正弦定理求三角形面积

正弦定理求三角形面积（精选6篇）

正弦定理求三角形面积 第1篇

三角形的.面积公式：

S=1/2absinC(两边与夹角正弦乘积的一半)

S=1/2acsinB(两边与夹角正弦乘积的一半)

S=1/2bcsinA(两边与夹角正弦乘积的一半)

三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c。

正弦定理求三角形面积 第2篇

【典例练讲】

例1：ABC中，AB=1,AC=2，A的平分线AD=1，（1）求ABC的面积；

（2）求BC边上的中线长.例

2、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？

例

3、在△ABC中,根据下列条件，判定三角形形状。

（1）B60o,2bac

（2）(abc)(abc)3ab,sinAsinB3

4例

正弦定理求三角形面积 第3篇

1. 正弦定理余弦定理

( 1) 正弦定理⇒余弦定理

已知△ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求证: a2= b2+ c2- 2bc·cos A.

证明: 由正弦定理(R 是 △ABC的外接圆半径) 得:

∴ 原式得证.

( 2) 余弦定理⇒正弦定理

已知△ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求证:

2. 余弦定理射影定理

( 1) 余弦定理⇒射影定理

已知△ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求证: a = b·cos C + c·cos B.

∴ 原式得证.

( 2) 射影定理⇒余弦定理

已知△ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求证: a2= b2+ c2- 2bc·cos A.

证明: 原命题即证a2- b2= c2- 2bc·cos A.

由正弦定理( R是△ABC的外接圆半径) 得:

∴ 原式得证.

利用勾股定理求图形面积 第4篇

一、直接运用

例1 如图1，BC=4 cm，AB=3 cm，AF=12 cm，求正方形CDEF的面积。

分析 利用勾股定理求出CF 2，即是正方形CDEF的面积。

解 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2=AB2+BC2=42+32=52。

同理在Rt△ACF中，CF 2=AF 2+AC 2=122+52=169，所以S正方形CDEF的面积=CF 2=169（cm2）。

例2 如图2所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，大正方形的边长为9 cm，则四个正方形A、B、C、D的面积的和是________cm2。

分析 根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，可发现四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积。

解 由图形可知，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A、B、C、D的面积之和等于81 cm2。

点评 根据勾股定理的几何意义，一个数的平方的几何意义就是以该数为边的正方形的面积。解题时要熟练运用勾股定理进行面积的转换。

二、通过构造直角三角形应用

例3 如图3，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。

分析 考虑∠A=60°，∠B=∠D=90°，可补形得到Rt△ABE和Rt△CDE，然后利用勾股定理及其他知识来解决。

解 延长BC交AD的延长线于E，则△ABE和△CDE均为直角三角形。

因为∠A=60°，所以∠E=30°。

又AB=2，CD=1，

所以AE=2AB=4，CE=2CD=2。

由勾股定理得，DE==，

BE==2。

所以S四边形ABCD =S△ABE -S△CDE=×2×2-×1×=。

例4 若a、b为正数，且，，是一个三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。

分析 通过观察，该三角形不是一个特殊三角形，不宜直接求解。由根号内的代数式是两数的平方和，联想到勾股定理，进而想到构造长和宽分别为2a、2b的矩形，再由面积的割补来求解。

解 如图4，作矩形ABCD，使E、F分别是AB、AD的中点。设AB=2a，BC=2b，

由勾股定理知，EF==，

CF==，

CE==，

从而可知，S△EFC就是题目所要求的三角形面积，即

S△EFC=S矩形ABCD -（S△AEF+S△BEC+S△DFC）

=4ab-（ab+a·2b+b·2a）=ab。

点评 在解题时，当图中没有直角三角形时，要通过构造直角三角形来应用勾股定理。

三、结合完全平方公式应用

例5 直角三角形的斜边长为1.5 cm，周长为3.6 cm，求这个直角三角形的面积。

分析 两直角边长之和为3.6-1.5=2.1，设一条直角边长x，则另一条直角边长为2.1-x，由勾股定理得：x2+（2.1-x）2=1.52，将会用到一元二次方程，同学们没学过一元二次方程，可考虑用关系式（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+4S三角形。

解 因为（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+4S三角形，所以S三角形=[（a+b）2-c2]=（2.12-1.52）=0.54。所以这个直角三角形的面积是0.54 cm2。

点评 利用关系式（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+4S三角形，这说明两直角边的和、斜边的长和三角形的面积之间存在联系。同样，在上述3个量中已知两个量可以求出第三个量。

求三角形面积——海伦公式 第5篇

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)

证明：设边c上的高为 h,则有

√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c

√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)

两边平方，化简得：

2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2

两边平方，化简得：

h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))

SΔABC=ch/2

=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2

仔细化简一下，得：

SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

用三角函数证明！

证明：

SΔABC=absinC/2

=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）

∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

∴代入（1）式，（仔细）化简得：

例谈用正弦余弦定理解三角形 第6篇

1. 已知一边和两个角, 解三角形

例1在△ABC中, 已知a=20, A=30°, C=45°, 求B, b, c.

思维导引由正弦定理先求角C对应的边长c.

解析∵A=30°, C=45°, ∴B=180°- (A+C) =105°.

又由正弦定理得c=a sin Csin A=20 sin 45°sin 30°=20姨2,

规律方法已知三角形的任意两个角及一边, 由三角形内角和定理可以先求出三角形的另一角, 再由正弦定理计算出三角形的另两边.

2. 已知两边和其中一边的对角, 解三角形

例2在△ABC中, 已知a=, b=, B=60°, 求A, C, c.

思维导引先由正弦定理求另一边的对角, 再由内角和定理求第三角, 最后求第三边.

解由正弦定理有, 解得

由a

规律方法已知三角形的两边和其中一边的对角, 解三角形.先由正弦定理求另一边的对角 (要注意有可能两解) , 再由内角和定理求第三角, 最后求第三边.

3. 已知两边及其夹角, 解三角形

例1在△ABC中, 已知, B=45°, 解三角形.

思维导引先由余弦定理求第三边和另一个角, 再由内角和定理求第三个角.

解由余弦定理, 得b2=a2+c2-2ac cos B=8,

由正弦定理, 得

∵c>a>b, ∴A为锐角.

∴A=60°, C=180°-45°-60°=75°.

4. 已知三角形的三边, 解三角形

例4在△ABC中, 已知a=7, b=3, c=5, 求三角形最大角.

思维导引先由余弦定理求两个角, 再由内角和定理求第三个角.在三角形中, 大边对大角, 所以边a所对角最大.

解∵a>c>b, ∴A为最大角.

由余弦定理求得

∴A=120°.A为最大角.