三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀

三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀（精选14篇）

三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀 第1篇

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三垂线定理及逆定理

上海市同洲模范学校宋立峰

三垂线定理及逆定理

面内直线面外点，过点引出两直线； 斜线斜足定射影，斜垂射影必共面。面内直线垂射影，该直线就垂斜线。面内直线垂斜线，垂直射影来作伴。

三垂线定理

影垂不怕线斜(形影不离)

即:垂直射影垂斜线

三垂线定理逆定理

斜垂影随其身(影随其身)

即:垂直斜线垂射影

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三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀 第2篇

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；

中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；

1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。

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高中数学定理的教学 第3篇

根据多年的教学经验谈一下定理的教学, 我认为定理教学要注意以下几个环节。

一、知道定理的由来

让学生清楚定理的由来, 不仅有助于理解和记忆, 还有利于培养学生的发现问题能力和创造能力。数学定理是从现实世界空间形式和数量关系中抽象出来的, 让学生了解定理由来, 通常有二种方法:一是具体事物的观察、计算等实践活动猜想, 二是通过推理来发现。例如, 讲授直线与平面平行的判定定理, 让学生用笔演示线与面平行位置关系, 再去找教室中的直线与平面平行关系, 看哪些线是平行的, 用实物让学生观察把一条直线平移出平面的过程, 如用教鞭移出黑板面, 然后去猜想判定定理。再如讲授正弦定理时, 先举出直角三角形, 通过边角之间的关系去推理在一般三角形中成立的结论。

二、明确定理的结构

明确定理的结构是证明定理的基础, 它的主要任务是帮助学生弄清定理的条件和结论, 利用数学符号, 把已知求证准确简练表达出来。

例如直线与平面垂直的判定定理, “如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面”。教学时可做如下分析:条件和结论分别是什么?一条直线与几条垂直?平面内两条直线有怎样位置关系?分析透彻了, 再把这些关系用数学符号表达出来, 画出图形, 标清字母, 然后可以写已知和求证了。

三、掌握定理的证明

定理的证明是定理教学的重点, 通过证明可以帮助学生理解定理的正确性, 了解定理成立的条件, 加深对数学定理的理解, 便于记忆和应用, 同时一些定理的证明方法具有一定的代表性, 对于以后解决其他问题提供了方法。例如在立体几何中定理的证明很多都用了反证法, 让学生掌握反证法这么的思路, 对以后会有很大好处, 掌握这些证明方法, 有助于使学生逐步养成严谨思考的习惯, 提高分析和解决问题的能力。

讲解定理的证明, 应使学生明确证明的结构, 掌握常用的一些证明方法, 在证明过程中遵循证明的规则。为此, 在教学时, 必须加强分析证明思路, 对于结构比较复杂的定理, 可以先以分析法为主寻求证明的思路, 然后用综合法表述证明过程, 把整个证明过程有条理地完整地叙述出来。特别在定理教学的开始阶段, 教师应该注意规范化的板书, 规范书写的格式和写明每一步推理的依据, 给学生提供必要的示范。

四、注重定理的应用

学生掌握数学定理有一个过程的, 一般是先懂、再会、后熟, 应用所学的定理去解答有关的问题, 是实现掌握定理的重要环节。通常可以结合例题和典型习题教学, 让学生通过动笔、动脑, 自己总结定理的适用范围, 明确定理应用时的注意事项, 把握所解决的问题的基本类型。

例如正弦定理和余弦定理的应用, 可以解的三角形有以下几种情况: (1) 已知一边和两角用正弦定理。 (2) 已知两边和夹角由两个定理共同完成。 (3) 已知三边用余弦定理。 (4) 已知两边和一边对角用正弦和余弦定理。这样把能解决的基本题型都做了归类, 为以后熟练应用定理打下了基础。

五、把定理纳入知识系统

数学教材中的定理是一个有系统的知识体系, 弄懂各个定理在数学体系中的地位、作用, 以及定理之间的内在联系, 可以全面把握数学定理的全貌。为此, 在定理教学中, 应让学生了解每个定理在知识体系中的作用;在总结复习时, 可以运用图示、图表等方法, 把学过的定理进行系统的整理。

例如, 空间直线与平面垂直的判定方法:

三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀 第4篇

【关键词】拉格朗日中值定理 导数 单调性

1. 拉格朗日中值定理及其几何意义

拉格朗日中值定理是高等数学的一个重要定理，把该定理与高中数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对相关数学问题的理解，而且有助于我们更好的把握中学数学的本质，从而可以居高临下的处理教材，达到事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

[3]鲁凤娟.拉格朗日中值定理在高中数学证明不等式中的巧妙运用[J].数学通讯，2012，（2）：：31-32.

三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀 第5篇

１．计数原理知识点

①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)２． 排列（有序）与组合（无序）

Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!

Cnm = n!/(n-m)!m!

Cnm= Cnn－mCnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!－k!

３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）

插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等

在求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；

(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：

①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.４．二项式定理知识点：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn

特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m

最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和

Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n-1 ③通项为第r+1项： Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

数学的奇葩定理知识点 第6篇

定理1：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家。

假设有一条水平直线，从某个位置出发，每次有 50% 的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米。按照这种方式无限地随机游走下去，最终能回到出发点的概率是多少?答案是100% 。在一维随机游走过程中，只要时间足够长，我们最终总能回到出发点。

现在考虑一个喝醉的酒鬼，他在街道上随机游走。假设整个城市的街道呈网格状分布，酒鬼每走到一个十字路口，都会概率均等地选择一条路(包括自己来时的那条路)继续走下去。那么他最终能够回到出发点的概率是多少呢?答案也还是 100% 。

刚开始，这个醉鬼可能会越走越远，但最后他总能找到回家路。

不过，醉酒的小鸟就没有这么幸运了。假如一只小鸟飞行时，每次都从上、下、左、右、前、后中概率均等地选择一个方向，那么它很有可能永远也回不到 出发点了。事实上，在三维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率只有大约 34% 。

这个定理是著名数学家波利亚(George Pólya)在 1921 年证明的。随着维度的增加，回到出发点的概率将变得越来越低。在四维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率是 19.3% ，而在八维空间中，这个概率只有 7.3% 。

定理2：把一张当地的地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。

也就是说，如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图，那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。

1912 年，荷兰数学家布劳威尔(Luitzen Brouwer)证明了这么一个定理：假设 D 是某个圆盘中的点集，f 是一个从 D 到它自身的连续函数，则一定有一个点 x ，使得 f(x) = x 。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理(Brouwer fixed point theorem)。

除了上面的“地图定理”，布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论。如果取两张大小相同的纸，把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上，根据布劳威尔不动点定理，纸团上一定 存在一点，它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。

这个定理也可以扩展到三维空间中去：当你搅拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一个点，它在搅拌前后的位置相同(虽然这个点在搅拌过程中可 能到过别的地方)。

定理3：你永远不能理顺椰子上的毛。

想象一个表面长满毛的球体，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗?拓扑学告诉你，这是办不到的。这叫做毛球定理(hairy ball theorem)，它也是由布劳威尔首先证明的。

用数学语言来说就是，在一个球体表面，不可能存在连续的单位向量场。这个定理可以推广到更高维的空间：对于任意一个偶数维的球面，连续的单位向量场都是不存在的。

毛球定理在气象学上有一个有趣的应用：由于地球表面的风速和风向都是连续的，因此由毛球定理，地球上总会有一个风速为 0 的地方，也就是说气旋和风眼是不可避免的。

定理4：在任意时刻，地球上总存在对称的两点，他们的温度和大气压的值正好都相同。

波兰数学家乌拉姆(Stanis?aw Marcin Ulam)曾经猜想，任意给定一个从 n 维球面到 n 维空间的连续函数，总能在球面上找到两个与球心相对称的点，他们的函数值是相同的。1933 年，波兰数学家博苏克(Karol Borsuk)证明了这个猜想，这就是拓扑学中的博苏克-乌拉姆定理(Borsuk–Ulam theorem)。

博苏克-乌拉姆定理有很多推论，其中一个推论就是，在地球上总存在对称的两点，他们的温度和大气压的值正好都相同(假设地球表面各地的温度差异和大气压差异是连续变化的)。这是因为，我们可以把温度值和大气压值所有可能的组合看成平面直角坐标系上的点，于是地球表面各点的温度和大气压变化情况就可以看作是二维球面到二维平面的函数，由博苏克-乌拉姆定理便可推出，一定存在两个函数值相等的对称点。

当 n = 1 时，博苏克-乌拉姆定理则可以表述为，在任一时刻，地球的赤道上总存在温度相等的两个点。

对于这个弱化版的推论，我们有一个非常直观的证明方法：假设赤道上有 A、B 两个人，他们站在关于球心对称的位置上。如果此时他们所在地方的温度相同，问题就已经解决了。下面我们只需要考虑他们所在地点的温度一高一低的情况。不妨假设，A 所在的地方是 10 度，B 所在的地方是 20 度吧。现在，让两人以相同的速度相同的方向沿着赤道旅行，保持两人始终在对称的位置上。假设在此过程中，各地的温度均不变。旅行过程中，两人不断报出自己 当地的温度。等到两人都环行赤道半周后，A 就到了原来 B 的位置，B 也到了 A 刚开始时的位置。在整个旅行过程中，A 所报的温度从 10 开始连续变化(有可能上下波动甚至超出 10 到 20 的范围)，最终变成了 20;而 B 经历的温度则从 20 出发，最终连续变化到了 10。那么，他们所报的温度值在中间一定有“相交”的一刻，这样一来我们也就找到了赤道上两个温度相等的对称点。

定理5：任意给定一个火腿三明治，总有一刀能把它切开，使得火腿、奶酪和面包片恰好都被分成两等份。

而且更有趣的是，这个定理的名字真的就叫做“火腿三明治定理”(ham sandwich theorem)。它是由数学家亚瑟?斯通(Arthur Stone)和约翰?图基(John Tukey)在 1942 年证明的，在测度论中有着非常重要的意义。

火腿三明治定理可以扩展到 n 维的情况：如果在 n 维空间中有 n 个物体，那么总存在一个 n - 1 维的超平面，它能把每个物体都分成“体积”相等的两份。这些物体可以是任何形状，还可以是不连通的(比如面包片)，甚至可以是一些奇形怪状的点集，只要满足点集可测就行了。

定理6：四色定理

四色定理的本质正是二维平面的固有属性，即平面内不可出现交叉而没有公共点的两条直线。很多人证明了二维平面内无法构造五个或五个以上两两相连区域，但却没有将其上升到逻辑关系和二维固有属性的层面，以致出现了很多伪反例。不过这些恰恰是对图论严密性的考证和发展推动。计算机证明虽然做了百亿次判断，终究只是在庞大的数量优势上取得成功，这并不符合数学严密的逻辑体系，至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。

定理7：费马大定理

费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。

它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。

被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。

定理8：奥尔定理

如果一个总点数至少为3的简单图G满足：G的任意两个点u和v度数之和至少为n，即deg(u)+deg(v)≥n，那么G必然有哈密顿回路。

定理9：托勒密定理

高中数学相关定理 第7篇

高中数学相关定理、公式及结论证明

（一）三角函数部分。

一、两角和（差）的余弦公式证明。

内容：cos()coscossinsin,cos()coscossinsin

证明：

①如图（1），在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,-sin）

则：OPOQ)cos()OPOQcoscossinsin

cos()coscossinsin图（1）

②如图（2），在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,sin）

则：OPOQ)cos()OPOQcoscossinsin

cos()coscossinsin图（2）

二、两角和（差）的正弦公式证明。

内容：sin()sincoscossin,sin()sincoscossin

证明：

sin()cos[

2()]cos[(

2)]cos(

2)cossin(

2)sin

sincoscossin

sin()cos[

2()]cos[(

2)]cos(

2)cossin(

2)sin

sincoscossin

三、两角和（差）的正切公式证明。内容：tan()

证明： tantan1tantan，tan()tantan1tantan

sincos

tan()

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin



coscoscoscoscoscos



cossincoscossinsincoscos



tantan1tantan

sincos

tan()

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin



coscoscoscoscoscos



cossincoscossinsincoscos



tantan1tantan

四、半角公式证明。内容：sin

2

1cos,cos



2

1cos,tan

2



1cos1cos



2sin1cos



1cos2sin

cos212sin

证明：由二倍角公式 2

cos22cos

12cos12sin2

用代替2，得，得sin2

cos2cos212

sincos

cos,cos

2



cos

2

tan

2

sincos

2

2cos2cos

2

2

2

2



2sin1cos，tan

2

sincos

2

sincos

2

2sin2sin

2

2

2

2



1cos2sin

五、正弦定理证明。

内容：在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则证明：①如图（3），在RtABC中，sinA



asinAbc,

bsinB



csinC

.ac,sinB

asinA



bsinB

c，C90,sinC1.

asinA



bsinB



csinC

.图（3）

②如图（4），在锐角ABC中，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为BC

CbsinC



2B)csinB,bsinB



csinC,同理

asinA



bsinB



asinA



bsinB



csinC

.图（4）

③如图（5），在钝角ABC中，以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为CC

BcsinBC



2)bsinC,bsinBasinA



csinCbsinB,同理

c

asinA



bsinB



sinC

.图（5）

六、余弦定理证明。

a2b2c22bccosA



2ABC内容：在中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则ba2c22accosB

222

cab2abcosC

证明：如图（6），在ABC中，aaBC

(ACAB)(ACAB)

2ACAB

2

2ACABcosA2

bc2bccosA图（6）

222

abc2bccosA

同理可证：2 22

cab2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

内容：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a，存在唯一一对 实数1,2，使得a1e12e2.证明：如图（7），过平面内一点O，作OAe1,OBe2,OCa，过点C分别作直 线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使

得OM1OA,ON2OB图（7）

OCOMONOC1OA2OB

即a1e12e2.二、共线向量定理。

内容：如图（8），A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有

PCPA(1)PB

证明：由题意，BC与BA共线，BCBA

BCPCPB,BAPAPBPCPB(PAPB)

图（8）

化简为：PCPA(1)PB

三、平行向量定理。

内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。

证明：设a,b是非零向量，且a(x1,y1),b(x2,y2)若a//b，则存在实数使ab，且由平面向量基本定理可知

x1iy1j(x2iy2j)x2iy2j.x1x2①，y1y2②

①y2②x2得：x1y2x2y10

若y10,y20（即向量a,b不与坐标轴平行）则

x1y

1x2y

2（三）立体几何部分。

一、三垂线定理及其逆定理。

内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

证明：已知：如图（9），直线l与平面相交与点A，l在上的射影OA垂直于a,a

求证：l⊥a

证明：过P作PO垂直于

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l图（9）

（四）解析几何部分。

一、点到直线距离公式证明。

内容：已知直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).则其到直线l的距离为d

Ax

ByA

C。

B

证明：如图（10），设直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).直线上一点P(x,y).可得直线的 一个方向向量为v(B,A),设其法向量为n(s,t)则vnBsAt0，可得直线一法向量为n(A,B),n的单位向量为n0

（AA

B,A

B

B)图（10）

由题意，点M到直线的距离为PM在n0上的射影，所以，d

A(x0x)B(y0y)

A

B



Ax

By

0

2(AxBy)B

②

A

因为点P(x,y)在直线上，所以C(AxBy)①

Ax

ByA

所以，把①代入②中，得d

00

C

B

（五）数列部分

一、等差数列前n项和公式证明。

内容：an是等差数列，公差为d，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sna1n证明：由题意，Sna1(a1d)(a12d).......(a1(n1)d)① 反过来可写为：Snan(and)(an2d).......(an(n1)d)②

①+②得：2Sna1na1n.......a1n



n个

n(n1)

d

n(a1an)

所以，Sn

n(a1an)

③，把ana1(n1)d代入③中，得Sna1n

二、等比数列前n项和公式证明。

n(n1)

d

n(a1an)

na1,(q1)

n

内容：an是等比数列，公比为q，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sn=a1anq a1(1q)

,(q1)

1q1q

证明：Sna1a1qa1q.......a1qqS

n

2n

1①

n

a1qa1q

a1q

.......a1q②

n

①—②得：(1q)Sna1a1q，当q1时，Sn

a1a1q1q

n



a1(1q)1q

n

③

把ana1q

n1

代入③中，得Sn

a1anq1q

当q1时。很明显Snna1

na1,(q1)

n

所以，Sn=a1anq a1(1q)

,(q1)

1q1q

（六）函数和导数部分

一、换底公式证明。内容：log

N

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b0;a,b1)

证明：设log

a

NX,log

a

bY，则ba,Na

YX

log

b

Nlog

a

Y

a

X



XY

log

a

a

XY



loglog

aa

三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀 第8篇

关键词：公式,定理,记忆,运用

在高中三年的数学学习过程中, 学生会碰到各式各样学习上的困难和挫折, 其中一个常见的问题就是对数学中的概念、公式、定理的记忆和运用有困难, 这也是造成许多聪明上进的学生学不好数学, 慢慢失去信心, 丧失学习兴趣的原因之一。

高中数学体系庞大, 包含了函数、数列、算法、概率、统计等诸多数学分支的基础性知识, 这本是希望为学生未来的数学学习打下基础, 可同时也造成高中数学公式、定理等繁杂难记。在高中阶段, 常用的数学概念、公式、性质、结论共计就有两百多条, 很多学生即使勉强记住却不知如何运用。例如, 在刚刚结束的2015 年高考中, 许多学生和我交流后才发现, 安徽省理科高考卷的第20 题第一个小问题运用一下定比分点公式就可以轻松解决。这本是必须拿分的题目, 处在考试时的紧张气氛下, 很多学生却不知如何下手。文章结合笔者经验, 较为系统地总结了教师如何帮助学生在学习过程中有效地记忆和运用数学公式和定理, 提高教学质量。

一、系统完整梳理, 不留遗漏

布鲁纳曾说过:“获得的知识, 如果没有完满的结构把它联在一起, 那是一种多半会遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命。”

基本上有经验的数学教师都知道系统梳理学科知识的重要性。在日常教学中, 有的教师把学生所学的知识变成一个网, 或绘制成扼要的直观结构图, 这样就很容易表现知识的内在联系, 实现知识间关系的清晰化。学生在掌握章节或是学科结构后对概念、公式的记忆也变得高效。但其实这仅仅是系统学习知识结构的第一步, 当学生可以轻松地画出一棵大树的主干枝节, 要想这棵树生动形象, 还要绘出丰富而不繁冗的树叶。而在数学这棵大树中, 树叶就是各种细节的知识点。教师在教学中, 需要丰富自己的学科经验, 细心梳理, 不留遗漏。例如, 许多高三一轮复习资料虽在第一章节中将集合的主要公式、性质一一列出, 但却遗漏一个重要的公式———求集合中元素个数。公式:A, B为两个集合, Card (A) , Card (B) 分别表示集合A, B的元素个数, 则:Card (A∪B) =Card (A) +Card (B) -Card (A∩B) 。当时, Card (A∪B) =Card (A) +Card (B) 。这个公式之所以需要提到, 是因为概率章节当中一个重要公式———概率的加法公式, 是这个公式的衍生。概率的加法公式:A, B为两个事件, 则P (A∪B) =P (A) +P (B) -P (A∩B) 。且当A, B为互斥事件时, P (A∪B) =P (A) +P (B) 。

如果教师在复习集合知识时可以清楚地解释集合元素个数公式, 并在复习概率加法公式时将两者加以类比, 那么学生不仅可以理解熟记这个公式, 而且运用时也不会犯错。这个公式可以进一步扩展为:Card (A∪B∪C) =Card (A) +Card (B) +Card (C) -Card (A∩B) -Card (A∩C) -Card (B∩C) +Card (A∩B∩C) 。

如果把上述公式中Card改为字母P变为概率公式, 显然也成立。变化后的公式其实就是大学概率知识中全概率加法公式的简单形式。所以对于后一个公式, 教师要根据学生的情况决定要不要补充, 防止学生过度记忆, 像这样被学生甚至是教师忽略的公式还有不少。

例如, 学生们都知道如果函数f (x) 关于原点对称, 那么它满足:f (-x) = -f (x) , 现在将这个性质进一步扩展, f (x) 关于点 (a, b) 对称, 则它满足f (2a - x) = 2b - f (x) , 后一个性质就不那么为学生所熟知。可是在高考中, 这个性质的确考查过。

另外, 一些看似简单却很典型题目的结论也需要教师总结后教给学生记忆, 方便学生提高运算速度。例如, 笔者在教学过程中, 反复要求学生记住一个简单却有用的结论:等边三角形边长为a, 边上高为, 面积为。再比如, sin 75°, cos 75°, sin 15°, cos 75°它们的值和相互关系;当sinα≥cosα时, α的取值范围为等。诸如此类的有用的结论在高中数学中可为数不少, 需要教师累积经验, 在教学过程中细致地为学生讲解梳理。

二、理解记忆, 有效复习

Perkins说过:“当学习者能思考, 能灵活地运用自身所学的知识时, 理解力就向人们展示它的存在。相反, 如果一个学习者无法超越死记硬背, 固执于某种思维和行为方式, 这就是缺乏理解的一种表现。”由于高中数学的学科性质决定了学习数学不能像小学生背诵乘法口诀表, 或是背诵化学元素周期表那样死记硬背, 运用其解题时更不能生拉硬套。没有理解就没有记忆, 很多经典的心理学实验也证明了, 对记忆对象深入理解, 更容易将其转化为长时记忆。

另外, 奥苏贝尔的有意义学习理论虽然已经被广大教育者所熟知, 但在教学实践过程中想运用理论可没那么容易。比如是根式运算中的一个常用公式, 这个公式在初中就已经学习过, 但是很多学生在运算中始终都不加绝对值, 即使教师反复提醒, 还不断犯错, 教师一提醒就知道, 不提醒就忘记了。究其原因是许多学生已经对平方根和算术平方根的概念没有真正理解, 而教师也忽略对其讲解, 主观认为学生们已经在初中学过, 就肯定知道了。

当然, 大部分教师在课堂教学中都会对重要概念、定理进行详细讲解, 并指导学生在理解的基础上记忆, 但学生自己是否“吃透了”教师传授的知识其实很难知晓。莫里斯·比格认为, 一个人真正理解了一条原理, 有几个判断标准: (1) 用自己的话把它陈述出来; (2) 给出有关它的例子; (3) 在不同的环境中认出它的各种形态; (4) 看出它能投入使用的地方; (5) 在各种情境中使用它; (6) 预期它的使用结果, 等等。可见, 完全让学生掌握一条定理或性质不是在一节课中就可以做到的, 需要师生双方在课上课下相互配合, 共同努力。

教师可以在课堂教学中遵循以上几条原则, 合理设计教学过程。例如, 在讲述新的概念、定理时, 教师可以让学生在预习的基础上相互讨论, 自己总结发言, 教师再适时的指导, 讲授一些典型的例题, 并要布置一些针对性强的课后作业让学生独立完成。学生自己也要以上面标准指导课后自学, 在课后要做一些习题, 掌握公式定理的运用条件, 避免“一看就会, 一听就懂, 一做就错”的现象, 那其实是知识还没有真正的掌握。

最后, 复习在学习中的作用不言而喻, 每复习一次就多一次重新考虑或寻找材料之间的机会, 从而也增加了信息加工的深度, 促进对公式、概念的理解。

教师在教学中应有意识地运用多种手段帮助学生复习知识, 教授给学生合理的复习方法并努力使学生主动参与进来。例如, 在对数列知识的讲解时, 将等差数列和等比数列的公式、性质列成表格, 将两块知识类比讲解, 促进学生的理解记忆;在讲解立体几何众多定理和性质时, 提醒学生将图形、符号、语言三者结合的方式联结起来记忆可达到事半功倍的效果;在每节课上课开始时通过提问、默写等方式带领学生一起复习上节课知识点等。

复习当然不是教师单方面的活动。信息加工论者和其他认知主义学习理论的支持者都认为, 仅仅依靠教师是无法直接把信息传递到学生的长时记忆中的。如果学生自己主观上不努力或不会有效复习, 那想要学生熟悉公式、定理, 再优秀的教师也是鞭长莫及。正所谓“志不强者智不达”, 学生自己要具有坚强的意志力, 克服困难的决心和斗志, 才能有有效的记忆效果。

三、积极思考, 主动参与, 勤于动笔

第斯多惠说:“一个坏教师奉送真理, 一个好的教师则教人发现真理。”建构主义学习理论教学倾向以学生为中心, 教师主要承担的是调动学生学习的积极性, 为学生提供学习资源, 为学生建构知识提供支持和帮助, 而不是把知识一股脑灌输给学生。既要把握知识脉络的细节, 又不能对有的知识点讲得太细, 留出空间让学生自己思考, 拿捏两者之间的度, 是成为优秀教师的必要条件。比如, 在向量章节中有一个典型的结论:△ABC中, 表示的是与方向相同的单位向量, 则表示的向量在∠BAC的角平分线上。为什么就表示的是与方向相同的单位向量?为什么表示的向量就是在∠BAC的角平分线上?学生刚接触这个结论时一定会产生这样的疑问, 而且这个结论如果不去理解而去死记硬背的话基本很难灵活运用。当然教师是可以很轻松地向学生讲解证明, 但以笔者的实际经验来看效果并不理想。讲解相似的题型两三遍, 有的学生再碰到感觉见过, 就是想不起来。其实还不如教师提示, 让学生利用平行四边形法则和平面几何知识自己思考证明, 实际记忆效果要比教师单方面讲解要好得多。

教学是教师和学生共同组成的双边活动。学生是学习的主体, 在教学活动中要积极参与, 而课下的自主学习是学生最需要花费精力和努力的, 也是学生提高成绩的关键。学生的自主学习, 教师可以指导, 但不可以替代。比如, 三角函数知识是高考考查的一个重点, 特别是三角函数恒等变换这一章节, 公式不仅繁多复杂, 相互之间还相似难以区分。但是这些公式其实可以由一个两角和的余弦 (或正弦) 公式将其全部推导出来, 学生应该在教师讲解完毕后课下自己反复地推导几遍, 推导的过程中会明确公式之间的衍变和联系, 公式自身的特征和运用时需要注意的要点。严格的说, 高中阶段绝大部分的数学公式、定理的推导和证明, 学生都必须要掌握。虽然说高考是没有时间让学生去证明公式, 但万一对某一个公式的回忆出现“短路”, 也可以通过推导的方法求出来。况且在高考中还出现过题目要求直接证明数学定理, 如2011 年陕西文科一道解答题就是余弦定理的证明。面对高中数学如此繁多的公式、定理的推导证明, 学生必须在课下付出汗水, 勤于动笔。

此外, 数学的学习是灵活多变的, 我们记公式的目的是运用公式解决实际问题, 解题目过程中, 我们可以进一步熟悉公式及其应用, 更深刻地理解公式, 这样也可加深记忆, 并且使公式有了运用的生命力, 这也是很多学生推崇题海战术的原因之一。但切忌一边做题一边翻书查公式, 而不作记忆, 下次碰到再查, 导致翻开书会做题, 合上书做不下去的情况。在大量做题的基础上, 学生自己或者在教师的引导下对同类型的进行分析、总结常见类型题目解题思路和常用公式, 分试题类型归纳公式, 将知识系统化。如分三角函数、概率、立体几何、数列、解析几何、导数解决函数问题几大类, 整理出常考知识点和常用公式, 形成学生自己的能够指导解题的公式大全。例如, 在开篇所提到的定比分点公式, 2011 年安徽省理科解析几何压轴题, 2013 年北京理科第17 题立体几何大题都运用了这个公式解题。

三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀 第9篇

关键词：高中数学 圆 垂径定理 例题解析

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）1（b）-0000-00

1圆的垂径定理及其重要性分析

圆在高中数学中占据着极为重要的位置，在高考数学中所占的比例也是相当之大的，其一直是高考的核心内容之一。从近年来的考察分析来看，高考对圆部分的要求越来越高，因而在日常的学习和圆部分的训练一定要循序渐进，掌握层次。这就需要咱们的学生在对知识有一定掌握的同时，必须要让学生能够对相关知识能进行进一步的灵活应用，在解决较为困难或综合性较强的问题的同时， 能够发散自己的思维。 解题的高效，灵活， 快捷，方便。有的人会说，解析几何的本质就是在于引导学生使用代数法对几何图形的性质进行相关的研究， 使几何问题代数问题两者之间能够相互转换， 一旦只是一味的使用纯代数进行相关的运算，方式方法的选择不得当的话，解析几何的运算量将会有明显的增大，学生的解题正确率就会很明显地下降，常常会因为运算太繁琐半途而废，也常常会因为运算的失误功亏一赞。

在高中数学的几何教学中，数形结合的思想无疑是最重要的数学思想之一，数形结合的典范很大一部分来自于解析几何，能够进一步体现数形结合的数学思想，学生若是能够对几何图形进行深入研究会发现，数的严谨性与形的直观性能在这一思想中得到充分的发挥。

2垂径定理证明

如图1 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

图1垂径定理证明图

证明：连OA、OB分别交于点A、点B.

∵OA、OB是⊙O的半径

∴OA=OB

∴△OAB是等腰三角形

∵AB⊥DC

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）

∴弧AD=弧BD，∠AOC= 角BOC

∴弧AC=弧BC

3 题型分析

3.1 常规题

已知圆C：（x-1）^2+y^2=9 内有一点P（2，2），过点P作直线L交圆C于A、B两点.

（1）当弦AB被点P平分时，求直线L的方程。

（2）当直线的倾斜角为45°时，求弦AB的长。

（1）当弦AB被点P平分时

圆心C与点P的连线必然与AB垂直

所以得到AB的斜率

k=-1/2

y-2=-1/2（x-2）

x+2y-6=0

（2）直線l的倾斜角为45°，直线AB的方程y=x

求圆心（1，0）到直线y=x的距离为1/√2

利用垂径定理，得|AB|=2×√34/2=√34。

3.2 两圆相交，巧用垂径定理

圆c：x2 +y2=2，过P（1，1）作两条相异直线与圆分别交于A，B两点，直线PA和PB拘倾斜角互补，判断直线OP与AB是否平行？若是，请给出证明；若不是请说明理由

解 过点P作y轴的平行线，与圆C交于点Q，则Q（l，-l）因为直线PA和PB的倾斜角互补，所以直线PA、PB关于直线Po对称，即角APQ=角BPQ所以，AQ= BQ，所以，oo垂直平分AB.因为直线OQ'的斜率为-l，直线OP的斜率为l，所以OO垂直OP，所以OP与AB平行。

3.3 椭圆化圆，运用垂径定理简化过程

椭圆的问题通常采用二次方程的根与系数的关系或引入参数来求解，但常常导致运算上的繁琐和消参的困难，而圆的有关问题却更容易解决。圆和椭圆具有明显区别，但又有必然联系。对于圆来说，利用垂径定理和点到直线间的距离公式，可以极大地简化计算量。将椭圆转化成圆，是利用了点与曲线、曲线与曲线的位置关系在这一变换下的不变性。

先对椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax'，y=by'的坐标转换。在这种转换下，xoy平面内的任一点P（x，y）转换为x'o'y'平面内的点P'（x'，y'）。椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1也就转换为x'o'y'平面内的单位圆x'^2+y'^2=1。但是要注意，被转化的椭圆的方程是标准方程。【椭圆的一般方程（高中不接触）经坐标变换总可以化为标准方程，当然我们接触的都是标准方程】还要注意要将结果完全还原。常见的问题会有：判断直线和椭圆位置关系，常规解法应该是直线与椭圆方程联立根据方程解的个数来判断直线与椭圆的位置关系。但如果把椭圆圆化，此问题便转化为直线与圆的位置关系了。因而，对上面问题的证明通常情况下可进行如下处理：一般化情况下，直线Ax+By+C=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置关系讨论（也是一个定理）如前所述，首先作变换x=ax'，y=by'，那么直线和椭圆分别转化为直线aAx'+bBy'+C=0和单位圆x'^2+y'^2=1。得到圆心到直线距离公式d=|C|/√（a^2A^2+b^2B^2）。（这个公式是不改变的）原来的直线和椭圆相交，就是转化后的直线和圆相交，那么d<1，得到a^2A^2+b^2B^2-C^2>0。同理，直线和椭圆相切，就是转化后的直线和圆相切，a^2A^2+b^2B^2-C^2=0；直线和椭圆相离，a^2A^2+b^2B^2-C^2<0。

参考文献

[1]许明达. 展示 “垂径定理” 教学过程 培养学生的思维品质[J]. 辽宁教育， 1998， 6.

[2]陈广南. 圆与正多边形——圆的概念与垂径定理[J]. 中学理科： 初中数理化， 2004 （11）： 69-70.

[3]赵彦庆. 关于垂径定理的另一条推论及其应用[J]. 中学生数学： 高中版， 2010 （008）： 37-37.

高中数学定理 第10篇

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)cot2A=(cot2A-1)/2cota

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式：

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式：

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式：

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))

cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式：

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))

cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式：

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))

tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式：

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^

4))

cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))

tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

·：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB-cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀 第11篇

教学目标

进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.

教学重难点

教学重点：熟练运用定理.

教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.

教学过程

一、复习准备：

1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.

2. 讨论各公式所求解的三角形类型.

二、讲授新课：

1. 教学三角形的解的讨论：

① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.

分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化?

②用如下图示分析解的情况. (A为锐角时)

② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.

2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：

① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.

分析：已知条件可以如何转化?→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.

② 出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.

分析：由三角形的什么知识可以判别? → 求最大角余弦，由符号进行判断

③ 出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.

分析：如何将边角关系中的边化为角? →再思考：又如何将角化为边?

3. 小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.

三、巩固练习：

三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀 第12篇

要点透视：

1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a，b，c换成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C来解题．

2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式

BCAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，进行三角变换的运2

2用．

4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．

5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：

（1）根据题意画出示意图．

（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．

（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．

（4）给出答案．

活题精析：

例1．(2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD的边长是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四边形ABCD的面积．

要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．

解：如图所示，连BD，四边形ABCD的面积

11S=SABDSCDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对

边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要点精析：（1）∵ a，b，c成等差数列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2c2a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin6032∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．

13要点精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，当∠C=60°时，c2＝a2＋b2－ab，c

当∠C=120°时，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.练习题

一、选择题

tanAa

21．在△ABC中，若，则△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

ABab2．在△ABC中，tan，则三角形中（）2ab

A．a＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a=b或c2=a2+b2

3．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．设α，β是钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）

1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）C．a=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三边分别为 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），则最大内角的度数为（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空题：

abc7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，则 sinAsinBsinC

1138．△ABC的三边满足：，则∠B＝ abbcabc

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，则sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC边上的中线长是ma，用三边a，b，c表示ma，其公式是.三、解答题

11．设a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有两个相等实根，且sinCcosA－cosCsinA=0，试判断△ABC的形状。

12．已知⊙O的半径为R，若它的内接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小；

（2）求△ABC的面积S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式；

（2）当a等于多少时，S有最大值并求出最大值；

（3）当a等于多少时，周长l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面积S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

CCCC15．在△ABC中，m(cos,sin)，n(cos,sin)，且m与n的夹角是． 22222

（1）求C；

三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀 第13篇

“任务驱动”是一种建立在建构主义教学理论基础上的教学法。建构主义教学设计原则强调:学生的学习活动必须与任务或问题相结合, 以探索问题来引动和维持学习者的学习兴趣和动机;建立真实的教学环境, 让学生带着真实的任务学习;学生拥有学习的主动权, 教师不断地挑战和激励学生前进。

在引入正余弦定理之前可以先布置本次课后的“任务”:在视觉范围内, 有一座不知具体高度的山, 现有工具:卷尺、测角仪, 能否得到此山的大致高度?

这样提出问题的优点在于:1.问题生活化, 让学生意识到知识的价值所在, 消除学生潜意识里数学学而无用的误解, 激发探索欲;2.问题简洁化, 学生容易接近, 易于审题, 不会望题生畏, 保护了学生的解题自信心。有了这两点保证, 学生将会主动带着问题, 有目的地去迎接新知识的引入。

2. 认清对象, 轻重分明

教师讲课不能只是照本宣科, 首先必须认清自己授课的对象, 他们的知识基础、他们的学习需求才是授课时应该考虑的重点。对于中学生来说, 数学教学的目的是为了培养他们的逻辑思维, 判断推理和知识应用等多方面的能力, 因此, 公式的推导、分析理解及合理应用等方面都不可忽视;对于数学专业的本科生来说, 数学教学是为了教会他们如何自学、如何创新, 增加知识面的深度和广度, 以达到会用乃至会改进、会创新知识的目的。因此, 结论的推导和分析才是讲课的课上重点, 在应用方面就是学生自己课后的任务了, 仁者见仁, 智者见智。然而, 对于五年制高职的学生而言, 他们学习数学的目的就是为了运用, 数学知识的研究探讨并不是他们的强项, 更不是他们学习的任务, 所以, 对他们上课时结论的推导可以不作要求, 知识的理解和应用是关键。

在引入正余弦定理时, 可直接给出结论:

当然, 结论给出后进行相应的解释来帮助理解和记忆也是必须的, 学生只有在理解了公式的基础上才能准确并灵活运用它。

3. 运用现有结论, 促成派生, 扩大知识适用范围

数学中的结论促成的派生就是我们常说的推论, 推论的作用是将已经被认可和接受的结论中隐藏的一些结论用显性的描述方式表示出来。

例如我们最熟悉的路程公式:s=v·t, 利用公式我们可以很明显地意识到在速度v和时间t已知的情况下, 路程s可以很方便地由速度和时间的乘积得到。那么如果知道了路程s和时间t能否求出速度v呢?对于我们有一定知识基础的人来说答案显而易见, 只要将公式进行小小的变形即可求解, 但对于初学者来说这是一个难点, 因为逻辑推理的能力并非人们与生俱来的, 它需要我们通过学习数学来一点一滴慢慢培养, 而从已知结论推理出它的派生的过程既是我们逻辑推理能力的到培养的过程, 也是我们开拓结论适用性的过程。

以上的三个公式只适用于已知三角形两边和它们的夹角求解三角形的情况, 然而只要我们将它们作一下变形:

我们发现现在的公式适用的情况是已知三边求三角。到此我们就将余弦定理的适用范围推广到两种情况之下了。如此的思想在以前和今后的学习中也是时有出现。

4. 归纳总结, 增强知识结构的整体性与概括性

知识结构就是知识在人们头脑中的系统组织, 它具有整体性和概括性。认知心理学认为, 知识结构的整体性越强、概括水平越高, 就越有利于学习的保持与迁移。因此, 在教学中我们必须随着该教学进度的推进, 及时归纳总结已学内容的规律, 以促进学生认知结构概括水平的不断提高, 最终促使学生高效高质地整体掌握该单元, 从而形成整体性强、概括程度高的知识结构。

在学习正余弦定理之前应该先让学生思考一下:要确定一个三角形 (即确定三角形的三边和三角这六个量) 至少需要那些已知条件?提示:利用三角形全等的判定定理, 发现六个量一般只要知道其中的三个量就可以确定三角形了, 也就是说三角形中已知三个量可以求解其余的三个量。但是有一种情况需要排除:已知三角形的三个角要求三条边, 显然这种情况只能得到一些相似的三角形, 即解有无数组, 并不能唯一确定三角形, 而除此之外的已知三个量都可以唯一确定三角形, 即可以求解其余三个量。

那么具体的求解过程需要用到那些相应的知识呢?就是我们的正余弦定理, 并且在给出我们的结论时总结出他们各自的适用情况也是必不可少的。

根据公式观察发现适用范围:

(1) 已知两边和它们其中一边的对角求解三角形。

(2) 已知两角和任意的一边求解三角形。

根据公式观察发现适用范围: (3) 已知两边和它们的夹角求解三角形。

根据公式观察发现适用范围: (4) 已知三边求三角。

至此我们可以很直接地看到正余弦定理的用途。

5. 注意策略的教学与培养, 增强知识的可利用性

智育的目标是:第一, 通过记忆, 获得语义知识, 即关于世界的事实性知识, 这是较简单的认知学习。第二, 通过思维, 获得程序性知识, 即关于办事的方法与步骤的知识, 这是较复杂的认知学习。第三, 在上述学习的同时, 获得策略知识, 即控制自己的学习与认知过程的知识, 学会如何学习, 如何思维运用, 这是更高级的认知学习, 也是人类学习的根本目的。

在学习中, 如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高, 那么学生的学习效果就不好, 特别是在解题过程中, 就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径, 或解题思路受阻, 或解题方法不佳, 以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等。因此, 数学教学必须重视策略的教学和培养, 让学生学会如何学习和如何思维, 以增大学生认知结构的可利用性。

要做到这一点必须由浅入深, 从简单到复杂。在我们给出公式并道明其适用范围后应当例举一些相应的有针对性的习题加以练习, 如适用范围 (1) 给出后应接着给出:

例一:在△ABC中, 已知a=20, b=10, A=60°, 求解三角形;

并思考例二:在△ABC中, 已知a=20, b=30, A=30°, 求解三角形。

通过求解例题让学生对正余项定理有更加直观和深刻的理解, 以便将它们灵活应用到实际问题当中去。

6. 重视一题多解和错解分析 (多解的习题要有意讲评, 例题讲解可故意设错)

错解分析能使学生注意到解答容易出错的关键所在, 同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法, 防止今后犯类似的错误, 增强学生解题纠错力。

就以上所举的例一、例二而言, 两例貌似题型相同, 实则答题结果却有差别。

例二:利用正弦定理:也可以得到, 然而此时的B≈48.6°或B≈131.4°, 相应地C和c也应该有两组解。

通过以上两例解答的比较学生的答题谨慎度将能得到较大提高。

7. 准备充分, 挑战实战

在对理论知识有了充分的了解和认识后, 就应该回到我们最初的目标———解决实际问题中去, 以达到学以致用。构造三角形, 利用正余弦定理, 通过测量一些可以直接量得的边和角的数据来间接计算出不可直接测得的山高。由此学生不仅体会到了知识的伟大, 还得到了学习的动力, 学习积极性必将大大提高。

参考文献

[1]“排列、组合”单元的教学体会——优化和发展学生教学认知结构的再认识.中国论文下载中心, 2007.4.

[2]何小亚.数学学与教的心理学.华南理工大学出版社, 2004.7.

三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀 第14篇

关键词：回形针质量；平衡摩擦；摩擦力做功；动能定理

G633.7

一、动能定理

动能定理简单来说就是反映一个物体在运动过程中的受力情况，物体在运动过程中会受到各种各样的力，这些力综合起来会对运动的物体作出一个总功。物体所受的合外力可以大致分为两种，一种是恒力，另一种是变力，恒力做功是动能定理的基本原理。在传统的动能定理实验过程中，大多数是采用小车运动从而发力带动着纸带进行运动，在整个过程中会出现许许多多的数据。物理动能定理实验过程中，存在误差较大的就是平衡摩擦中出现的数据，所以，我们需要对动能定理实验过程進行优化，我们便可以将平衡摩擦中出现的误差降低到最小。过于理想化的实验也会导致忽略许多误差的存在，在一定程度上也大大降低了实验的难度，会误导学生在今后的学习。

二、分析实验原理

1.实验原理

已知动能定理：合外力所做的功等于动能的变化量，即W合=Ek2-Ek1

首先，我们要来了解一下动能定理的实验原理，对实验过程中所涉及到的每一个器材都要进行仔细的检查，首先要将回形针与滑轮进行牢固的连接。在动能定理的实验过程中，小车的运动完全依靠着回形针的拉力，当实验过程中所运用的回形针质量远远小于小车的质量时，小车在实验时所做的运动是匀速运动，也就是说小车所受的力是恒力。记录下小车通过两光电门的时间t1和t2测出挡光片的宽度d通过计算可得到经过两光电门的速度v1和v2进而得到小车经过两光电门的动能变化。如图所示就是动能定理的大致过程：

2.选择合适质量的回形针，提高实验精度

设小车的值为M，回形针的质量为m，细线对回形针的拉力为T，对小车和回形针作受力分析可得

由此可知，只有当M远远大于m时，才可认为回形针的重力等于细线的拉力，小车所受的合外力才可以用回形针的重力来代替。由此可以看出回形针的质量决定着整个实验的质量，笔者选取122.9g的小车和不同质量的回形针进行实验，得到如表1所示的实验结果：回形针的质量越小，实验误差越小，回形针的质量从17.0g到5.2g实验误差减小了1.3%。

三、实验改进措施

1.精准平衡摩擦

物理动能定理实验过程中，存在误差较大的就是平衡摩擦中出现的数据，所以改进实验过程的第一步就是要精准平衡摩擦，首先对于力学轨道的选择要认真仔细，断然不可以选择气垫导轨来进行实验。气垫导轨做出来的实验有时候会过于理想化，过于理想化的实验就会导致忽略许多误差的存在，在一定程度上也大大降低了实验的难度，会误导学生在今后的学习效率降低。如果选择了普通的力学轨道，在实验的过程中回形针的重力就会被理解成是小车受到的合外力，这样就可以精准的对小车进行平衡摩擦。

2.改进平衡摩擦方式

之前对于实验过程中摩擦的平衡过于简单和粗糙，所以在以后的实验过程中需要改进平衡摩擦的方式，原先在实验的过程中运用的是垫高轨道的方式来进行摩擦力的平衡，这样的方式对摩擦力的平衡效果不是很好，造成的实验误差也相对较大。究其原因是因为用于垫付轨道的物体具有一定的厚度，对于所垫物体的具体数量也不好掌握，多垫就会导致平衡摩擦过度，少垫则会影响平衡摩擦的效果，这两点都会导致数据存在较大的误差。为了改进实验，我们需要额外再提供一个拉力以便降低实验的误差，并且也不需要额外垫高轨道，只需要让小车在轨道上做匀速运动即可，这样就可以在一定程度上降低实验过程中的误差。

三、精准进行数据处理

在物理动能定理实验处理过程中，即便是将实验过程优化到最高点，也会出现大大小小的误差，实验过程中所出现的摩擦并不能被完全的平衡。实验来源于实践，在实际生活的过程中摩擦力做功处处可见，同时也是必不可少的一种力做功现象。在对动能定理实验过程进行优化改进的同时，我们还需要对实验过程中出现的数据进行精准的计算，我们需要对摩擦力做功进行仔细的数值计算，然后将该数值计入到合外力所做的总功。

四、结语

综上所述，利用数字化系统可以减少动能定理实验过程中的误差，通过不断对实验过程进行优化和改良，提高实验对于教学的现实意义，数字化信息系统可以精准的对试验中的数据进行计算与归类。传统的动能定理实验通过人工实际操作进行计算来得出结论，在一定程度上来说存在的误差较大，并且耗费大量的人力物力，降低了实验整体的效率。以上是本人的粗浅之见，文中如有不当之处，还望同学们和教师批评指正。

参考文献：

[1]吴志山.用DIS探究变力做功时的动能定理[J].物理教师，2010

[2]纪希弟.减少“探究动能定理实验”的系统误差[J].物理教学，2011

[3]倪妮，刘磊.动能定理实验过程的改进思考[J].物理教学探究，2013