可化为一元一次方程的分式方程

可化为一元一次方程的分式方程（精选13篇）

可化为一元一次方程的分式方程 第1篇

可化为一元一次方程的分式方程 的教案

一、教学目标

1．使学生理解分式方程的意义．

2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．

3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．

4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．

5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．

二、教学重点和难点

1．教学重点：

(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．

(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．

2．教学难点：理解解分式方程时产生增根的原因．

三、教学方法

启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．

四、教学手段

演示法和同学练习相结合，以练习为主．

五、教学过程

(一)复习及引入新课

1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？

答：含有未知数的等式叫做方程．

使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

2．解：(1)当 时，左边=，右边=0，∴左边=右边，∴

(2)

(3)

3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式： 根据量间的关系列出方程：

，这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．

(二)新课

板书课题：

板书：分式方程的定义．

分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．

练习：判断下列各式哪个是分式方程．（投影）

(1)；(2)

；(3)

；

(4)；(5)

在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．

1、如何求解方程

？

先由同学讨论如何解这个方程．

在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．如何去掉？方程两边同乘最简公分母.解：两边同乘以最简公分母x(x-6)得

90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．

检验：把x=18代入原方程

, 左边=右边

∴x=18是原方程的解．

2、如何解方程

?

此题可由学生讨论解决.解：方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2

解整式方程，得x=1.x=1时原方程的解是否正确？

检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解.∴原方程无解．

讨论：

1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程，为什么2求出的x=1不是原方程的解，而我们又得到了x=1呢？

分析：方程同解原理2指出：方程的两边都乘以不等于零的同一个数，所得的方程与原方程同解．

在解1中，方程两边都乘以x(x-6)，接着求出x=18，而当x=18时，2(x+5)=216，所以相当于方程两边都乘以16(≠0)，因此所得的整式方程与原方程同解．

在解2中，方程两边都乘以(x+1)(x-1)，接着求出x=1，相当于方程两边都乘以零，结果使原方程无意义，这样得到的整式方程与原方程不同解．

像这样，在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．

注意：由分式方程转化为一元一次方程过程中，要去分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，就使得分式方程可能产生增根，因此解分式方程后就必须检验．

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可化为一元一次方程的分式方程

2005年7月2日 来源:网友提供 作者:未知 字体:[大 中 小]

由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．

例

1、解方程

对于例题给学生示范做题的格式、步骤.（投影显示步骤格式）

解：方程两边同乘x(x-2)，约去分母，得

5(x-2)=7x解这个整式方程，得

x=5．

检验：把x=-5代入最简公分母

x(x-2)=35≠0，∴x=-5是原方程的解．

例

2、解方程

解：方程两边同乘最简公分母(x-2)，约去分母，得

1=x-1-3(x-2)．

（-3这项不要忘乘）

解这个整式方程，得

x=2．

检验：当x=2时，代入最简公分母(x-2)=0，∴x=2是增根，∴原方程无解．

注意：要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.(三)总结

解分式方程的一般步骤：

1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．

2．解这个整式方程．

3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

(四)练习

教材P．98中1由学生在黑板上写，教师订正．

六、作业

教材P．101中1．

七、板书设计

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可化为一元一次方程的分式方程 第2篇

1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根.

2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；

3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.

浅谈分式方程的解法 第3篇

分式方程的求解策略是利用方程两边同乘以各分母的最简公分母把分式方程转化为整式方程来求解, 而分式方程转化为整式方程的问题在于各分式中分子与分母含有相同的因式最好先约分, 分母不能取0, 就这两问题, 就分式方程的解法展开讨论。

1. 方程中的相同因式的问题。

(1) 方程中分子与分母都是多项式的先因式分解, 含有相同因式的能否先约分?

例1.解方程 。

解:方程转化为

(2) 方程 (1) 不进行约分求解的结果

例2. 解。

解:方程可以转化为:

可见, 相同的方程结果却不相同。我们回过头去检验一下:

当时分母为0不合题意 (舍去) , ∴原方程解为x=2。

即分式方程一定要经过检验即分式方程会产生增根 (1.增根能使最简公分母为0;2.增根是去分母后整式方程的根) 。

分式方程可以转化为一元二次方程来解, 此类问题是分式方程中最简单也是最有代表性的, 它告诉我们怎么样来转化分式方程, 也使得学生对数学思想———转化有一定的理解和掌握, 对培养学生的学习数学的兴趣有很大的帮助, 也培养了学生的数学思维能力。

2. 分子与分母因式分解的情况。

分式方程中分母与分子中各有若干个因式的, 就要考虑分子与分母的因式分解情况, 若分子与分母含有相同因式, 我们可以根据例1和例2的解法来解此类问题;若分子与分母不含有相同的因式, 那其解法有所区别。就这方面的问题, 利用例题来找出解决方法。

(1) 分子与分母含有不同的因式

当分子与分母都是多项式时先分别进行因式分解再去找分子与分母中是否含有相同的因式。如果没有该如何去求解?

例3.解方程 。

解:方程等价为 ,

方程可转化为 (x-1) (x-2) =- (x-4) (x+1) ,

把分式方程转化成了整式方程

即可求出原分式方程的解

利用方程两边同乘以多个因式把分式方程转化为整式方程以后, 再利用公式法解出整式方程。

含有相同因式的时候, 就利用找最简公分母的方法求解。因为方程的分子与分母先约分后求解可能会漏根, 所以含有相同因式时的解法也就有所不同。这又从另一角度使学生明白转化在解决数学问题时无处不在, 更能说明转化这一数学思想的重要性。

(2) 分子与分母中含有相同因式时。

分式方程中分母与分子中各有若干个因式的, 就要考虑相同因式能否进行约分, 若可以会怎样?那我们利用例子来解释问题。

例4.解方程 。

解:原方程整理得

∴方程等价为

(x-2) =0且x-2≠0,

∴原方程无解。

即解分式方程与解整式方程有所区别:既然解分式方程与解整式方程在去分母时有所区别, 因此解分式方程产生增根的原因就应该是去分母了。事实上, 解得的x=2只是去分母后的整式方程的解, 而对于原分式方程, 当x=2时分母x-2=0, 去分母时就等于在分式方程的两边都乘以了一个零, 所以x=2是分式方程的增根。于是解分式方程必须进行检验。其实, 我们在解方程时都要进行检验, 只是有的只是口头算一下, 而分式方程是必须写出检验的步骤。

验根的方法有两种:一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验, 这种方法道理简单, 而且可以检查解方程时有无计算错误;另一种是把求得的未知数的值代入分式的分母, 看分母的值是否等于零, 这种方法不能检查出解方程过程中出现的计算错误。

例5.解方程 。

解:方程等价为 ,

∴方程等价为x-2=2x-4,

∴原方程无解。

这个问题我们从三个例子来说明, 主要从因式的问题着手, 像例4, 须x≠2, 因为分母不能为0, 而例5中就没有必要。把相同因式除掉以后, 解法与例1、例2类似。例4与例5中相同因式的情况出现在分子与分母中, 例

方程等价为 ,

而后的解法与前面一样, 如果在此例中分母含有 (x-2) 这个因式, 也必须x≠2。我们再来看分子分母中都有相同的因子, 应该怎么来解。

例6.解方程 。

解:原方程转化为 , 且

∴方程等价为 (x+2) (x+1) =0, 且x+1≠0,

∴x1=-2, x2=-1, 且x≠-1。

∴原方程的解为x1=-2, x2=-1, 且x≠-1

像例6中, 分子分母中都有相同的因子, 那是可以约去的, 但是分母不能取零, 所以必须是, 这样方程的解才不会扩大。这种问题关键的问题就是去分母的问题, 以及零的问题, 而问题的解决有在于问题的转化, 问题不在于复杂还是简单, 而在于我们怎么去转化。在方程的求解中我们要抓住分母以及零的问题来转化, 才是解决问题的关键所在, 也更能说明转化在方程的解法中的重要性。

3. 说明, 在这里就分式方程中一些问题作一简单的说明。

(1) 在前面我们说明的问题都是右边为零, 那如果分式不等式的右边不为零的话, 应该先把不等式变为不等式的右边为零的情况。那我们来看下面的例子。

解:把方程右边的1移到左边并通分得:

然后利用例1的方法解此类问题。

像此类问题与前面的区别在于等号的右边是不是0, 而我们对于等号的右边是0的问题, 比较熟悉, 很容易解决。那我们把等号的右边不是0的情况转化为等号的右边是0的情况, 也就是把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 这也是转化的一个方向, 也是我们解决问题的一种方法。解分式方程除了要掌握求解的基本思想方法外, 还必须掌握一些富于技巧性的特殊方法, 以便使其对各种不同类型的分式方程找到更合适的解法。

(2) 解法的归纳。

a.可化为一元一次方程的分式方程的简捷解法

分式方程的简捷解法

分式方程解题误区的剖析

b.可化为一元二次方程的分式方程的解法

分式方程的十种解法

分式方程的非常规解法 (初二、初三)

谈x+1/x=a+1/a型方程的解的特征

一类分式方程的简便解法

c.可化为一元二次方程的分式方程的特殊方法

用换元法解分式方程

“分离”巧解分式方程

用增元法巧解分式方程

分式方程中的拆项意识

一道分式方程问题的几种特殊解法

求不定分式方程整数解的几种方法

分式方程的解法步骤可以归纳为:

(1) 把分式方程转化为整式方程。

⑵解整式方程。

⑶下结论。

⑷一些特别情况要处理, 如分式中分子与分母含有相同的因式最好先不要约分。

谈谈分式和分式方程的复习 第4篇

从卷面来看，分值控制在3%~8%左右，所占的比值不大，有些老师就疏忽大意了。其实，我们老师如果对此引起足够的重视，基本上前80%的学生能得到满分。我在复习过程中，发现我的学生在分式和分式方程这版块的内容掌握的不好。有很多同学连增根是什么也不知道，更别说是分式方程根的检验，这让我很吃惊。我马上翻阅了浙教版《数学》七年级下册的教材，发现分式方程只在两、三课时，学习时间不长，致使遗忘比较快。下面，就我从教学中出现的一些状况，以及中考中要引起重视的地方粗步的概括了一下：

1.分式的取值范围

例1使分式 有意义的自变量x的取值范围。

分析：学生易与二次根式√x-1的取值范围相混淆，不过能意识到分母不能为零，会出现x＞1的错误结果。

2.注意分式的隐含条件

例2若分式 的值为0，则x的值等于。

分析：若要使分式的值为零，必须要从分子、分母两方面考虑，即分子为零而分母不为零。于是解方程x2-x-2=0，得x1=2,x2=-1。但很多学生会很快把答案写上去，忘记把其中一个使分母为零的根舍去。

3.分式的化简求值

例3

分析：分式的化简基本上出现两种错误：一种是在解题中把分母变没了；还有一种是误认为公分母是（x-1）（１-x），使得计算过程复杂化，从而导致出错。

先将代数式 ÷ 化简，再从-３＜x＜３的范围内选取一个合适的整数x代入求值。

解：原式＝== =x-1

当x=2时，原式=1。

分析：对于复杂的分式运算，要弄清楚运算顺序，用好运算法则，注意运算符号。若有括号的，应先算出括号中的结果，再进行分式的乘除运算。此题在选具体的数值时还需注意隐含条件，其中±1不能选学生知道，但还有一个0会误选，其实合适的整数x只能是２或-２。

4.分式方程的解

例4已知关于x 的方程 的解是正数，则m的取值范围为。

分析：本题将分式方程与一元一次不等式结合在一起考查。去分母，得2x+m=3（x-2），解得x=m+6。因为x为正数，所以m+6＞０，得m＞-6。很多学生就直接把答案写上去，而忽略了当m=-4时，x=2，此时分式方程无解，从而把m≠-4漏掉。故正确应填m＞-６且m≠-4。

若关于x的分式方程 -=1无解，则a= 。

分析：本题主要考查分式方程的增根，增根对于学生来说比较陌生，所以要加强这方面的练习。去分母，得x（x-a）-3（x-1）=x(x-1)，注意每一项都要乘，不要漏乘。化简得，（a+2）x=3。若x=0或x=1时，则是增根，应舍去，此分式方程无解。因此，当x=0时，a不存在；当x=1时，a=1。故正确填a=1。

总之，在分式的解题过程中，注意分式的运算顺序和里面的隐含条件，不能随便去掉分母；在分式方程的计算中，去分母时应把各项都乘遍，验根是必不可少的步骤。

可化为一元一次方程的分式方程 第5篇

解方程 1.x1413x3x1122

12. 2x1x113x3x119x326x1x22x4.3.x2xx2xx21x2x25x6x3

5.关于x的分式方程

1k42有增根x=-2，则k=

x2x2x

4四、应用题

一．行程问题

（1）一般行程问题

1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。（2）水航问题

2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。二．工程问题

1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

2、某 市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？

三．利润（成本、产量、价格、合格）问题

1、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。

可化为一元一次方程的分式方程 第6篇

（一）教学目标

1、知识目标

（1）了解分式方程的概念；

（2）掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法及步骤。

2、能力目标

（1）经历“把实际问题抽象为方程”的过程，培养学生利用方程分析问题、解决问题的能力。

（2）通过思考、探索和归纳可化为一元一次方程的分式方程的解法和步骤，培养学生转化思想及数学概括能力。

3、情感目标

（1）通过具体的问题情境引入，激发学生探索数学知识的兴趣。

（2）通过学生的合作交流，培养学生的团队合作精神。

（二）教学重点

探索可化为一元一次方程的分式方程的解法及步骤。

（三）教学难点

如何把分式方程化为一元一次方程。

（一）创设问题情境，引入新课

1、出示教材第12页的问题，引导学生从题目中获取信息。我设计了这几个问题：

（1）这个问题中有哪些已知条件？隐含哪些数量关系？

（2）相等的量是什么？你能用一个等式表示出来吗？

2、根据学生的回答板书：80/(X+3)=60/(X-3)

设计问题：

（1）这个等式有没有含有分式？

（2）分式的分母有什么特征？

（3）这个方程与以前学过的方程有什么不同？

（二）探索可化为一元一次方程的分式方程的解法

1、引导学生探索可化为一元一次方程的分式方程的解法。

（1）如何解这样的分式方程呢？从这节课的课题中你得到什么启发？

（2）怎样把分式方程化为一元一次方程？

（3）怎样确定最简公分母？

2、例题讲析

引导学生分析例1这个分式方程的特征，确定最简公分母，把分式方程化为整式方程，并归纳解可一元一次方程的分式方程的方法步骤。

（1）例题中所含各分式的最简公分母是什么？

（2）方程两边乘以最简公分母时，应注意什么？

（3）得到的X=1是一元一次方程的解，能使原方程有意义吗？是不是原方程的解呢？

(4)增根产生的原因分析

（5）怎样检验呢？

（6）通过例题的分析，大家能总结出解可化为一元一次方程的分式方程的步骤

（三）、巩固练习

练习设置：教材第15页练习的第1、2题

活动：让四位学生到黑板演算，其他学生独自完成。强调步骤，特别是检验。

设计目的：及时巩固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识的能力

（四）小结

这一节课我们学习了哪些内容？

解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤是什么？

解可化为一元一次方程的分式方程时应注意什么？

小结是为了使学生进一步系统地掌握知识。

（五）作业布置

可化为一元一次方程的分式方程 第7篇

反思一：可以化成一元一次方程的分式方程>教学反思

12月8日第五节在七（6）班开了一节教研课：“可以化成一元一次方程的分式方程”，可化为一元一次方程的分式方程，既是分式方程的应用，也是整式方程的延伸与扩展，教材通过实际问题的解决，让学生体会分式方程的意义，领会把分式方程整式化的转化思想，掌握分式方程的解法，知道分式方程出现增根的原因，理解验根的必要性。学生在六年级就学习了一元一次方程的解法及应用，时隔一年，估计部分同学遗忘，而本节课的关键在把分式方程整式化后，主要是解一元一次方程，所以在讲新课前我通过解一道具体的一元一次方程让学生回顾解一元一次方程的步骤和怎样验根，很好地为本节课做好了铺垫。接着引入安排了实际生活中的例子，更贴近学生的实际，在学生讨论时，注意结合分析、解决实际问题的逐步深入。在讨论分式方程的解法时，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。这里解分式方程的基本思路是很自然、很合理地产生的，这种处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了整式方程与分式方程在解法上的内在联系。

在讨论增根问题时，通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出验根的方法。

我认为这堂课上的还是很成功的，比较满意的地方有：

(1)从教学设计到学案，课件的制作都是非常用心，精心设计，（2）课堂节奏把握得较好，教学设计意图，教学目标在课堂上得到较好的落实，（3）学生的积极性也调动起来，课上能够积极思维，具体表现在课的引入我没有用书上的例子，而是安排了实际生活中的另一例子，学生能根据题意列出两个不同的方程，其次是，积极发言的不全是成绩好的同学，例如杨益磊平时就是及格边缘，但这节课上表现好，上来做例二板书工整。

不足的地方有：

（1）在讨论为什么分式方程会产生增根的时候，看学生有畏难情绪，确实考虑到七年级的学生也讨论不出什么名堂，就替代了思维，也不敢深讲，（2）小组没有按异质分组，而是按座位排的，所以有些小组的讨论没起到应有的作用。

反思二：可以化成一元一次方程的分式方程教学反思

首先是学生如何顺利的找到题目中的等量关系，书本给出两个例子较难，按照书本的引入，一开始课堂就可能处以一种安静的思维，处于很难打开的状态，不能有效地激发学生学习兴趣与激情，所以才在学案中搭梯子降低难度，让学生体会到成功的喜悦，这样学生才会愿意继续探索与学习；实际问题的难度设置上是层层深入，问题也是分层次性，能够让不同层面的学生都有不同的体会与感受。

其次在教学过程中应提高教师自身的随机应变的能力和预设问题能力，课前充分备好学生。例如：以前学过整式方程，我们以前只是说一次方程之类的，没有系统的归类它是整式方程。如果不事先详细解释清楚整式方程这个词时，合作探究二进行的就不会很顺利。

最后，我们应让恰到好处的鼓励语和评价贯穿于教学过程中，只有这样，学生才能不断增强自信，在愉悦中探究新知，解决问题。

在教学过程中，由于种种原因，存在着不少的不足：

1、在复习整式方程时，学生并不像想象中对整式方程解题过程很了解，我就引导大家一起复习了一下，在这里，如果再临时出几个题目巩固一下，效果也许更好些。

2、对学生理解消化能力过于相信，在看例一的过程中，每一步的依据都进行了讲解，而分式方程的难点就是第一步，即将分式方程转化成整式方程。在这里，需要特别强化这个过程，应该对其进行专项训练或重点分析，就学生的不同做法进行分析，让他们明白课本的这种方法最简单最方便，同时，通过板书示范分式方程的解题。

3、时间掌握不够。备学生不够充分，导致突发事件过多，时间被浪费了，以致>总结过于匆忙。

反思三：可以化成一元一次方程的分式方程教学反思

1、解可化为一元一次方程的分式方程的基础是会解一元一次方程，综合知识运用点多，难点在于要正确地把分式方程化为一元一次方程，问题的关键是在去分母，包括正确乘于各分母的最简公分母、正确去括号、合并同类项等，学生在做题时要很小心才行，如果其中有一步走错了，特别是去分母这一步错了，后面的功夫便白费了，所以在教学中教师要引导学生耐心地攻克每一个难点，千万不要在去分母时忘记把没有分母的项也乘于它们的最简公分母。

2、对于一些分母需要变形的分式方程，强调要通过因式分解才能找出它们的最简公分母，在找公分母时还要注意互为相反数的情况，千万不要把问题复杂化，如果能够正确地找出最简公分母并去括号，就接近了成功了。要鼓励学生耐心一些，每一步要细心、细心再细心。任何一步错了都会导致后面的劳动白费。

"分式方程"一节的教学设计 第8篇

一、教学目标

1.知识目标是掌握解分式方程的步骤,理解解分式方程时验根的必要性。

2.能力目标是会按照解分式方程的步骤解分式方程。

3. 情感与价值观是培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯,培养严谨的治学态度。运用“转化”的思想,将分式方程转化为整式方程,从而获得成就感和学习数学的自信。

教学重点是探索解分式方程的步骤,熟练掌握分式方程的解法。 体会解分式方程验根的必要性。教学难点是如何将分式方程转化为整式方程;体会分式方程验根的必要性。

二、新课设计

1.由学生自主探索或互相讨论完成,老师巡视学生完成情况,对于学生可能出现的几种典型的解法用投影仪展示,让同学讨论,得出较好的解法。由于本节课的内容是紧接在分式的运算之后,多数学生会对方程进行通分,发现分母相同,得出分子应相等,解出x的值。这种情况与直接去分母效果相同,但解法较繁琐。第二种情况是与解含有分母的整式方程相联系,模仿整式方程的解法去分母,化为整式方程,求解整式方程得解。估计采用第二种方法的学生是少数。另外,若没有学生采用第二种方法,我会展示自己依第二种方法的解答过程,以供学生进行讨论、比对,在讨论中感悟到第二种方法更简便。突破本节课的难点。

2.引导学生检验刚才求得的解是否是原方程的解。让学生明白将值代入原方程检验是分式方程验根的一种方法,另一种方法是直接检验分母是否为0,这种方法将在后面涉及。学生可将求得的值代入原方程,但书写格式不规范,如有的同学将解直接代入方程两边,却仍用等号将左右两边相连,然后两边同时计算。我计划用投影仪,选择几位同学的做法显示给大家。让大家评选出最好的格式———将解得的根分别代入方程的左右两边计算,看左、右两边的结果是否一致。

三、作业设计

对分式方程检验的认识 第9篇

原来，检验分式方程是为了防止“无解”出现.

如：=这一方程，我们将方程两边同乘（x-5）（x+5）得x+5=10. 解这个整式方程得x=5，到这一步，或许在你认为就已经结束了，但并非如此. 我们将x=5代入（x-5）（x+5），发现（x-5）（x+5）的值为零，那么这个分式方程就无解了，也就是说：x=5只是x+5=10这个整式方程的解，却不是=这个分式方程的解.这时，=就无解.

看来，分式方程的检验并不是多此一举，而是体现了数学这个学科独有的周密性、严谨性.

那有没有不必检验的情况呢？有！

如：=. 我们把它化简为x-1

=x+1. 这一步，我们是根据分式的基本性质变形的，所以不要检验.

刘老师点评：不少同学对分式方程为什么一定要写出“验根”这样的步骤很不理解，认为在七年级学习一元一次方程时，并没有这样严格的要求，何以到了八年级就提出这样的“多余”步骤呢？从小杨的这篇写作中可以发现，分式方程的验根目的是检验第一步“去分母”可能潜在的风险，也就是说这是对自己解法的一种完善和风险评估，并不像七年级一元一次方程检验那样，仅是检查是否笔误、粗心之类的步骤. 当然，小杨最后指出的从约分的角度解分式方程，由于离开了“去分母”这样的风险步骤，自然也可以不写验根的必要步骤.

列分式方程解决生活问题 第10篇

一列分式方程解决生活问题步骤

步骤: (1) 写:判断题目类型并写出其基本关系式。这样便把抽象的生活问题及关系直观的摆在面前, 达到形象化。 (2) 找:根据基本关系式, 在题目中找出每个基本量的有关信息, 并用表和等量关系表示出来。 (3) 设:设一个未知量, 并表示出相关的未知量。 (4) 列:用含未知数的式子表示等量关系, 列出方程。通常题目中给出基本关系式中的一个量, 先设一个量, 再表示出第三个量, 最后根据第三个量的等量关系建立方程。 (5) 解:解方程求出未知数的值。 (6) 验:检验解出的未知数的值是否为方程的根以及是否符合题意。 (7) 答:根据题目要求及解答, 写出简要的答案。

二例题分析

例1 (2012北京) :据林业专家分析, 树叶在光合作用后产生的分泌物能吸附空气中的一些悬浮颗粒物, 具有滞尘净化空气的作用。已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克, 若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同, 求一片国槐树叶一年的平均滞尘量。

第一, 工效类问题:工作总量=树叶片数×工作效率。

第二, 基本量的有关信息。

等量关系:国槐树叶片数=银杏树叶片数。

第三, 设一片国槐树叶一年的平均滞尘x毫克, 则一片银杏树叶一年的平均滞尘 (2x-4) 毫克。

第四, 根据题意列方程: 。

第五, 经解得:x=22。

第六, 经检验, x=22是原方程的根且符合实际意义。

第七, 答:一片国槐树叶一年的平均滞尘22毫克。

例2 (2012四川) :经过建设者三年多艰苦努力地施工, 贯通我市的又一条高速公路“遂内高速公路”于2012年5月9日全线通车。已知原来从遂宁到内江公路长150千米, 高速公路路程缩短了30千米, 如果一辆小车从遂宁到内江走高速公路的平均速度可以提高到原来的1.5倍, 需要的时间可以比原来少用1小时10分钟。求小汽车原来和走高速公路的平均速度分别是多少?

第一, 行程类问题:路程=速度×时间。

第二, 基本量的有关信息。

等量关系:原公路时间-高速公路时间=7/6。

第三, 设小汽车走原来公路的平均速度是x千米/时, 则走高速公路的平均速度是1.5x千米/时。

第四, 根据题意列方程 。

第五, 经解得x=60。

第六, 经检验, x=60是原方程的根且符合实际意义。

所以:1.5x=1.5×60=90千米/时。

第七, 答:小汽车原来的平均速度是60千米/时, 走高速公路的平均速度是90千米/时。

例3 (2012乌鲁木齐) :水果店第一次用500元购进某种水果, 由于销售状况良好, 该店又用1650元购进该品种水果, 所购数量是第一次购进数量的3倍, 但进货价格每千克多了0.5元, 第一次所购水果的进货价格是每千克多少元?

第一, 营销类问题:总额=单价×数量。

第二, 基本量的有关信息。

等量关系:第一次进货数量×3=第二次进货数量。

第三, 设第一次所购水果的进价为x元/千克, 则第二次的进货价格为 (x+0.5) 元/千克。

第四, 根据题意列方程。 。

第五, 经解得x=5。

第六, 经检验, x=5是原方程的根且符合实际意义。

第七, 答:第一次所购水果的进价为5元/千克。

三列分式方程解决生活问题的注意事项

巧解分式方程 第11篇

一、利用换元法

例1解方程：

2－5

＋6＝0.

解：设y＝，则原方程可以化为y2－5y＋6＝0，所以

（y-2）（y-3）＝0，y1＝2，y2＝3．

当y1＝2时，＝2，解得x1＝2．

当y2＝3时，＝3，解得x2＝．

经检验，x1＝2，x2＝均是原方程的解．

二、利用拆分法

例2 解方程：－＝－．

分析：若直接去分母，将得到一个高次方程，解起来比较困难．当分式方程中分式的分子次数大于或等于分母次数时，可先把分式化成分子次数小于分母次数的真分式，然后去分母求解.

解：原方程可化为1＋－1－＝1＋－1－，

－＝－，

＝，

（x＋1）（x＋3）＝（x＋5）（x＋7）．

解之，得 x＝－4．

经检验，x＝－4是原方程的解.

例3 解方程：＝．

解：由原方程得－1＝－1．

所以＝，所以x＝0或2x－3＝3x－5．解得x1＝0，x2＝2．

经检验，x1＝0，x2＝2均是原方程的解．

三、利用分解因式

例4解方程：＋＝．

解：原方程化为

＋＝，

－＋－＝－，

＋＝．

去分母，解得x＝－8．

经检验，x＝－8是原方程的解.

四、利用添项法

例5 解方程：＋＝＋．

解：注意到每个分式的分子、分母均有可抵消的“数”，方程两边都加上2，得

＋1＋＋1＝＋1＋＋1，

＋＝＋，

－＝－，

＝．

于是得x＝0或（x＋2）（x＋3）＝（x＋4）（x＋5），解得x1＝0，x2＝－．

关于分式方程增根的研究课 第12篇

针对部分学生对分式方程增根的意识淡薄, 在研究有关分式方程的解的问题时, 容易忽略增根的情形, 笔者专门进行了一堂分式方程增根的探究课.

一、通过题组练习, 熟悉解分式方程的一般步骤

二、探究含有参数的分式方程的增根问题

问题1若关于x的方程会产生增根, 则k=_______.

师:该方程的增根会是什么?

生:由最简公分母 (x+2) (x-2) =0知该方程的增根可能是x=2或x=-2.

师:增根是哪个方程的根?

生:方程两边同乘以 (x+2) (x-2) , 得x-2-k (x+2) =x2-4-4x (*) , 所以x=2或x=-2应该是方程 (*) 的根.

师:怎么求k的值?

生:把x=2代入方程 (*) 中, 得k=2;把x=-2代入方程 (*) 中, 得-4=8, k无解.所以k=2.

【解后反思】本题的关键是两个问题:分式方程的增根是什么?增根是哪个方程的根?一般解题步骤是: (1) 去分母, 化为整式方程; (2) 确定增根; (3) 将增根带入整式方程, 求出参数的值.

问题2若关于x的方程的解为正数, 则a的取值范围是______.

生:去分母得2x+a=2-x, 解得得a<2. (该答案得到大多数同学认可)

师:大家请注意, 一定是原分式方程的解吗? (该问题引起学生议论纷纷)

生:我明白了.若就是原方程的增根, 也就是当a=-4时, 方程无解, 不符合题意.所以a的取值范围是a<2且a≠-4.

【解后反思】本题是因为漏掉增根而导致的一种典型错误.首先, 学生能通过去分母, 把分式方程化为整式方程, 根据解为正数构造不等式, 可求得参数的范围.可是往往会忽略增根的情形, 也就是如果范围内的值使得分式方程有增根, 那么原分式方程无解, 就谈不上有正数解了.

问题3当m=_________时, 关于x的方程无解.

师:先不管这个方程有解无解, 这个方程应该怎么解?

生:方程两边同乘以x-3, 得2x+m=- (x-3) , 解得

师:那么原方程无解说明了什么?

生:原方程无解说明是原方程的增根.

师:如何求m的值?

生:得m=-6.

【解后反思】当整式方程的根是分式方程的增根时, 会导致原方分式程无解.求解此类问题, 一要求出整式方程的根, 二要确定分式方程的增根.

三、师生共同总结分式方程的增根问题

(1) 解分式方程的基本思路是把分式方程化为整式方程; (2) 去分母的变形过程会使得未知数的范围扩大; (3) 当整式方程的解使最简公分母的值为0时, 这个解就是分式方程的增根; (4) 解分式方程必须验根, 增根必须舍去; (5) 研究分式方程的解的问题, 不能忽略对增根情形的讨论; (6) 分式方程无解有可能是增根导致的, 但不完全是, 即无解不等价于增根.

分式方程（二） 第13篇

【教材内容分析】

本节的主要内容是运用分式方程的思想和方法解决有关的实际问题及利用解分式方程把公式变形，通过例题教学让学生掌握利用分式方程解决问题的一般思路和方法。

【教学目标】

1.使学生学会运用分式方程的思想和方法，解决有关实际问题；

2.利用解分式方程把公式变形。

3.进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。

【教学重点】

列分式方程解决实际问题。

【教学难点】

会由实际问题列出分式方程及例4的教学。

【教学过程】

（一）创设情景，引入新课

物体运动时，经过时间t，速度从原来的v0变为v，人们把a=叫做物体在时间 t内运动的平均加速度。请求出下列各题的结果。

（1）过山车在下滑的过程中，经过3秒，速度从原来的4米/秒增大到22米/秒，求过山车这段时间内的平均加速度。

（2）请比较下列各速度的大小：

①若飞机起飞阶段的平均加速度为8米/秒2，求起飞4秒时飞机的速度；

②一只鹰从15米/秒的速度开始加速，在4秒内平均加速度为米/秒2，求加速4秒时这只鹰的飞行速度；

③汽车广告中，一辆汽车从静止开始，经9秒速度达到90千米/时，求该汽车启动后经4秒的速度。

分析：（1）已知平均加速度的公式，很明显把已知量代入即可。

（2）为了比较加速后的速度的大小，必须把它们各自的大小计算出来，给学生足够的时间讨论得到两种方法：解分式方程或公式变形。

由此可知，运用分式方程的思想和方法，可以帮助解决有关的实际问题。

所以今天我们就来学习运用分式方程解决实际问题和利用解分式方程把公式变形。

〖设计说明：本题是课本中课后的探究题，把本题作为引题是为了让学生体会到分式方程可以解决实际问题，引出课题。〗

（二）解释应用，体验成功

例3：工厂生产一种电子配件，每只的成本为2元，毛利率为25%，后来该工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加3.5%，问这种配件每只的成本降低了多少元？（精确到0.01元）

（1）本题等量关系是什么？（毛利率=）

（2）售出价是多少？ （ 2×（1+25%）=2.5（元））

（3）成本是多少？ （原来成本是2元，设这种配件每只降低了x元，则降价后的成本是（2-x）元）

（4）根据等量关系，你能列出方程吗？

解：（略）

解后小结：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题在方法，步骤上基本相同，但解分式方程时必须验根。

〖设计说明：通过本例题的教学主要是为了让学生明白运用方程的思想和方法，可以帮助我们解决有关的实际问题。解题的同时逐步让学生体会到列方程中的数学建模思想，通过设未知数，列方程，解方程等步骤求得问题的解。〗

根据以上的思想和方法，同学们能不能独立地解决实际问题呢？

课内练习：甲、乙两人每时共能做35个电器零件，当甲做了90个零件时，乙做了120个，问甲、乙每时各做多少个电器零件？

〖设计说明：本题的设计让学生及时巩固了列分式方程解应用题的基本步骤及思想方法。〗

下面我们就利用公式变形解决一个问题：

例4，照相机成像应用了一个重要原理，即 = + （V≠f）

其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示明胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整U、V来使成像清晰，问在f、v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u？

分析：本题就是利用解分式方程把已知公式变形。

把f、v看成已知数，u看成未知数，解关于u的分式方程。

解：（略）

解后小结：公式变形是分式运算和解方程的知识的综合，公式变形的基本思想，在数学和其他学科知识的学习中，以及生产实践中有重要的地位及广泛的应用。

〖设计说明：由于公式变形集知识性和技巧性于一体，所以教师在讲解中要讲清每一步变形的依据。〗

课内练习：下面的公式变形对吗？如果不对，应怎样改正？

将公式x=a （1+ax≠0）变形成已知x，a，求b

解：由x=，得x=-

∴x+ =即b=a+

〖设计说明：本题的设计使学生对于公式变形有了更深层次的理解和掌握。〗

（三）合作交流，拓展延伸

年新生嬰儿数减去年死亡人数的差与年平均人口数的比叫做年人口的自然增长率，如果用p表示年新生婴儿数，q表示死亡人数，s表示年平均人口数，k表示年人口自然增长率，则年人口自然增长率k=.

（1）把公式变形成已知k，p，q，求s的公式。

（2）把公式变形成已知k，s，p，求q的公式。

〖设计说明：由于本课时容量比较大，此题可以在课外完成。〗

（四）归纳小结，布置作业

1.运用分式方程的思想和方法，解决有关实际问题。

2.利用解分式方程把已知公式变形。

3.注意公式变形时括号中条件限制的用处。

作业：（1）作业本 （2）自主学习

二、设计思路