高中数学推理题

高中数学推理题（精选6篇）

高中数学推理题 第1篇

四大推理方法搞定高中证明题

高中数学证明题能有效培养学生数学逻辑推理能力，也是数学课堂里面比较重要的内容，但是现实中很多学生的推理和证明能力比较低，这让很多一线教师苦恼，到底如何提高高中证明题解题能力？小编给大家介绍四大推理方法搞定高中证明题。

一、合情推理

1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；

2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

二、演绎推理

演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。

三、直接证明与间接证明

直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。

间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

四、数学归纳法

数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

高中数学推理题 第2篇

1．加拿大的一位运动医学研究人员报告说，利用放松体操和机能反馈疗法，有助于对头痛进行治疗。研究人员抽选出95名慢性牵张性头痛患者和75名周期性偏头痛患者，教他们放松头部、颈部和肩部的肌肉，以及用机能反馈疗法对压力和紧张程度加以控制。其结果，前者有四分之

三、后者中有一半人报告说，他们头痛的次数和剧烈程度有所下降。

以下哪项如果为真，最不能削弱上述论证的结论?

A．参加者接受了高度的治疗有效的暗示，同时，对病情改善的希望亦起到推波助澜的作用。

B．参加者有意迎合研究人员；即使不合事实，也会说感觉变好。

C．多数参加者志愿合作，虽然他们的生活状况蒙受着巨大的压力。在研究过程中，他们会感觉到生活压力有所减轻。

D．参加实验的人中，慢性牵张性头痛患者和周期性偏头痛患者人数选择不均等，实验设计需要进行调整。

E．放松体操和机能反馈疗法的锻炼，减少了这些头痛患者的工作时间，使得他们对于自己病情的感觉有所改善。

解析：该题属于“削弱型”中的最不能削弱类型。可以首先采用排除法来求解。题干中的结论是：“利用放松体操和机能反馈疗法，有助于对头痛进行治疗”。首先需要将能够削弱此结论的选项一一排除掉。选项B和C都说的是“参加者因为有意迎合或志愿合作而说感觉变好，其实事实并非如此”，这就说明了“利用放松体操和机能反馈疗法”并不“有助于对头痛进行治疗”。选项A说是“参加者接受了高度的治疗有效的暗示以及对病情改善的希望”，而不是“利用放松体操和机能反馈疗法”使患者头痛得到缓解的。选项E则说不是“放松体操和机能反馈疗法”而是由于这种做法“减少了这些头痛患者的工作时间”才使他们感觉到病情有所改善的。选项A、B、C、E都能削弱题干，只有选项D不能削弱题干，因为“慢性牵张性头痛患者和周期性偏头痛患者人数选择不均等”并不会影响实验的科学性。所以，正确答案是D。

2．据S市的卫生检疫部门统计，和去年相比，今年该市肠炎患者的数量有明显的下降。权威人士认为，这是由于该市的饮用水净化工程正式投入了使用。

以下哪项，最不能削弱上述权威人士的结论?

A．和天然饮用水相比，S市经过净化的饮用水中缺少了几种重要的微量元素。

B．S市的饮用水净化工程在五年前动工，于前年正式投入了使用。

C．去年S市对餐饮业特别是卫生条件较差的大排档进行了严格的卫生检查和整顿。

D．由于引进了新的诊断技术，许多以前被诊断为肠炎的病案，今年被确诊为肠溃疡。

E．全国范围的统计数字显示，我国肠炎患者的数量呈明显下降的趋势。

解析：本题也需要使用排除法，将能够削弱题干中权威人士结论的选项排除掉。所谓削弱权威人士的结论就是指，不是由于饮用净化水工程正式投入了使用，而是别的原因导致该市肠炎患者的数量明显下降的。首先，选项E说本来“我国肠炎患者的数量就已经普遍呈明显下降的趋势”，所以S市肠炎患者数量下降的原因并不是什么“饮用水净化工程正式投入了使用”，削弱了权威人士的结论。选项D指出，S市肠炎患者数量明显下降的原因是由于引进了新的诊断技术，说明本来就没有那么多肠炎患者，从而削弱了题干。选项C说明，是严格的卫生检查和整顿使该市肠炎患者的数量明显下降的。选项B指出，既然饮用水净化工程于前年就已经正式投入了使用，那么去年该市的肠炎患者的数量就应该下降了，但为什么今年才明显下降呢?说明还有别的更为根本的原因在导致肠炎患者的数量下降，故削弱了题干。选项A强调，经过净化的饮用水中缺乏了几种重要的微量元素，因而可能导致更多的肠炎患者，而不会是导致肠炎患者数量下降的原因，所以，该项最不能削弱题干，为正确答案。

3．光线的照射，有助于缓解冬季忧郁症。研究人员曾对九名患者进行研究，他们均因冬季白天变短而患上了冬季忧郁症。研究人员让患者在清早和傍晚各接受三小时伴有花香的强光照射。一周之内，七名患者完全摆脱了抑郁，另外两人也表现出了显著的好转。由于光照会诱使身体误以为夏季已经来临，这样便治好了冬季忧郁症。

以下哪项如果为真，最能削弱上述论证的结论?

A．研究人员在强光照射时有意使用花香伴随，对于改善患上冬季忧郁症的患者的适应症有不小的作用。

B．九名患者中最先痊愈的三位均为女性，而对男性患者治疗效果较为迟缓。

C．该实验均在北半球的温带气候中，无法区分南北半球的实验差异，但也无法预先排除。

D．强光照射对于皮肤的损害已经得到专门研究的证实，其中夏季比起冬季的危害性更大。

E．每天六个小时的非工作状态，改变了患者原来的生活环境，改善了他们的心态，这是对抑郁患者的一种主要的影响。

解析：该题属于“削弱题干型”中的最能够削弱类型。可以使用排除剩余法和弱化论据法来进行求解。题干中的结论是“光线照射的增加是缓解冬季忧郁症的原因”。要削弱此结论，就是要指出：缓解冬季忧郁症的原因并不是光线照射的增加，而是存在着别的原因。选项B讲“强光照射对于男性患者治疗的效果较为迟缓”，但毕竟还是有缓解作用，所以该项实际上是支持题干的。选项C所讲的情况不影响题干的实验效果。选项D讲强光照射对于皮肤的损害，与题干不相关。选项A虽然讲了“有意使用花香伴随”，但花香也只是伴随，不能否定强光照射的根本性作用。选项E强调：“每天六小时的非工作状态”是对冬季忧郁症患者的，“一种主要影响”，实际上是指出了：“不是强光照射而是每天六小时的非工作状态缓解了患者的冬季忧郁症”，用“每天六个小时的非工作状态”这个根本原因否定了“强光照射”这个表面性的原因。所以，正确答案是E。

4．一项对某高校教员的健康调查表明，80％的胃溃疡病患者都有夜间工作的习惯。因此，夜间工作易造成的植物神经功能紊乱是诱发胃溃疡病的重要原因。

以下哪项如果为真，将严重削弱上述论证?

A．医学研究尚不能清楚揭示消化系统的疾病和神经系统的内在联系。

B．该校的胃溃疡病患者主要集中在中老年教师中。

C．该校的胃溃疡病患者近年来有上升的趋势。

D．该校只有近五分之一的教员没有夜间工作的习惯。

E．该校胃溃疡病患者中有近60％患有不同程度的失眠症。

解析：题干中用“胃溃疡病患者中的80％都有夜间工作的习惯”，来论证“夜间工作是诱发胃溃疡病的重要原因”。要削弱此论证，关键是要看一般人的情况如何?如果一般人中也是“80％都有夜间工作的习惯”，则题干中的论证就失去了依据。选项D指出“该校只有近五分之一的教员没有夜间工作的习惯”，即该校教员也是"80％都有夜间工作的习惯”，这样就削弱了题干。选项A说“医学研究尚不能清楚揭示”，并不能否认事实的存在，故不能削弱题干，其他选项也都与题干无关，均不能削弱题干。所以，正确答案是D。

5．当前的大学教育在传授基本技能上是失败的。有人对若干大公司人事部门负责人进行了一次调查，发现很大一部分新上岗的工作人员中都没有很好掌握基本的写作、数量和逻辑技能。

上述论证是以下列哪项为前提的?

A．现在的大学里没有基本技能方面的课程。

B．新上岗人员中极少有大学生。

C．写作、数量、逻辑方面的基本技能对胜任工作很重要。

D．大公司的新上岗人员基本代表了当前大学毕业生的水平。

E．过去的大学生比现在的大学生接受了更多的基本技能教育。

解析：该题属于“假设前提型”。题干中从“若干大公司很大一部分新上岗的工作人员都没有很好掌握基本的写作、数量和逻辑技能”要推出“当前的大学教育在传授基本技能上是失败的”的结论，还需要假设一个大前提“大公司的新上岗人员基本代表了当前大学毕业生的水平”，即要找到一个能够把题干中的小前提和结论联结起来的选项。选项B和C都与题干不相关，选项A和E都只是讲了当前教育中存在的问题，而没有能够把这个问题与“大公司的新上岗人员”的情况联系起来，故都不能起到保证题干论证能够成立的作用。所以，正确答案是D。

6．交通部科研所最近研制了一种自动照相机，它对速度有敏锐的反应，只要(并且只有)违规超速汽车经过镜头时，它就自动按下快门。在某条单向行驶的公路上，在一个小时内，这样一架照相机摄下了50辆超速汽车的照片。在这条公路前方，距这架照相机约1公里处，一批交通警察于隐蔽处正在进行目测超速汽车的能力测试。在这同一个小时内，某个警察测定，共有25辆汽车超速通过。由于经过那架自动照相机的汽车一定经过目测处，可以推定，该警察对超速汽车的目测准确率不高于50％。

要使题干的推断成立，以下哪项是必须假设的?

A．在该警察测定为超速的汽车中，包括在照相机处不超速而到目测处超速的汽车。

B．在上述一个小时中，在照相机前超速的汽车，都一定超速通过目测处。

C．在上述一个小时中，在照相机前不超速的汽车，到目测处不超速。

D．在该警察测定为超速的汽车中，包括在照相机处超速而到目测处不超速的汽车。

E．在上述一个小时中，通过目测处的非超速汽车一定超过25辆。

解析：题干中根据在同一个小时内，照相机发现了50辆超速汽车而警察仅仅发现了25辆超速汽车，因此推出该警察对超速汽车的目测准确率不高于50％。这需要假设所有超速经过照相机的汽车也必须超速通过警察的目测处，否则就不好说。假如超速通过照相机前的汽车只有25辆超速通过警察的目测处，则警察对超速汽车的目测准确率就是100％了。所以，正确答案是B。

7．为了有助于人们选择最满意的城市居住，有关部门实施了一项评选“最舒适城市”的活动。方法是，选择十个方面，包括社会治安、商业设施、清洁程度、绿化程度、教育设施、旅游文化景点等等，每个方面按实际质量的高低，评以1分至10分之间的某一分值，然后求得十个分值的平均数即是这个城市的舒适性指数。

以下哪项是实施上述活动需要预设的前提?

(1)城市的各种舒适性质量程度都可以用准确的数字表达。

(2)城市的各种舒适性对于居民来说都是同等重要的。

(3)居民有自由选择居住城市的权利并且大都乐于这样做。

A．仅(1)。

B．仅(2)。

C．仅(3)。

D．仅(1)和(2)。

E．(1)、(2)和(3)。

解析：选项(1)需要作为假设，因为如果城市的各种舒适性质量程度不可以用准确的数字表达，那么都评以1分至10分之间的某一分值就不可能了。选项(2)也需要作为假设，因为如果城市的各种舒适性对于居民来说不是同等重要的，就不能都按实际质量的高低评以1分至10分之间的某一分值了。选项(3)也需要作为假设，因为如果居民没有自由选择居住城市的权利并且不是大都乐于这样做，这样一项活动也就谈不上有助于人们选择最满意的城市居住了。因此，正确答案是E。

8．事实1：电视广告已经变得不是那么有效：在电视上推广的品牌中，观看者能够回忆起来的比重在慢慢下降。

事实2：电视的收看者对由一系列连续播出的广告组成的广告段中第一个和最后一个商业广告的回忆效果，远远比对中间广告的回忆效果好。

以下哪项如果为真，事实2最有可能解释事实1?

A．由于因特网的迅速发展，人们每天用来看电视的平均时间减少了。

B．为了吸引更多的观众，每个广告段的总时间长度减少了。

C．一般电视观众目前能够记住的电视广告的品牌名称，还不到他看过的一半。

D．在每一小时的电视节目中，广告段的数目增加了。

E．一个广告段中所包含的电视广告的平均数目增加了。

解析：该题属于“解释题干型”。题干中的事实2说“电视的收看者对广告段中第一个和最后一个商业广告的回忆效果较好”，可是题干中的事实1却说：“电视广告已经变得不是那么有效”了，岂不矛盾?选项E说，“一个广告段中所包含的电视广告的平均数目增加了”，这就是说，由于“一个广告段中所包含的电视广告的平均数目增加了”，而“人们对由一系列连续播出的广告组成的广告段中第一个和最后一个商业广告的回忆效果，远远比对中间的广告的回忆效果好”，于是就可以说“在电视上推广的品牌中，观看者能够回忆起来的比重在慢慢下降”，“电视广告已经变得不是那么有效”了。所以，在选项E为真的情况下，事实2就可以解释事实1了。选项A虽然有利于说明，随着因特网的迅速发展，人们所看的电视广告的数量在减少，但不能说明，在人们所看过的电视广告中，为什么能记住的比重降低了。正确答案是E。

9．烟草业仍然是有利可图的。在中国，尽管今年吸烟者中成人人数减少，烟草生产商销售的烟草总量还是增加了。

以下哪项不能用来解释烟草销售量的增长和吸烟者中成人人数的减少?

A．今年中，开始吸烟的妇女数量多于戒烟的男子数量。

B．今年中，开始吸烟的少年数量多于同期戒烟的成人数量。

C．今年，非吸烟者中咀嚼烟草及嗅鼻烟的人多于戒烟者。

D．今年和往年相比，那些有长年吸烟史的人平均消费了更多的烟草。

E．今年中国生产的香烟中用于出口的数量高于往年。

解析：选项E能够解释题干，它说明虽然今年中国“吸烟者中成人人数减少”，但由于“今年中国生产的香烟中用于出口的数量高于往年”，所以，“烟草生产商销售的烟草总量还是增加了”。选项D也能解释题干，虽然“今年吸烟者中成人人数减少”，但是由于今年“那些有长年吸烟史的人平均消费了更多的烟草”，因而“烟草生产商销售的烟草总量还是增加了”。选项C能解释题干，因为“非吸烟者中咀嚼烟草及嗅鼻烟的人”消耗了更多的烟草。选项B能解释题干，由于“开始吸烟的少年数量多于同期戒烟的成人数量”，因此烟草生产商销售的烟草总量不得不增加。选项A不能解释题干，因为虽然今年“开始吸烟的妇女数量多于戒烟的男子数量”，但是由于妇女也是成人，因而改变不了题干中所说的“今年吸烟者中成人人数减少”这一根本情况。所以，正确答案是A。

10．某市一项对健身爱好者的调查表明，那些称自己每周固定进行二至三次健身锻炼的人近两年来由28％增加到35％，而对该市大多数健身房的调查则显示，近两年来去健身房的人数明显下降。

以下各项如果为真，都有助于解释上述看来矛盾的断定，除了：

A．进行健身锻炼没什么规律的人在数量上明显减少。

B．健身房出于非正常的考虑，往往少报光顾人数。

C．由于简易健身器的出现，家庭健身活动成为可能并逐渐流行。

D．为了吸引更多的顾客，该市健身房普遍调低了营业价格。

E．受调查的健身锻炼爱好者只占全市健身锻炼爱好者的10％。

解析：选项A指出，虽然每周固定进行二至三次健身锻炼的人在增加，但是由于进行健身锻炼没什么规律的人在数量上明显减少，所以，近两年来去健身房的人数明显下降了，能够解释题干。选项B指出，是健身房没有说真话，能够解释题干。选项C指出，虽然每周固定进行二至三次健身锻炼的人在增加，但是，由于家庭健身活动逐渐流行，使得近两年来去健身房的人数明显下降了，也能够解释题干。选项D加深了题干中的矛盾，按说该市健身房普遍调低了营业价格，近两年来去健身房的人数就应该增加，怎么还会下降了呢?选项E能对题干中的矛盾做出一定的解释，即如果受调查的健身锻炼爱好者相对全市健身爱好者来说不具有代表性，则解释了题干中的表面性矛盾。所以，只有选项D最不能解释题干中的矛盾，正确答案是D。

11．某外国航空公司经理：“新开发的避撞系统，虽然还未经全面测试以发现潜在的问题，但也必须马上在客机上安装，因为这个系统的机械报警装置可以使飞行员避免撞机事故。”

该公司飞行员：“飞行员不能驾驶一架避撞系统未经全面测试的飞机，因为有故障的避撞系统将会误导飞行员，造成撞机。”

以下哪项如果为真，最能加强飞行员的反对意见。

A．机械设备总是有可能出故障。

B．喷气式发动机在第一次投入使用之前也未经彻底测试，但是其性能与安全记录却是有目共睹的。

C．虽然避撞系统能使飞行员避免一些相撞事故，但是未经测试的避撞系统的潜在问题可能会造成更多的撞机事故。

D．许多撞机事故是由于飞行员过度疲劳造成的。

E．处于目前开发阶段的避撞系统，在6个月的试用期间，在客机上的工作效果比在货机上好。

解析：选项C与题干中飞行员的反对意见完全一致，即都强调了使用未经测试的避撞系统可能会带来的害处，所以最能加强飞行员的反对意见。选项A和B都加强了航空公司经理的意见，选项D和E都是无关的选项，所以，正确答案是C。

12．据世界卫生组织1995年的调查报告显示，70％的肺癌患者有吸烟史，其中有80％的人吸烟的历史多于10年。这说明吸烟会增加人们患肺癌的危险。

以下哪项最能支持上述论断?

A．1950年至1970年期间男性吸烟者人数增加较快，女性吸烟者也有增加。

B．虽然各国对吸烟有害进行大量宣传，但自50年代以来，吸烟者所占的比例还是呈明显的逐年上升的趋势。到90年代，成人吸烟者达到成人数的50％。

C．没有吸烟史或戒烟时间超过5年的人数在1995年超过了人口总数的40％。

D．1995年未成年吸烟者的人数也在增加，成为一个令人挠头的社会问题。

E．医学研究工作者已经用动物实验发现了尼古丁的致癌作用，并从事开发预防药物的研究。

解析：题干指出，1995年的报告显示，肺癌患者中的56％都有10年以上的吸烟史。题干接着推出，吸烟会增加人们患肺癌的危险。要保证这一推论是可靠的，最主要的是要看一般人的情况。选项B指出，一般人即成人到90年代才有50％吸烟，自50年代以来吸烟者所占的比例还是呈明显上升的趋势，这说明在1985年以前一般成人中的吸烟者所占的比例还远远不到50％，但是在1985年时肺癌患者中已经有56％的人是吸烟者(1995年的报告显示，肺癌患者中的56％都有10年以上的吸烟史)，这就更充分地说明了题干中的结论，即吸烟会增加人们患肺癌的危险。选项C意味着有吸烟史的人在1995年占人口总数的比例多于60％，实际上有可能削弱题干；选项E所指出的科学研究工作者只是发现了尼古丁有致癌作用，但有多大作用呢?再说只是对动物有致癌作用，未必对人也是如此。选项A和C都是无关选项。所以，选项B最能支持题干，正确答案是B。

13．先天的遗传因素和后天的环境影响对人的发展所起作用到底哪一个重要？双胞胎的研究对于回答这一问题有重要的作用。惟环境影响决定论预言，如果把一对双胞胎儿完全分开抚养，同时把一对不相关的婴儿放在一起抚养，那么，待他们长大成人后，在性格等内在特征上，前两者之间决不会比后两者之间有更多的类似。实际的统计数据并不支持这种极端的观点，但也不支持另一种极端观点，即惟遗传因素决定论。

从以上论述最能推出以下哪个结论?

A．为了确定上述两种极端观点哪一个正确，还需要进一步的研究工作。

B．虽然不能说环境影响对于人的发展起惟一决定作用，但实际上起最重要的作用。

C．环境影响和遗传因素对人的发展都起着重要的作用。

D．试图通过改变一个人的环境来改变一个人是徒劳无益的。

E．双胞胎研究是不能令人满意的，因为它得出了自相矛盾的结论。

解析：该题属于“推出结论型”中的抽象概括结论类型。题干所讨论的问题是“先天的遗传因素和后天的环境影响对人的发展所起作用到底哪一个重要”，在这个问题上存在着“惟环境影响决定论”和“惟遗传因素决定论”的两种极端的观点，但是题干中认为“实际的统计数据并不支持这种极端的观点，但也不支持另一种极端观点”，即不能片面地强调两种因素中的任何一种，而是两种因素都起着重要的作用。这正是C所表明的结论。试题具有迷惑性的方面是，题干用了大量的文字来叙述“惟环境影响决定论”者的预言，似乎选项B是正确结论，但实际上并非如此。选项A不成立，因为题干中说已经进行了实验，而且得出了统计数据。选项D和E都与题干不相关。因此，正确答案是C。

14．西方发达国家的大学教授几乎都是得到过博士学位的。目前，我国有些高等学校也坚持在招收新教员时，有博士学位是必要条件，除非是本校的优秀硕士毕业生留校。

根据以上论述，最可能得出以下哪一结论?

A．在我国，大多数大学教授已经获得了博士学位，少数正在读在职博士。

B．在西方发达国家，得到博士学位的人都在大学任教。

C．在我国，有些高等学校的教师都有了博士学位。

D．在我国一些高校，得到博士学位的大学教师的比例在增加。

E．大学教授中得到博士学位的比没有得到博士学位的更受学生欢迎。

解析：题干中谈到，西方发达国家的大学教授几乎都是得到过博士学位的，但是西方国家得到过博士学位的未必都在大学任教，所以选项B很难成立。题干中说，“我国有些高等学校也坚持在招收新教员时，有博士学位是必要条件”，并不意味着“我国有些学校的教师都有了博士学位”，也不意味着“我国大多数大学教授已经获得了博士学位，少数正在读在职博士”，所以选项C和A都很难成立。选项E也没有根据。选项D最有可能，因为我国有些高等学校在招收新教员时要求必须有博士学位，这样在这些学校的教师中获得博士学位的就会增加。所以，正确答案是D。

15．有一种观点认为，到21世纪初，和发达国家相比，发展中国家将有更多的人死于艾滋病。其根据是：据统计，艾滋病毒感染者人数在发达国家趋于稳定或略有下降，在发展中国家却持续快速发展；到21世纪初，估计全球的艾滋病毒感染者将达到4000万至1亿1千万人，其中，60％将集中在发展中国家。这一观点缺乏充分的说服力。因为，同样权威的统计数据表明，发达国家艾滋病毒感染者从感染到发病的时间要大大短于发展中国家，而从发病到死亡的平均时间只有发展中国家的二分之一。

以下哪项最为恰当地概括了上述反驳所使用的方法?

A．对“论敌”的立论动机提出质疑。

B．指出“论敌”把两个相近的概念当作同一概念来使用。

C．对“论敌”的论据的真实性提出质疑。

D．提出一个反例来否定“论敌”的一般性结论。

E．指出“论敌”在论证中没有明确具体的时间范围。

高中数学的类比推理探讨 第3篇

类比推理是根据两个对象或两类事物间存在着的一些相同或相似的属性, 猜测它们之间有可能具有的其他一些相同或相似的属性的思维方法。高考数学试题对类比推理给予了高度的重视, 考查力度逐渐加大, 故本人将通过分析高考数学试题中对类比推理的考查, 结合近年高考题中类比推理问题进行归类探讨。

二类比类型

1. 基础知识的类比

基础知识的类比, 主要考查学生对基础知识的应用、合情的联想基本知识的迁移能力。

例1, 定义“等和数列”:在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫作等和数列, 这个常数叫作该数列的公和。已知数列{an}是等和数列, 且a1=2, 公和为5, 那么a18的值为_____, 这个数列的前n项和sn的计算公式为_______。

评注:本题以“等和数列”为载体, 解决本题的关键是课本所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验。

2. 特殊向一般类比

由特殊向一般类比, 考查学生的发散思维、判断猜想及探索的能力。

证明如下:

3. 低维向高维类比

低维向高维类比的试题开放性较强, 供学生探索的空间大, 对学生的探究能力、发散思维能力有很好的考查功能。

评注:由低维向高维类比, 为学生探究问题、创造问题提供了大量的探索空间。

类比推理在高考中有科学探索和科学预见性的特征, 其在高中教学中显得越来越重要。类比推理的数学问题具有鲜明的探索性、逻辑性和综合性, 能训练人的思维条理性、逻辑性和严密性, 能提高人们发现问题、分析问题和解决问题的创造性思维能力。

摘要：数学思想方法是数学知识的精髓, 在众多光辉的数学思想中, 类比并不是一枝独秀, 但它作为一种思想, 同时也是一种方法, 在学生的数学学习乃至处理生活的一些实际问题中所起的作用是不容忽视的。

常见的数学逻辑推理题的解法 第4篇

关键词：数学 推理 解题

【中图分类号】G633.6

一、逻辑推理

（一）列表法

例1 小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？

分析与解：由题知：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下表。表中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“√”，其余是“×”，所以小李是农民，于是得到右上表。因农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，故小张比教师年龄大，即小张不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。

例1中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。需要注意的是：①第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；②每行每列只能有一个“√”，如果出现了一个“√”，它所在的行和列的其余格中都应画“×”。

例2甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。此外：（1）数学博士夸跳高冠军跳得高；（2）跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；（3）短跑健将请小画家画贺年卡；（4）数学博士和小画家很要好；（5）乙向大作家借过书；（6）丙下象棋常赢乙和小画家。你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗？

分析与解：由（2）知，甲不是跳高冠军和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小画家。由此可得到下表：

因为甲是小画家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家。因为丙是大作家，所以由（2）知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军。因为乙是跳高冠军，所以由（1）知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表（2） 。所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。

（二）假设法

例3四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问：“是谁打破了玻璃？”

宝宝说：“是星星无意打破的。”星星说：“是乐乐打破的。”乐乐说：“星星说谎。”强强说：“反正不是我打破的。”如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破玻璃？

分析与解：因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。 假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了实话”矛盾，所以星星说错了。假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。宝宝、星星确实都说错了。符合题意。所以是强强打破了玻璃。

由例3看出，用假设法解逻辑问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设。如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，那么符合题意，假设成立。

例4甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。

甲说：“丙第1名，我第3名。”乙说：“我第1名，丁第4名。”丙说：“丁第2名，我第3名。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？

分析与解：以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。

假设甲说的第一句话“丙第1名”是对的，第二句话“我第3名”是错的。由此推知乙说的“我第1名”是错的，“丁第4名”是对的；丙說的“丁第2名”是错的，“丙第3名”是对的。这与假设“丙第1名是对的”矛盾，所以假设不成立。

再假设甲的第二句“我第3名”是对的，那么丙说的第二句“我第3名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第2名”是对的；由此推出乙说的“丁第4名”是错的，“我第1名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

二、数字推理

数字推理的本质是研究数字间的运算或位置关系，涉及数字和数据关系的分析、推理、判断和运算等，旨在测查理解、把握事物间量化关系和解决数量关系的技能，解题原则如下：项数多，优先考虑组合数列；出现特征数字，优先从特征数字入手；增幅越来越大，优先从乘积、幂考虑；递增或递减，但幅度缓和，优先考虑相邻两项之差；各项倍数关系明显，优先考虑作商或积及其变式；最好结合选项中的数，进一步判断规律。

解数字推理题通常的有六种思考方法：

（一）从相邻项之差入手

思路不明时，考虑数列相邻项之差是解决数字推理问题的第一思维。

例5 1.5，5，5，12，5， （ ）

A. 3； B. 1； C. 24； D. 26

解：做相邻两项之差得 3.5，0，7，-7，再做差得 -3.5，7，-14，这是公比为-2的等比数列，下一项为28，因此数列3.5， 0，7， -7，下一项为21，所缺项应为 26，选D 。

（二）分析相邻项之间的商、和、积

局部分析尤为重要。当某两项（或多项）的和、积、商关系明显时，优先考虑此法。若数明显上升，可考虑相邻项之和或积；当相邻项之间存在比例关系时，可考虑相邻项的商。

例6 2/3， 3， 4，14，58， （ ）

A. 814 ； B. 836 ； C. 802 ； D. 828

解： A。由14、58变化到800多，暗示考虑相邻项的乘积。猜想前一项与后一项之积加2得第三项，验证均成立。 2/3 ×3+2=3，3×4+2=14， 4×14+2=58，14×58+2=814，选A。

（三）猜各项间的运算关系

各项在横向上有时存在相同的四则运算关系，要多心算、多假设。常见两类：一是前一项经过运算得后一项；二是前两项经过运算得第三项。常见两种情形：⑴前一项的倍数加常数或加基本数列得下一项；⑵前一项的倍数加后一项的倍数得第三项。

例7 2， 5， 17， 71， （ ）

A.149 ； B.359 ； C.273 ； D.463

解：2×2+1=5，5×3+2=17， 17×4+3=71，71×5+4=359，选B。

（四）找通项公式

各项有时可用相同形式表示。在形成了一定的数字敏感度之后，解这类题就是一种直觉。

例8 4 ，11 ，30 ，67 ，（）

A. 126 ； B. 127 ； C. 128 ； D.129

解：研究通项的规律。 4=1^3+3 ，1=2^3+3，30=3^3+3， 67=4^3+3，

是自然数列的立方加3，依此规律，（）内之数应为5^3+3=128，选C。

（五）分析结构和位置

整体考察，找到结构特点。在解决图形形式的数字推理问题时，考虑图形结构和数字位置更为重要。

例9 2，3，6，9，14，15，30，（），62，27

A. 21 ； B.37 ； C. 35 ； D.24

解：此题是间隔组合数列，奇数项2、6、14、30依次做差得4、8、16、32，是公比为2的等比数列，于是认为奇数项是二级等比数列变式。偶数项3、9、15、（）、（），可假设是一个公差为6的等差数列，则（）应填入21，选A。

（六）探求整体特征

各项表现出的共有特征主要存在于以下几个方面：整除、质数合数、排序、数位组合、数字之和等等。

例10 422，352，516， 743，682，（ ）

A.628 ； B.576 ； C.495 ； D.729

解：各项数字之和依次是8、10、12、14、16，构成公差为2的等差数列，故（）的数字之和应是18。每项有一个数字是其他数字之和，第一项4=2+2，第二项5=3+2，第三项6=5+1，第四项7=4+3，第五项8=6+2，可见最大数字在百位、十位、个位循环出现，因此（）的最大数字应在个位，选D。

三、图形推理

图形推理要求从所给出的四个选项中，选择最合适的一个填入所缺项，使之呈现一定的规律性，测查观察、抽象、推理能力。图形推理包括规律推理和重构推理。规律推理是针对所给若干幅图形的规律，选择新图形以延续现有的规律性。要求从给出的图形中，找出排列规律，据此推导符合规律的图形。根据图形的变化规律可将题型分为数量类、样式类和位置类。重构推理主要集中于空间构成，也称为叠纸盒。常见的其解题技巧有如下几种：1.仔细观察图形的大小变化、構成要素的增减、笔画多少、旋转方向、组合顺序、叠加等；2.必须找出第一套图的规律，然后用到第二套图形中去。要观察图形的要点有：图形的大小、笔画曲直多少、方向的旋转、图形的组合顺序、图形的叠加、求同等等；3.要避免视觉错误，最好将所选答案去印证一下所找出的规律。

例11 从所给的四个选项中，选择最适合的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ）。

解：D。考虑对称轴方向，题中都是轴对称图形，而且对称轴方向呈现水平、竖直、水平+竖直，水平+竖直，竖直、（水平）的对称关系，选D。

例12把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是（ ）

A. ①③⑥，②④⑤， B. ①③⑤，②④⑥

C. ①③④，②⑤⑥， D. ①⑤⑥，②③④

解：C。 分析位置关系，各图均有两个黑点，根据两黑点连线与各图内部直线的方向的位置关系，可分为两类：在①③④中，黑点连线与图形内部直线为平行关系；在②⑤⑥中，黑点连线与图形内部直线为垂直关系。故选C。

例13 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ）。

解：C。研究共性（公共部分）问题，各图内部的小图形之间相接处都是点，没有出现相切的边，A、B、D三项中，各小图形之间都出现了相切的边，故选C。

高中数学推理题 第5篇

b1,a,a

ab

.设函数b,ab11．（天津理4）对实数a和b，定义运算“”：

f(x)x22xx2,xR.yf(x)cx

若函数

则实数c的取值范围是

A．的图像与轴恰有两个公共点，,21,

3



2

B．

,21,



3



4

【答案】B

111,,44C．31

1,,

44 D．



1A3A1A22．（山东理12）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A,则称A3，A4调和分割A1，A2,已知平

面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 【答案】D

（μ∈R），且



AA14A12（λ∈R），A







23.（湖北理9）若实数a,b满足a0,b0,且ab0，则称a与b

互补，记

(a,b)ab,，那么a,b0是a与b互补的A．必要而不充分的条件

C．充要条件【答案】C

B．充分而不必要的条件

D．即不充分也不必要的条件

4.（福建理15）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:VR满足：对任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有

则称映射f具有性质P。现给出如下映射：

f(a(1)b)f(a)(1)f(b),①f1:VR,f2(m)x,y,m(x,y)V;

2f:VR,f(m)xy,m(x,y)V;2②2

③f3:VR,f3(m)xy1,m(x,y)V.其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）【答案】①③

*

5.（湖南理16）对于nN,将n 表示na02a12

kk

1a22k2...ak121ak20,当i0时，ai1,当1ik时, a1为0或1．记I(n)为上述表示中ai为0的个数（例如：I12,4120202）,故I(1)0, I(4)2）,则（1）I(12)________________;（2）

0m

2

n1

I(n)

________________;

【答案】2109

36.（北京理8）设A0,0,B4,0，Ct4,4,Dt,4tR.记Nt为平行四边形ABCD

内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数Nt的值域为

A．9,10,11B．9,10,12

D．10,11,12

72011 C．9,11,12【答案】C 567.（江西理7）观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，…，则5的末四位数字

为

A．3125B．5625C．0625D．8125

【答案】D

8.（广东理8）设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS,有abS，则称S关于数的乘法

是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，TUZ,且a,b,cT,有

abcT;x,y,zV,有xyzV，则下列结论恒成立的是 A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T,V中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A

9.（江西理10）如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方

向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小

圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大

致是

【答案】A

10.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

【答案】①，③，⑤

=f（x2）11.（四川理16）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）时总有

x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（xR）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x（xR）是单函数； 2

f（x2）； ②若f（x）为单函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）

③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是（写出所有真命题的编号）

答案：②③④

解析 ：①错，x1x2，②③④正确

12.（山东理15）设函数f(x)x(x0)x2,观察:

f1(x)f(x)x,x2

f2(x)f(f1(x))

f3(x)f(f2(x))x,3x4 x,7x8

f4(x)f(f3(x))x,15x16



根据以上事实，由归纳推理可得：

当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)).x

nn(21)x2【答案】

13.（陕西理13）观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，第n个等式为。

高中数学推理与证明 第6篇

1、推理：

(1)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理。

①归纳推理:

�《ㄒ澹河赡忱嗍澄锏牟糠侄韵缶哂心承┨卣鳎�推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

�⑻氐悖�

*归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围;

*归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测性;

*归纳的前提是特殊的情况，因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上;

*归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论。

�2街瑁�

*对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;

*提出带有规律性的结论，即猜想;

*检验猜想。

②类比推理：

�《ㄒ澹河闪嚼喽韵缶哂欣嗨坪推渲幸焕喽韵蟮哪承┮阎�特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

�⑻氐悖�

*类比是从人们已经掌握了的`事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果;

*类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;

*类比的结果是猜测性的不一定可靠，单它却有发现的功能。

�2街瑁�

*找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;

*用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;

*检验猜想。

(2)演绎推理：

①定义：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

②演绎推理是由一般到特殊的推理;

③“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

大前提――已知的一般结论;

小前提――所研究的特殊情况;

结 论――根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

④“三段论”推理的依据，用集合的观点来理解：

若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。

(3)合情推理与演绎推理的区别与联系：

①归纳是由特殊到一般的推理;

②类比是由特殊到特殊的推理;

③演绎推理是由一般到特殊的推理.

④从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明;演绎推理得到的结论一定正确。

⑤演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程;而数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理.

2、证明：

(1)直接证明：

①综合法：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法，其特点是：“由因导果”。

②分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法，其特点是：“执果索因”。

③数学归纳法：

�∈�学归纳法公理：

如果①当n取第一个值

(例如

等)时结论正确;

②假设当

时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确;

那么，命题对于从

开始的所有正整数n都成立。

�⑺得鳎�

*数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行;

*数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据。

(2)间接证明(反证法、归谬法)：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

用反证法证明一个命题常采用以下步骤：

①假定命题的结论不成立;

②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾;

③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;

④肯定原来命题的结论是正确的。

即“反设――归谬――结论”