勾股定理提高复习

勾股定理提高复习（精选8篇）

勾股定理提高复习 第1篇

4.6 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于()．

A．135°B．105°C．45°D．75°

232解析 由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又sin Asin Csin Asin 60°

2由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C

2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则

角C的大小为()．

A．60°B．90°C．120°D．150°

解析 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，1∴cos C＝－，∴C＝120°.2

答案 CBCAB

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()

A．0B．

1C．2D．无数个

解析：直接根据正弦定理可得a

sin A＝b

sin B，可得sin B＝bsin A＝a

3λsin 45°6＝，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.λ

2答案：A

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bsin B，则

sin Acos A＋cos2B等于()． 11A．－B.C．－1D．1 22

解析 根据正弦定理，由acos A＝bsin B，得sin Acos A＝sin2B，∴sin Acos

A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.答案 D

5.在ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若a2b22c2，则cosC的最小值为（）

A.11B.C.D. 2

222

a2b2c22c2c21解析 cosC2，故选C.2ab2ab2

答案 C

6．在△ABC中，sin2 A≤sin2 B＋sin2 C－sin Bsin C，则A的取值范围是()．ππππ

A.0，B.πC.0，D.π

6363解析 由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，而由余弦定理可知a2＝b2＋c2－1

2bccos A，于是可得b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥2π

△ABC中，0＜A＜π，故A∈0，.3答案 C

7．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()．

42A.B．8－3C．1D.3

322

a＋b－c＝4

解析 依题意得2

a＋b－c＝2abcos 60°＝ab

答案 A，两式相减得ab＝A.二、填空题

8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则

AD的长度等于________．

31解析 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴cos C＝，∴sin C2

2ADC中，由正弦定理得，答案

ADsin C

ACsin∠ADC

∴AD＝

×2.sin 45°2

9.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csin A，角C＝________.解析：根据正弦定理，3a＝2csin A，得

asin A

＝

csin C，asin A

＝

c32

3π

∴sin C＝，而角C是锐角．∴角C＝23π

答案：

10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶

sinB∶sinC为______．

答案 6∶5∶

411．若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值________．

解析(数形结合法)因为AB＝2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝2BC，得x＋12

＋y2＝2 x－12

＋y2，化简得(x－3)2＋y2＝8，即C在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，1

所以S△ABC＝·|AB|·|yC|＝|yC|2，故答案为22.答案 2

batan C

12．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cos C，则

abtan Atan C

＋的值是________． tan B

14222

解析 法一 取a＝b＝1，则cos C＝，由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝，33∴c＝，在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tan A＝tan B＝2，又sin C3

2tan Ctan C＝，tan C＝22，∴4.3tan Atan B

baa2＋b2a2＋b2－c2

法二 由＋＝6cos C，得＝6·

abab2ab3tan Ctan Ccos Acos B

＋＝ 即a2＋b2＝2，∴＋＝tan C

2tan Atan Bsin Asin Bsin2C2c2

＝4.cos Csin Asin Ba2＋b2－c2答案 4

三、解答题

13．叙述并证明余弦定理．

解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C，法一 如图(1)，图(1)

a2＝→BC·→BC

＝(→AC－→AB)·(→AC－→AB)＝→AC2－2→AC·→AB＋→AB

2＝→AC2－2|→AC|·|→AB|cos

A＋→AB2

＝b2－2bccos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccos A.同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.法二

图(2)

已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，∴a＝|BC|＝(bcos A－c)＋(bsin A)＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A ＝b2＋c2－2bccos A.同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.14．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝求a.解析：由余弦定理b＝a＋c－2accos B 2π

＝a＋c－2accos

2π，b＝13，a＋c＝4，3

＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.又∵a＋c＝4，b13，∴ac＝3.a＋c＝4，联立

ac＝3，解得a＝1或a＝3.15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值

.cos A－2cos C2c－a

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.cos Bbsin C

(1)求的值；

sin A

(2)若cos B＝ABC的周长为5，求b的长．

4解析(1)由正弦定理，设

asin A

＝

bsin B

＝

csin C

＝k，2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin A则＝＝，bksin Bsin Bcos A－2cos C2sin C－sin A所以＝.cos Bsin B

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，sin C

所以sin C＝2sin A，因此2.sin Asin C(2)由＝2得c＝2a.sin A1

由余弦定理及cos B＝

b＝a＋c－2accos B＝a＋4a－4a×＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.

勾股定理提高复习 第2篇

【知识体系】

1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

。即直角三角形两直角边的等于。

2、勾股逆定理：如果直角三角形三边长a、b、c满足，那么这个三角形是

三角形。（且∠

=90°）

注意：

（1）勾股定理与其逆定理的区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而此结论是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定直角三角形中哪一个角为直角，这种利用计算的方法来证明的方法，体现了数形结合的思想。

（2）事实上，当三角形三边为a、b、c，且c为最大边时，①若a2+b2=c2，则∠C为直角；

②若c2>a2+b2，则∠C为钝角；

③若c2

（3）满足条件a2+b2=c2的三个整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；20、21、29；9、40、41；…

这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。

3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。

注意：（1）勾股数是一组数据，必须满足两个条件：①满足；②三个数都为正整数。

（2）11～20十个数的平方值：

【考点应用】【题型一

勾股定理定理的应用】

1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm,求第三边的长。

2、（1）一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动

米

第1题图

第2题图

第3题图

（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离

1米，（填“>”，“=”，或“<”）

（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）

A.x=y

B.x>y

C.x

y

D.不能确定

（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1

m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为

米

【题型二

勾股定理逆定理的应用】

1、如何判定一个三角形是直角三角形：

①

先确定最大边（如c）；

②

验证与是否具有相等关系

③

若=，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；

若≠，则△ABC不是直角三角形。

例1、如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．

2、如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF=CD．

求证：△AEF是直角三角形．

3、下列各组数中，可以构成直角三角形的三边长的是（）

A、5，6，7

B、40，41，9

C、，1

D、，4、有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根将它们首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（）

A、2，4，8

B、4，8，10

C、6，8，10

D、8，10，12

5.三角形的三边长为,则这个三角形是（）

A、等边三角形

B、钝角三角形

C、直角三角形

D、锐角三角形.6、已知：如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。

7、如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将纸片折叠，使点A与点C重合，求折痕EF长。

A

B8、一只蚂蚁从长为5cm、宽为4

cm，高是6

cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是

cm9、某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

A

B

C

D

第9题图

10、如图，已知长方形ABCD中AB=8

cm,BC=10

cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC

边上的点F，求CE的长.11、如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C’处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长。

12、已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．

【课堂测试】

1、在长方形ABCD中，,E为BC的中点,F在A

B上,且.则四边形AFEC的面积为

2、如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）

A．

B．2

C．3

D．43、如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是

．

4、如图5，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是

（）

（A）3.5

（B）4.2

（C）5.8

（D）75、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子

外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）

A．h≤17cm

B．h≥8cm

C．15cm≤h≤16cm

D．7cm≤h≤16cm6、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正

方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为

7、如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇

勾股定理提高复习 第3篇

一、一节复习课的设计思路

教学课题:勾股定理的应用复习 (苏科版八年级上册第二章)

1.思路:本节课的主要内容是勾股定理及其逆定理, 还有勾股定理和勾股定理逆定理的综合应用.本复习课程的设计, 意图通过例题的方式, 通过“四边形例题”、“旗杆例题”、“长方形ABCD折叠例题”由浅入深, 提升学生的知识应用水平和灵活处理能力.

2.目的:是要学生掌握本节课程的基本知识点. (1) 已知直角三角形的两边长, 可以根据勾股定理求第三边; (2) 已知直角三角形的一边以及另两边的关系, 可以根据勾股定理建立方程求另两边的长度.

3.思想方法:数形结合思想、转化思想、方程思想.

二、反思:初步探究复习课的教学模式

复习课在操作上要先调查学生的学习实际情况, 寻找学生知识的缺漏处和能力的薄弱点, 有针对性地选择、确定重点内容, 集中时间和精力进行查漏补缺, 促进综合学习能力的提高.主要的几个课堂教学环节可以这样操作:

(一) 知识再现

复习课的主体是知识的再现, 但是如果仅是教师将概念、知识要点等作简单重复, 肯定是枯燥的、低效的.在复习时, 教师可以将复习的有关概念、知识要点等编成练习题, 让学生见题想概念、想知识要点.学生通过自己的独立思考, 回顾、整理学过的基础知识, 完成配套练习, 实现了基础知识和熟练基本技能的双赢效果.在这节复习课的引入部分的设计中, 笔者认为站在了更高的知识系统的位置来编制练习题, 体现了完整知识结构, 更能引起学生的兴趣, 拓宽学生的思维.

(二) 例题教学

1. 例题的编拟

复习课中的例题与新授课有明显不同:新授课中的例题主要是为了巩固刚学过的新知, 侧重于知识方面;复习课上的例题应侧重于知识结构转化为认知结构, 如果太容易, 大家都会, 就失去了练习此题的意义, 因此应出示综合性较强的习题让学生练习.但是, 我们也不能编拟太难的例题.原本“勾股定理的应用复习”课中例3、例4的问题是这样的:“求折痕的长度”, 由于一上来就让学生解决这个问题比较困难, 所以三个平行班试上下来都觉得班级氛围太沉闷, 只有少数的几名同学会做, 因而只有少数的几名同学参与课堂.后来把问题改成“你能求出哪些线段的长度?”这个开放式的问题让人人都能参与.

2. 教学中例题的处理

(1) 抛出问题:可以让学生默看题, 也可让一名学生读题.

(2) 给予时间让学生独立思考

(3) 学生交流:让学生自由发表意见, 在学生间引起辩论、评价, 通过观察、倾听、比较、分析等方法, 最大限度地发挥学生的主观能动性, 让学生积极主动地参与到问题讨论中来.在这样一种氛围中, 学习不再是一种个体行为, 不再是被动地接受, 不再是痛苦的煎熬, 而是他们张扬个性、展示才华的平台.

(4) 学生点评或补充:学生通过不断地自我思考, 同时听取别人的观点并进行交流, 从而逐渐地归纳出属于他们自己的解决问题的方法、规律与技巧以及有待进一步解决的问题;通过思考, 为下一步应用、创新奠定基础, 从而达到培养学生搜集信息、处理信息和交流合作的能力的目的.

(5) 在全班同学相互充分讨论的基础上仍不能解决问题的情况下, 师生讨论, 共同解决问题, 并对有些问题鼓励学生一题多解、一题多变, 让学生充分参与到课堂讨论交流之中, 体验到成功的喜悦.当然, 解完题之后, 教师应站在更高的角度引导学生总结这一类型问题的解题方法, 总结解题的经验教训, 对一些常用的数学思想方法、解题策略要予以归纳概括, 提示学生今后注意运用.

以这样的方式处理例题, 变“教师讲解”为“学生主讲”, 充分发挥了学生的主体作用, 促进学生在思维方面有所发展、有所提高, 特别要注意发展提高学生的发现探索数学规律、解决简单实际问题和综合应用知识的能力.

(三) 随堂练习

复习课应充分体现“有讲有练, 精讲多练, 边讲边练, 以练为主”的原则.在课堂上要给学生提供机会, 练的习题要“精”, 练的方法要“活”, 练的时间要“足”, 训练应循序渐进, 由浅入深, 由简到繁, 抓基础, 抓重点, 抓综合.多练能训练学生的心理素质, 使学生在考场上熟能生巧, 巧能升华, 临阵不乱, 沉着应战, 克服非智力因素造成的不应有的失分.

(四) 课堂小结

反思提炼是各个环节不可分割的一部分, 教师在复习过程中要及时总结, 反思存在的问题, 解答学生的疑问, 可补充综合性且具有知识生长点的问题让学生思考, 提升学生的思维量.反思提炼也是整节课系统的概括, 是全部教学活动的落足点和归宿.

三、总结

本节课程的复习安排, 可以使学生从知识、解题方法、解题技巧等方面得到收获, 也可以及时解决还存在的困惑.借用本复习课, 教师可再从本课中用到的数学思想方面或学生易错点等方面作总结.

《勾股定理》复习指导 第4篇

1998年参加了《中学数学实验教材》和教参的修订编写工作，2003年参加了人民教育出版社新初中教材教师用书的编写工作.先后在各级各类杂志上发表十多篇专业论文，主编或参编三十多本教学辅导用书，主持或参加了三个省级以上课题的研究.曾多次参加南京市中考数学命题和江苏省数学竞赛命题工作.

同学们都知道,勾股定理是一个非常重要的定理.它不仅对以后的数学学习很重要,而且应用也很广泛.所以学完这一章之后,我们应当及时复习.

一､要点回顾

1. 勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a､b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

2. 利用勾股定理可以在数轴上表示出像 ､ ､等实数,这也说明实数与数轴上的点是一一对应的.

3. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a､b､c,并且满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

二､考点透视

本章的主要考点:利用勾股定理求直角三角形的边长和面积,利用勾股定理的逆定理判定直角三角形,利用勾股定理及其逆定理解决实际问题,利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点.

例1 如图1,所有的“基本”四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,正方形B的边长为5 cm,正方形C的边长为5 cm,则正方形D的边长为().

A.cmB. 4 cmC.cmD. 3 cm

分析:图中七个正方形是以三个直角三角形的三边为边向外作出来的,因此,只要重复使用勾股定理就能得出答案.

解:设正方形D的边长为x cm,则正方形①､②､③的面积分别为(单位:cm2)52+x2､62+52､102.

根据勾股定理,得 (52+x2)+(62+52)=102.

解得x= .故选 A.

点评:在求直角三角形的边长时,经常利用勾股定理列方程求解.本题是教材上勾股图的拓展,图形则是美丽的勾股树的一部分,而解题过程实际上是利用了探索勾股定理时发现的结论,即以两直角边为边长的正方形面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.还可以沿A､B､C､D继续向外延伸,但勾股树的最“外”一层正方形面积的和都等于③的面积.

例2 如图2所示,圆柱体中底面圆的半径是,高为2.若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路程是多少?(结果保留根号)

分析:要求在立体图形侧面上爬行的最短路程,往往要将立体图形的侧面展开.

解:圆柱的侧面展开图是长方形(如图3),线段AC的长度就是小虫爬行的最短路程.

根据题意,BC=2,AB=×2π×=2.

在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=2.

因此,小虫爬行的最短路程为 2.

点评:这是一道以立体图形为背景的实际探究问题,解题的关键是将立体图形转化为平面图形.注意AB的长不是底面圆的周长.

例3 如图4,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕.若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形的面积.

分析:如图4,过点E作EG⊥AB于点G.在Rt△EFG中,只要求出GF的长,就可以利用勾股定理求出EF,进而求出正方形的面积.

解:根据题意知AF=FC.设BF=x,则FC=AF=9-x.

在Rt△BCF中,由勾股定理得32+x2=(9-x)2.

解得x=4,所以AF=5.

同理可求(在Rt△D′EC中)DE=4.

所以GF=5-4=1. EF2=EG2+GF2=32+12=10.

因此,以折痕EF为边长的正方形的面积为10.

点评:折叠问题是学习中的一个难点.解这类问题,关键要抓住轴对称的性质,找出相等的边及角,再利用勾股定理解决问题.

三､错误剖析

例4 已知直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长是.

错解:由于三角形的两边长为3､4,根据勾股定理,第三边的长为=5.

错误分析:产生错误的原因是将3和4都看成两条直角边的长了.因题目没有明确3和4都是直角边的长,故应该分情况讨论.

正解:因为4>3,要分4是直角边长和斜边长两种情况讨论.

当4是直角边长时,第三边的长为=5;

当4是斜边长时,第三边的长为=.

因此,第三边的长为5或.

例5 Rt△ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高AD=8,求BC.

错解:如图5,在Rt△ABD中,

BD===6.

在Rt△ACD中,

CD===15.

所以BC=BD+CD=21.

错误分析:本题没有给出图形.上解由于考虑问题不全面,漏掉了△ABC是钝角三角形的情形.

正解:AD在三角形内部时,由上解知BC=21.

当AD在三角形外部时,如图6,同理可算出BD=6,CD=15,则

BC=CD-BD=9.

所以BC的长为21或9.

勾股定理复习课教学反思 第5篇

1.开始设计的问题：①勾股定理的图形证明，②直角三角形的判定及联想，③知识综合应用。通过对这些问题的回答，达到梳理本章内容，建立一定知识体系的目的。关注了学生运用例子说明自己对有关知识的理解，而不是简单复述教科书上的结论。

2.设计的题目既考察了对基本知识的掌握情况，又注重了综合课的特点，注重对所学知识的综合利用。

3.设计的问题尽量与实际问题有联系，体现了数学来源于实际，又应用于生活实际，这一点符合新课标的要求。

不足之处：

1.设计题目多，不够精，时间紧，没能按时完成。

2.教师不善于运用激励性的语言去激发学生学习的兴趣，导致有些学生还是没有掌握相关的知识点。

正弦定理和余弦定理的复习 第6篇

教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课

目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。过程：

一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x62 22(622)3bca13622 当c时cosA222

二、例一 证明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圆半径

证略 见P159 注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求证：a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0

证：左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)

=2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边

例三 在△ABC中，已知a3，b2，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：sinAasinB3sin453b22 ∵B=45<90

即b

当A=60时C=7cbsinC2sinsinB7562sin452 当A=120时C=15

cbsinC2sin156sinBsin4522 解二：设c=x由余弦定理 b2a2c22accosB 将已知条件代入，整理：x26x10

22bc22622(31)22从而A=60

C=75

当c622时同理可求得：A=120 C=15

例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161

例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x223x20的两个根，且

2cos(A+B)=1 求 1角C的度数 2AB的长度 3△ABC的面积

解：

1cosC=cos[

(A+B)]=

cos(A+B)=∴C=120

2由题设：ab23ab2

∴AB

2=AC2

+BC

2AC•BC•osCa2b22abcos120

a2b2ab(ab)2ab(23)2210 即AB=10

3S1113△ABC=2absinC2absin12022232

例六 如图，在四边形ABCD中，已知AD

CD, AD=10, AB=14，BDA=60BCD=135

求BC的长

D

C

解：在△ABD中，设BD=x

则BA2BD2AD22BDADcosBDA

A

B ，即142x2102210xcos60 整理得：x210x960

解之：x116 x26（舍去）由余弦定理：

BCBD16sin3082

∴BCsinCDBsinBCDsin135

例七（备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 2

求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。解：1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1

a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4

2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去

1当k3时 a2,b3,c4,cosC,C109

42设夹C角的两边为x,y xy4

1515(x24x)44SxysinCx(4x)当x2时S最大=15

三、作业：《教学与测试》76、77课中练习

a2b2b2c2c2a20 补充：1．在△ABC中，求证：

cosAcosBcosBcosCcosCcosAD A

2．如图ABBCD=75

BC CD=33 BDC=45

ACB=30

求AB的长(112)

B

勾股定理提高复习 第7篇

一、全章要点

1、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即：a2+b2=c2)

2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明 常见方法如下：

方法一： ， ，化简可证.

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

大正方形面积为 所以

方法三： ， ，化简得证

4、勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ; ; ; ;8,15,17;9,40,41等

二、经典训练

(一)选择题：

1. 下列说法正确的是( )

A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2;

B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2;

C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2+b2=c2;

D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2+b2=c2.

2. △ABC的三条边长分别是 、、，则下列各式成立的是( )

A. B. C. D.

3.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )

A.121 B.120 C.90 D.不能确定

4.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为( )

A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33

(二)填空题：

5.斜边的边长为 ，一条直角边长为 的直角三角形的面积是 .

6.假如有一个三角形是直角三角形，那么三边 、、之间应满足 ，其中 边是直角所对的边;如果一个三角形的三边 、、满足 ，那么这个三角形是 三角形，其中 边是 边， 边所对的角是 .

7.一个三角形三边之比是 ，则按角分类它是 三角形.

8. 若三角形的`三个内角的比是 ，最短边长为 ，最长边长为 ，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 .

9.如图，已知 中， ， ， ，以直角边 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 .

10. 一长方形的一边长为 ，面积为 ，那么它的一条对角线长是 .

三、综合发展:

11.如图，一个高 、宽 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长.

12.一个三角形三条边的长分别为 ， ， ，这个三角形最长边上的高是多少?

13.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

14.如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?

15.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是多少?

勾股定理提高复习 第8篇

一、学习目标

1.回顾勾股定理、勾股定理逆定理的内容及证明。

2.总结应用勾股定理解决问题的数学思想与方法。

二、勾股定理的应用

(一) 勾股定理的内容

1.如图, △ABC中, 如果_______, 那么_______。

2.下面这枚邮票上的图案, 也反映了勾股定理的内容:分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 则_______。如果分别以直角三角形三边为边向外作三个半圆、等边三角形或等腰直角三角形, 还有同样的结果吗?请选择一种加以证明。

(设计意图:不仅复习定理基本内容, 更应明白它的拓展和变式)

(二) 勾股定理的证明

古人用“弦图”证明了勾股定理, 体现了我国古代数学家的智慧。以下三个图形都是由边长分别为a、b、c的直角三角形拼成的, 请你选择其中一个, 用数学符号语言给出勾股定理的一个证明。

(设计意图:至少掌握一种证明方式, 体会数形结合思想)

(三) 应用勾股定理解决问题

1.已知:直角三角形的两边长分别是3和4, 则第三边长为______________.

2.三角形ABC中, AB=10, AC=17, BC边上的高线AD=8, 则BC=______________ (请画图) .

(设计意图:学生易错点, 渗透分情况讨论思想)

3.折叠矩形ABCD的一边AD, 点D落在BC边上的点F处, 已知AB=8cm, BC=10cm, 则CF=cm, EC=_______cm.

(设计意图:勾股定理结合方程思想)

4.以下两题选做一题:

(1) 如图, △ABC中, ∠A=45°, ∠B=30°, BC=8, 求AC的边长。

(2) 如图, 在四边形ABCD中, ∠B=∠D=90°∠C=60°, AD=1, BC=2。求AB、CD。

(设计意图:体会构造思想, 自己构造直角三角形)

5.如图是一个长方体盒子, AF=4厘米, CD=3厘米, BC=12厘米,

(1) 一根长13.5厘米的细棍能否完全放入盒内?

(2) 如果一只蚂蚁在盒子的表面, 要从B点爬到A点, 其最短行程是多少?请画图计算说明。

(设计意图:渗透 (空间) 转化 (为平面) 的思想, 方法:展开)

(四) 勾股定理的逆定理

如图, △ABC中, 如果_______, 那么_______。这个定理是怎么证明的?

(设计意图:构造性证明、同一法)

(五) 勾股定理逆定理的应用

6.满足下列条件_______ (填序号) 的三角形是直角三角形。

(1) 三个角的度数之比为1∶3∶4

(2) 三个角的度数之比为1∶3∶2

(3) 三边长度之比为

(4) 三边长度之比为

(4) 三边长度为32, 42, 52,

(6) 三边长度为

(设计意图:学生易错点;总结判断直角三角形的边、角形式)

7.在正方形ABCD中, F为DC的中点, E为BC上一点, 且, 求证:AF⊥EF。

(设计意图:通过计算进行证明的思想)

在学生自学的基础上, 老师组织学生展示和讨论, 解决出现的问题。然后, 老师引导学生共同归纳如下的全章知识和方法结构图: