,Hn和C是命题公式,若蕴含式

成立,则称C是前提集合{H1,H2,…,Hn}的有效结论。证明命题公式C为前提集合有效结论的过程就是命题逻辑推理证明的过程。

对于常见的命题逻辑推理证明有三种最常用证明方法,分别是直接证明法,间接证明法和真值表法。其中间接证明法里面常见的是CP规则证明法和反证法,本文主要介绍直接证明法和间接证明法,真值表法考试使用较少故不在本文中累述。

2 直接证明法

直接证明法就是由一组前提,利用一些公认的推理规则,根据已知的等价或者蕴含公式,推演得到有效的结论。

在学生熟悉了逻辑恒等式和常用的推理规则后,大多数证明题都可以用直接证明法方便证明出。

以下是某教材中的一道例题,本文将分别用直接证明法,CP规则证明法,和反证法三种方法对其进行证明。对于证明这里必须注意,不管使用什么样的证明方法,证明过程中的中间结论必须写成真值为T的命题公式。

例1:证明(P∨Q),(P→R),(Q→S)推导出S∨R

分析:本题目需要证明的结论是个析取式可以用过蕴含表达式转换为蕴含式,即S∨R⇔¬S→R,所以本题实际只要推导出¬S→R为真即可得证。

具体证明过程如下:

证明:

3 CP规则证明法

设H1,H2,…,Hn,R和S是命题公式,欲证明H1∧H2∧...∧HnÞR→S成立,只需要证明H1∧H2∧...∧Hn∧RÞS成立。这种证明方法称之为CP规则证明法。根据CP规则的点,这种证明方法比较适合于证明结论中带有蕴含连接词,也就是说结论是形如A→B的命题公式,用CP规则证明可能比较简便。再复杂的结论如形如A→(B→C)的命题公式,也可以通过连续使用两次CP规则的方式来证明,如果这样的结论使用直接证明法则需要将结论由蕴含词形式转化为合取或者析取词形式的命题公式再来证明,是证明过程更加复杂。

现用CP规则证明本文例题1,

分析:由于S∨R⇔¬S→R,所以例题1的结论部分其实也是形如A→B的命题公式,可以方便的很使用CP规则证明法。此时可以把结论的前件S作为附加前提,使本题的前提多了一个,减小了证明难度,只需要证明结论的后件证明R成立即可证明,具体过程如下

证明:

因为S∨R⇔¬S→R,所以原题即证(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)⇒¬S→R

4 反证法

某些用直接证明不好证明的题目很多可以用反证法来证明。

设H1,H2,…,Hn,R和S是命题公式,欲证明H1∧H2∧...∧Hn⇒C,只要证明H1∧H2∧...∧Hn∧¬C蕴含着矛盾式即可,即H1∧H2∧...∧Hn∧¬C⇒R∧¬R。这样的证明方法称之为反证法。

现用反证法证明本文例题1,

分析:用反证法证明首先要假设结论部分命题公式的否定为真,并作为附加前提,在证明过程证得到任意形式的两个互相矛盾的命题公式证明即结束。例题1中,结论是形如A∨B的命题公式,否定之后再去掉括号会变成合取式,又因为合取式两边的部分都为真,所以这样相当于多了两个隐含的前提,是证明难度降低。具体过程如下

证明:

5 结束语

综上本文介绍了一些常用的命题公式证明方法,具体选什么样的方法要根据具体题目而定。能够灵活运用这些方法可以使学生在考试中大大减少解答此类证明题目的时间。

参考文献

[1]方世昌.离散数学[M].西安:西安电子科技大学出版社,1996.

[2]左孝凌.离散数学[M].上海:上海科学技术文献出版社,1982.

初中数学几何推理与图形证明对策 第9篇

关键词：初中数学 几何推理 图形证明

几何是要求空间感与立体感相结合的学科，在几何的推理与图形证明过程中，既充满了挑战，又包含了很多乐趣。几何推理与图形证明是数学题目中相对有趣的内容，需要解题人保持清醒的头脑，能正确运用线条来解答题目。初中数学的几何推理与图形证明着力于立体空间，解题方法也以辅助线为主。因此，初中的数学几何一定要在空间教学中做足功夫，这样可以帮助学生更好地解决难题。

一、几何的重要推理过程

在解答几何图形习题时，推理是关键的一步。合理推理的有效方式是借助对比和归类，即在解题时找准点线的关系。分析图形中点线面之间的联系，要大胆地猜想图形中可能存在的关联性，哪些点之间可以连成线，也可从一点或一线入手，或在一面中做出线段，使其分成多面，以求证最后的关系。推理的过程需要仔细研究图形的不同特点，并运用其特点进行推算。在平时的推理中，我们应多看一些必要条件，如平行、相等、相似等字眼，也可以适当地运用“跳跃性”思维。跳跃性思维要求解题者在推理的时候不要用陈旧思维，可以把看似没有关系的线段和面結合在一起，这样往往会得到意想不到的结果。在运用跳跃性思维时也要注意各面和线的关系，只有在同一空间下的线和面才可连接，不可把两个或多个图形相连接。

二、巧用基本图形进行推理

（一）掌握简单图形

初做立体几何题时，学生会分不清几何与代数之间的差别，有时也会用错方式和方法，这时只要巧妙运用基本的几何图形，就能很快找到解题方法。基本的图形在解题中比较常见，通常会在题中出现证明相似、相等这样的字眼时用到。这就要求学生对基本图形有一定的了解，在复杂的图形中找出基本图形。复杂图形都是基本图形组成的，所以学生在做题时不用担心找不到解题方法，只要把基本的图形从复杂图形中挑出来，几何证明就会变得简单了。基本图形有很多种，有的只要稍稍变化就可以成为另一种图形，所以我们在运用基本图形时，可以多变化几种形式，如三角形可以有等腰三角形、等边三角形等，这样学生在进行几何推理时就更加方便了。

（二）图形简单化

由于几何推理是在图形中进行有规则的分析和解答。当图形比较复杂时，我们可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来，一步一步地进行解答，这样有利于学生的进一步思考。对于分离图形，我们可以根据已知条件来进行，这样的分离方式不会遗漏任何条件，并且能使学生对题目有更准确的分析和判断。图形分离的越简单，对学生解题就越有利，所以在分析图形时，积极拆分图形是很有必要的。

三、明确题目中各要素

在几何推理命题中，题目的各个给出条件都是很重要的，通过这些，我们可以知道哪些是已经知晓的，可以直接用来解题，哪些条件能够推出结论，特别是在复杂的命题面前，这些因素都要考虑。在解题中，找到各种条件是很重要的，把握条件和结论之间的逻辑关系也是解题的关键，如从已知条件推出什么样的结论，什么样的结论该由哪些条件推理得出，包括怎样推出。读题是解答几何图形的关键步骤，题中的一些关键字眼可以帮助我们完成几何推理的过程。因此，掌握好各要素，并加以分析，在几何解题中有着不可或缺的意义。

四、正确利用辅助线推理

（一）辅助线的重要作用

辅助线是几何推理中的重要的部分，辅助线可以分解图形，更有利于推理和分析。在分析如何绘制辅助线时，我们要仔细观察图形的特点，比如，三角形的辅助线多以某一顶点开始；而立方体的辅助线多是在空间中体现的，有时甚至是在不同面连接而成。

（二）合理的推理过程

初中数学几何更倾向的是考查学生的推理思维能力，单一的死记硬背不能应用于所有几何推理中，只有找到几何推理的窍门并加以运用，才能在每一种几何推理中取得成功。注重面与面之间的构成关系，以及线与线之间的连接关系是推理的重要步骤。在做好辅助线后，一定要标明各个线面的名称，为后续的推理做铺垫。在几何推理中，面面证明和线线证明是很重要的，我们要理清每一个面之间的合理关系及线与线的相辅关系。

运用辅助线是推理和解答几何题的重要一步。好的辅助线能让学生轻松地解答几何图形题，所以在几何解题中，我们要保持清醒的头脑，知道辅助线的运用及合适的位置，以便顺利完成几何题的推理过程。

参考文献：

[1]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈.数理化解题研究：初中版，2014（10）.

[2]沈定祥.浅谈基本图形在初中数学几何教学中的作用[J].学科科学，2014（104）.

文科推理与证明 第10篇

1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。

2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。

3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

(二)直接证明与间接证明

1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。

(三)数学归纳法

了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.推理与证明的内容是高考的新增内容,主要以选择填空的形式出现。

2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。

第1课时合情推理与演绎推理

1.推理一般包括合情推理和演绎推理;

2.合情推理包括和;

归纳推理:从个别事实中推演出,这样的推理通常称为归纳推理;归纳推理的思维过程是:、、.类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也或,这样的推理称为类比推理,类比推理的思维过程是:、、.3.演绎推理:演绎推理是,按照严格的逻辑法则得到的推理过程;三段论常用格式为:①M是p,②,③S是p;其中①是,它提供了一个个一般性原理;②是,它指出了一个个特殊对象;③是,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断.4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳和类比是合情推理常用的思维方法;在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座

—逻辑、推理与证明、复数、框图

一.课标要求：

1.常用逻辑用语

(1)命题及其关系

①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题;②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系;

(2)简单的逻辑联结词

通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”逻辑联结词的含义。

(3)全称量词与存在量词

①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义;

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

2.推理与证明

(1)合情推理与演绎推理

①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用;

②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;

③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

(2)直接证明与间接证明

①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点;

②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法;了解反证法的思考过程、特点;

(3)数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题;

(4)数学文化

①通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律)，体会公理化思想;

②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用;

3.数系的扩充与复数的引入

(1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;

(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;

(3)了解复数的代数表示法及其几何意义;

(4)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。

4.框图

(1)流程图

①通过具体实例，进一步认识程序框图;

②通过具体实例，了解工序流程图(即统筹图);

③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用;

(2)结构图

①通过实例，了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息;

②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。

二.命题走向

常用逻辑用语

本部分内容主要是常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。

预测08年高考对本部分内容的考查形式如下：考查的形式以填空题为主，考察的重点是条件和复合命题真值的判断。

推理证明

数学《推理与证明(文科) 第11篇

课题：推理与证明

目的要求：

1、进一步体会合情推理在数学中的作用，掌握演绎推理的基本方法并能运用；

2、进一步理解证明的基本方法——综合法、分析法、反证法、数学归纳法（理）及其思考过程与特点 重难点：

要点回顾：

1、合情推理包含推理、推理。

2、演绎推理是从到的推理。

3、直接证明包括。

4、间接证明指的是证明方法

5、数学归纳法

（1）归纳——猜想——证明仍是高考重点；

（2）常与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题是热点；

（3）题型以解答题为主，难度中等偏上。

数学归纳证题的步骤：

（1）证明当n取第一值n0(n0N)时命题成立：

（2）假设n=k(k≥n0,k∈N)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

注：

1、第一个值n0是否一定为1呢？不一定，要看题目中n的要求，如当n≥3时，则第一个值n0应该为3。

2、数学归纳法两个步骤有何关系？数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推。两者缺一不可。

例题分析：

推理部分：

1、观察下列不等式：

1＋131151117＜1＋＋1＋＋＜„ 22222323223242

4照此规律，第五个不等式为________．

2、观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 „.则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为

A.76B.80C.86D.923、若Snsin7sin2

7...sinn

7（nN），则在S1,S2,...,S100中，正数的个数是（）

A、16B、72C、86D、1004、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2011∈[1]

②-3∈[3]；

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];

④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”.其中，正确结论的个数是

A.1B.2C.3D.45、观察下列各式:553125,5615625,5778125,...,则52011的末四位数字为()

A.3125B.5625C.0625D.812

5证明部分：

1、某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

2、如果3sinsin2，求证tan2tan

课后作业：

1.观察下列数的特点

1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，„ 中,第100项是()

（A）10（B）13（C）14（D）1002、有下列推理：

①A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P的轨迹为椭圆 ②由a1=1,an=3n-1,求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 ③由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

以上推理不是归纳推理的序号是______.(把所有你认为正确的序号都填上)xa22yb221的面积S=πab3、由图(1)有面积关系:

SPAB

SPAB.图(1)图(2)PAPBPAPB，则由(2)有

VPABC

VPABC

4、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷 比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(出

所有符合要求的组号)其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.5、设b0，数列an满足a1b,annban1an1n1(n≥2)

（1）求数列an的通项公式；

数学《推理与证明(文科) 第12篇

(A)1M(B)2M(C)(1,2)M(D)(2,1)M 2.下列说法正确的是（）

Ａ．由归纳推理得到的结论一定正确Ｂ．由类比推理得到的结论一定正确

Ｃ．由合情推理得到的结论一定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确

3.设全集U1,2,3,4,5,6，集合A1,2,3,,B2,4,5，则CU(AB)等于（）（A）2（B）6（C）1,3，4，5，6（D）1，3，4,5

－3+i

4.复数z＝的共轭复数是()

2+i

（A）2+i（B）2－i（C）－1+i（D）－1－i

5．下列推理是归纳推理的是（）（）A．A、B是定点，动点P满足|PA||PB|2a|AB|，得P点的轨迹是椭圆 B．由a11,an3n1，求出S1,S2,S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C．由圆xyr的面积为r，猜想出椭圆D．利学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

xa



yb

1的面积为ab

6.若复数(m23m4)(m25m6)i是虚数，则实数m满足（）A.m1B.m6C.m1或m6D.m1且m67．设I=R，M={x|x<0},N={x|-1≤x≤1},则(CUM)∩N=()A.{x|0

D.{x|x≥-1}

A．“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”；B．“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”；C．“若(ab)cacbc” 类推出“abab（c≠0）”；

c

c

c

（ab）ab” 类推出“（ab）ab” D．“

nnnnnn

9．一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此若干个圈

依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（）A.12B.13C.14D.15

10、由a11，an1

3410

3an3an

1给出的数列an的第34项是().1

4104100

11．已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（）

A.B.C.D.A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=

212． “x=-1”是复数z(x21)(x1)i为纯虚数的（）

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 x2x20

13.已知不等式的解集是，则实数a的取值范围是()

xa

(A)a＞2(B)a＜1(C)a≥2(D)a≤1 14.已知复数z =(1 – i)(2 – i)，则| z |的值是

3i

15.已知i是虚数单位，则的实部为_______;虚部为_________

1i16．观察下列不等式：1

12,1

12131,1

1213

1732,1

1213

52,

则第6个不等式为________________________________

17．若复数z满足z(m2)(m1)i（i为虚数单位）为纯虚数，其中mR则z____

mm6

m

18．当实数m为何值时，复数z（Ⅲ）纯虚数？

(m2m)i为（Ⅰ）实数？（Ⅱ）虚数？

19.已知a,b,c成等比数列，a,x,b成等差数列，b,y,c成等差数列，求证：

20．若a10且a11，an1

a1

ax



cy

2

2an1an

(n1,2,，)(1)求证：an1an；(2)令，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an；(3)证

p

an

an

明：存在不等于零的常数p，使



数学《推理与证明(文科) 第13篇

初一学生正值从童年向青年的过渡期,生理和心理正发生着大的变化。《教育心理学》中都称之为易于向各个方面发展的“危机年龄”,有的专家称之为“危险期”。他们好奇、活泼、热情,对各方面都十分感兴趣。但是自控力、主动性、坚持性和独立性较差,感情很不稳定,波动性大,注意力不能长时间的集中,善于机械记忆和直觉思维,很易两极分化,教师一定要顺应其特点调整教学。

1.精心设计适当的教学过程,适应学生心理和生理的特点

根据初一学生注意力集中持续时间不长的特点,我每节课讲授的时间不超过20分钟,其余的时间让学生分组讨论交流,然后做练习。练习的形式要多样性,有时笔算,有时口述等。经常让不同层次的学生到黑板上做难易程度不同的题目,这样就让每一个学生都有不同表现的机会,获得心理的平衡。教师纠正时以正面鼓励为主,增强了学生学习的信心,培养学生学习几何的兴趣。

2.重视学生非智力因素开发,激发学习热情

学生学习动机、意志、情感乃至态度、毅力、理想等非智力因素对几何入门起着重大作用。我在开始上几何课时,对学生进行积极引导,简述学习几何的重要性,介绍一些中外著名的数学家所取得的伟大成就和他们为国家、社会所做的巨大贡献,讲一些和几何知识有关的小故事等增强学习几何的兴趣。针对学生感情不稳定的特点,需要耐心教育学生胜不骄,败不馁。维护他们的自尊心,鼓励进取,增强意志控制能力,增强克服困难的毅力。

3.选择适当的教学方法,让学生真正地成为学习的主人。

课堂教学是教师与学生之间双边活动,应该想法设法让学生主动地学习。教学方法要灵活,不同的内容应采取不同的方法。一般地如公式、定理等的教学多采用“发现法”来适应学生十分好奇的特点。在上概念课时采用“读读、讲讲、议议、练练”的教学方法,探究性问题常常采用合作学习的方式。运用启发式教学法,让学生真正地成为主体,让学生“动”起来。

二、注重理论几何与实验几何的衔接

1.要充分利用实验几何的教学方法和学习方法,引导学生由实验几何逐步向理论几何过渡

小学的“简单的形体知识”把初中平面几何的一些初步知识介绍过了,但没有给出证明,也不可能用说理的方法去讲解这些知识,而是根据小学生的认识事物的客观规律,大量地借助直观,依靠触觉和视觉的作用,画画、比比、拼拼,或借助于实物来获取新知识,不仅让学生容易接受,还增强了学生学习几何的趣味性。几何入门教学如果脱离了实验几何,学生会感觉到与小学所学知识脱节太大,对老师所传授的知识不易接受,学习起来十分枯燥,缺少趣味性,很快失去了学习几何的兴趣。因此,在几何入门的教学过程中,可以先沿用实验几何教法,让学生从感性上去认识新的事物,再引导学生去发现新事物具有哪些特征,然后根据这些特征从理论上重新去认识新事物。

2.引导和训练学生用几何理论去说理论证

实验几何使学生获得的知识没有系统化,对几何学中的逻辑推理掌握还不够,对几何教学和学生学习几何知识形成层层障碍。我们在几何入门教学中要注意理论几何与实验几何的衔接,逐步培养学生逻辑推理能力,防止学生以直观代替论证,运用生活的事例,尽可能的提出问题让学生思考,调动学生学习的积极性,启发学生细心观察周围事物,运用所学知识解释某些现象,说出其中的道理,从而培养学生说理(论证)的好习惯。

三、重视基本技能的训练

第24讲 推理证明与数学归纳法 第14篇

推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法.由于解答高考试题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中.从近几年的新课标高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主.当然有些省市（如山东卷、广东卷、海南、宁夏）没有单独考查此内容，因为解答与证明题本身就是一种合情推理与演绎推理，作为一种推理工具是很容易被解答题与证明题接受的.

命题特点

本讲考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，这为创新性试题的命制提供了空间.

从近几年高考试题中可以看出，高考命题在推理与证明方法的考查呈现以下特点.（1）考查的主要方式是对它们原理的理解和用法，难度多为中档题，也有高档题；（2）从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法；（3）与导数、数列、不等式相结合，用数学归纳法证明不等式是命题的热点.

1. 运用归纳推理与类比推理发现结论

例1 在平面几何里，有“若[△ABC]的三边长分别为[a，b，c]内切圆半径为[r]，则三角形面积为[SΔABC=12a+b+cr]”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体[ABCD]的四个面的面积分别为[S1，S2，S3，S4]，内切球的半径为[r]，则四面体的体积为________”.

解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中[12]类比为三维图形中的[13]，得四面体[ABCD]的体积[V=13S1+S2+S3+S4r].

答案 [V=13S1+S2+S3+S4r].

点拨 归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.

2. 利用综合法证明有关命题

例2 如果[a，b]都是正数，且[a≠b]，

求证：[a6+b6>a4b2+a2b4].

解析 因为[a6+b6-（a4b2+a2b4）=a4（a2-b2）+b4（b2-a2）][=（a2-b2）（a4-b4）]=[（a2+b2）（a2-b2）2]，

又因为[a>0，b>0]且[a≠b]，

所以[（a2+b2）（a2-b2）2>0]，即[a6+b6>a4b2+a2b4].

点拨 作差法属于综合法的一种，利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论.

3. 利用分析法证明有关命题

例3 求证：[a-a-1

解析 要证[a-a-1

所以只需证明[a（a-3）<（a-2）（a-1）（a≥3）]，两边平方得[a2-3a

∵[0<2]恒成立，∴原不等式得证.

点拨 （1）在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件.

（2）用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语.

4. 反证法证明相关问题

例4 若[a，b，c]均为实数，且[a=x2-2y+π2]，[b=y2][-2z+π3]，[a=z2-2x+π6]，求证：[a，b，c]中至少有一个大于0.

解析 设[a，b，c]都不大于0，则[a≤0，b≤0，c≤0]，所以[a+b+c≤0].

而[a+b+c=（x2-2y+π2）-（y2-2z+π3）+（z2-2x+π6）]

=[（x2-2x）+（y2-2y）+（z2-2z）+π]

=[（x-1）2-（y-1）2+（z-1）2+π-3]，

所以[a+b+c>0]，这与[a+b+c≤0]矛盾，

故[a，b，c]中至少有一个大于0.

点拨 从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法.比如这类带有“至少有一个”等字样的数学问题.

5. 数学归纳法

例5 已知数列[{bn}]是等差数列，[b1=1，b1+b2+…][+b10=145]，

（1）求数列[{bn}]的通项公式[bn]；

（2）设数列[{an}]的通项[an=loga（1+1bn）]（其中[a>0]且[a≠1]），记[Sn]是数列[{an}]的前[n]项和，试比较[Sn]与[13logabn+1]的大小，并证明你的结论.

解析 （1）设[{bn}]的公差为[d]，由题意得，

[b1=1，10b1+10（10-1）2d=145，?b1=1，d=3，]∴bn=3n-2.

nlc202309032100

（2）由①知，[Sn=loga（1+1）+loga（1+14）+…+][loga（1+13n-2）=loga[（1+1）（1+14）…（1+13n-2）]，]

而[13=][loga3n+13]，

于是比较 [Sn]与[13logabn+1]的大小[?]比较[（1+1）（1+14）…（1+13n-2]）与[3n+13]的大小.

取[n=1]，有[（1+1）=83>43=3?1+13].

取[n=2]，有[（1+1）（1+14）>83>73=3×2+13].

推测 [（1+1）（1+14）…（1+13n-2）>][3n+13]（*），下面用数学归纳法证明.

（1）当[n=1]时，已验证（*）式成立.

（2）假设[n=k（k≥1）]时（*）式成立，即[（1+1）（1+14）…][（1+13k-2）>][3k+13]，

则当[n=k+1]时， [（1+1）（1+14）…（1+13k-2）（1+13（k+1）-2）>]

[3k+13（1+13k+1）][=3k+23k+13k+13]，

∵[（3k+23k+13k+13）3-（3k+43）3]

[=（3k+2）3-（3k+4）（3k+1）2（3k+1）2=9k+4（3k+1）2>0]，

∴[3k+133k+1（3k+2）>3k+43=3（k+1）+13]，

[∴（1+1）（1+14）…（1+13k-2）（1+13k-1）>3（k+1）+13]，

即当[n=k+1]时，（*）式成立.

综上可知，（*）式对任意正整数[n]都成立.

于是，当[a>1]时，[Sn>13logabn+1].

当[0

点拨 比较大小的方法常用的有：作差比较法、作商比较法、函数单调性法等等.此例采用的方法为“计算、归纳、猜想、论证”的方法，即通过计算、归纳，猜想得出一般性的结论，然后用数学归纳法加以证明.这也是解决问题的一种常用方法.

备考指南

1. 在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面现象的相似甚至假象去类比，就会犯机械类比的错误.

2. 合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明；演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.

3. 综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用.

4. （1）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.

（2）用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论[P]，再说明所要证明的数学问题成立.

限时训练

1. 观察下列各式：[55=3125，56=15625，57=78125，…，]则[52014]的末四位数字为 （ ）

A.[3125] B.[5625] C.[0625] D.[8125]

2.已知结论：在正三角形[ABC]中，若[D]是边[BC]的中点，[G]是三角形[ABC]的重心，则[AGGD=2].若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体[ABCD]中，若[△BCD]的中心为[M]，四面体内部一点[O]到四面体各面的距离都相等，则[AOOM]等于 （ ）

A.1 B.2 C.3 [ 11 12 12 13 16 13 14 112 112 1415 120 130 120 15 …] D.4

3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第[n]行有[n]个数且两端的数均为[1n（n≥2）]，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如[11=12+12]，[12=13+16]，[13=14+112]，…，则第[7]行第[4]个数（从左往右数）为 （ ）

A. [1140] B. [1105] C. [160] D. [142]

4.[p=ab+cd，q=ma+nc?bm+dn（m，n，a，b，c，d）]均为正数，则[p，q]的大小为 （ ）

A.[p≥q] B.[p≤q] C.[p>q] D.不确定

5. 设[a=lg2+lg5]，[b=ex（x<0）]，则[a]与[b]的大小关系为 （ ）

A.[a>b] B.[a

6. 某个与正整数[n]有关的命题，如果当[n=k（n∈N?，k≥1）]时，该命题成立，则一定可推得当[n=k+1]时，该命题也成立，现已知[n=5]时，该命题不成立，则 （ ）

A. [n=4]时，该命题成立

B. [n=6]时，该命题成立

C. [n=4]时，该命题不成立

D. [n=6]时，该命题不成立

7. 用数学归纳法证明不等式[1n+1+1n+2+…][+12n<1324（n≥2，n∈N）]的过程中，由[n=k]递推到[n=k+1]时，不等式左边 （ ）

A. 增加了一项

B. 增加了两项[12k+1，12k+2]

nlc202309032100

C. 增加了B中两项但减少了一项[1k+1]

D. 以上各种情况均不对

8.给出下列三个类比结论：①[（ab）n=anbn]与[（a+b）n]类比，则有[（a+b）n=an+bn]；②[loga（xy）=logax+logay]与[sin（α+β）]类比，则有[sin（α+β）=sinαsinβ]；③[（a+b）2][=a2+2ab+b2]与[（a+b）2]类比，则有[（a+b）2=a2+2ab+b2].其中结论正确的个数是 （ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

9. “因为指数函数[y=ax]是增函数（大前提），而[y=（13）x]是指数函数（小前提），所以函数[y=（13）x]是增函数（结论）”，上面推理的错误在于 （ ）

A.大前提错误导致结论错误

B.小前提错误导致结论错误

C.推理形式错误导致结论错误

D.大前提和小前提错误导致结论错误

10.一个赛跑机器人有如下特性：①步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米或1.9米；②发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；③当设置的步长为[a]米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔[a]秒.则这个机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是 （ ）

A.48.6秒 B.47.6秒

C.48秒 D.47秒

11.如图所示，第[n]个图形是由正[n+2]边形拓展而来[（n=1，2，…）]，则第[n-2]个图形共有_____个顶点. [①][②][③][④]

[12]. 如图都是由边长为[1]的正方体叠成的图形，例如第（[1]）个图形的表面积为[6]个平方单位，第（[2]）个图形的表面积为[18]个平方单位，第（[3]）个图形的表面积是[36]个平方单位.依此规律，则第[n]个图形的表面积是__________个平方单位.

[（1）][（2）][（3）][（4）]

13.设函数[f（x）=xx+2（x>0），]观察[f1（x）=f（x）=xx+2，] [f2（x）=f[f1（x）]=x3x+4]，[f3（x）=f[f2（x）]=x7x+8]，[f4（x）=f[f3（x）]]

[=x15x+16]…

根据以上事实，由归纳推理可得，当[n∈N+且n>1]时，[fn（x）=f[fn-1（x）]=]________.

14.设数列[11，12，21，][13，22，31，…，][1k，2k-1，…，k1，….]这个数列第[2010]项的值是________；这个数列中，第[2010]个值为[1]的项的序号是__________.

15.在各项为正的数列[an]中，数列的前[n]项和[Sn]满足[Sn=12（an+1an）].

（1）求[a1，a2，a3]；

（2）由（1）猜想数列[an]的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.

16.已知函数[f（x）=ax+x-2x+1（a>1）].

（1）证明：函数[f（x）]在[（-1，+∞）]上为增函数；

（2）用反证法证明[f（x）=0]没有负根.

17.数列[an]的前[n]项和记为[Sn]，已知[a1=1]，[an+1=n+2nSn（n∈N+）].证明：

（1）数列[Snn]是等比数列；

（2）[Sn+1=4an].

18.在数列[an，bn]中，[a1=2，b1=4]，且[an，bn，an+1]成等差数列，[bn，an+1，bn+1]成等比数列[（n∈N?）].

（1）求[a2，a3，a4]及[b2，b3，b4]，由此猜测[an，bn]的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：[1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn<512].