最全三角函数公式表

最全三角函数公式表（精选6篇）

最全三角函数公式表 第1篇

角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。起源

“三角学”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯(Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角学)及μετρει υ(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。

早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿着海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的同角三角函数的基本关系式

倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝

1商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系： sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α

诱导公式

sin（－α）＝－sinα

sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

sin（3π/2－α）＝－cosα sinα

sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα cot（2π－α）＝－cotα

cos（3π/2－α）＝－tan（2π－α）＝－tanα tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanαsin（2kπ＋α）＝sinα

sin（3π/2＋α）＝－

cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（π/2＋α）＝－tanα cot（π＋α）＝cotα

两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ tan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ tan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ

半角的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα tan2α＝—————1－tan2α

三角函数的和差化积公式

α＋βα－β sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—22α＋βα－β

cosα

cot（2kπ＋α）＝cotα

cos（3π/2＋α）＝sinα(其中k∈Z)

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα 万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)

三角函数 的降幂公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α tan3α＝——————1－3tan2α

三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

21sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—22α＋βα－β cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—22α＋βα－β cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—22

cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21

cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21

sinα ·sinβ＝－-[cos（α＋β）－cos（α－β）]2

化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

目录

余弦定理 余弦定理性质 余弦定理证明余弦定理的作用 其他 余弦定理 余弦定理性质 余弦定理证明余弦定理的作用 其他

展开

编辑本段余弦定理

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

编辑本段余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C，则满足性质——a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2c^2)/(2·a·b)cosB =(a^2 + c^2a^2)/(2·b·c)

（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。

编辑本段余弦定理证明平面向量证法

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗体字符表示向量）又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC即 CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

编辑本段余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法)：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解；②若m(c1,c2)=1,则有一解；③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。判定定理二(角边判别法):一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时,则有两解；

②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；

④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；⑤当b

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；

②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；三当a

解三角形公式

例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角.解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定理cos A=0

所以∠A=90°.再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度,求BC之长.解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

最全三角函数公式表 第2篇

一、小学数学几何形体周长

面积

体积计算公式

：

长方形的周长

=

（长

+

宽）

×

C

=(a+b)×2

正方形的周长

=

边长

×

C

=

4a

长方形的面积

=

长

×

宽

S=ab

正方形的面积

=

边长

×

边长

S=a.a=

a

三角形的面积

=

底

×

高

÷2

S=ah÷2

平行四边形的面积

=

底

×

高

S=ah

梯形的面积

=

（上底

+

下底）

×

高

÷2

S=

（a

＋

b）

h÷2

直径

=

半径

×2

d=2r

半径

=

直径

÷2

r=

d÷2

圆的周长

=

圆周率

×

直径

=

圆周率

×

半径

×

c

=πd

=2πr

圆的面积

=

圆周率

×

半径

×

半径

三角形的面积＝底

×

高

÷2。

公式

S=

a×h÷2

正方形的面积＝边长

×

边长

公式

S=

a×a

长方形的面积＝长

×

宽

公式

S=

a×b

平行四边形的面积＝底

×

高

公式

S=

a×h

梯形的面积＝（上底

+

下底）

×

高

÷2

公式

S=(a+b)h÷2

内角和：三角形的内角和＝

180

度。

长方体的体积＝长

×

宽

×

高

公式：

V=abh

长方体（或正方体）的体积＝底面积

×

高

公式：

V=abh

正方体的体积＝棱长

×

棱长

×

棱长

公式：

V=aaa

圆的周长＝直径

×π

公式：

L

＝

πd

＝

2πr

圆的面积＝半径

×

半径

×π

公式：

S

＝

πr2

圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：

S=ch=πdh

＝

2πrh

圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。

公式：

S=ch+2s=ch+2πr2

圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：

V=Sh

圆锥的体积＝

1/3

底面

×

积高。公式：

V=1/3Sh

分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。

分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

二、单位换算

（1）

公里

＝

千米

千米

＝

1000

米

米

＝

分米

分米＝

厘米

厘米

＝

毫米

（2）

平方米

＝

平方分米

平方分米＝

平方厘米

平方厘米＝

平方毫米

（3）

立方米

＝

1000

立方分米

立方分米＝

1000

立方厘米

立方厘米＝

1000

立方毫米

（4）

吨＝

1000

千克

千克

=

1000

克

=

公斤

=

市斤

（5）

公顷

＝

10000

平方米

亩＝

666.666

平方米

（6）

升

＝

立方分米＝

1000

毫升

毫升＝

立方厘米

（7）

元

=10

角

角

=10

分

元

=100

分

（8）

世纪

=100

年

年

=12

月

大月

(31

天)

有

:1＼3＼5＼7＼8＼10＼12

月

小月

(30

天)的有

:4＼6＼9＼11

月

平年

月

天,闰年

月

天

平年全年

365

天,闰年全年

366

天

日

=24

小时

时

=60

分

分

=60

秒

时

=3600

秒

三、数量关系计算公式方面

1、每份数

×

份数＝总数

总数

÷

每份数＝份数总数

÷

份数＝每份数2、1

倍数

×

倍数＝几倍数

几倍数

÷1

倍数＝倍数几倍数

÷

倍数＝

倍数

3、速度

×

时间＝路程

路程

÷

速度＝时间

路程

÷

时间＝速度

4、单价

×

数量＝总价

总价

÷

单价＝数量

总价

÷

数量＝单价

5、工作效率

×

工作时间＝工作总量

工作总量

÷

工作效率＝工作时间工作总量

÷

工作时间＝工作效率

6、加数＋加数＝和

和－一个加数＝另一个加数

7、被减数－减数＝差

被减数－差＝减数

差＋减数＝被减数

8、因数

×

因数＝积

积

÷

一个因数＝另一个因数

9、被除数

÷

除数＝商

被除数

÷

商＝除数

商

×

除数＝被除数

四、算术方面

．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。

．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。

．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。

．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。

．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）

×5

＝

2×5+4×5。

．除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。

0

除以任何不是

0的数都得

0。

．等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。

．方程式：含有未知数的等式叫方程式。

．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次

数是一次的等式叫做一元一次方程式。

学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有

χ的算式并计算。

．分数：把单位

“

1”

平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。

．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。

．分数除以整数（0

除外），等于分数乘以这个整数的倒数。

．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

．假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于

1。

．带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。

．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0

除外），分数的大小不变。

．一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。

．甲数除以乙数（0

除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

五、特殊问题

和差问题的公式

（和＋差)

÷

＝大数

（和－差)

÷

＝小数

和倍问题

和÷

（倍数－

1)

＝小数

小数×倍数＝大数

（或者

和－小数＝大数)

差倍问题

差÷

（倍数－

1)

＝小数

小数×倍数＝大数

（或

小数＋差＝大数)

植树问题

非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形

:

（1）如果在非封闭线路的两端都要植树,那么

:

株数＝段数＋

＝全长÷株距－

全长＝株距×

（株数－

1)

株距＝全长÷

（株数－

1)

（2）如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么

:

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

（3）如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么

:

株数＝段数－

＝全长÷株距－

全长＝株距×

（株数＋

1)

株距＝全长÷

（株数＋

1)

封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

盈亏问题

（盈＋亏)

÷两次分配量之差＝参加分配的份数

（大盈－小盈)

÷两次分配量之差＝参加分配的份数

（大亏－小亏)

÷两次分配量之差＝参加分配的份数

相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间

相遇时间＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离＝速度差×追及时间

追及时间＝追及距离÷速度差

速度差＝追及距离÷追及时间

流水问题

（1）一般公式

：

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

静水速度＝

（顺流速度＋逆流速度)

÷

水流速度＝

（顺流速度－逆流速度)

÷

（2）两船相向航行的公式：

甲船顺水速度

+

乙船逆水速度

=

甲船静水速度

+

乙船静水速度

（3）两船同向航行的公式：

后（前）船静水速度

前（后）船静水速度

=

两船距离缩小（拉大）速度

浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×

100%

＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润与折扣问题

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×

100%

＝

（售出价÷成本－

1)

×

100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×

100%（折扣＜

1)

利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×

(1

－

5%)

工程问题

（1）一般公式：

工作效率×工作时间

=

工作总量

工作总量÷工作时间

=

工作效率

工作总量÷工作效率

=

工作时间

（2）用假设工作总量为“

”的方法解工程问题的公式：

÷工作时间

=

单位时间内完成工作总量的几分之几

÷单位时间能完成的几分之几

=

扩展、记忆——三角函数公式 第3篇

一、同角三角函数的基本关系式 (扩展到12个公式)

利用图1可以巧妙地记住这组公式 (“形象记忆法”)

1. 倒数关系 (3个) 三条对角线 (每条对角线两端的函数成倒数关系) ;

2.平方关系 (3个) 三个倒三角形 (阴影所示) (倒三角形中, 上边两顶点的函数的平方和等于下边顶点上函数的平方) ;

3.乘积关系 (6个) 相邻三顶点 (每个顶点上的函数等于相邻两顶点上函数的乘积) , 其中的两个可推出商数关系。

注:已知一个角的某一三角函数值求其余三角函数值, 可用此图构造多种解法, 这里不再列举 (读者可试举一例, 加以体会) 。

二、九组诱导公式

九组诱导公式的左边可以统一写成形式, 当n为奇数时, 右边变为余名函数;当n为偶数时, 右边仍为同名函数, 符号一律取α为锐角时左边函数值的符号。为便于记忆, 诀曰:“奇变偶不变, 符号看象限”。

三、和 (差) 角公式

利用公式的结构特征记忆:

正弦和 (差) 角公式右边是“正、余加 (减) 余、正, 角序是α、β”;

余弦和 (差) 角公式右边是“余、余减 (加) 正、正, 角序是α、β”;

正切和 (差) 角公式右边是“分式, 分子为正切加 (减) 正切, 分母为1减 (加) 两正切之积, 角序是α、β”。

四、正切“有理”半角公式

利用图2可以巧妙地记住这个公式 (“推出记忆法”) 。

当α为锐角时, 在单位圆中, 易用几何方法推出该公式 (其中OD=cosα, PD=si nα) 。

五、万能公式

利用图3的四个三角形之间的联系, 可以形象地记忆万能公式。

六、积化和差公式

积化和差公式实质上可归纳为下面三个:

其右边有特点:

(1) 均可化为±[f (α+β) ±f (α-β) ];

(2) 若两角的函数同为正弦或余弦, 则“f”表示余弦;若一为正弦一为余弦, 则“f”表示正弦;

最全三角函数公式表 第4篇

关键词 累加法三角数表 单峰型对称分布 双峰型对称分布 累加法统计公式 累加法数学模型

中图分类号：O211.3 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.008

Abstract The cumulative number of triangle is derived from Chinese ancient beaded plate， single peak type and double peak type of geometrical symmetric distribution and its statistical formula function table and scales they are derived from “N^2”.This is a n ancient method of statistics， but it has a close relationship with our real life. It still has practical application value but almost lost now.

Key words cumulative number of triangle； single peak symmetric distribution； double peak symmetric distribution； statistical formula of accumulative method； mathematical model of accumulative method

1 中国古代珠算累加三角数表：

古代珠算累加法是由N^2推演而来，当N=2时，1+2+1=4；当N=3时，1+2+3+2+1=9；当N=4时，1+2+3+4+3+2+1=16。珠算累加法是珠算基础训练的方法，它既形象又直观地展现对称分布相关数据的规律（表1），频数公差为“1”频数分布和量表呈现三角形，此乃为珠算累加三角数表。

2 中国古代珠算累加法统计公式：

2.1 累加法单峰统计公式的推导（表2）

2.2 累加法双峰统计公式的推导：（表3）

2.3 累加三角统计公式：

3 累加三角“正态分布几何量”数学模型①

几何量计量是十大计量方法之一，“量块”是几何量的一种，它的横截面为矩形，量块形状简单，量值稳定。

古代珠算累加法，累加频数级差为“1”，对应的量表量公差也为“1”，以正方形“量块”为计量单位所构成的塔形三角的即为累加三角几何量数学模型（图1）。将频数和对应的量表数转化成“0”为起点的二维坐标实体的“量块’几何图，例如方块累加和倒加，结果成为单峰型塔形正态分几何图和双峰型正态分布几何图。

4 古代珠算累加三角几何量数学模型②和中国传统五级百分及其百分位函数表（表4）

中国古代五级百分考试成绩几何量量表为（0-50），将基数“0”改为“50”，则百分制的量表为（50-100），这是中国古代的一大发明。这个发明可以解决当今世界的一大难题，60分以下为不及格（E），故被学生戏称为“60分”为“万岁分”，而不用补考。60～69为及格（D），70～79为中级（C），80～89为良级（B），90-100为优级（A）。

根据累加双峰统计公式：因为量表为2N=500，所以双峰值N=250；频数累加总和=N^2+N=250^2+250=62750；根据累加频数统计公式：（N^2）/2+N/2计算，分别计算出量表数（100、200、250）的累加频数为（5050、20100、31375）；根据累加百分位统计公式：累加频数/频数总数，分别计算其累加百分位为（0.08、0.32、0.5）；因为是对称分布，所以量表数（300、400、500）的累加百分位分别为（0.68、0.92、1）。任何人都可以根据公式计算出500分位即（0-500）＼（500-1000）中的每一分的百分位（百分率），分辨率降低一个数量级即为（0-50）＼（50-100）的五级百分位函数值（表4）。

优（A）级（90-100），其占有量为8%，即8%的原始分应转换成优（A）级，并可转换成对应的90-100分；良（B）级（80-90），其占有量为32%-8%=24%，即24%的原始分应转换成良（B）级，并可转换成对应的80-90分；同理中（C）级（70-80），其占有量为68%-32%=36%，即36%的原始分应转换成中（C）级，并可转换成对应的70-80分；而及格（D）级（60-70），其占有量为24%，即24%的原始分应转换成及格（D）级，并可转换成对应的60-70分；不及格为（E）级（50-59），其占有量为8%，即8%的原始分应为不及格（E）级。

以古代珠算累加法统计公式（（n^2/2+n/2）/（N^2+N））， （n^2/2+n/2）/62750），“n”为自然数变量（0-250）。将“n”代入公式，就能轻而易举地计算出正态分布五级百分位上每一分所对应的百分位（表4），简明直观而精准。

5 古代珠算累加三角几何量数学模型和考试成绩原始分转换③

我国古代五级百分有四个阈值点（图3）：“60”（0.08）、“70”（0.32）、“80”（0.68）、“90”（0.92）。所有考试成绩原始分都不呈正态分布，但是通过四个阈值点的百分位就能将原始分分为对应的五级（50-60-70-80-90-100）；再分别从五级原始分中，确定每一级的最高分（H）和最低分（L）（详见中国科举”五级百分”计量标准研究（一）表1）；将原始分代入公式：[（X-L）/（H-L）]€？0+阈值分，就能将原始分转换成正态分布的五级百分标准分。

例如：XX高级中学XX班三学科期终考试成绩原始分转换成正态分布的五级百分。④三学科原始分的最高分分别为“86、 100、96”，皆等值为“100”，跨域阈值“0.08”的原始分皆等值为“90”，跨域阈值“0.32”的原始分皆等值为“80”，跨域阈值“0.68”的原始分皆等值为“70”，跨域阈值“0.92”的原始分皆等值为“60”；将原始分“X”，分别代入阈值区原始分等值公式：[（X-L）/（H-L）]€？0+阈值分，其转换分即为五级百分正态分布的“标准分”。

6 结论

根据我国古代珠算累加法构成的三角数表，可分为单峰型和双峰型两种；根据相关的统计公式，可以精确地计算其量表上五级百分序列上的每一分所对应的百分位，这是西方教育统计学至今无法精确计算的一种表达方式；根据五级百分位上四个阈值点的百分位，可将群体考试成绩的原始分从频数百分位量值上等值，化分成正态分布的五个阈值区；再根据线性等值转换公式，就可将群体考试成绩的原始分在等距量表上转换成正态分布的标准分。

注释

① 史永刚，冯新泸，李子存.化学计量学.中国石化出版社，2015.

② 黄裕泉，樊正忠，陈彩安.遗传学.高等教育出版社，1995.

③ 赵寿元，黄裕泉.人类遗传学概论.复旦大学出版社，1996.

最全各类考证时间日期表 第5篇

最全各类考证时间日期表-职业资格考试时间

其实每个证的考证时间都和往年差不了太多啦，但一般情况下都不会一样的，还是要关心一下，给自己留个底嘛，祝你在20考证成功哦！

[年最全各类考证时间日期表]

最全三角函数公式表 第6篇

类型1an1anf(n)

解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1.已知数列an满足a111，an1an2，求an。2nn

变式: 已知数列{an}中a11，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式.类型2an1f(n)an

解法：把原递推公式转化为

例1:已知数列an满足a1

例2:已知a13，an1an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an2nan，求an。，an13n13n1an(n1)，求an。3n2

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，ana12a23a3(n1)an1(n≥2)，则{an}的通项an

类型3an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其中t

例:已知数列an中，a11，an12an3，求an.变式:（2006，重庆,文,14）

在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________

变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）

已知数列an满足a11,an12an1(nN*).（I）求数列an的通项公式；

（II）若数列{bn}滿足41424n

（Ⅲ）证明：b1b1b1n11___n2q，再利用换元法转化为等比数列求解。1p(an1)bn(nN*),证明：数列{bn}是等差数列； an1a1a2n...n(nN*).23a2a3an12

类型4an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。（或an1panrqn,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q系数法解决。

例:已知数列an中，a1n1，得：an1pan1anp1bb引入辅助数列（其中），得：再待定bbn1nnnn1nnqqqqqqq511n1,an1an()，求an。632

412an2n1，n1,2,3, 333变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列an的前n项的和Sn

n

32n

（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn，n1,2,3,，证明：Ti

2Sni1

类型5 递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an2san1t(an1san)其中s，t满足

stp

stq

解法二(特征根法)：对于由递推公式an2pan1qan，a1,a2给出的数列an，方程x2pxq0，叫做数列an的特征方程。

n1n1

若x1,x2是特征方程的两个根，当x1x2时，数列an的通项为anAx1，其中A，B由a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2和Bx2n1n1n1

代入anAx1，得到关于A、B的方程组）；当x1x2时，数列an的通项为an(ABn)x1，其中A，B由a1,a2n1,2，Bx2n1

决定（即把a1,a2,x1,x2和n1,2，代入an(ABn)x1，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列an：3an25an12an0(n0,nN)，a1a,a2b，求数列an的通项公式。例:已知数列an中，a11,a22,an2变式:

1.已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).（I）证明：数列an1an是等比数列；（II）求数列an的通项公式；（III）若数列bn满足4142...4n

b1b1

b1

an1an，求an。33

(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列

2.已知数列3.已知数列

an中，a11,a22,an22an11an，求an

an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，an12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列；



an,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前n项和。n2

⑴设数列bn

⑵设数列cn

类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an))解法：这种类型一般利用an去an进行求解。

例：已知数列an前n项和Sn4an

S1(n1)

与anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn(n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消

SS(n2)n1n

12n2

.（1）求an1与an的关系；（2）求通项公式an.（2）应用类型4（an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)））的方法，上式两边同乘以2由a1S14a1

n1

得：2n1an12nan2

1nnn

a1a.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 2a22(n1)2n2a1nnn

2122n1



变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an变式:(2005,江西,文,22．本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3()

n

1(n3),且S11,S2,求数列{an}的通项公式.类型7 an1pananb(p1、0，a0)

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为

anxny是公比为p的等比数列。

例:设数列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛an｝中，a1

1、点（n、2an1an）在直线y=x上，其中n=1,2,3…2

(Ⅰ)令bnan1an3,求证数列bn是等比数列；(Ⅱ)求数列an的通项；(Ⅲ)设SSnTn

n、Tn分别为数列an、bn的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出n

类型8 arn1pan(p0,an0)

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq，再利用待定系数法求解。例：已知数列｛an｝中，a11,an1

1a

a2

n(a0)，求数列an的通项公式.变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）已知数列{a1

n}的各项都是正数,且满足:a01,an1

an(4an),nN.（1）证明anan12,nN;（2）求数列{an}的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）

已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 记bn=

11，求｛b2

n｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1a

nan23Tn1

类型9 a(n)an

n1

fg(n)ah(n)

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an1panq。

n例：已知数列｛an｝满足：an

an1

3a,a11，求数列｛an｝的通项公式。

n11

变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列｛an｝满足：a1＝

33nan－12，且an＝2a1

n2，nN）n－1＋n－（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！

2、若数列的递推公式为a1

3,1a1

2(n)，则求这个数列的通项公式。n1an3、已知数列{an}满足a11,n2时，an1an2an1an，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：an



an1

3a,a11，求数列｛a｝的通项公式。

n11

n5、若数列｛an｝中，a1=1，an1=

2an

an∈N，求通项an．

n2

类型10apanq

n1

ra

nh

不存在,则说明理由.解法：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有an1

panqh

（其中p、q、r、h均为常数，且phqr,r0,a1），rranh

那么，可作特征方程x等比数列。

1ax1pxq,当特征方程有且仅有一根x0时,则则n是等差数列;当特征方程有两个相异的根x1、x2时，是

axaxrxhn0n2

例：已知数列{an}满足性质：对于nN,an1

an4,且a13,求{an}的通项公式.2an3

13an25

.an3

例：已知数列{an}满足：对于nN,都有an1

（1）若a15,求an;（2）若a13,求an;（3）若a16,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？ 变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）

数列{an}满足a11且8an1an16an12an50(n1).记bn

11an

(n1).（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.类型11 an1anpnq或an1anpqn

解法：这种类型一般可转化为a2n1与a2n是等差或等比数列求解。

例：（I）在数列{an}中，a11,an16nan，求an（II）在数列{an}中，a11,anan13n，求an 类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法

变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）

设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an类型13双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例：已知数列an中，a11；数列bn中，b10。当n2时，an

类型14周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

(2an1bn1),bn(an12bn1)，求an,bn.33

例：若数列an满足an1

1

2a,(0a)nn62，若a1，则a20的值为___________。

72a1,(1a1)

nn2

变式:（2005，湖南,文，5）已知数列{an}满足a10,an1

an33an1

(nN*)，则a20=

（）

A．0

B． C．