全国数学联赛考试范围高中

全国数学联赛考试范围高中（精选16篇）

全国数学联赛考试范围高中 第1篇

全国数学联赛考试范围高中

全国数学联赛考试范围

一试

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。

二试

1、平面几何

基本要求：掌握初中数学大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

几何不等式。

简单的等周问题。了解下述定理：

在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

2、代数

在一试大纲的基础上另外要求的内容：

周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。

复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

全国数学联赛考试范围高中 第2篇

【第一试】

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、设锐角q使关于x的方程有重根，则q的弧度数为

A．

B。

C。

D。

答：[

]

2、已知M=，N=，若对于所有的，均有则的取值范围是

A．[]

B。（）C。（）

D。[]

答：[

]

3、不等式>0的解集是

A．[2，3]

B。（2，3）

C。[2，4]

D。（2，4）

答：[

]

4、设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为

A．2

B。

C。3

D。

答：[

]

5、设三位数，若以为三条边的长可以构成一个

等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有

A．45个

B。81个

C。165个

D。216个

答：[

]

6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C是PA的中点，则当三棱锥O—HPC的体积最大时，OB的长是

A．

B。

C。

D。

答：[

]

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、在平面直角坐标系中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。

8、设函数满足，且对任意的，都有=，则。

9、如图，正方体中，二面角的度数是______________。

10、设是给定的奇质数，正整数使得也

是一个正整数，则=________________。

11、已知数列满足关系式

且，则的值是______。

12、在平面直角坐标系中，给定两点M（-1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是___________。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：

（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？

（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？

（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）

14、在平面直角坐标系中，给定三点A（0，），B（-1，0），C（1，0）。点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中顶。

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率的取值范围。

15、已知、是方程（）的两个不等实根，函数的定义域为[，]。

（Ⅰ）求

（Ⅱ）证明：对于，若，则。

【第二试】

一、（本题满分50分）

在锐角△ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相

交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求

AK的长。

二、（本题满分50分）

在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在X轴上的截距为，点的横坐标为。

（Ⅰ）证明>>4。

（Ⅱ）证明有，使得对都有<。

三、（本题满分50分）

对于整数≥4，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互素的元素。

参考答案

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、解：因方程有重根，故

得，于是。

故选B。

2、解：相当于点（0，b）在椭圆上或它的内部。

故选A。

3、解：原不等式等价于

设

解得。

即。

故选C。

4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则

由（1）（2）得，即共线，且，故选C。

5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即

（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设a>b，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是

a

b

4，3

2，1

4，3

2，1

3，2

3，2

1，2

1，2

共20种情况。

同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。

故。

综上。

6、解：

。C是PA中点，最大，也即最大。

此时，故选D。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、解：，它的最小正周期为，振幅为。由的图像与的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为的长方形，故它的面积是。

8、解：

=

即。

9、解：连结，垂足为E，延长CE交于F，则，连结AE，由对称性知是二面角的平面角。

连结AC，设AB=1，则

中，在的补角。

10、解：设，从而是平方数，设为

。（负值舍去）

11、解：设

即

故数列是公比为2的等比数列。

12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为

S（a，3－a），则圆S的方程为：

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得

a=1或a=－7。

即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而，因此，当时，n次出现的点数之和大于已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。

.......5分

（Ⅱ）设事件为“第n关过关失败”，则对立事件为“第n关过关成功”。

第n关游戏中，基本事件总数为个。

第1关：事件所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），过此关的概率为：。

第2关：事件所含基本事件数为方程当a分别取2，3，4时的正整数解组数之和。即有（个）。

过此关的概率为：。

........10分

第3关：事件所含基本事件为方程当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有（个）。

过此关的概率为：。

.........15分

故连过前三关的概率为：。

........20分

（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）

14、解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，即，化简得点P的轨迹方程为

圆S：

......5分

（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分

圆S：

①

与双曲线T：

②

因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为

③

（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分

（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。

故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。

......15分

情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得

该方程有唯一实数解的充要条件是

④

或

⑤

解方程④得，解方程⑤得。

综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。

......20分

15、解：（Ⅰ）设

则

又

故在区间上是增函数。

.......5分

......10分

（Ⅱ）证：

一道高中数学联赛试题的研讨 第3篇

问题：求函数的最大和最小值.我们常规的考虑是形变再利用柯西不等式或用求导的方法.

解法1：显然函数的定义域为[0,13].

一方面，

即当x=0时，ymin=.

另一面，应用柯西不等式，得

当（27+x）∶1=(39-3x）∶,

即当x=9时，ymin=11.

该问题利用导数方法去探求函数的最值属于通性通法，容易把握运算的方向性、准确性和简捷性.

解法2：对函数求导数，得

令y′=0，得

因为函数g(x)=在区间[0,13]上是递减函数，显然g(9)=0，所以方程（*）有唯一的实数根x=9.

当时0≤x<9,y′>0，函数y=f(x）是增函数；

当9<x≤13时，y′<0，函数y=f(x）是减函数.

从而，当x=9时，ymax=f(9)=11

因为，所以，当x=0时，.

点评：其实，用几何画板软件，我们可以画出赛题里函数的图象（函数f(x）图象.gsp），由图象可以直观地看出，取得最小值的点位于区间[0,13]的左端点，取得最大值点是在区间[0,13]的内部x=9处发生.

如果将原赛题改写成不等式证明题，就得新的

变式1：求证：

其实，注意到函数的变形，这时，由不等式（1）就得,等价于

令a=39-3x,b=2x,c=27+x，则有三个字母的不等式成为变式2：若a,b,c为非负数，a+b+c=66，求证：

这个不等式容易用柯西不等式来证明，也可以用二元均值不等式来证之.

证明：所证明的不等式等价于

由二元均值不等式，得

故所证不等式成立.

评注1：在上文的解法1里，用柯西不等式求函数的最大值时，其中的系数分解比较难于想到，其实用待定系数法可以化解这一难度.事实上，取正数p,q，应用柯西不等式,有

由1-p+q=0,(27+x）∶1=(13p-px）∶，即1-p+q=0,27+x=13p2+p2x=q2x,

解得p=3,q=2,x=9.

评注2：早在2003年的全国高中数学联合竞赛第15题，就是一道类同的赛题：

类题：设≤x≤5，证明不等式

若令=≤x≤5），笔者曾将此不等式深化为：

证明不等式：5.8<f(x）≤8.5.

证明先证右不等式，利用二元均值不等式，得

再证左不等式

所以5.8<f(x)<8.5.

全国数学联赛考试范围高中 第4篇

笔者把这一道题目放进了学校的数学竞赛辅导课上，经过学生精彩的讨论、认真的探究，得到了其它的解法，并推导了一系列的结论.

1. 启发探究

笔者先把该题目呈现出来，几分钟后，不少学生都想到了类似组委会提供的解法.

4. 教后感悟

有效地实现数学思维活动教学的前提条件是学生的主动参与，因此教师在教学过程中，应避免满堂灌，要尊重学生思维活动过程，让其问题暴露出来，尽管可能是走弯路甚至是错误的.教师提供机会让其表达出来后，才能使他们感觉到被尊重，他们才愿意参与探究.有研究表明，高中阶段的学生主要是以理论型为主的抽象逻辑思维.这给我们启示：既不要低估学生的能力，也不必过高地估计，而要正确把握学生能力的“最近发展区”来提出问题.先让学生尝试，看能否解决它.然后再将问题进行变式探究，问题可以是横向的，拓展题目的宽度，亦可以是纵向的，挖掘题目的深度，不能就题论题，否则就会从此错过精彩.

全国数学联赛考试范围高中 第5篇

1．若M={(x，y)|

|tanpy|+sin2px=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，则M∩N的元素个数是（）

(A)4

(B)5

(C)8

(D)9

5．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin+cos的值是（）

(A)1

(B)

(C)

(D)-1

6．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zÎC，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|=-m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是（）

二、填空题（每小题5分，共30分）

1．二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________．

2．实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设

S=x2+y2，则+=_______．

3．若zÎC，arg(z2-4)=，arg(z2+4)=，则z的值是________.[来源:学科网ZXXK]

4．整数的末两位数是_______.三、（本题满分20分）

三棱锥S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D¢，则D¢为三棱锥S－ABC的外接球球心．

四、（本题满分20分）

设0

[来源:学科网]

五、（本题满分20分）

设正数列a0，a1，a2，…，an，…满足－=2an－1，(n≥2)且a0=a1=1，求{an}的通项公式．

第二试

一、（35分）

设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有ÐD是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4．

[来源:Z。xx。k.Com]

三、（35分）

水平直线m通过圆O的中心，直线l^m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆

O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，AB´CR+BC´AP=AC´BQ；(2)l与圆O相交时，AB´CR+BC´AP＜AC´BQ；(3)l与圆O相离时，AB´CR+BC´AP＞AC´BQ.1993年全国高中数学联合竞赛解答

第一试

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．若M={(x，y)|

|tanpy|+sin2px=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，则M∩N的元素个数是（）

(A)4

(B)5

(C)8

(D)9

3．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，当A¹B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（）

（A）8

（B）9

（C）26

（D）27

【答案】D

【解析】a1∈A或ÏA，有2种可能，同样a1∈B或ÏB，有2种可能，但a1ÏA与a1ÏB不能同时成立，故有22－1种安排方式，同样a2、a3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3种安排方式．选D．

5．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin+cos的值是（）

(A)1

(B)

(C)

(D)-1

6．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zÎC，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|-m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是（）[来源:学。科。网]

【答案】B

【解析】方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为(－ni，mi)，由①n>0，故否定A，由于n为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定C．

由B与D知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|OF1|=n，于是m<0，|OF2|=－m．曲线上一点到－ni距离大，否定D，故选B．

二、填空题（每小题5分，共30分）

1．二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________．

2．实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设

S=x2+y2，则+=_______．

【答案】

【解析】令x=rcosθ，y=rsinθ，则S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=．

∴+=+=．

3．若zÎC，arg(z2-4)=，arg(z2+4)=，则z的值是________.【答案】±(1+i)

【解析】如图，可知z2表示复数4(cos120°+isin120°)．∴

z=±2(cos60°+isin60°)=±(1+i)．

[来源:Zxxk.Com]

4．整数的末两位数是_______.【答案】08

【解析】令x=1031，则得==x2－3x+9－．由于0<<1，故所求末两位数字为09－1=08．

5．设任意实数x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，则k的最大值是_______.6．三位数(100，101，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．

【答案】34

【解析】首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择．

但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个．

三、（本题满分20分）

三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为，则为三棱锥S—ABC的外接球球心．

四、（本题满分20分）

设0

五、（本题满分20分）

设正数列a0、a1、a2、…、an、…满足

－=2an－1，(n≥2)

且a0=a1=1，求{an}的通项公式．

【解析】变形，同除以得：=2+1，令+1=bn，则得bn=2bn－1．

即{bn}是以b1=+1=2为首项，2为公比的等比数列．

∴

bn=2n．

∴

=(2n－1)2．故

∴

第二试

一、（35分）

设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有ÐD是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4．

n=2时，连1条对角线把四边形分成了2个三角形，但其中最多只能有1个钝角三角形．

n=3时，无法从同一顶点出发连线段把四边形分成3个三角形，现连了1条对角线AC后，再连B与AC上某点得到线段，此时无法使得到的两个三角形都是钝角三角形．

∴当n=2，3时无法得到满足题目要求的解．只有当n≥4时才有解．

二、（35分）

设A是一个有n个元素的集合，A的m个子集A1,A2,L,Am两两互不包含．

试证：(1)

≤1；

(2)

C≥m2．其中|Ai|表示Ai所含元素的个数，C表示n个不同元素取|Ai|个的组合数．

三、（35分）

水平直线m通过圆O的中心，直线l^m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆

O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，AB´CR+BC´AP=AC´BQ；(2)l与圆O相交时，AB´CR+BC´AP＜AC´BQ；(3)l与圆O相离时，AB´CR+BC´AP＞AC´BQ.【解析】证明：设MA=a，MB=b，MC=c，OM=d，⊙O的半径=r．

且设k=d2－r2．则当k>0时，点M在⊙O外，此时，直线l与⊙O相离；

当k=0时，点M在⊙O上，此时，直线l与⊙O相切；

当k<0时，点M在⊙O内，此时，直线l与⊙O相交．

∴

AP==，同理，BQ=，CR=．

则AB´CR+BC´AP－AC´BQ=

AB´CR+BC´AP－(AB+BC)´BQ=BC×(AP－BQ)－AB×(BQ－CR)

全国数学联赛考试范围高中 第6篇

全国高中数学联赛模拟试题(五)

第一试

一、选择题：(每小题6分，共36分)

1、空间中n(n≥3)个平面，其中任意三个平面无公垂面.那么，下面四个

结论

(1) 没有任何两个平面互相平行;

(2) 没有任何三个平面相交于一条直线; (3)平面间的任意两条交线都不平行;

(4)平面间的每一条交线均与n 2个平面相交. 其中，正确的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)

时，f(c)的近似值可表示为

(A)

f a f b

2

a b

(B)f

2

(C)

b c f a c a f b

b a(D)f a

c a

f b f a b a

3、设a>b>c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则

(A)a+b>1 (B)a+b=1 (C)a+b<1 (D)不能确定，与a、b的具体取值有关

x2y2 3

4、设椭圆2 2 1的离心率e ，已知点P 0, 到椭圆上的点的最远

2ab 2 7

，则短半轴之长b= 4

1111

(A) (B) (C) (D)

48216

5、S={1,2,…,}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等

差数列.那么，这样的三元子集A的个数是

距离是

(A)C32003

22

(B)C1001 C1002

22

(C)A1001 A1002(D)A32003

6、长方体ABCD A1B1C1D1，AC1为体对角线.现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有 (A)V4V1+V2+V3 (D)不能确定，与长方体的棱长有关

二、填空题：(每小题9分，共54分)

sin3 cos3

1、已知 k，则k的取值范围为 .

sin cos 2、等差数列{an}的`首项a1=8，且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有 个.

a

3、在四面体P ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a

b

值范围为 .

4、动点A对应的复数为z=4(cos +isin )，定点B对应的复数为2，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D，则D所在的轨迹方程为 . 5、3k被8所除得的余数为 .

k 12003

6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为.

三、(20分)

已知抛物线y2=2px(p>0)的一条长为l的弦AB.求AB中点M到y

轴的最短距离，并求出此时点M的坐标.

四、(20分)

单位正方体ABCD A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M. (1)求证：AN、B1M为异面直线; (2)求出AN与B1M的夹角.

五、(20分)

对正实数a、b、c.求证：

a2 8bcb2 8acc2 8ab

≥9.

abc

第二试

一、(50分)

设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点.乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时， (1)证明：AB≥2BC; (2)求AQ·BQ的值.

二、(50分)

给定由正整数组成的数列

a1 1,a2 2

(n≥1).

an 2 an 1 an

(1)求证：数列相邻项组成的无穷个整点

(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…

均在曲线x2+xy y2+1=0上.

(2)若设f(x)=xn+xn-1 anx an-1，g(x)=x2 x 1，证明：g(x)整除f(x).

三、(50分)

我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果 (1)A1 A2 An A; (2)Ai Aj ，1≤i

求最小正整数m，使得对A={1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有两个元素a、b

9

满足b

8

参考答案

第一试

二、填空题：

1 1

1、1, ,1 ;

2 2

2、17;

2

x 1 4、

3、2 3,1 ;

5、4;

4

y2

1; 3

6、117600.

l2 l2

,0 ,0 l 2p,M 8p8p

三、.

l ppl l p,l 2p,M 2

2,2 p 2

四、(1)证略;

五、证略.

(2)arccos

2. 3

第二试

一、(1)证略(提示：用面积法，得PA·PB最小值为2，此时∠APB=90°); (2)AQ·BQ=1.

二、证略(提示：用数学归纳法).

全国数学联赛考试范围高中 第7篇

一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.3.若函数f(x)x2ax1在[0,)上单调递增，则实数a的取值范围是___________ x2axa解：f(x)xax1=2xaxa2(x1)

(x1)

f(x)在[0,)上单调递增

全国数学联赛考试范围高中 第8篇

2007年全国高中数学联赛加试第三题：

设集合P={1，2，3，4，5}.对任意k∈P和正整数m,记f(m,k)=∑5i=1[mk+1i+1],其中[a]表示不大于a的最大整数，求证：对任意正整数n,存在k∈P和正整数m,使得f(m,k)=n.

我们通过考察一个有序的问题序列，看出这道试题的实质是把给定的数集中的数按一定的方式排出顺序，从而便于比较集合的势，从而也看清楚了该题的命制过程.

问题1 有形如mk+1(m∈N*,k∈｛1,2,3,4,5｝)的数，试把它们逐一写出来.

这个数集是个无限集，要不重不漏地写出所有的数来，必须遵循一定的原则.可以按下列方式写成数阵的形式.

这个数阵的特点是，每一行从左到右都是从小到大排列，每一列从上到下都是从小到大排列.按这种方式可以不重不漏地把所有的数都写出来.

问题2 把上述数按从小到大的顺序排列成一列，问63是第几个数？

因为82>63>72,所以63之前且形如m2的数有7个.同理，在63之前且形如m3的数有6个（包括63本身），形如m4的数有5个，形如m5的数有4个，形如m6的数有4个，所以63是第7+6+5+4+4=26个数.

问题3 把上述数按从小到大的顺序排列成一列，问m3是第几个数？

显然，再不能用数数的方法了.一般性寓于特殊性之中，分析问题２的解决思路就行了.注意到７，6，5，4，4分别依次出在72，63，54，45，46中，也分别代表了不同形式且小于等于63的数的个数.怎样把7，6，5，4，4从中分离出来呢？只要依次分别除以2，3，4，5，6即可，虽然这样做是可以的，但还要涉及除63以外的其它数，如72，4，45，46等.如何用含

mk+1是数阵中的第n个数，换言之，任意的n均可表示成形如∑5i=1[mk+1i+1]的形式.

全国高中数学联赛加试第三题本质就在于此，只不过更加形式化，不把相关式子赋与一定的意义就看不清实质.这道题蕴涵了把数集有序排列的思想，这是比较两个集合的势的大小的基础，对中学生而言难度不小.通过研究试题的命制看出了问题的来龙去脉及实质，从而化解问题的难度，解决了问题.解题与命题是一对矛盾，在教学中不妨试着站在命题者的角度想一想，这样即使是高深的竞赛试题，也能“飞入平常百姓家”.

全国数学联赛考试范围高中 第9篇

与已知an+1=2an-n+2对照系数，得： X=-1,y-x=2,即有X=-1,y=1

所以：数列﹛an-n+1﹜是首项为a1-1+1=1，公比是2的等比数列，其通项公式为

an-n+1=2n-1,∴an=2n-1 +n-1

全国数学联赛考试范围高中 第10篇

解答：先用隔板法：C17^3=680，再减去名额相等的情况:

1、(1,1,X,Y),其中x+y=16,即：（x,y）为：（1,15）、（2,14）、（3,13）、（4,12）、（5,11）、（6,10）、（7,9）、（8,8）共有4+6A4^2+C4^2=82；

2、(2,2,X,Y), 其中x+y=14,即：（x,y）为：（1,15）、（2,14）、（3,11）、（4,10）、（5,9）、（6,8）、（7,7）共有4+5A4^2+C4^2=70；

3、(3,3,X,Y), 其中x+y=12,即：（x,y）为：（1,11）、（2,10）、（3,9）、（4,8）、（5,7）、（6,6）共有4+4A4^2+C4^2=58；

4、(4,4,X,Y), 其中x+y=10,即：（x,y）为：（1,9）、（2,8）、（3,7）、（4,6）、（5,5）共有4+3A4^2+C4^2=46；

5、(5,5,X,Y), 其中x+y=8,即：（x,y）为：（1,7）、（2,6）、（3,5）、（4,4）共有4+2A4^2+C4^2=34；

6、(6,6,X,Y), 其中x+y=6,即：（x,y）为：（1,5）、（2, 4）、（3, 3）共有2A4^2+C4^2=30；

7、(7,7,X,Y), 其中x+y=4,即：（x,y）为：（1,3）、（2,2）共有A4^2+C4^2=18；

8、(8,8,X,Y), 其中x+y=2,即：（x,y）为：（1,1）共有C4^2=6；

全国数学联赛考试范围高中 第11篇

考试范围与要求

本部分包括必考内容和选考内容两部分．必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列1的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”等2个专题。

必考内容

（一）集合

1．集合的含义与表示

（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系．

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算．

（二）函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）

1．函数

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用．

（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2．指数函数

（1）了解指数函数模型的实际背景．

（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．（4）知道指数函数是一类重要的函数模型． 3．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求（3）知道对数函数是一类重要的函数模型．

（4）了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数（a0，且a1）． 4．幂函数

（1）了解幂函数的概念．

（2）结合函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象，了解它们的变化情况． 5．函数与方程

（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 6．函数模型及其应用

（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．

（三）立体几何初步

1．空间几何体

（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．

（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求）．

（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式． 2．点、直线、平面之间的位置关系

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理． ·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内． ·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

23122018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．

理解以下判定定理：

·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明：

·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．

·如果两个平行平面同时和（1）了解算法的含义，了解算法的思想．

（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环． 2．基本算法语句

理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．

（六）统计

1．随机抽样

（1）理解随机抽样的必要性和重要性．

（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． 2．用样本估计总体

（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．

（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．

（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释．（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．

（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． 3．变量的相关性

（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

（七）概率

1．事件与概率

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．

（2）了解两个互斥事件的概率加法公式． 2．古典概型

（1）理解古典概型及其概率计算公式．

（2）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 3．随机数与几何概型

（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．（2）了解几何概型的意义．

（八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）

1．任意角的概念、弧度制（1）了解任意角的概念．

（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．三角函数

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出

2、的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysinx、ycosx、ytanx的图象，了解三角函数的周期性．

（3）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间(,)内的单调性． 22sin． cos（4）理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan（5）了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A、、对函数图象变化的影响．

（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．

（九）平面向量

1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景．

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．（3）理解向量的几何表示． 2．向量的线性运算

（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义． 3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义．（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 4．平面向量的数量积

（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义．（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．向量的应用

（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

（十）三角恒等变换

1．和与差的三角函数公式

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

2．简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．

（十一）解三角形

1．正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

（十二）数列

1．数列的概念和简单表示法

（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数． 2．等差数列、等比数列

（1）理解等差数列、等比数列的概念．

（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．

（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．

（十三）不等式

1．不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． 2．一元二次不等式

（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．

（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 4．基本不等式：ab2ab（a0，b0）（1）了解基本不等式的证明过程．

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求

（十四）常用逻辑用语

1．命题及其关系（1）理解命题的概念．

（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 2．简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3．全称量词与存在量词

（1）理解全称量词与存在量词的意义．

（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

（十五）圆锥曲线与方程

（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．

（3）了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．（4）理解数形结合的思想．（5）了解圆锥曲线的简单应用．

（十六）导数及其应用

1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景．（2）理解导数的几何意义． 2．导数的运算

（1）能根据导数定义求函数yC（C为常数），yx，yx2，y1的导数． x（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

·常见基本初等函数的导数公式：

C0(C为常数)；

(xm)mxm1(ex)ex

(lnx)

(sinx)cosx；

(cosx)sinx

(ax)axlna（a0，且a1）；

(logax)

1（a0，且a1）； xlna1． x·常用的导数运算法则：

法则1：[f(x)g(x)]f(x)g(x)

法则2：[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求 法则3：[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)g2(x)3．导数在研究函数中的应用

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．

4．生活中的优化问题． 会利用导数解决某些实际问题．

（十七）统计案例

了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． 1．独立性检验

了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用． 2．回归分析

了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．

（十八）推理与证明

1．合情推理与演绎推理

（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．

（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 2．直接证明与间接证明

（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

（十九）数系的扩充与复数的引入

1．复数的概念

（1）理解复数的基本概念．（2）理解复数相等的充要条件．

（3）了解复数的代数表示法及其几何意义． 2．复数的四则运算

（1）会进行复数代数形式的四则运算．

（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求

（二十）框图

1．流程图

（1）了解程序框图．

（2）了解工序流程图（即统筹图）．

（3）能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用． 2．结构图（1）了解结构图．

（2）会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．

选考内容

（一）坐标系与参数方程

1．坐标系

（1）理解坐标系的作用．

（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．

（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．

2．参数方程

（1）了解参数方程，了解参数的意义．

（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．

（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．

（二）不等式选讲

1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）|ab||a||b|．（2）|ab||ac||cb|．

（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|axb|c；|axb|c；|xa||xb|c．

2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．（1）柯西不等式的向量形式：|α||β||αβ|．（2）(a2b2)(c2d2)(acbd)2．

2018年高考新课标全国卷Ⅰ数学（文科）考试范围与要求（3）(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2．（此不等式通常称为平面三角不等式．）

3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：

nnnab2ii1i12i(aibi)2．

i14．会用向量递归方法讨论排序不等式．

5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题． 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：

(1x)n1nx（x1，x0，n为大于1的正整数）．

了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立．

7．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．

8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．

由一道高中数学联赛题谈起 第12篇

（2012年全国高中数学联赛试题）“设f（x）是定义在R上的奇函数，且当≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，则实数a的取值范围.”

2 分析

由题意可得f（x）=x2，（x≥0）

-x2，（x<0），从而可知f（x）是R上的增函数，本题的难点在于不等式f（x+t）≥2f（x）的右边有一个常数2，如何处理这个“2”就显得特别关键了.如果我们注意到无论“x≥0”还是“x<0”都有2f（x）=f（2x），于是不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立f（x+a）≥f（2x）恒成立x+a≥2x恒成立（x∈[a，a+2]），即a≥（2-1）x在x∈[a，a+2]上恒成立，∴ a≥（2-1）（a+2）a≥2.

3. 说明

有一类求参数取值范围的问题，由于其参数含在函数的“f”记号里面，因此，我们必须借助于函数的有关性质和图像特征来脱去“f”记号，从而得到含有该参数的不等式（或不等式组），进而达到求出参数取值范围的目的. 在本题中，我们成功地将2f（x）转化成f（2x）后，就可以利用函数的单调性脱去“f”记号化归为“恒成立”问题来解决了.

4. 再例

例1 设定义在[-2，2]上的偶函数，f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）

分析 本题欲求实数m的取值范围，则需列出关于实数m的不等式或不等式组，很显然要根据函数的单调性来脱去“f”记号，但我们注意到f（x）为[-2，2]上的偶函数，因此有f（1-m）

在这里，我们有效地利用了偶函数的性质，即f（x）=f（|x|），这样就将范围限制在[0，2]上求解，避免了分类讨论，使解答过程较为简洁自然.

例2 已知函数f（x）=sinx+5x，x∈（-1，1），且有f（1-a）+f（1-a）<0，求a的取值范围.

分析 本题中f（x）的表达式在这里实质上只起到了帮助我们分析问题的一个切入点，因为本题的实质是利用函数的单调性脱去“f”记号，进而得出关于“a”的不等式（或不等式组），很显然f（x）在x∈（-1，1）上是奇函数和单调增函数，由此得：

在这里，f（x）的表达式是由两个具体函数y=sinx及y=5x通过“加”法而合成的，虽说这两个具体的函数都是我们所熟知的，但它们“加”起来之后却是我们所陌生的，于是，从研究函数的性质入手就显得较为自然了.其实，本题中f（x）的表达式还可以有如下的一些形式：f（x）=4sinx+2x，x∈（-1，1），f（x）=5sinx+x，x∈（-1，1），…，等等.

例3 已知y=f（x）是定义在R上的单调函数，实数λ≠-1，α=λ1+λ，β=11+λ，若|f（α）-f（β）|>|f（1）-f（0）|，求实数λ的取值范围.

分析 本题的难点在于|f（α）-f（β）|>|f（1）-f（0）|，即不等式的左右两边不是关于“f”记号的单项式，因而不能像例1和例2一样直接地利用函数的单调性来脱去“f”记号，但若我们注意到α+β2=1+02，即由α，β所构成的区间与由0，1所构成的区间有相同的中点，根据函数图像的特征有|f（α）-f（β）|>|f（1）-f（0）||α-β|>|1-0|，进一步又有|λ1|>|λ+1|，从而λ<0且λ≠-1.

【高考链接】（2005年辽宁卷理）已知y=f（x）是定义在R上的单调函数，实数x1≠x2，λ≠-1，α=x1+λx21+λ，β=x2+λx11+λ. 若|f（x1）-f（x2）|<|f（α）-f（β）|，则实数λ的取值范围是5. 小结

由上面的“分析”、“说明”及“再例”使我们看到，当所求参数含在函数的“f”记号里面时，我们往往可以从函数的性质（主要是函数的单调性）入手，结合所给函数的图像特征，脱去函数的“f”记号，从而得到关于该参数的不等式（组）来完成解答.

全国数学联赛模拟题 第13篇

一、 选择题（每小题6分，共36分）：

a2 x2

1f x 是奇函数的充要条件是

x a a

（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1 （C）a＞0 （D）a＜0

2 （A）点A在直线l上 （B）点B在直线l上 （C）点C在直线l上 （C）点A、B、C均不在直线l上 3，过顶点A在空间作直线l，使l与直线AC和BC所成的角1

都等于60°．这样的直线l可以做

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（A）4条 （B）3条 （C）2条 （D）1条

100

4n C

200

（A）61 （C）83 （B）67 （D）97

5y f x

x 大值等于 （A）3 （B）4 （C）7 （D）8

6再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，第2003个数是 （A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006

二、 填空题（每小题9分，共54分）：

＋1)2，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|zm∈R，m∈N

全国数学联赛模拟题 第14篇

1

，m∈M}.则集合P所有元素之和等于 m2

.

4

x2 2a2 2x a2 4a 7

0 222

x a 4a 5x a 4a 7

的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是 .

计项目M有可能获得19%到24%的.年利润，N有可能获得29%到34%的年利润.年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户.为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是 .

2+by2=1在圆x2+y2

的外部(包括二者相切的情形).那么，arcsinb的取值范围

是 .

6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、，则tan( + )的值是 .

三、(20分)

△ABC的三边长a、b、c(a≤b≤c)同时满足下列三个条件 (i)a、b、c均为整数;

(ii)a、b、c依次成等比数列; (iii)a与c中至少有一个等于100.

求出(a,b,c)的所有可能的解.

四、(20分)

在三棱锥D-ABC中，AD=a，BD=b，AB=CD=c，且∠DAB+∠BAC+∠DAC=180°，∠DBA+∠ABC+∠DBC=180°.求异面直线AD与BC所成的角.

五、(20分)

历届全国初中数学联赛试题 第15篇

一、选择题:(每小题7分，共计42分)

1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是( )

(A)a>b a2>b2; (B)a≠b a2≠b2; (C)|a|>b a2>b2; (D)a>|b| a2>b2

2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a+b2005+c2005的值是( )

(A)0 (B) 3 (C) 22005 (D)322005

3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为 正六边形，(如图)，如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有( )块。

(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22

4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两根，则m的值是( )

(A)4 (B)-1 (C)4或-1 (D)-4或1

5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取( )

(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个

6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的`图像的对称轴，则有( )

(A)a+b+c=0 (B)b>a+c (C)c>2b (D)abc<0

二、填空题:(每小题7分，共计28分)

1、已知：x为非零实数，且 = a, 则 =_____________。

2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.

3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC = _________.

4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__个。

三、(本题满分20分)设A、B是抛物线y=2x2+4x-2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标。

四、(本题满分25分)如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。

五、(本题满分25分)设x = a+b-c ,y=a+c-b ,z= b+c-a ,其中a、b、c是待定的质数，如果x2=y , =2,试求积abc的所有可能的值。

参考解答及评分标准

一、选择题(每小题7分，共计42分)

1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C

二、填空题 (每小题7分，共计28分)

1、a2-2 2、3、45° 4、12

三、解：∵原点是线段AB的中点 点A和点B关于原点对称

设点A的坐标为(a，b)，则点B的坐标为(Da，Db)……5分

又 A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：

…………………………10分

解之得： a = 1 , b = 4 或者a = -1 ,b = -4…………………15分

故 A为(1，4)，B为(-1，-4) 或者 A(-1，-4)，B(1，4).……20分

四、解：如图连结AD，则∠1=∠2=∠3=∠4

∴ΔCDE∽ΔCAD

∴ ① ………………5分

又∵ΔADE∽ΔBDA

∴ ② ………………10分

由①、②及AB=AC，可得AE=CD …………15分

又由ΔCDE∽ΔCAD可得 ，即AE2=CD2=CECA …………20分

设AE=x，则CE=d-x ，于是 x2=d(d-x)

即有AE = x = (负值已舍去) ……………………25分

五、解：∵a+b-c=x, a+c-b=y, b+c-a =z ,

∴a= , b= , c= …………………5分

又∵ y=x2 ,

故 a= ---(1);

b= -----(2)

c= ----(3)

∴x= ---------------(4)

∵x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数。 ………………10分

于是，2a= ，其中a是质数，故有 =2, =a

∴T=5,a=3 ……………………15分

将a=3代入(4) 得 x=2或-3.

当x=2时，y=x2=4,

因而 -2=2， z=16 ，

代入(2)、(3)可得b=9 ，c=10，

与b、c是质数矛盾，当舍去。 ……………………20分

当x=-3时，y=9 . -3=2,

∴z=25

代入(2)、(3)可得 b=11，c=17

赏析高中数学联赛中的复数问题 第16篇

复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式，所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系，由此，该知识点是各类考试（尤其是数学联赛和自主招生）选拔优秀学生的的一个重要内容。

一、复数知识

（一）复数的表示形式与运算

代数形式：

三角形式：

指数形式：

题1（2013年四川8）已知 是虚数单位， ，把复数 的共轭复数记为 ，则 =_________.

解 ，由周期性知每相邻4个数的和为0，则 ， ，

题2（2010年浙江15）设 是虚数， ，则 的实部取值范围为_____

解 法一：设 ， ，由题意 是实数，

则 ，得

①当 时， ，无解

②当 时， ，得

法二：由复数除法的几何意义知 表示的点与 表示的点关于 轴对称，且到原点的距离都为1，由加法的几何意义知 是以 为邻边的菱形的对角线，又 是实数，则 的实部是 的实部的2倍，所以 的实部取值范围为 。

（二）复数的模与共轭复数

题3（2014年山东7）已知 ，则 的值为_______

解 由乘法的性质知 ， ，

题4（2011年湖北5）设 是模为2的复数，则 的最大值与最小值的和为_________

解 由 ，知 ，

，故

其最大值为 ，最小值为 。故所求为4。

（三）复数的单位根

题5（2010年山东7）已知 为复数， 为虚数单位。若 ，则当 为实数时， 的最小值为（ ）

A. B.3 C. D.

解 法一：设 ，由题意 ， 得 ，则

， 表示辅角为60°或120°的复数，至少当 时 为实数，所以

法二：由复数及其加法的几何意义知 ， 的终点在单位圆上， 与 关于 轴对称且在单位圆上，因为 ，则 与 夹角为-60°或240°， 的辅角为60°或120°， 略

二、复数方法

（一）复数在代数中的应用

题6（2012年天津9）如果复数 满足 ，且 ，其中 为实数，则 的最大值是________

解 法一： ，则 ，求 的最大值，可以借助线性规划求解，代表单位圆的动点 ，求 的最大值，转化为相切的问题即得

法二：令 ，则 ，所以最大值为

法三：由不等式 ，得最大值为

（二）复数在几何中的应用

题7（2012年辽宁7）设

，则 在复平面内所对应区域的面积是__________

解 ，设 ，则有 ，

。

易知 ，故 ，所以复数 对应的点形成的区域是以点（7，8）为圆心，4为半径的圆面，其面积为 。

三、近五年各省对复数考查情况

在預赛中考查的省份有：山西、吉林、福建、江西、河南、陕西、甘肃、贵州，我们不难发现今年考查的比重频率有上升趋势，考查基本计算和灵活应用性质和几何意义居多，尤其是14年在全国联赛一试中已经以解答题的形式出现，让很多人无从下手，笔者预测15年各省预赛试题中将会大面积的出现复数的考查，这势必要引起考生和教师的注意。

练习题

1.（2011年湖南5）已知复数 满足 ，复数 的虚部为2，则 为实数的条件是 _________

2.（2012年山东6）设 为一对不相等的共轭复数，且 ， 为实数，则 的值为（）

3.（2013年辽宁3）设 均为非零复数，令 ，若 ，则 的值为（ ）

4.（2012年湖南4）设实数 ，如果复平面上的动点 满足 则动点 的轨迹是（ ）

5.（2013年安徽6）设复数 满足 的实部与虚部之比为 ，其中 是虚数单位， ，则 的最大值为________

6.（2014年全国11）确定所有的复数 ，使得对任意复数 均有

附答案：1. 2.3 3. 4.焦距为4的椭圆 5. 6.

参考文献：

[1]2011年高中数学联赛备考手册[M].华东师范大学出版社，2010.

[2]2012年高中数学联赛备考手册[M].华东师范大学出版社，2011.

[3]2013年高中数学联赛备考手册[M].华东师范大学出版社，2012.

[4]2014年高中数学联赛备考手册[M].华东师范大学出版社，2013.

[5]2015年高中数学联赛备考手册[M].华东师范大学出版社，2014.