相似三角形中考题汇编

相似三角形中考题汇编（精选6篇）

相似三角形中考题汇编 第1篇

相似形

1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）求证：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；

2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．

（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；

（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．

3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值．

4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．

（1）求证：BG=DE；

（2）若点G为CD的中点，求的值．

5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；

（2）如图2，将

（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．

6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．

（1）证明：∠BDC=∠PDC；

（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．

8．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．

（1）求证：DE=DC；

（2）求证：AF⊥BF；

（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE的长．

9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．

（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；

（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．

10．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．

（1）求证：AF=AR；

（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？

②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．

11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；

（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

12．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．

（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；

（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？

（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？

．

13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．

（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；

（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；

（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．

14．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．

（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）

（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；

（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？

15．已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．

（1）求证：△ABM∽△NDA；

（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．

16．如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．

（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；

（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．

17．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．

（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE

（2）D为BC中点如图2，连接EF．

①求证：ED平分∠BEF；

②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．

18．如图，在△ABC

中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段

BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．

（1）求证：PC=PE；

（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．

19．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．

（1）求证：AB=GD；

（2）如图2，当CG=EG时，求的值．

20．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．

（1）求证：△BOD∽△BAE；

（2）求证：BD=CE；

（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？

21．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t=1时，KE=，EN=；

（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？

（3）当点K到达点N时，求出t的值；

（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？

22．如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E，连接CE．

（1）求证：四边形ADCE是平行四边形．

（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长．

23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．

（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；

（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．

24．已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=．

（1）求证：DE∥BC．

（2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=．

（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．

25．已知△ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A．

（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF•BE；

（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长．

26．如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．

（1）求证：AD2=BG•DH；

（2）求证：CE=DG；

（3）求证：EF=HG．

27．如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．

（1）求证：AC•DF=BF•BD；

（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；

（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．

28．如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．

（1）求证：DB=DM．

（2）若=2，DE=6，求线段MN的长．

（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为

（用含n的代数式表示）．

29．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、D、G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC、CG、AE，并延长AE交OG于点H．

（1）求证：∠DAE=∠DCG．

（2）求线段HE的长．

30．如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A．

（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；

（2）若图2，若AB≠AC，①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；

②求证：=．

31．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．

（1）证明：DM=DA；

（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；

（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．

32．如图，正方形ABCD中，边长为12，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC交BC于点F，连接EF．

（1）求证：EF=CF；

（2）当=时，求EF的长．

33．如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN．若∠ACP=∠ABD．

（1）求证：AC•MN=BN•AP；

（2）若AB=3，AC=2，求AP的长．

34．如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．

（1）求证：△CAE∽△CBF；

（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

35．如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．

（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP

△PCD（填“≌”或“～”）；

（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

36．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是

．

37．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．

（1）求AO的长；

（2）求PQ的长；

（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．

38．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．

求证：a2+b2=5c2

该同学仔细分析后，得到如下解题思路：

先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证

（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．

（2）利用题中的结论，解答下列问题：

在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．

39．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．

（1）求证：△ADF∽△ACG；

（2）若，求的值．

40．如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．

求证：K是线段MN的中点．

相似三角形中考题汇编 第2篇

二轮专题汇编：相似三角形及其应用

一、选择题

1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则

()

A.=

B.=

C.=

D.=

2.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是

()

3.(2019•雅安)若，且，则的值是

A．4

B．2

C．20

D．14

4.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为

()

A.B.C.D.5.（2020·永州）如图，在中，四边形的面积为21，则的面积是（）

A.B.25

C.35

D.63

6.（2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）

A．15

B．20

C．25

D．30

7.（2020·重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（）

A．1:2

B．1:3

C．1:4

D．1:5

8.(2019•贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，若，则线段的长为

A．

B．

C．

D．5

二、填空题

9.在某一时刻，测得一根高为1.8

m的竹竿的影长为3

m，同时同地测得一栋楼的影长为90

m，则这栋楼的高度为　　　　m.10.（2020·盐城）

如图，且，则的值为

．

11.(2019•郴州)若，则__________．

12.(2019•百色)如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，，则的面积为__________．

13.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是　　　　步.14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．

15.(2019•泸州)如图，在等腰中，，点在边上，点在边上，垂足为，则长为__________．

16.（2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则_________.三、解答题

17.（2020·杭州）如图，在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，．

（1）求证：．

（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

18.(2019•广东)如图，在中，点是边上的一点．

(1)请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；(不要求写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若，求的值．

19.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40

cm，AD=30

cm.(1)求证:△AEH∽△ABC;

(2)求这个正方形的边长与面积.20.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.(1)求∠DAF的度数；

(2)求证：AE2＝EF·ED；

(3)求证：AD是⊙O的切线．

21.如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与☉O相交于E，F两点，P是☉O外一点，且P在直线OD上，连接PA，PC，AF，满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:PA是☉O的切线;

(2)证明:EF2=4OD·OP;

(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长.22.如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD.(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形．

(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求的值．

23.已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；

(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；

(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．

24.在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根．

(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；

(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；

(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？

2021中考数学

二轮专题汇编：相似三角形及其应用-答案

一、选择题

1.【答案】C　[解析]根据DE∥BC，可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴=，∴=.故选C.2.【答案】B　[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A1B1C1各边长分别为1，选项A中阴影三角形三边长分别为:，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B中阴影三角形三边长分别为:，2，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1，2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D中阴影三角形三边长分别为:2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B.3.【答案】A

【解析】由a∶b=3∶4知，所以．

所以由得到：，解得．所以．

所以．故选A．

4.【答案】A　[解析]如图所示.设DM=x，则CM=8-x，根据题意得:(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.∵∠D=90°.∴由勾股定理得:

BM===5.过点B作BH⊥水平桌面于H，∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°，∴∠HBA=∠DBM，∵∠AHB=∠D=90°，∴△ABH∽△MBD，∴=，即=，解得BH=，即水面高度为.5.【答案】B

【详解】解：∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

故选：B．

6.【答案】

B

【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．

7.【答案】C

【解析】本题考查了相似三角形的性质，∵△ABC与△DEF位似，且，∴，因此本题选C．

8.【答案】C

【解析】设，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，∴，∴，∴，∴，故选C．

二、填空题

9.【答案】54

10.【答案】2

【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴，设DE＝x,则AB＝10－x∵AD＝BC＝4，∴，∴x1＝8,x2＝2(舍去)，此本题答案为2

．

11.【答案】

【解析】∵，∴，故2y=x，则，故答案为：．

12.【答案】18

【解析】∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，∴位似比为，∵，∴，∴的面积为：，故答案为：18．

13.【答案】　[解析]如图①，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED=CF.设ED=x，则CD=x，AD=12-x.∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴x=.如图②，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，∵S△ABC=AC·BC=AB·CP，则12×5=13CP，∴CP=.设ED=y，同理得:△CDG∽△CAB，∴=，∴=，y=<，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步，故答案为:.14.【答案】

【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝5．CD⊥AB，由三角形的面积，得CD＝＝．易得△ABC∽△ACD∽△CBD，由相似三角形对应边成比例，得AD＝＝，BD＝＝．过点E作EG∥AB交CD于点G，由平行线分线段成比例，得DG＝CD＝，EG＝，所以，即，所以DF＝，故答案为．

15.【答案】

【解析】如图，过作于，则∠AHD=90°，∵在等腰中，，∴，∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，∴，∴CH=AC–AH=15–DH，∵，∴，又∵∠ANH=∠DNF，∴，∴，∴，∵，CE+BE=BC=15，∴，∴，∴，∴，故答案为：．

16.【答案】或2.8

【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD,△DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD,∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.三、解答题

17.【答案】

解：

（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C．∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC．

（2）①∵EF∥AB，∴＝＝．∵BC＝12，∴＝，∴BE＝4．

②∵EF∥AB，∴△EFC△BAC，∴＝．∵＝，∴＝．又∵△EFC的面积是20，∴＝，∴S△ABC＝45，即△ABC的面积是45．

18.【答案】

(1)如图所示：

(2)∵，∴．

∴．

19.【答案】

[解析](1)根据EH∥BC即可证明.(2)设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题.解:(1)证明:∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC.(2)如图，设AD与EH交于点M.∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM.设正方形EFGH的边长为x

cm，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为

cm，面积为

cm2.20.【答案】

(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝36°，∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；

(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，∴△EAF∽△EDA，∴＝，∴AE2＝EF·ED；

(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG过圆心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切线．

解图

21.【答案】

解:(1)因为点D是AC中点，所以OD⊥AC，所以PA=PC，所以∠PCA=∠PAC，因为AB是☉O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，因为∠PCA=∠ABC，所以∠PAC=∠ABC，所以∠PAC+∠BAC=90°，所以PA⊥AB，所以PA是☉O的切线.(2)因为∠PAO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△PAO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.(3)因为tan∠AFP=，所以设AD=2x，则FD=3x，连接AE，易证△ADE∽△FDA，所以==，所以ED=AD=x，所以EF=x，EO=x，DO=x，在△ABC中，DO为中位线，所以DO=BC=4，所以x=4，x=，所以ED=x=.22.【答案】

(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；

(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；

解图

(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴＝，即FC＝，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴＝，即FG＝，∴＝＝2，∴＝.23.【答案】

(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠CAB＝60°，AB＝BC，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD(ASA)；

(2)解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠CAB＝60°，AB＝BC，∴∠ABE＝∠BCD＝180°－60°＝120°.∴在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD(ASA)，∴BE＝CD.∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∵∠CAB＝60°，∴∠ADH＝30°，∴AD＝2AH，∴AC＝AD－CD＝2AH－BE；

(3)解：如解图，作DS⊥BC延长线于点S，作HM∥AC交BC于点M，解图

∵AC＝6，BE＝2，∴由(2)得AH＝4，BH＝2,与(1)同理可得BE＝CD＝2，CE＝8，∵∠SCD＝∠ACB＝60°，∴∠CDS＝30°，∴CS＝1，SD＝，BS＝7，∵BD2＝BS2＋SD2＝72＋()2，∴BD＝2，∵EK∥BD，∴△CBD∽△CEK，∴＝＝，∴CK＝＝＝，EK＝＝＝.∵HM∥AC，∴∠HMB＝∠ACB＝60°，∴△HMB为等边三角形，BM＝BH＝HM＝2，CM＝CB－BM＝4，又∵HM∥AC，∴△HMG∽△KCG，∴＝，即＝，∴MG＝，BG＝，EG＝，∵EK∥BD，∴△GBP∽△GEK，∴＝，∴BP＝.24.【答案】

【思路分析】(1)因为点C是x轴上的一动点，且∠ACB＝90°保持不变，所以由圆周角的性质得，点C必在以AB为直径的圆上，所以以AB为直径画圆，与x轴相交于两点，除点C的另一点就是所求；(2)因为∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，所以过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则构造了一个“K”字型的基本图形，再由相似三角的性质得出比例式，化简后得m2－5m＋2＝0，问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为1的一元二次方程，一次项系数是点A的横坐标与点B的横坐标的和的相反数；常数项是点A的纵坐标与点B的纵坐标的积，先把方程ax2＋bx＋c＝0，化为

x2＋x＋＝0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由(2)的证明中知，本题的关键点在“K”字型的构造，所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型，只要P、Q两点分别在AD、BD上，过P、Q分别作x轴垂线，垂足为M、N，这样就构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式．

图①

图②

(1)解：如解图①，先作出AB的中点O1，以O1为圆心，AB为半径画圆．

x轴上另外一个交点即为D点；(4分)

(2)证明：如解图①，过点B作x轴的垂线交x轴于点E，∵∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDE＝90°，∵∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠OAD＝∠BDE，∵∠AOD＝∠DEB＝90°，∴△AOD∽△DEB，(6分)

∴＝，即＝，∴m2－5m＋2＝0，∴m是x2－5x＋2＝0的一个实根；(8分)

(3)解：(0，1)，(，)或(0，)，(－，c)；(10分)

(4)解：在解图②中，P在AD上，Q在BD上，过P，Q分别作x轴的垂线交x轴于M，N.由(2)知△PMD∽△DNQ，∴＝，(12分)

∴x2－(m1＋m2)x＋m1m2＋n1n2＝0与ax2＋bx＋c＝0同解，∴－＝m1＋m2；＝m1m2＋n1n2.(14分)

相似三角形中考题汇编 第3篇

一、试题解析与评述

(一 )2013年压轴题

在矩形ABCD中 , 点P是边AD上的动点,连接BP,线段BP的垂直平分线交边BC于点Q, 垂足为点M, 连接QP ( 如图10). 已知AD = 13,AB = 5,设AP = x,BQ = y.

(1)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;

(2)当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时,求x的值;

(3)点E在边CD上,过点E作直线QP的垂线,垂足为F,如果EF = EC = 4,求x的值.

本题第(1)问和第(3)问体现了对相三角形的考查.

当点Q与C重合时即y = 13时,x取得最小值1,当点P与D重合时,x取得最大值13,∴ x的取值范围为:1 ≤ x ≤ 13.

(3)按照题意画出图形,如图2所示,连接QE.

∵ EF = EC,EF⊥PQ,EC⊥QC,∴ ∠1=∠2. ∵ PQ = BQ,

∴ ∠3 = ∠4,而∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4,∴∠1 = ∠3.

又 ∵∠3 = ∠5,∴ ∠1 = ∠5,又 ∵ ∠C = ∠A = 90°,

评述:该题第(1)问和第(2)问都是先证明相似再利用对应边成比例解题的模式,不同的是第(1)问的相似简单易证, 第(3)问的相似需要结合角平分线、三角形外角定理、矩形性质等其他知识.两小问都有一定的运算量,其中第(1)问是化简代数式,第(3)问是解方程.

(二)2014年压轴题

如图3, 已知在平 行四边形ABCD中,AB = 5,BC = 8,cos B =4 /5 , 点P是边BC上的动点, 以CP为半径的 圆C与边AD交于点E、F (点F在点E的右侧), 射线CE与射线BA交于点G.

(1)当圆C经过点A时,求CP的长;

(2)连接AP,当AP∥CG时,求弦EF的长;

(3)当△AGE是等腰三角形时,求圆C的半径长.

本题第(3)问体现了对相三角形的考查

解 (3)如图4进行构图

由前两题 过程可知 ∠B = ∠ACB < 45° , 而 ∠GAE = ∠B, ∠GEA > ACB,∴ ∠GAE = ∠GEA不可能, 当∠GAE = ∠G时, 点E在点F右侧, 不符题意 , 故要使 △AGE是等腰三角形,只能∠AGE =∠AEG即AE = AG, 由△AEG∽△BCG可得AE/ BC=AG /BG ,即

评述:本题的第(3)问难度在于等腰三角形存在性问题的分类讨论,在得出唯一的对应关系之后,相似三角形对应边成比例成为求出AE的等量关系, 虽然该题中的相似三角形显而易见,但还是充当了临门一脚的关键角色,需要学生有把相似三角形性质和方程思想紧密结合的意识.

(二)2015年压轴题

已知:如图5,AB是半圆O的直径 ,弦CD∥AB,动点P、Q分别在线段OC、CD上,且DQ = OP,AP的延长线与射线OQ相交于点E、 与弦CD相交于点F(点F与点C、 D不重合),AB = 20,cos∠AOC =4 /5.设OP = x,△CPF的面积为 y.

(1)求证:AP = OQ;

(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;

(3)当△OPF是直角三角形时 ,求线段OP的长.

本题第(1)问、第(2)问体现了对相三角形的考查.

解如图6进行构图,连接OD,作PH⊥AB

(1) ∵ AO = OD,∠AOC = ∠C = ∠ODQ,OP = DQ,

∴ △AOP ≌△ODQ,∴ AP = OQ

(2) 由cos ∠AOC =4 /5可得OH =4 /5x,PH =3 /5x,

评述:本题的2第(1)问罕见的在压轴题里考查了全等三角形,这需要学生会利用结论进行分析,要证线段相等,全等是最常见的思路,另外要会利用半径相等的隐含条件.全等是特殊的相似,所以,第(1)问也算是对相似三角形的考查.第(2)问研究三角形面积问题,这时最近几年上海市一模、二模及中考的一个命题趋势,三角形面积可以利用面积公式直接计算、可以利用割补法进行计算,也可以通过相似三角形面积比等于相似比的平方进行计算, 本题属于第三种.2015年压轴题对于相似三角形的考查,给人耳目一新的感觉.

二、对教学的启示

纵观近三年上海市中考数学压轴题对相似三角形的考查, 似乎走出了这样一条轨迹: 对传统考法的强化———对传统考法的相对弱化———寻求创新考法,不管未来的轨迹会何去何从, 相似三角形在上海市中考压轴题中始终是知识层面的主角,结合上述三年的分析,可以给我们带来以下教学启示:

(一)领悟不同问法的本质

从压轴题题干的问法来看,无论是求函数关系、求线段长、求面积、解决存在性问题,其本质都是发现和构造相似三角形基本图形,在利用相似三角形的性质代入代数量的过程中,如果主要是双变量,那就是化简代数式;如果是单变量, 那就是解方程.要让学生体会其中的数形结合思想:题目中蕴含的几何基本图形,其实就是方程模型中的等量关系.

(二)领悟 “图形与几何”教学的核心

相似三角形中考题汇编 第4篇

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；

（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

（1）tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；

（2）直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长.

中考是初中学生学习的终结性考试，近年来中考数学试题在关注基础知识和基本技能的考查的同时，也强调了在较复杂的几何图形中分解出简单的基本图形能力.有一些基本图形，需要在教师的指导下，让学生观察、思考、概括、提炼才能形成模型.下面我就以这道相似题为例谈谈对相似三角形单元试题命题的一些看法.

试题中第一问考什么呢？考相似三角形的判定.这在相似三角形单元教学中，是一个常见的基础题.

荷兰著名教育家弗赖登塔尔认为：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种‘再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”

一题多变可引导学生积极思考，可挖掘思维深度.我们可把这常见的题型进行如下改变.

一、改变题目的形式

和全等三角形教学类比，有这样一题：如图②，∠B=90°，∠D=90°，C为BD上一点，且AB=CD，BC=DE，求证：AC=CE.

四、进行变式训练

1.如下图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC=1.5Mm，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房MN的高度（精确到0.1m）.

2.（2012朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上一动点（不与B、C重合）.连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F.

（1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论.

在相似三角形单元试题命题时，抓住基础题型，基本图形，适当进行延伸、拓展，有助于教学，有利于学生理解，有助于我们理清平时的教学思路，调整平时的教学重点，弥补平时的教学不足之处.

在相似三角形单元试题命题时，从基础入手，把握教材、理解教材，通过对习题的编制，为学生提供更广阔的学习、研究数学的空间，提高学生综合运用数学知识解决实际问题的能力.

从2011年中考这道题中，体现了基础的重要性，虽然是一道综合题，但分解开来，是一个个基础的问题，这就要求我们在单元试题命题时，从课程标准出发，从教材入手，进行延伸、拓展，对于这次我们所说的这道基础题，通过对它的改编、测试、讲评与类比，学生对一般性结论的探寻有了自己的思考；对于相似、相近知识之间的衔接点有了更清晰的认识；更利于学生形成属于自己的知识网络.当然学生知识经验、基本数学思想的形成是一个长期过程，要在今后的学习中慢慢积累.

在掌握基础题型、基本图形后，对于试题命题的研究还是不够的，我们还要进行串联不同的问题，类比编题等.

串联不同的问题：

（2015汉阳区校级模拟）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）.

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），PC的长为？摇？摇；

（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中（如图①是该过程的某个时刻），请你观察、猜想，并解答：∠PEF的值是否发生变化？请简单说明理由.

（3）连接PB，如图③，在直角尺旋转过程中，随着点E和F位置的改变，我们容易发现，当BE=PE时，EF垂直平分PB，请计算求出这时点E在距离A点多远处？

类比编题：

2009-2010年安岳县九年级上数学期末试题：

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺（曲尺）MPN的直角顶点P在AD上滑动到某点（点P与A、D不重合），射线PN经过点C，身线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F.

（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；

（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的4倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由；

（3）在点P的运动过程中，点E能与B重合吗？若能，求出重合时DP的长，若不能，说明理由；

（4）认为线段FC的长有最大值吗？有最小值吗？（直接回答，不必说明理由）

命题与课堂教学一样，是一门艺术，章建跃教授提出数学教学的三个理解：理解数学，理解学生，理解教学.这在单元试题命题时，要符合好的数学题目的标准，依据学生的认知规律，从简单的、特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，引导学生先对简单的、特殊的问题进行分析获得灵感来解决一般的、变化的、拓展的问题.单元试题命题不仅关注学习的结果，更关注学习的过程，让学生处于熟悉而陌生的情景中，把知识、经验、方法、思想结合起来分析探索，找到解题的思路，从而达到章建跃教授提出数学教学的三个理解.

相似三角形中考题汇编 第5篇

一道最能体现体现“数学是思维体操”相似三角形的证明题

作者：李哲

来源：《科教创新》2014年第04期

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1007-0745（2014）04-0144-01

摘要： 本文主要分析采矿工程实验室的教学问题，阐述虚拟现实技术的价值、涵义，探讨三维可视化技术的基本功能。

相似三角形中考题汇编 第6篇

分类综合专题复习练习

1、已知为直线上一点，为直线上一点，设

.（1）如图，若点在线段上，点在线段上.①如果

那么，.②求

之间的关系式.（2）是否存在不同于以上②中的之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由.2、如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．

（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

3、在中，于点，于点，连接，将沿直线翻折得到（点与点为对应点），连接，过点作交于点．

（1）如图1，求证：四边形为平行四边形；

（2）如图2，连接，若，在不添加任何辅助线与字母的情况下，请直接写出图2中所有正切值等于2的角．

4、如图①，和中，，．

（1）则的长为（直接写出结果）；

（2）如图②，将绕点顺时针旋转至△，使恰好在线段的延长线上．

①求的长．

②若点是线段的中点，求证：．

5、如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；

（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

6、如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长；

（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB＇的值最小？并求出最小值．

7、在中，点、分别是、的中点，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，连接、．

观察猜想

（1）如图①，当时，填空：

①　　；

②直线、所夹锐角为　　；

类比探究

（2）如图②，当时，试判断的值及直线、所夹锐角的度数，并说明理由；

拓展应用

（3）在（2）的条件下，若，将绕着点在平面内旋转，当点落在射线上时，请直接写出的值．

8、将等边三角形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为，连接．取边的中点，连接．

（1）如图1，当时，的度数为，连接，可求出的值为　　．

（2）当且时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当，三点共线时，请直接写出的值．

9、问题提出：

（1）如图①，在△ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD＝3，则AE的最小值为；

（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE＝1cm，求△ABD的周长；

问题解决：

（3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个△ABC区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足∠BAC＝90°，点A到BC的距离为2km．为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值（路宽忽略不计）．

10、如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．

（1）求证：△ABE≌△GFE；

（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；

（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．

11、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：

小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”

……

老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”

（1）求证：∠BAE＝∠DAC；

（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；

（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．

12、如图1，是正方形边上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．

（1）求证：；

（2）猜想线段，和之间的数量关系，并说明理由．

（3）当四边形为菱形，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．

①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，直接写出线段的长度．

13、在中，，点在射线上运动．连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接．

（1）如图1，点在点的左侧运动．

①当，时，则　　；

②猜想线段，与之间的数量关系为　　．

（2）如图2，点在线段上运动时，第（1）问中线段，与之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．