北师大数学勾股定理

北师大数学勾股定理（精选8篇）

北师大数学勾股定理 第1篇

数学家故事·毕达哥拉斯

无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。

毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC-497 BC)古希腊数学家、哲学家。

毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线（2)却不能用整数之比来表达。这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。但(即无理数)的秘密。天2很快就引起了数学思想

2殉难留下的教训的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。希帕索斯为是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。

可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯，到了晚年不仅学术上趋向保守，而且政治上反对新生事物，最后死于非命。

北师大数学勾股定理 第2篇

一、单选题

1．下列四组数据，不是勾股数的是（）

A．3，4，5

B．5，6，7

C．6，8，10

D．9，40，41

2．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（）

A．6

B．7

C．10

D．13

3．如图，点A，B是棱长为1的立方体的两个顶点，若将该立方体按图中所示展开，则在展开图中，A，B两点间的距离是（）

A．

B．

C．

D．

4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（）

A．20

B．12

C．2

D．2

5．已知，则的面积为（）

A．6或

B．6或

C．12或

D．12或

6．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（）

A．

B．

C．

D．

7．如图，中，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（）

A．

B．2

C．

D．

8．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（）

A．倍

B．2倍

C．倍

D．4倍

9．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝10，直线l过点B，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为E、F，若AE＝8，则CF的长为（）

A．5

B．6

C．7

D．8

10．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（）

A．36

B．49

C．74

D．81

11．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（）

A．

B．0.8

C．

D．

12．如图，以两个半圆的直径作为直角边，正方形的一边作为斜边构成一个直角三角形，已知半圆面积分别为π和3π，则正方形的面积为（）

A．16π

B．32π

C．16

D．32

13．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=（）

A．2.5

B．3

C．2

D．3.5

14．中，则三个半圆的面积关系是（）

A．

B．

C．

D．

15．如图，在中，，D为边上一点，将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上点E处，则的长为（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

16．下列各组数：①1、2、3；②，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41，其中是勾股数的是_______（填序号）．

17．已知一个直角三角形的两边长分为4和3，则它的斜边长为___________．

18．已知直角三角形的两直角边分别为9和12，则它的周长为______________．

19．如图，一名滑雪运动员沿着坡比为的滑道，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米．

20．中，为边上的一点，将沿折叠，使点C落在边的点E处，则的面积为__________．

三、解答题

21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，请你在给出的5×5的正方形网格中，以格点为顶点，画出一个四边形，使这个四边形的其中三边长依次为，．

22．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．

（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；

（2）用含（且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．

23．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求CD的长．

24．如图，铁路上、两点相距，为两村庄，于，于，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则站应建在距点多少千米处？

参考答案

1．B

解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；

B、因为52+62≠72，不属于勾股数；

C、因为62+82＝102，属于勾股数；

D、因为92+402＝412，属于勾股数；

故选：B．

2．D

解：由勾股定理得，斜边长＝，故选：D．

3．C

解：如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，可得：AB=，故选：C．

4．B

解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=16-4=12，则S2=AC2=12，故选：B．

5．A

解：当BC为直角边时，的面积为，当BC为斜边时，该三角形的另一条直角边长为，的面积为，故选：A．

6．D

解：作于D，如图所示，∵小正方形的边长都为1，∴，∵，∴，解得：，故选：D．

7．D

解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中

∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，故选：D．

8．B

解：设直角三角形三边长分别为a、b、c，则：

a2+b2=c2，∴，∵直角三角形的两条直角边各扩大2倍，∴可设扩大后的三角形各边为2a、2b、d，则：

d=，故选B．

9．B

解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°．

∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝8，∴，故选：B．

10．C

解：根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，∴∠FEG=∠HGM，在△EFG和△GMH中，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG=MH，GM=EF，∵A，C的边长分别为5和7，∴EF2=52，HM2=72，∴B的面积为EG=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，故选：C．

11．C

解：如图，连接，则，由勾股定理可得，中，又，故选：C．

12．D

解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r，根据题意得，故直角三角形的两条直角边为：

故直角三角形的斜边平方为，则正方形的面积为：32，故选：D．

13．C

解：∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD=AC，∴AD=3，∴BD=AB-AD=5-3=2．

故选C．

14．B

解：设面积为、、所在半圆直径对应的直角三角形三边为、、，则，，∵中，∴，∴，∴．

故选：B．

15．C

解：∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12，∴AC==5，由折叠可知：AB=AE=13，BD=DE，∴CE=AE-AC=8，∵BC=CD+BD=CD+DE，∴CD=BC-DE=12-DE，∴在△CDE中，解得：DE=，故选C．

16．④

解：①1、2、3，因为1+2=3，无法组成三角形，所以不是勾股数；

②，不是正整数，不属于勾股数；

③0.3、0.4、0.5不是正整数，不属于勾股数；

④因为92+402=412，所以9、40、41属于勾股数；

故答案为：④．

17．5或4

解：当4是直角边时，斜边长==5，当4是斜边时，斜边长=4，故答案为：5或4．

18．36

解：∵直角三角形的两条直角边分别为9、12，∴斜边长==15，∴周长=9+12+15=36．

故答案是：36．

19．150

解：如图，在中，由题意可知，∴，∴，∴米，故答案为：150．

20．解：由折叠的性质得：，，设CD=x，则BD=12-x，DE=x，在△BDE中，则，解得：x=，∴，故答案为：．

21．见解析．

解：如图，，连接BC，则四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）．

22．（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：

第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明见详解．

解：（1）第一组中间数为4=2×2，第二组中间数为6=2×3，第三组中间数为8=2×4，第四组中间数为10=2×5，第五组中间数为12=2×6，第六组中间数为14=2×7，两头的两数差二，设较小的数为x，另一个数为x+2

则（x+2）2-x2=142,解得x=48

∴第六组勾股数为（48，14，50）；

（2）规律：中间数规律是2n（n≥2）

设第一个数为

x，第三个数为x+2

则，解得，第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；

证明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，∴(n2-1)2+(2n)2

=(n2+1)2．

23．9.6cm

解：∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm，∴AB=20cm，根据直角三角形的面积公式，得：，∴．

24．10千米

解：设，则，∵、两村到站的距离相等，∴．

初中数学勾股定理教学案例分析 第3篇

关键词：初中数学,勾股定理,教学案例

随着我国社会经济水平的不断提高, 教育事业也得到了很大的发展空间, 由于当今社会对人才的需求越来越高, 传统教育理念的应试教育已经不符合社会的发展规律, 当今教育事业提倡的是素质教育, 培养学生综合能力全面发展. 就初中数学的勾股定理这一章节的教学来说, 数学老师如果仍然延续传统的教学方法, 在课堂中一味地讲解知识而忽略学生自主思考练习, 就无法很好地提高初中数学勾股定理的教学质量. 要想更好的提高初中数学勾股定理的教学质量和水平就需要从课堂教学活动抓起, 使用科学合理的教学方法.

勾股定理是数学这一学科中的一个非常有名的定理, 它的内容是“直角三角形的两个直角边组成的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积”, 其表达式就是假设直角三角形两个直角边为a, b, 斜边为c, 那么a2+ b2= c2. 这一著名的数学定理对古代人们的生活就产生了很大的作用, 比如说古埃及人在创造金字塔以及测量尼罗河泛滥以后土地的面积时, 就已经开始使用勾股定理. 最早发现这一数学定理是在希腊这个国家. 由于勾股定理在数学这一学科中有着极其重要的作用, 在初中数学课本中也把它列入教学内容, 这一教学内容的教学目标就是让人们深刻掌握了解勾股定理并且让学生自己去证明这一定理, 这一数学定理的证明方法有千百种, 有的证明方法特别简单, 也有的特别复杂, 这可以充分锻炼学生的能力. 就初中数学勾股定理这一教学内容为研究中心, 我们通过对一些具体教学案例的分析, 谈谈初中数学课堂如何提高教学效率.

教学案例一

老师在黑板上画出三个直角三角形, 并且分别以每个三角形的三个边画三个正方形, 直角三角形的三条边分别为a, b, c, 正方形依次为A, B, C, 计算出每个正方形的面积, 并且完成下面表格中正方形面积的填写:

学生通过对直角三角形边长的测量, 再计算得出各个正方形面积的填写. 老师接下来就要引导学生进一步思考, 总结得出这三个图形的共同点. 学生自己动脑筋跟着老师的引领走, 慢慢发现表格中, 每一行C正方形的面积都等于AB正方形面积之和, 从而得出结论.

案例一分析

在这个教学实例中, 老师使用的是问题情境法, 将教学内容合理的设计成为一种特定的问题情境, 引领学生一步一步的接近教学目标, 激发学生的学习兴趣, 培养了学生的自主思考问题以及解决问题的能力, 对学生将来步入社会的发展打下良好的基础. 此外, 在这一教学案例中, 渗透着一种重要的数学思想, 那就是“数”、“形”结合的思想, 通过对正方形的观察计算, 将图形用数字表示出来, 培养了学生良好的逻辑思维能力、归纳总结能力等, 数形结合教学思想的掌握和自然运用, 对学生以后的初中数学学习有着重要的作用, 就勾股定理这一章节来说, 就需要数形结合思想做基础.

教学案例二

勾股定理教学目标有一点是让每名学生都能自己证明这一定理, 对于勾股定理的证明这一教学内容, 一般初中数学课堂的具体教学就是:老师将学生按照某一特定标准或是随机的分为几个小组, 小组学生通过共同的努力证明这一定理, 课堂最后各小组派出代表展示自己的证明方法. 学生一般是利用自己掌握的面积计算公式证明这一定理, 还有些学生是通过观察图形这种几何方法完成勾股定理的证明.

案例二分析

在这一案例具体实施过程中, 老师的分组原则要科学合理, 每一小组至少要有一位负责任、知识水平较高的小组长, 小组长在小组证明活动中将会发挥极其重要的作用. 在这样的实际教学中, 每一名学生的能力都将得到培养, 学生的合作探索能力、 聆听能力也将会提高. 各名学生共同努力完成勾股定理的证明, 并且深刻的掌握并理解勾股定理中涉及的数学思想, 对学生提高自身数学学习能力有着重要的影响.

教学案例三

学生们认识了并证明了勾股定理以后, 老师的课堂教学内容就应该延伸到勾股定理的应用教学上. 例题为: 能否将两个正方形裁剪拼接以后得到一个面积不变的新正方形, 裁剪的次数越少越好. 老师留给学生独立思考的时间以后, 让学生自己举手回答问题, 学生“假设一开始两个正方形边长分别为ab, 那么新正方形的面积就是a2+ b2, 由于勾股定理可得, 新正方形需要是两个a, b为边长的直角三角形拼接成的”.

案例三分析

每一个数学定理的学习都是为了更好的利用它, 勾股定理也一样, 对其认识和证明都是为了在解决问题以及实际生活中更好的使用它. 因此, 初中数学老师应该重视勾股定理的应用这一教学内容, 提高学生的解决问题能力, 学生可以将数学知识应用到实际生活中也更能发挥这一学科的作用, 将学生培养成为有极高数学知识水平能力的人才.

总结

勾股定理中的数学思想 第4篇

一、方程思想

在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.

二、化归思想

化归思想就是通过一定的方法或途径，把需要解决的问题变换形式，变化成另一类已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题得到解决.

例3如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm.点B与点C的距离为5cm，一只蜗牛如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需爬行的最短路程是多少？

分析：由于蜗牛是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体展开成平面图形.根据两点之间线段最短，蜗牛爬行的较短路程有两种可能，如图4、图5所示.利用勾股定理容易求出两种图中AB的长度，比较后即可求得蜗牛爬行的最短路程是25cm.

说明：这里通过长方体的展开图，把立体图形转化为平面图形，把求蜗牛爬行的最短路程问题化归成利用勾股定理求两点间的距离问题.

例4如图6，是一块四边形的草地ABCD，其中∠A = 60O，∠B =∠D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD、BC的长（精确到0.1m，≈1.732）.

（2004年天津市中考题）

分析：图中无直角三角形，怎么办？联想到含30O角的直角三角形，因而延长AD、BC交于点E，则∠E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m，BE == m，所以AD = 40≈22.7m，BC = 20≈14.6m.

说明：本题充分利用已知图形的特点，通过构造新图形，将四边形问题巧妙地转化成了直角三角形问题.

三、数形结合思想

数形结合，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的.

例5在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？（2005年福建省龙岩市中考题）

分析：依题意画出示意图7，D为树顶，AB = 10m，C为池塘，AC = 20m. 设BD = （m），则树高AD = （ +10）m.因为AC + AB = BD + DC，所以DC = （30）m. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得方程202 + （ + 10）2 = (30)2，解得 = 5，所以 +10 = 15，即树高15m.

说明：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系.利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型，再利用方程来解决.

四、分类讨论思想

在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决.最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法.

例6 一直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边的长为______.

分析：此题中已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论，答案是5cm或cm.

例7“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A = 30O，AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积. （2003年黑龙江省中考题）

分析：由于题目中没有明确告诉我们△ABC的形状，故需分两种情况讨论.

在图8中，S△ABC=10 （20 + 15）米2；

在图9中，S△ABC= 10（2015）米2.

说明：此类问题由于题目中没有图形，常需分类讨论，解答时极易因考虑不周而导致漏解，希望同学们用心体会.

五、整体思想

对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解；如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目.

例8已知一个直角三角形的周长为30cm， 斜边长为13cm，那么这个三角形的面积为______.

分析：设这个直角三角形的两条直角边长为 ，斜边为 ，则 = 3013 = 17，于是（ + ）2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289，由勾股定理知2 + 2 = 289，即132+ 2 = 289，所以 = 60，故所求三角形面积S == 30cm2.

说明：我们要求的是面积，即，不一定要分别求出和的值，只要从整体上求出即可.

例9 如图10所示，在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = ______.（2005年浙江省温州市中考题）

分析：根据已知条件可知AC = EC，∠ABC = ∠CDE = 90O，由角的互余关系易证∠ACB =∠CED，这样可得 △ABC ≌ △CDE，所以BC = ED，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有S1 + S2 = 1，同理可得S3 + S4 = 3，所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4.

说明：本题不是直接求出S1，S2，S3，S4，而是借助勾股定理求得S1 + S2，S3 +S4，体现了整体思想在解决问题中的灵活应用.

北师大数学勾股定理 第5篇

教学目的：

⑴使学生掌握正弦定理 教学重点：正弦定理

教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，——提出课题：正弦定理、余弦定理

二、讲解新课：

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即abc== =2R（R为△ABC外接圆半径）sinAsinBsinC

ab，sinB=，sinC=1cc 1．直角三角形中：sinA=

即c=abcabc，c=，c=． ∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC

2．斜三角形中

111证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=absinCacsinBbcsinA 22

21abc 两边同除以abc即得：== 2sinAsinBsinC证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴

同理 aaCD2R sinAsinDbc=2R，＝2R sinBsinC证明三：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB



两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB

则•+•=•



∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴

ac

= sinAsinC

sinC

sinB

sinA

sinB

sinC

cbabc

同理，若过C作j垂直于CB得： =∴==

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时:

无解absinA

一解(直角)absinA



bsinAab二解(一锐, 一钝)

ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

ab无解

⑵若A为直角或钝角时:

ab一解(锐角)

三、讲解范例：

例1 已知在ABC中，c10,A45,C30,求a,b和B 解：c10,A45,C30∴B180(AC)10

5accsinA10sin450

2 由 得 a0

sinAsinCsinCsin30

由

bc

得 sinBsinC

csinB10sin1050620b20sin75205652 0

sinC4sin30

例2 在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

bccsinB1sin6001解：∵,sinC

sinBsinCb2bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900

∴ab2c2

2例3 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin450解： ,sinC

sinAsinCa22

csinAac,C600或1200

csinB6sin750

当C60时，B75,b31，sinCsin600

csinB6sin150

当C120时，B15,b1 0

sinCsin60

b1,B750,C600或b31,B150,C1200

（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若

则sinC=

解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．

由正弦定理知，1，sinA

3即sinA

．由ab知，AB60，则A30，C180AB180306090，sinCsin90

1四、课堂练习：

asinAABC中，bsinBc

sinC

k,则k为() RRR(R为△ABC外接圆半径)

ABC中，sin2A=sin2B+sin

2C，则△ABC为()

ABCcos2A中，求证：

a2cos2Bb21

1a2b

参考答案：，

bsinBsinAasinBb(sinAa)2(sinBb)2

sin2Aa2sin2B

1cos2Ab

a21cos2Bb2 

cos2Acosa22Bb21a21

b2

五、小结正弦定理，两种应用

六、课后作业： sinAABC中，已知

sinCsin(AB)sin(BC)，求证：a2，b2，c

2证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）

cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C

2

1cos2B1cos2A1cos2B2222

∴2sinB＝sin2A＋sin2

C由正弦定理可得2b2

＝a2

＋c2

即a2，b2，c2

七、板书设计（略）

八、课后记：

第二课时：教材P46页例

1、例

2、例3

北师大数学勾股定理 第6篇

析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 1.已知等腰三角形的底边长为，腰长为，则这个三角形的面积为.【答案】12

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】

试题分析：作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可． 解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5cm，BD=×6=3cm，∴AD=，∴三角形的面积为：×6×4=12． 考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质.2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

【答案】2

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】解：过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=∴EH=DH，∵EH+DH=ED，∴EH=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，222

2，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，）+×1×（3+）=

． ∴S四边形ABCD=×2×（3+利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．

3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是

A．5

【答案】D.B．10 C．12 D．13

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】

试题分析：在Rt△CAE中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：

又DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE=13.故选D.考点：1.勾股定理；2.线段垂直平分线的性质．

4.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝________．

【答案】15

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】根据勾股定理，直接得出结果：AB＝

＝

＝

＝15.5.如图，在Rt△ABC∠B＝90°中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是()

A．2 C．4

B．2 D．4

【答案】A

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝180°－30°－90°＝60° ∵DE垂直平分斜边AC ∴AD＝CD ∴∠A＝∠ACD＝30° ∴∠DCB＝60°－30°＝30° ∵BD＝1 ∴CD＝2＝AD AB＝1＋2＝3

在Rt△BCD中，由勾股定理得：CB＝在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC＝故选A.＝2

.6.在Rt△ABC中，∠C=90,AC=“8,BC=6,” 则正方形ABDE的面积为（）0

A．10

【答案】D.B．25 C．28 D．100

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】

试题分析：如图，∵∠C=90°，∴AB=BC+AC=100，即S正方形ABDE=100． 故选D.考点: 勾股定理.2227.在△ABC中,若AB=17,AC=8,BC=15,则根据______________可知∠ACB=_______________.【答案】勾股定理逆定理 90°

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】勾股定理逆定理是判定一个角是直角的重要方法，AC+BC=8+15=289=17=AB，根据勾股定理的逆定理说明AB的对角是90度.22

28.如图，在四边形ABCD中,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,∠C=90°.(1)求BD的长;

(2)当AD为多少时,∠ABD=90°?

【答案】(1)5.(2)13

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】(1)在△BDC中，∠C=90°，BC=3cm，CD=4cm，根据勾股定理，BD=BC+CD，求得BD=5cm.(2)根据勾股定理的逆定理，三角形两边的平方和等于斜边的平方，则三角形是直角三角形，所以222AD=13时，可满足AD=BD+AB，可说明∠ABD=90°，AD==13.2

29.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A．1倍

【答案】B B．2倍 C．3倍 D．4倍

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故 选B.10.下列说法中正确的是（）

A．已知是三角形的三边，则B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方

C．在Rt△中，∠°，所以

D．在Rt△中，∠°，所以【答案】C

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】A.不确定三角形是不是直角三角形，故A选项错误；B.不确定第三边是否为斜边，故B选项错误；C.∠C=90°，所以其对边为斜边，故C选项正确；D.∠B=90°，所以，故D选项错误.11.已知两条线段的长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为________时，这三条线段可以构成一个直角三角形.【答案】 cm或13 cm

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】根据勾股定理，当12为直角边长时，第三条线段长为第三条线段长为．

；当12为斜边长时，12.在△中，cm，cm，⊥于点，则_______.【答案】15cm

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线三线合一，∴∵∴.∵，∴.（cm）． 13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边

2长为7cm，则正方形的面积之和为___________cm.【答案】49

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】正方形A，B，C，D的面积之和是最大的正方形的面积，即49

．

14.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A．5，6，7

【答案】C

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.2 能得到直角三角形吗 【解析】

试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各项即可.A、C、，B、，D、，均不能组成直角三角形； B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12，能组成直角三角形，本选项正确.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理

点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.15.请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于4+7？

【答案】等于

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.1 探索勾股定理 【解析】

试题分析：边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形.如图：

AC=4，BC=3，S正方形ABED=S正方形FCGH－4SRt△ABC =(3+4)－4××3×4=7－24=25 即AB=25，又AC=4，BC=3，AC+BC=4+3=25 ∴AB=AC+BC

S正方形ABED=S正方形KLCJ－4SRt△ABC=(4+7)－4××4×7=121－56=65=4+7 考点：本题考查的是勾股定理

点评：解答本题的关键是熟练掌握边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.2

北师大数学勾股定理 第7篇

析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 1.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）

A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm

【答案】D

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．

解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×3=6，又三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6，∴BC=AB+AC=6+6=72，∴BC=6，22222故选：D．

2.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）

A． B．25

C．

D．35

【答案】B

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB====25．

（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB=由于25＜，故选B．

===．

3.如图所示，在△ABC中，∠B=90º，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为.【答案】7.【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】 试题分析：先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长．

试题解析：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=，∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理．

4.如图,矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则这个矩形的面积为______________cm.【答案】60

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】根据勾股定理求出BC的长，BC=13-5=144，则BC=12，面积为5×12=60.2

225.在△ABC中,若AB=17,AC=8,BC=15,则根据______________可知∠ACB=_______________.【答案】勾股定理逆定理 90°

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】勾股定理逆定理是判定一个角是直角的重要方法，AC+BC=8+15=289=17=AB，根据勾股定理的逆定理说明AB的对角是90度.2

26.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为______________米.A．100

【答案】D

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】由于东西方向与南北方向互相垂直，两段路程与家离公司距离形成直角三角形，根据勾股定理求得家离公司距离==1000米.B．500 C．1 240 D．1000

7.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）

A．3

【答案】A.B．4 C．5 D．6

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】

试题分析：过D点作DE⊥BC于E．

∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离AD=3． 故选A．

考点: 勾股定理的证明.，8.下列命题中是假命题的是（）A．在△B．在△C．在△D．在△【答案】C

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】A.因为正确；B.因为，所以∠°，所以△是直角三角形，故A，所以，所以△是直角三角形，故B正确；C.若，则最大角为75°，故C错误；，由勾股定理的逆定理，知△

是直角三角形，故D正确． 中，若中，若中，若中，若，则△是直角三角形，则△是直角三角形，则△是直角三角形，则△是直角三角形

D.因为9.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A．1倍

【答案】B B．2倍 C．3倍 D．4倍 【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形

【解析】设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故 选B.10.在△中，，．若，如图①，根据勾股定理，则.若△不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．

【答案】见解析

【考点】初中数学知识点》图形与证明》三角形 【解析】解：如图①，若△

是锐角三角形，则有

.证明如下： 过点作，垂足为，设2

为，则有

.在Rt△ACD中，2

2根据勾股定理，得ACCD=AD，即b2222BD，即AD= c(a x)，即∵，∴，∴是钝角三角形，x= AD.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=AB，∴..为钝角，则有

.如图②，若△

证明如下： 过点作，交的延长线于点.，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得设为，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得222AD+ BD= AB，即． 即∵，∴.，∴

.11.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A．5，6，7

【答案】C

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.3 蚂蚁怎样走最近【解析】

试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各项即可.A、C、，B、，D、，均不能组成直角三角形； B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12，能组成直角三角形，本选项正确.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理

点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.12.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

【答案】36

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.2 能得到直角三角形吗 【解析】

试题分析：由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积． ∵4+3=5，5+12=13，∴∠B=90°，∠ACD=90°

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形的面积公式

点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.22222213.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A．5，6，7

【答案】C B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12

【考点】初中数学北师大版》八年级上》第一章 勾股定理》1.2 能得到直角三角形吗 【解析】

试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各项即可.A、C、，B、，D、，均不能组成直角三角形；，能组成直角三角形，本选项正确.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理

北师大数学勾股定理 第8篇

勾股定理是人类的宝贵财富, 也是数学中一个重要的定理, 几乎所有拥有古代文化的民族和国家都对它进行了大量的研究, 找到了许多验证的方法, 这些方法不仅验证了勾股定理, 而且丰富了人们研究数学问题的方法和策略, 促进了数学的发展.对于勾股定理的研究, 我国古代有许多重要成就, 而且使用了许多巧妙的方法进行了证明, 这些都是我国人民对人类的重要贡献.现在世界上有几百种证明勾股定理的方法.在“勾股定理”一章, 教科书结合具体内容介绍了国内外著名有关勾股定理的事迹.这些都是对学生进行文化熏陶的好素材.

八年级学生, 精力充沛, 好奇心强, 求知欲旺盛, 对自主探索有很大兴趣.我校是省重点学校, 配备了计算机房、图书馆, 学生方便查找.另外我校附近, 有新华书店等各种书店和网吧, 平时有许多学生上网打游戏、看闲书, 不能正确利用网络, 因此对学生而言, 可利用他们的爱好, 培养他们爱学习的习惯.

二、活动的目标

1. 了解多种拼图方法验证勾股定理, 感受解决同一个问题方法的多样性, 进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系.

2. 了解勾股定理发现的历史, 体会勾股定理的文化价值.

3. 经历克服困难和取得成功的过程, 获得一些研究问题的经验和方法.培养学生与他人合作的精神.

三、活动准备

根据每名学生的能力、个性和他们之间的人际关系情况, 老师给学生分好组, 这样可以促进小组内部有效合作.结合书本第69页数学活动, 让学生选定好课题.老师进行研究方法的传授, 并提出实施建议.学生按分组根据自己选的课题制定研究计划.

四、活动的过程

老师展示与勾股定理有关的课本上的图案和知识点.

在学生惊叹之余, 老师给学生讲解:“也许同学们认为我们已经掌握并了解了勾股定理, 其实我要告诉大家, 我们所学的仅仅是凤毛麟角, 太多的有关知识我们并没有涉足, 就像天上的星星我们只看到耀眼的几颗, 神秘的宇宙中更多星星需要同学们去发现.同学们有没有信心去进一步研究它?”

生齐声回答:有.

师:请大家打开书本第69页, 看数学活动.请根据我们分好的组, 你们选出一位组长, 选好要研究的课题, 制定好研究计划.根据我们的实际情况, 给大家提出一些实施建议和要求.

建议:文献法, 网络查找, 实证研究, 实验法, 并对这些内容分别对学生进行解释.

要求:大家现在开始各组活动, 制定好研究计划, 明天交上来, 有什么疑问, 我们一起来商议, 下周同一时间, 我们来展示我们的研究成果.

第二天, 当我看到学生交上来的研究计划时, 我震惊于学生的计划的周密和完善.现举一例:

课题:探究勾股定理的证明方法

组长:孙明闯.

组员:张尊鼎、曹瑞、王幸、左翔翔、郝笑、李庆雯、陈腾

研究方法:文献法、网络查找法

人员分配:张尊鼎、左翔翔、郝笑负责上网查找;李庆雯、陈腾、王幸在书籍中查找, 孙明闯、曹瑞负责整理.

工作要求:书写好每一个知识点的出处.随时记下自己的感想.最后由孙明闯、曹瑞负责整理.

工作时间:下周四交齐.

看着学生整理齐齐的文稿, 这个组长是多么知人善用, 充分发挥每一个人的长处, 把小组长的才能发挥得淋漓尽致

一周后上活动课. (展示成果)

第一小组代表:我们选的是“对勾股数的探究”.

我们采取的是实验法, 借助的工具有计算器、网络查找.

我们发现以下规律:

1. 连续的勾股数只有3, 4, 5.

2.勾股数的倍数依然是勾股数.如6, 8, 10;12, 16, 20, 6n, 8n, 10n (n是整数) .

3. 凡满足a=n2-1, b=2n, c=n2+1的三个数a, b, c都是勾股数 (教科书第50页) .

4. 常见的勾股数有3, 4, 5;6, 8, 10;5, 12, 13;7, 24, 25;9, 40, 41;8, 15, 17.

5. 任取两个正整数m, n, (m>n) , 那么a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2构成一组勾股数.

生:对于勾股数网络上特别多, 我们书上的真的是寥寥无几, 让我们大开眼界, 不过我们还是进行了一一检验, 因为网络也有很多欺骗行为, 还是想自己算一下, 确保正确.

不容置疑, 学生的发言大多是在重复前人的一些研究, 但在这查找的过程中, 他们已经踏着古人的足迹在前进啦, 知识的获取有多个方面, 经历前人走过的路, 让我的学生得到的不仅仅是那勾股定理.

活动延伸:利用数学角, 展示同学们的作品.

作品1:图画《蜗牛的家》教科书第66页, 继续往下画, 画上三圈加上小胡须, 小眼睛, 活灵活现.

作品2:作文《我的梦想》片段

……我们研究的是勾股定理的证明, 虽然有很多定理证明我们是看不懂的, 但我们依然震撼于他们的意志, 有些证明经过千百次的实验, 他们用那原始的算法, 证明这个伟大的定理.而我们今天生活在一个发达的社会里, 我们又有多少精彩的传说和证明.在中国历史上有辉煌的成就, 今天的我们更应该接过接力棒冲向前方, 让五星红旗飘在国际的舞台……

五、活动反思