复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算（精选3篇）

复数的三角形式及乘除运算 第1篇

复数代数形式的乘除运算教案

教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不 易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教学重点：复数代数形式的除法运算。教学难点：对复数除法法则的运用。课型:新知课 教具准备：多媒体 教学过程： 复习提问：

已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：

一 ．复数的乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究: 复数的乘法是否满足交换律、结合律? 乘法对加法满足分配律吗? 二.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，2b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=

［

(a1+b1i)(a2+b2i)

］

(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=

［

(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3

］

+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)

=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.复数的乘法与多项式的乘法是类似的我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.例2计算：

（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+ i).解：（1）(3+4i)(3-4i)=3-（4i）=9-(-16)=25;(2)（1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.练习课后第2题

三.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 2

2通常记复数z的共轭复数为z。

思考:若z1, z2是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?(2)z1z2是怎样的一个数? 探究: 类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法法则.四:除法运算规则：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者

abicdi

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.cxdya,由复数相等定义可知

dxcyb.acbdx,22cd解这个方程组，得 ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=

acbdbcad2 i.222cdcd2②利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将

abi的分母有理化得： cdi5 原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i 22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i.2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=

acbdbcad2i.222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(c－di)=c+d2

2是正实数.所以可以分母“实数”化.把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)解：(12i)(34i)12i 34i(12i)(34i)386i4i510i12i 22(34i)(34i)3425551 先写成分式形式 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)3 化简成代数形式就得结果 练习:课后第3题(1)(3)小结: 作业:

教学反思：

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.复数的除法法则是：

abiacbdbcadi(c+di≠0).cdic2d2c2d2两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简.

复数的三角形式及乘除运算 第2篇

主备人：石志雄

审核人：付红波

编号：15 日期：2011.3.9

教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点：乘除运算 教学过程：

一、复习准备：

1.复数的加减法的几何意义是什么？ 2.计算（1）(14i)+(72i)

（2）(52i)+(14i)(23i)（3）(32i)-[(43i)(5i)]

3.计算：（1）(13)(23)

（2）(ab)(cd)（类比多项式的乘法引入复数的乘法）

二、讲授新课：

1.复数代数形式的乘法运算

①.复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i。例1．计算（1）(14i)(72i)

（2）(72i)(14i)（3）[(32i)(43i)](5i)（4）(32i)[(43i)(5i)]

探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．

1、计算（1）(14i)(14i)

（2）(14i)(72i)(14i)（3）(32i)2

2、已知复数Z，若，试求Z的值。变：若(23i)Z8，试求Z的值。②共轭复数：两复数abi与abi叫做互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。

课堂练习：说出下列复数的共轭复数32i,43i,5i,52i,7,2i。

③类比1223(1(22)(23)(23)3)，试写出复数的除法法则。

abicdi(abi)(cdi)(cdi)(cdi)acbdcd222．复数的除法法则：(abi)(cdi)其中cdi叫做实数化因子

bcadcd22i

例3．计算(32i)(23i)，(12i)(32i)（师生共同板演一道，再学生练习）练习：计算32i(12i)2，3i(1i)12

2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。

三、巩固练习： 1．计算（1）1i2ii3

（2）ii2i3i4i5（3）2i13 2iz1z2z1z22．若z1a2i,z234i，且求a。

复数代数形式的四则运算 第3篇

1. 理解复数的加减运算

掌握好两个知识点：运算法则和运算律.

例1 已知[Z1=-3-4i,Z2=5+2i,]复数[Z]满足[Z-Z1=Z2].求[Z].

解析 [∵][Z-Z1=Z2]，

[∴][Z=Z1+Z2=-3-4i+5+2i=2-2i].

点拨 （1）复数加法与减法是互为逆运算的. （2）复数加法满足结合律、交换律，其运算类似实数的加减. （3）把i看成字母，可类比多项式中的合并同类项. （4）可以推广到若干个复数进行连续加减.

2．复数代数形式加减运算的几何意义

理解掌握:(1)复数[Z]与复平面内的以原点为起点的向量[OZ]一一对应，复数的加减等价转化为向量加减.（2）若复平面内的任意两点[Z1、Z2]所对应的复数分别是[z1、z2],则[z1-z2=z1z2]表示[Z1、Z2]两点间距离.（3）复数加减的几何意义在于：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中;二是对于一些复数的运算也可以给予几何解释.

例2 已知平行四边形[OABC]，顶点[O、A、C]分别表示[0,3＋2i, -2＋4i]，试求：

（1）[AO]所表示的复数， [BC]所表示的复数；

（2）对角线[CA]所表示的复数；

（3）对角线[OB]所表示的复数及[OB]的长度．

解析 如图所示，

（1）∵[AO]＝－[OA]，

∴[AO]所表示的复数为－3－2i.

∵[BC]＝[AO]，

∴[BC]所表示的复数为－3－2i.

（2）∵[CA]＝[OA]－[OC]，

∴[CA]所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

（3）对角线[OB]＝[OA]＋[AB]＝[OA]＋[OC]＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，

[|OB|=12+62=37].

点拨 （1）画出图形，作出相应的向量借用向量加减法求复数；（2）要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点，或者利用相等向量．

3. 复数代数形式的乘除法运算

例3 计算：[(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i.]

解析 [(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i=5-3i+2+4i3+4i]

[=7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)]

[=21-28i+3i+425][=25-25i25=1-i.]

点拨 复数乘法与多项式乘多项式类似,注意[i2=-1]. 注意复数集内的一些不成立的结论，如：（1）[z∈R]时，[z2=z2].当[z∈C]时,[z2∈R],而[z2∈C, ∴z2≠z2]; (2)当[z1、z2∈R]时,[z12+z22=][0⇔z1=0]且[z2=0];当[z1、z2∈C]时，[z12+z22=0]不能推出[z1=0]且[z2=0],但[z1=0]且[z2=0]能推出[z12+z22=0]！

例4 设[z]是复数[z]的共轭复数，若[z+z=4,][zz=8,]求[zz]的值.

解析 设[z=2+bi(b∈R),]

[∵z+z=4]，又[zz=z2=8]，

[∴4+b2=8,∴b2=4]，[∴b=±2.]

[∴z=2±2i,z=2∓2i,∴zz=±i.]

点拨 （1）理解运用共轭复数的性质：a.在复平面内，共轭复数所对应的点关于实轴对称；b.若[z1]、[z2]是共轭复数，则[z1z2]是一个实数且有[z1⋅z2=z12=z22]；c.实数的共轭复数是它本身，即[z=z⇔z∈R].利用这个性质，可证明一个复数是实数.（2）要注意复数问题实数化和方程思想的应用.

4. 虚数单位[i]的性质

例5 求[1+2i+3i2+…+2012i2011]的值.

解 设[s=1+2i+3i2+…+2012i2011].

则[si=i+2i2+3i3+⋯+2012i2012].

错位相减整理得，

[s=-20121-i=-2012(1+i)2=-1006-1006i.]

点拨 对[in(n∈N*)]来说有如下性质：[i4n=1],[i4n+1=1],[i4n+2=-1],[i4n+3=-1],在此基础上有[i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0].

5. 几个特殊结论

例6 [i]是虚数单位，[(1+i1-i)4]等于（ ）

A. [i] B. –[i] C. 1 D. -1

解析 [(1+i1-i)4=(1+i)224=i4=1]，故选C.

点拨 （1）此题先化简内部，再利用特殊结论，可以快捷解题. (2)建议记住几个特殊结论：[(1±i)2=±2i]，[1+i1-i=i]，[1-i1+i=-i]；若[ω=-12+32i]，则[ω=-12-32i]，[ω3n+2=ω,ω3n=1,ω3n+1=ω,1+ω+ω2=0(n∈N*)]（[ω=-12+32i]是[x2+x+1=0]的一个根）.

1. [i]为虚数单位，[1i+1i3+1i5+1i7=]（ ）

A．0 B．[-i]

C．[1+i] D．[1-i]

2. [i]为虚数单位，若复数[z=1+i]，则[(1+z)z=]（ ）

A．[1+3i] B．[3+3i]

C．[3-i] D．3

3. 若复数[z=1-2i]（[i]为虚数单位），则[z⋅z+z=] .

4. 已知复数[z1]满足[(z1-2)(1+i)=1-i]（[i]为虚数单位），复数[z2]的虚部为２，且[z1⋅z2]是实数，求[z2].

5．已知[z=-12+32i]，求[z⋅z3+3z2+3z+9]的值.

1. A

2. A

3. [6-2i]

4. [4+2i]

5. [112+32i]