热传导方程例题

热传导方程例题（精选8篇）

热传导方程例题 第1篇

第二

章

热

传

导

方

程

§1

热传导方程及其定解问题的提

1.一均匀细杆直径为，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律

又假设杆的密度为，比热为，热传导系数为，试导出此时温度满足的方程。

解：引坐标系：以杆的对称轴为轴，此时杆为温度。记杆的截面面积为。由假设，在任意时刻到内流入截面坐标为到一小段细杆的热量为

杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻到在截面为到一小段中产生的热量为

又在时刻到在截面为到这一小段内由于温度变化所需的热量为

由热量守恒原理得：

消去，再令，得精确的关系：

或

其中

2.试直接推导扩散过程所满足的微分方程。

解：在扩散介质中任取一闭曲面，其包围的区域

为，则从时刻到流入此闭曲面的溶质，由，其中为扩散系数，得

浓度由变到所需之溶质为

两者应该相等，由奥、高公式得：

其中叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形。由于的任意性即得方程：

3.砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以表示它在单位体积中所储的热量，为初始时刻所储的热量，则，其中为常数。又假设砼的比热为，密度为，热传导系数为，求它在浇后温度满足的方程。

解：

可将水化热视为一热源。由及得。由假设，放热速度为

它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得

4.设一均匀的导线处在周围为常数温度的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程

其中及分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，表示横截面面积，而表示导线对于介质的热交换系数。

解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为

其中为单位体积单位时间所产生的热量。

由常电流所产生的为。因为单位长度的电阻为，因此电流作功为

乘上功热当量得单位长度产生的热量为其中0.24为功热当量。

因此单位体积时间所产生的热量为

由常温度的热交换所产生的(视为“被动”的热源)，从本节第一题看出为

其中为细杆直径，故有，代入得

因热源可迭加，故有。将所得代入即得所求：

5*.设物体表面的绝对温度为，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒---波耳兹曼(Stefan-Boltzman)定律正比于，即

今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已

知函数,问此时该物体热传§导问题的边界条件应如何叙述？

解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射出去的热量为辐射进来的热量为因此由热量的传导定律得边界条件为：

§2

混合问题的分离变量法

1．用分离变量法求下列定解问题的解：

解：设代入方程及边值得

求非零解得

对应Ｔ为

因此得

由初始值得

因此

故解为

２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题

解：设代入方程及边值得

求非零解得

n=1,2,……

对应Ｔ为

故解为

由始值得

因此

所以

３．如果有一长度为的均匀的细棒，其周围以及两端处均匀等到为绝热，初

始温度分布为问以后时刻的温度分布如何？且证明当等于常数时，恒有。

解：即解定解问题

设代入方程及边值得

求非零解：

当时，通解为

由边值得

因故相当于

视为未知数，此为一齐次线性代数方程组，要非零，必需不同为零，即

此齐次线性代数方程组要有非零解，由代数知必需有

但

因为单调增函数之故。因此没有非零解。

当时，通解为

由边值得

即可任意，故为一非零解。

当时，通解为

由边值得

因故相当于

要非零，必需因此必需即

这时对应

因取正整数与负整数对应一样，故可取

对应于解T得

对应于解T得

由迭加性质，解为

由始值得

因此

所以

当时，所以

4．在区域中求解如下的定解问题

其中均为常数，均为已知函数。

[提示：作变量代换]

解：按提示，引，则满足

由分离变量法满足方程及边值条件的解为

再由始值得

故

因此

5．长度为的均匀细杆的初始温度为，端点保持常温，而在和侧面上，热量可以发散到到周围的介质中去，介质的温度取为，此时杆上的温度分布函数满足下述定解问题：

试求出

解：引使满足齐次方程及齐次边值，代入方程及边值，计算后得要满足：的通解为

由边值

又

得

解之得

因此

这时满足：

设代入方程及边值条件得

求非零解时，才有非零解。这时通解为

由边值得

要，即有非零解，必须

即

令

得

它有无穷可数多个正根，设其为得

对应T为

因此

其中满足方程

再由始值得

所以

应用满足的方程，计算可得

又

所以

得

最后得

其中满足

另一解法：设使满足为此取

代入边值得

解之得

因而

这时，满足

按非齐次方程分离变量法，有

其中为对应齐次方程的特征函数，由前一解知为

即

代入方程得

由于是完备正交函数系，因此可将

展成的级数，即

由正交性得

又

所以

将此级数代入等式右端得满足的方程为

由始值得

有

解的方程，其通解为

＇

由

得

即有解

因此

6.半径为a的半圆形平板，其表面绝热，在板的圆周边界上保持常温，而在直径边

界上保持常温，圆板稳恒状态的温度分布。

解：引入极坐标，求稳恒状态的温度分布化为解定解问题

（拉普斯方程在极坐标系下形式的推导见第三章习题3），其中引入的边界条件为有限时，叫做自然边界条件。它是从实际情况而引入的。再引则

满足

设代入方程得

乘以再移项得

右边为r函数，左边为函数，要恒等必须为一常数记为，分开写出即得

再由齐次边值得

由以前的讨论知

对应R满足方程

这是尤拉方程，设代入得

即

为两个线性无关的特解，因此通解为

由自然边界条件有限知

在处要有限，因此必需由迭加性质知

满足方程及齐次边值和自然边界条件，再由

得

因此

所以

§

柯

西

问

题

1．求下述函数的富里埃变换：

(1)

(2)

(a

0)

(3)

(a

0,k为自然数)

解：(1)

=

（柯西定理）

=

或者

=

积分得

又

=

故

C=

所以

F[]=2I(P)=

(2)

=+

或

==

=2

(3)

F[

]=

因

=

=

=

所以

2．证明当f(x)在内绝对可积时，F(f)为连续函数。

证：因对任何实数p有

即关于p

绝对一致收敛，因而可以在积分下取极限，故g(p)关于p

为连续函数。

3．用富里埃变换求解三维热传导方程的柯西问题

：

解：令

对问题作富里埃变换得

解之得

因

=

再由卷积定理得

4.证明（3.20）所表示的函数满足非齐次方程(3.15)以及初始条件（3.16）。

证：要证

满足定解问题

原书85页上已证解的表达式中第一项满足

因此只需证第二项满足

如第一项，第二项关于的被积函数满足

若记第二项为被积函数为即

故有

即

显然得证。

5．求解热传导方程（3.22）的柯西问题，已知

（1）

(2)

(3)

用延拓法求解半有界直线上热传导方程（3.22）,假设

解：

（1）sinx有界，故

=

=

(2)

1+x无界，但表达式

仍收敛，且满足方程。因此

=

易验它也满初始条件。

（3）由解的公式

知，只需开拓使之对任何x值有意义即可。为此，将积分分为两个与，再在第一个中用来替换就得

由边界条件得

要此式成立，只需

即作奇开拓，由此得解公式为

6．证明函数

对于变量满足方程

对于变量满足方程

证：验证即可。因

同理

所以

仿此

所以

7．证明如果分别是下列两个问题的解。

则是定解问题的解。

证：

验证即可。因

所以

又

8．导出下列热传导方程柯西问题解的表达式

解：由上题，只需分别求出

及的解，然后再相乘迭加即得。但

所以

9．验证二维热传导方程柯西问题

解的表达式为

证：由第6题知函数满足方程，故只需证明可在积

分号下求导二次即可。为此只需证明在积分号下求导后所得的积分是一致收敛的。

对x求导一次得

对有限的即和，下列积分

是绝对且一致收敛的。因为对充分大的，每个积分

都是绝对且一致收敛的。绝对性可从充分大后被积函数不变号看出，一致性可从充分性判别法找出优函数来。如第三个积分的优函数为

且

收敛。

因，故

右端为一致收敛积分的乘积，仍为一致收敛积分。因而为绝对一致收敛的积分。从而有，对讨论是类似的。从而证明表达式满足方程。

再证满足始值。任取一点，将

写成因而

对任给，取如此之大，使

再由的连续性，可找到使当，都小于时，有

所以

因此

即有

§4

极值原理，定解问题的解的唯一性和稳定性

1．若方程的解在矩形R的侧边及上不超

过B，又在底边上不超过M，证明此时在矩形R内满足不等式：

由此推出上述混合问题的唯一性与稳定性。

证：令，则满足，在R的边界上

再由热传导方程的极值原理知在R内有

故

唯一性：若为混合问题的两个解，则满足

由上估计得

推出

即

解是唯一的。

稳定性：若混合问题的两个解在满足即，则

满足估计

因此对任何满足，解是稳定的2．

利用证明热传导方程极值原理的方法，证明满足方程的函数在界闭区域上的最大值不会超过它在境界上的最大值。

证：反证法。以表在上的最大值，表在的边界上的最大值。若定理不成立，则。因而，在內有一点使。

作函数

其中为的直径。在上

而

故也在R内一点上取到其最大值，因而在该点处有：

即，另一方面，所以

矛盾。故假设不成立。证毕

热传导方程例题 第2篇

安徽师范大学 芜 湖

, ,

模拟

的

,

摘

?

要

热 传 导 方 程 是一 种偏 微 分方 程

,

。

对 于 有 界 热传导齐次方 程 的 混 合 问题 用 分

,

离变盈 法 求解往 往 很 复杂 也 很 抽象

理 意义 本 文用

,

。

为 了更好 的理 解方 程 的解 更直 观 的看 出它 的 物

。

。 喇 软件将方 程的解用图 像表 示 出来 先 用 户刻

, ,

函 数求解 方 程 再

,

。 用功

函 数 进 行绘 图 通 过 改变边界条件 比较 了 图 形 的变 化 份 况

,

。

从结 果 可 以 看 出

耐 软件对 于 热传 导 方程 求解和绘 图十分简便 也很 直观

好 的应 用

关健词

。

。

在物 理 教学 中可 以 得 到很

热传 导 方程 一 维

一

中圈 分 类 号 以

文献 标识 码

引言 由于 温度分布不 均 匀 热 量从介 质 中温 度 高 的 地 方 流 向 温 度 低 的 地 方 称 为热 传 导

,

。

在 数学上 描述 热传导 规 律 的 方样 称为热传导方 程 它 是研 究抛 物线 刑方 程 的模利

,

,

。

为便

。

于 我们讨论 考 虑 一 个简化 的模 型 一 根均 匀 细 杆 内热量 传播 的过程

,

。

设 细 杆横截 面 积为

,

常数

的情 况

,

细 杆 的密 度 为

,

,

比热 为

,

,

它的侧 面 绝 热 也 就是 热量 只 沿 着 它 的 长度方 向传 导

,

因 为细 杆 很 细 所 以 在任何 时 刻 都 可 以 把 横 截 面 积 上 的 温 度 视 为相 同 也 就是 一 个 一 维

。

轴正 合 以 法来 导出热传导 方 程 也 就 是 函 数

我们取细杆 与

,

,

,

“

,

劝表示

,

点 在时刻 的温 度 可 以 用 微元 分析 的方 所 满 足 的偏微分方 程 考 虑在 时 间间隔 到

。 。

。

△ 内 细杆上

到

,

念 微 元段 热量流动情 况

,

此 时 满 足 热平衡 则 引起 温 度变化所 吸 取 的 热 量

△

等于 流 人 的热量

十

△’

,

微元 段 的质 量 为产 川 △ 而 且 在 时 间

一 “

,

△

,

,

,

内微 元 段

,

△

温 度升 高为 武

,

十

△

‘

二 。

△,

,

其中

。

二 。、

,

,

‘

、

。

二

△ 所 以 引起 微 元 段 公

△

温 度升

高所 需 的热量为

为 △口

二 一

△

二 。

泌△

,

“

△

秘

△ △

,

二

由热传导 理 论 中的傅立 叶定律 可 知在 尔 时 间 内 沿

加

。

,

轴 正 向流 过

截 面 的热量

△ 认

约肥 其 中

称 为热传 导 系 数

。

式 中 的 负 号 表 示 热量从 高温 处 向

低 温 处 流动

收稿 日期

一

一

另外在 △‘ 时间 内 流过 △ ,

,

△ 截 面 的热 量 △

为△

二

一

,

△,

。

则

△

流入 微元段【

,

,

二

△

的 」热

,

△ ’ 于通过 等 △

,

,

截面 流 人 微 元 段 的

热里减 去 通 过

二

“ 从〔

, ,

截面 流出徽 元 段 的热 量 则 △

中直定理 可 得 △ ’ 加

再由 △

“。

,

一

△

二

△二习一 气 ‘

,

,

△ 〕 由

,

二

“

△ △

。△

其中 、

,

‘ 夸‘

。 △

,

右

,

△

,

,

。

二

△

甲 一

得

州‘

△

令△ ,

‘ 。 从而 今

‘

,

于是得

“

一

其中

一

此 即热传导 方程

,

。

在讨论 热传导方 程时 已 知条件是 通 过 定解条件 的方式给 出的 从物 理 上 知道 只要

,

,

侧 出物体上 初始 时 刻 的 温度分布 和边界 上 的温 度或热交换情 况 就 可 以 了 也 就 是 给 出初

,

始条件和边界 条件

。

细 杆初 始条件 的提 法 为

,

。

,

二

,

二

。

其边界 条件 的 提法 通 常有 三 种 即

第一 边界 条 件 已 知细 杆端点 比如

, ,

二

的温 度

二

,

“

,

二

。,

产

,

第二 边界 条 件 已 知通 过 细 杆端点 比如

, , ,

,

的 热盘

,

,

二 。

二 与某 种 介质接触 它们 之间按 热传导 中 的牛 顿实验定 第三 边界 条件 已 知端点 , 二 , 加 为 已 知函 律 进行着热交换 其边界 条件为 加 其中 产

,

,

数

,

为热传导系数

,

为热交换 系数

,

。

对于 无 界热传导 问题我们考 虑 热传导方程 的初 值 问题 对 于 有 界 热传 导 间题 我们考

,

虑热 传导方程的混 合 问题 本 文 主要 讨论混 合 问题 的情 况

。

比 软件介 绍

国 内在 应用

比 软件上 很 多

一 ’ ‘

,

由 于 其 简 单易 学 使 用 方 便 因 而 得 到 了 广 泛 的

,

,

应用

。

软件 主要 有 二 个 部分 组 成 用 户 界 面

城 代数运 算 器

、

、

外部 函 数库

玩

函数

。

斗

。

求解 代数 方程 或 代数方程 组 使 用

中偏微 分 方程求 解 器 为

坛中

, ,

,

中的

函 数 求 解 常微 分方程 使 用 刻

,

该 函 数 及 其 它偏微 分 方科求 解 工 具 存 于 软

。

件包

。

函 数 训助

能够 很 快 的 辨认 出用 标 准 方 法 能 否 求偏 微分 方 程 的类 刑

,

如果 判别不 出 那 冈助

, ,

采用 一 种 启 发 式 的 算 法 尝 试 偏微 分 方 程按 特 征 结 构 分 离 出 来

的 策 略就 去 寻 找 给走 偏微 分方 村 的 通 解 寻找 不 到 通 解则 寻 找 可 以 完 全 分离 的 变

重 同此 该 函 数 返 问 的结果 可 能 为

通解

,

近似 的通 解 即 包 含 任意 函 数但 又 不足 以 得到通 解 的.解

。

,

变量 分离 的 非祸合 的常微 分方程 如也 无 法 完 全 分离变量 则函 数会 再 次 调 用 自身 如 还 是人 败 就会 返 回 未完 全 分离

,

,

的变

同时给 出一 个 警告 信息 其命令 格 式 为

冈助

,

其中

、

,

为偏微 分 方 程

。

,

为被求 解 函 数

。

即卜 所 提 供 的二维 绘 图 指令

可 以 绘 制 二 维 的 函 数 图 参

数 图 极 坐 标 图 等 高线

,

、

、

、

图 不 等式 图 等等

而 三 维 空 间 的绘 图 比 二 维 空 间 更 有 变化性 和 趣味 性 其命 令 函 数 为

一

一

可 直接调用

,

,

,

。

命令格式 如下

,

, ,

、

,

‘

,

,

,

…

心 刀“

一

?

其中

‘

。

二

为

的 变化 推

甘 首 先 根 据 不 同 的 边界条 什 编写 样 序 就 用 是 卿 语 言描述热传导 方程及 相应 的边 函 数 描绘 出二 维 图形 界条 件 然 后 用 阮 函 数 求解方程 最后 角 肉

,

,

处 理 次 间题 的 大 致 思 路 为

。

,

闰吨 , 、灿 林

、

一

?

耐

,

,

二

加 刀价 二 ” 比

,

叩‘

。

为

,

即

的变化范 围

。

脚

。

”

,

。

图形 模 拟

根据不 同 的定解 条件对“ 雄热传导方程进行模 拟

况

。

。

可 以 直观 地 看 出热

。

的 变 化情

为讨论 方便 令

,

。‘ 二

矿 、中 。 二 ‘ 细 将的长 度 卜

,

细 杆两 端 点 的温 度 已 知 细 杆 两 端 点钓 温 度为定 值

若两 端点温 度都 为

肠正 二 “

。

,

,

方程 为

二 二

,

,

。

。

,

用 幽禅 对 此 方程进行模 拟 的 图 像为 图

。,

图 皆见 图

。

若一 端点 温 度为

肠‘ 二 。

,

,

一 端点 温 度 为

,

方 稗为

“

二

,

,

,

二

二

,

用幽

对 此 方程进 行模拟 的图 像为图

,

。

由上 两 图可 以 看 出 一 两 端点 温 度 确定 时 细 杆 两 端最终 温 度 就 为端点 的 温 度 而 杆 上 各

,

,

点温 度成线性 分布

。

细杆两 端 点的温 度不 确定

如其中有一 端 点 温 度 为

移 二 肠目

,

,

,

方程 为

。

,

二

,

二

用伽

对 此 方 程进 行模 拟 的图像 为 图

, ,

。。

,

由图 可 见 一 端 点 温 度 是 时 间

的 函 数时 那最 终此 端 的温 度也 随 这 个 函 数变化

,

,

。

所 以 当细杆 两 端点 的 温 度 已 知时 无 论初 始条 件 如何 杆 两 端 的温 度 由端点 的 温 度

决定 细杆 上 各 点 温 度 也 由两 端 点温 度 决定 由高温 端 向低 温 短 递 减

,

,

。

小结

本文是用

月 软 件来模拟 一 维热传 导 方 程 的解 的分布 将 边 界 条件划 分 为 二 种

,

。

细杆两 端 的温 度 已 知 通 过 细 杆 的 热量 已 知 通 过 细 杆 的热量为温 度 的 函 数

,

。

根 据 不 同的

一

一

情况 进 行 侧叩 】模拟 我 们看 出 恤叩

,

软 件模 拟 出来的图形 可 以 直观 的描述热传导方程 解

, , ,

的分布情 况 可 以 深 刻 的理 解热 传导 方程 的 物理 意义 可 以 清楚的体现不 同的边 界 条件对

,

解的影 响

。

总之 浏旧

。

软 件操 作简单 描绘 出的图形直观 易位 使得 它在 教学 中可 以 得 到

很好 的应 用

参考 文 献

〔

【 幻 【 【

张星 辉 在大学 物理 教 学 中使用

, ,

’ 流

制作 图像和 动画 的几 个实例 〔〕大学 物 理

月济

,

,

以”

黄水 金 余 守宪 关 于 加加速度 的若十机 械 运 动分析及 郭冰莹 吴 敏键 用

, ,

。

棋拟【 〕大学 物 理 加

。

计算 机 代数 系 统实行 电动 力 学 教 学 改 革 的 一 个 尝 试 〔

、

,

大学 物理

,

卯

郭冰莹 在 有 限差分法 解 二 维 电势 边 值 问题 的应 用 探讨 〔 大学物理 卯

,

五

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,

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口

热传导方程例题 第3篇

关键词：热传导方程,紧致格式,高精度,叶片热传导

随着现代航空工业的不断发展, 气热耦合计算逐渐成了高性能涡轮设计的重要方法和工具。对叶片温度场的准确、快速计算仍然是一个重要的课题, 准确地预测叶片的温度分布对叶片寿命预估和涡轮叶片性能的设计有着重要的意义。叶片温度场求解的高精度差分格式研究是准确模拟叶片温度场的关键技术。

目前已有很多求解高维热传导方程的数值方法。这些方法都是基于规则的几何域构造的, 高精度的隐格式在规则的几何域上具有求解速度快、稳定性条件比较宽松, 但是在复杂的计算域, 尤其像涡轮叶片这样的计算域这些方法应用起来比较复杂、甚至不可用。显格式一般能够直接应用复杂域的求解但是精度受到限制, 稳定性条件比较严格。对于二维和三维的情况, 目前最好的结果是网格比均不超过1/2 (取等距网格) [1,2,3,4]。针对古典显格式精度低的缺陷, 不少研究者对此作了改进, 提出了各种高精度显式差分格式, 空间精度一般可达到四阶或者四阶以上, 也有不少研究者针对模型方程提出了稳定性较好的隐格式, 但是计算精度较低。

文献[5]提出了求解高维热传导方程的高精度交替方向隐式方法, 该方法具有时间二阶精度、空间四阶精度和稳定性好的特点, 但是该方法只适应于求解规则域。现推导了热传导方程在非正交曲线坐标系中具体形式, 使其能够适应涡轮叶片热传导的计算。给出了适应任意物理域的热传导计算的半隐差分格式, 将一阶导数项和二阶交叉项导数作为方程的源项进行处理, 源项采用四阶精度的紧致格式进行差分离散, 该格式空间为四阶精度、时间为一阶精度。同时通过解析解对该方法进行验证。最后采用该方法对某涡轮叶片温度场进行数值模拟。

1 温度场计算方程

热传导方程$\frac{\partial {\rm T}}{\partial \tau }=\nabla \cdot (\gamma \nabla {\rm T})+f(x,y,z,\tau )$在非正交曲线坐标系得展开形式为

$\nabla \cdot (\gamma \nabla {\rm T})=\gamma \frac{\partial x{}^{\alpha }}{\partial y{}^n}\frac{\partial x{}^{\beta }}{\partial y{}^n}\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial x{}^{\alpha }\partial x{}^{\beta }}+\frac{\partial x{}^{\alpha }}{\partial x{}^{\beta }}\frac{\partial {\rm T}}{\partial x{}^{\beta }}\frac{\partial }{\partial x{}^{\alpha }}\left(\gamma \frac{\partial x{}^{\beta }}{\partial y{}^n}\right)$ (1)

(1) 式中γ为热传导系数、x1、x2、x3为非正交曲线坐标系中坐标, y1、y2、y3为笛卡儿坐标系中坐标, 将一阶导数项和二阶交叉项导数和原来的源项作为新的源项整理成

$\frac{\partial {\rm T}}{\partial \tau }=a\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial (x{}^1){}^2}+b\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial (x{}^2){}^2}+c\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial (x{}^3){}^2}+f(x{}^1,x{}^2,$

x3, T, τ) , 为了书写方便将方程写成

$\frac{\partial {\rm T}}{\partial \tau }=a\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial x{}^2}+b\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial y{}^2}+c\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial z{}^2}+f(x,y,z)$ (2)

2 紧致格式原理

设x∈r, f (x) 是充分光滑的函数, 网格点xi=ih, i=0, ±1, ±2…可以假定xi点位中心差分格式, 其中l表示格式向左右延伸的网格点数, ai, bi, ci, di是待定系数;fi, f′i, f″i, fi 分别为f (xi) , f′ (xi) , f″ (xi) , f (xi) 。

文献[6]给出了关于f (xi) 的一阶导数的紧致差分格式

$\begin{array}{l}\beta f{}^{\prime }{}_{i-2}+\alpha f{}^{\prime }{}_{i-1}+f{}^{\prime }{}_i+\alpha f{}^{\prime }{}_{i+1}+\beta f{}^{\prime }{}_{i+2}=c\frac{f{}_{i+3}-f{}_{i-3}}{6h}+\\ b\frac{f{}_{i+2}-f{}_{i-2}}{4h}+a\frac{f{}_{i+1}-f{}_{i-1}}{2h}\end{array}$

和一阶导数四阶精度的a, b, c, α, β关系$a+2{}^{2}b+3{}^{2}c=2\frac{3!}{2!}(\alpha +2{}^2\beta )$, 取b=0, c=0, β=0, α=1/4可得

$\frac{1}{6}f{}^{\prime }{}_{i-1}+\frac{2}{3}f{}^{\prime }{}_i+\frac{1}{6}f{}^{\prime }{}_{i+1}=\frac{f{}_{i+1}-f{}_{i-1}}{2h}$ (3)

边界上为了保证方程的与内部的具有相同的形式, 精度往往会降低, 采取$f{}^{\prime }{}_1+\alpha f{}^{\prime }{}_2=\frac{1}{h}(\alpha f{}_1+bf{}_2+cf{}_3+d{}_4)$, 当α=3, a=-17/6, b=3/2, c=3/2, d=-1/6时在边界上一阶导数的精度也达到了四阶。

3 高阶紧致ADI格式

以二维为例推导[7]:设Δt为时间步长, Δx、Δy和Δz分别为x、y、z方向的空间步长, 考虑$\frac{\partial {\rm T}}{\partial \tau }=a\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial x{}^2}+b\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial y{}^2}+f$在时刻n对空间导数采用四阶紧致差分格式离散可得, 设$X=1+\frac{\text{Δ}x{}^2}{12}\delta {}_x^2$、$Y=1+\frac{\text{Δ}y{}^2}{12}\delta {}_y^2$, 则有

$\left(\frac{\partial {\rm T}}{\partial t}\right){}_{i,j}^n=\frac{a\delta {}_x^2}{X}{\rm T}{}_{i,j}^n+\frac{b\delta {}_y^2}{Y}{\rm T}{}_{i,j}^n+f{}_{i,j}^n$ (4)

(4) 式中δ${}_x^2$和δ${}_y^2$表示中心二阶差分算子、O (Δx4+Δy4) 为局部截断误差。

$\frac{{\rm T}{}_{i,j}^{n+1}-{\rm T}{}_{i,j}^n}{\text{Δ}\tau }=\frac{a\delta {}_x^2}{X}{\rm T}{}_{i,j}^n+\frac{b\delta {}_y^2}{Y}{\rm T}{}_{i,j}^n+f{}_{i,j}^n+{\rm O}(\text{Δ}\tau +\text{Δ}x{}^4+\text{Δ}y{}^4)(5)$

对 (5) 式整理

XYT${}_{i,j}^{n+1}$=[XY +aΔτδ2xY+bΔτδ2yX]T${}_{i,j}^n$+ΔτXYf${}_{i,j}^n$ (6)

$\begin{array}{l}\text{引}\text{入}\text{过}\text{渡}\stackrel{*}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j}}}\\ X\stackrel{*}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j}}}=[XY+a\text{Δ}\tau \delta {}_x^{2}Y+b\text{Δ}\tau \delta {}_y^{2}X]{\rm T}{}_{i,j}^n+\text{Δ}\tau XYf{}_{i,j}^n\times \\ Y\stackrel{n+1}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j}}}=\stackrel{*}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j}}}(7)\end{array}$

fi, j, k求解精度是整个求解的精度瓶颈, 在f中既有T关于x、y、z一阶导数, 也有关于x、y、z的二阶混合偏导数;一阶导数应用式 (3) 离散形成三对角矩阵方程采用追赶法求解能够达到四阶精度, 二阶混合偏导数应用两次式 (3) 就可达到四阶精度。以$\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial x\partial y}$为例说明具体的求解过程。$\frac{\partial {}^2{\rm T}}{\partial x\partial y}$可以写成$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial {\rm T}}{\partial y}\right)$, 首先沿y方向求出$\frac{\partial {\rm T}}{\partial y}$, 然后将$\frac{\partial {\rm T}}{\partial y}$作为已知量沿x方向求解$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial {\rm T}}{\partial y}\right)$。对于二维情况, 二阶偏导数可以采用矩阵形式直接表示出[8], 但对于三维情况矩阵变复杂甚至不可求解, 所以采用上述方法由于形成的三对角矩阵方程主对角线元素绝对占优, 能够简单、快速、准确求解。

该差分格式的截断误差为空间四阶、时间二阶, 同时采用Neumnn稳定性分析方法证明了格式是无条件稳定的

稳定性分析:

采用Fourier稳定性分析方法对该格式进行稳定性分析;取$\stackrel{n}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j}}}\text{F}\text{o}\text{u}\text{r}\text{i}\text{e}\text{r}$展开的通式

$\stackrel{n}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j}}}=v{}^n\text{e}{}^{{\rm I}(\alpha x{}_i+\beta y{}_j)}‚\alpha =\frac{2\pi p}{l}‚\beta =\frac{2\pi q}{l}$ (8)

(8) 式中I为虚数单位, p, q, r=0, ±1, ±2, …;l为Fourier展开周期函数的周期, 将式 (6) 代入 (**) 消去公因子, 并设${\rm M}=1+\frac{\sin {}^2\frac{\alpha \text{Δ}x}{2}}{3}$、${\rm N}=1+\frac{\sin {}^2\frac{\alpha \text{Δ}y}{2}}{3}$, 则知增长因子,

$\begin{array}{l}G(\alpha \text{Δ}x,\beta \text{Δ}y)=1-\left[\frac{4b\text{Δ}\tau }{\text{Δ}x{}^2{\rm M}}+\frac{4a\text{Δ}\tau }{\text{Δ}y{}^2{\rm N}}\right]\times \\ |G(\alpha \text{Δ}x,\beta \text{Δ}y)|<1‚\text{得}\text{出}\frac{2b\text{Δ}\tau }{\text{Δ}x{}^2{\rm M}}+\frac{2a\text{Δ}\tau }{\text{Δ}x{}^2{\rm N}}<1‚\\ \frac{2b\text{Δ}\tau }{\text{Δ}x{}^2}+\frac{2a\text{Δ}\tau }{\text{Δ}x{}^2}<1\end{array}$

, 取A=max (a, b) , Δh2=min (Δx2, Δy2) , 则稳定条件为$\frac{4A\text{Δ}\tau }{\text{Δ}h{}^2}<1$。

对于三维情况稳定条件更为苛刻, 为$\frac{6A\text{Δ}\tau }{\text{Δ}h{}^2}<1$, 设${\rm Z}=1+\frac{\text{Δ}z{}^2}{12}\delta {}_z^2$。三维推广

$\begin{array}{l}{\rm Z}\stackrel{**}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j,k}}}=[XY{\rm Z}+a\text{Δ}\tau \delta {}_x^{2}Y{\rm Z}+b\text{Δ}\tau \delta {}_y^{2}X{\rm Z}+\\ c\text{Δ}\tau \delta {}_z^{2}XY]{\rm T}{}_{i,j,k}^n+\text{Δ}\tau XY{\rm Z}f{}_{i,j,k}^n(9-1)\end{array}$

$Y\stackrel{*}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j,k}}}=\stackrel{**}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j,k}}}$ (9-2)

${\rm Z}\stackrel{n+1}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j,k}}}=\stackrel{*}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j,l}}}$ (9-3)

边界条件满足

$\stackrel{*}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j,l}}}={\rm Z}g{}_{i,j,k}^{n+1}$ (10-1)

$\stackrel{**}{{\displaystyle {\rm T}{}_{i,j,k}}}=Y{\rm Z}g{}_{i,j,k}^{n+1}$ (10-2)

4 数值验证

为了验证本文方法的精确性和可靠性以及计算任意几何区域和非正交网格能力, 现考虑有精确解的稳态边界问题u (x, y, z, τ) =100e-3π2τsin (πx) ×sin (πy) sin (πz) , 初边界条件通过精确解给出。计算域为高为1.0、内径1.0、外径2.0的空心圆筒的四分之一, 计算网格分别为33×17×33, 17×9×17, 9×5×9的等距网格。采用Fortran90语言进行编程且在pc上进行的结果如表1。

本文所采用的方法, 虽然计算的速度和其他两种格式计算速度相比要慢一些, 但是计算精度要比其他两种格式要高很多, EXPLICIT和C-N均具有二阶的空间精度。本文的格式时间方向一阶精度, 为了提高时间方向的精度通过减小时间步长来弥补。

5 空心涡轮叶片的温度场计算

三维叶片选取某型航空高压涡轮进行叶片温度计算, 采用哈尔滨工业大学的Hit3D程序进行流场计算, 模拟了有冷却的叶片温度场, 假定了内腔的温度是从顶部到底部逐渐降低 (冷却空气从底部流入从顶部流出) , 外壁的温度取自流场计算程序算出的壁面温度分布, 为了使程序能够对复杂区域进行计算, 同时保证具有较好计算网格质量, 就有必要对叶片计算域进行分区处理, 文中采用了重叠型区域和非重叠型区域两种求解方法对叶片温度场进行了分区计算, 其中叶片头部采用O型网格, 叶片尾部采用H型网格。叶片表面的温度由流场通过绝热计算得出。从图1中可以看出温度场计算结果连续且光滑, 因此该方法可以对复杂区域的温度场进行计算, 可用来涡轮气热弹耦合计算分析。

6 结束语

给出了热传导方程在任意曲线坐标系中的表达形式, 并将所得一次项和交叉项作为方程源项, 推导出了数值求解三维复杂几何体热传导方程的精度为O (Δτ+Δh4) 的ADI紧致格式, 给出了源项求解精度为O (Δh4) 的紧致格式, 并采用Fourier分析了格式的稳定性。数值实验结果验证所得方法的精确性和可靠性, 并采用该方法对某空心叶片进行了温度场分析。

参考文献

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[2]马明书, 申培萍, 张利霞.二维抛物型方程的一个新的高精度分支稳定显格式.工程数学学报, 1999;16 (3) :139—142

[3]刘继军.二维热传导方程的三层显式差分格式.应用数学和力学, 2003;24 (5) :537—544

[4]任宗修, 马明书.三维抛物型方程的一族两层显格式.工程数学学报, 2002;19 (1) :139—142

[5]曾文平.三维热传导方程的一族两层显格式.应用数学和力学, 2000;21 (9) :966—972

[6]Lele S K.Compact finite difference schemes with spectral-like resolu-tion.J of Computation Physics, 1992;10 (3) :16—42

[7]葛永斌, 田振夫, 吴文权.高维热传导方程的高精度交替方向隐式方法.上海理工大学学报, 2007;29 (1) :55—58

一道空间直线方程例题的多种解法 第4篇

关键词:直线方程 ; 方向向量 ; 点向式方程; 两点式方程;垂足。

在空间解析几何教学中,学生解题是往往很难下手,不知怎么解题,这就说明学生对所学的知识掌握的不够熟练和灵活,知识能否灵活与综合运用是教师考察学生是否掌握所学知识的关键,一题多解是检验知识掌握的灵活熟练程度的重要环节,注重一题多解可以提高学生分析问题、解决问题、理解和掌握所学知识以及运用知识的能力,本文介绍一道空间直线方程的多种解法。

文[1 ]中有一道关于空间直线方程解法的例题:求过点 (2, 1, 3)且与直线 垂直相交的直线方程.

分析因为点 在所求直线上,所以只要求出所求直线的一个方向向量,代入直线的点向式方程

即可得到所求直线的方程。

解法1;(教材中解法)在所求直线上寻求异于 的另外一点 (即垂足)的坐标,再求出所求直线的一个方向向量

先作一个平面过点 且垂直于已知直线,则易知该平面方程为

即①

再求已知直线与平面①的交点,由于已知直线的参数方程为

②

将②代入① 解得 ,故交点为

于是所求直线的方向向量为 ,

故由直线的点向式方程得到所求的直线方程为

③

解法2:(利用两个向量的向量积求出所求直线的方向向量)

设是所求直线L的一个方向向量,已知直线为,可知 的方向向量为 。因为点 在直线 ,所以设直线 和向量所在直线确定的平面为 ,则平面 的一个法向量为

因为,且, 所以 且,于是可得

,

故得到所求的直线方程③.

解法3;(利用两个向量的数量积和向量积求出所求直线的方向向量)

由解法二可知且 ,所以有, ,

即

解得, ,故可取

因此同样得到所求的直线方程③.

解法4:(利用三个向量的混合积求出所求直线的方向向量)

因为所求的直线L、向量 所在直线与已知直线 共面,所以三个向量, ,的混合积为零,即

于是得 ④

又因为,所以 ,

即⑤

联立④,⑤解方程组得 , ,于是可取,

因而得到所求直线方程③.

这三种解法灵活运用了两个向量的向量积、数量积和三个向量的混合积等相关知识,巧妙地求出了所求直线的一个方向向量 ,然后代入直线的点向式方程得到所求直线的方程。显然这三种解法比解法1简捷、独到和新颖,但学生一般不易想到,解法1具有一般性。

下面我们从不同的角度求出所求直线上异于点 的另外一点(垂足) 的坐标,然后代入直线的两点式方程即可得到所求的直线方程。

解法5:设所求直线与已知直线的交点(垂足)为 ,则所求直线的一个方向向量为,由于所求直线与已知直线垂直,所以有 , 即

即⑥

因为点 在已知直线上,所以满足该直线方程,

即

令

得⑦

将⑦代入⑥ 得故点

再将 、 两点的坐标代入直线的两点式方程

并化简即可得到所求直线方程③

通过本例题的多种解法,不仅教给学生灵活使用多种求解直线方程的方法,更重要是巩固了学生所学的知识,训练了学生的思维,开拓学生的视野,培养学生的创新意识和探究精神。从而提高学生分析问题、解决问题和综合运用知识的能力。

参考文献

[1 ] 同济大学数学教研室.高等数(上册)[M].北京:高等教育出版社,1996,12: 429—430

[2 ] 郭永发,全生寅,赵延忠.高等数学简明教材[M].兰州:甘肃教育出版社,2003:21—22

[3] 王晓静,侍爱玲,张艳.一道空间解析几何习题的探讨[j].广西师范大学学报,2009,27(1):264—265.

[4] 朱鼎勋,陈绍菱.空间解析几何[M].北京:北京师范大学出版社,1983,5:19—35

热传导方程例题 第5篇

一类热传导方程非线性源项识别问题

利用单调性估计方法证明了一类热传导方程非线性源项识别问题的可识别性,并运用函数逼近理论,把对非线性源项的.识别问题转化成一常系数参数识别问题;给出了一种对非线性源项识别的可实现的线性化迭代算法及相应的数值实例.

作 者：李春发 冯恩民 作者单位：大连理工大学,应用数学系,辽宁,大连,116024刊 名：大连理工大学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF DALIAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY年，卷(期)：200242(4)分类号：O241.82关键词：参数识别/迭代算法 半线性抛物型方程

热传导方程例题 第6篇

基本解方法属于径向基函数类方法,它使用微分算子的基本解作为基于欧氏距离的.径向基函数.借助测地距离,给出了求解各向异性材料中的热传导方程的基本解方法.该方法无需对时间进行离散或Laplace变换,也无需进行变量变换,而是直接在整个时间空间区域上进行求解.文中给出了数值例子,来验证基于测地距离的基本解方法在求解该各向异性问题时的稳定性和有效性.

作 者：董超峰 李启会 DONG Chao-feng LI Qi-hui 作者单位：董超峰,DONG Chao-feng(浙江大学,数学系,浙江,杭州,310027;嘉兴学院,数学系,浙江,嘉兴,314001)

李启会,LI Qi-hui(嘉兴学院,数学系,浙江,嘉兴,314001)

二元一次方程组的典型例题 第7篇

分析 我们已经掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程组，就应设法将其转化为一元一次方程，为此，就要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示．方程(2)中x的系数是1，因此，可以先将方程(2)变形为用含y的代数式表示x，再代入方程(1)求解．这种方法叫“代入消元法”． 解： 由(2)，得 x=83y．(3)把(3)代入(1)，得：

2(83y)+5y=21，166y+5y=21，y=37，所以y=37．

点评 如果方程组中没有系数是1的未知数，那么就选择系数最简单的未知数来变形．

分析 此方程组里没有一个未知数的系数是1，但方程(1)中x的系数是2，比较简单，可选择它来变形．

解： 由(1)，得

2x=8+7y，(3)把(3)代入(2)，得

分析 本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x，y的系数都是100、常数项是200的方程，而此方程与方程组中的(1)和(2)都同解．这样，就使问题变得比较简单了．

解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以

x+y=2

(3)

解这个方程组．由(3)，得

x=2y(4)把(4)代入(1)，得53(2y)+47y=112，10653y+47y=112，6y=6，所以y=1．

分析 经观察发现，(1)和(2)中x的系数都是6，若将两方程相减，便可消去x，只剩关于y的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“加减消元法”． 解：(1)(2)，得12y=36，所以y=3．把y=3代入(2)，得：

6x5×(3)=17，6x=2，所以：

点评 若方程组中两个方程同一未知数的系数相等，则用减法消元；若同一未知数的系数互为相反数，则用加法消元；若同一未知数的系数有倍数关系，或完全不相等，则可设法将系数的绝对值转化为原系数绝对值的最小公倍数，然后再用加减法消元．在进行加减特别是进行减法运算时，一定要正确处理好符号．

分析 方程组中，相同未知数的系数没有一样的，也没有互为相反数的．但不难将未知数y的系数绝对值转化为12(4与6的最小公倍数)，然后将两个方程相加便消去了y．

解：(1)×3，得9x+12y=48

(3)(2)×2，得10x-12y=66(4)(3)+(4)，得19x=114，所以x=6．把x=6代入(1)，得 3×6+4y=16，4y=-2，点评 将x的系数都转化为15(3和5的最小公倍数)，比较起来，变y的系数要简便些．一是因为变y的系数乘的数较小，二是因为变y的系数后是做加法，而变x的系数后要做减法．

例6 已知xmn+1y与2xn1y3m2n5是同类项，求m和n的值．

分析 根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n． 解：因为xmn+1y与2xn1y3m2n5是同类项，所以

解这个方程组．整理，得

(4)(3)，得2m=8，所以m=4．把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3．所

分析 因为x+y=2，所以x=2y，把它代入方程组，便得出含y，m的新方程组，从而求出m．也可用减法将方程组中的m消去，从而得出含x，y的一个二元一次方程，根据x+y=2这一条件，求出x和y，再去求m． 解：将方程组中的两个方程相减，得x+2y=2，即(x+y)+y=2．

因为x+y=2，所以2+y=2，所以y=0，于是得x=2．把x=2，y=0代入2x+3y=m，得m=4．把m=4代入m22m+1，得m22m+1=422×4+1=9． 例8 已知x+2y=2x+y+1=7xy，求2xy的值．

分析 已知条件是三个都含有x，y的连等代数式，这种连等式可看作是二元一次方程组，这样的方程组可列出三个，我们只要解出其中的一个便可求出x和y，从而使问题得到解决． 解：已知条件可转化为

整理这个方程组，得

解这个方程组．由(3)，得x=y1(5)把(5)代入(4)，得5(y1)-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以

y=2．

把y=2代入(3)，得x-2+1=0，所以

x=1．

2x-y=0．

二元一次方程组的典型例题

二元一次方程组复习题

例题：

1、下列方程是二元一次方程的是（）

110(A)x2+x+1=0

(B)2x+3y-1=0

(C)x+y-z=0

(D)x+y

2、下列各组数值是x-2y=4方程的解的是（）

x2x1x0x4(A)y1(B)y1(C)y2(D)y1 x2

3、以y1为解的二元一次方程的个数是（）

(A)有且只有一个

(B)只有两个

(C)有无数个

(D)不会超过100个

4、二元一次方程3x+2y=7的正整数解的组数是（）(A)1组

(B)2组

(C)3组

(D)4组

x4

5、已知y2是二元一次方程mx+y=10的一个解，则m的值为

6、已知3xm-1-4y2m-n+4=1是二元一次方程，则m=，n=

.7、下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）。

xy5xy1xy1xy32x2y1xy2z2y1x20(A)

(B)

（C)

(D)

8、已知2ay+5b和-4a2xb2-4y是同类项，则x= ,y=

.x1y

29、写一个以为解的二元一次方程组：

。x12xay5bx3y1y2

10、如果是方程组的解，则ab

。xy13x2y

511、方程组的解是

.12、将下列二元一次方程变形，使其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示： ⑴2x-y-3=0

⑵x-2y-3=0

uv41⑶

2x+5y-13=0

⑷

313、用代入法解下利二元一次方程组：

y1xx2y4xy13x2y5①

②

③2s3t14s9t8

2x3y53x2y

414、用加减法解方程组时，下列变形正确的是（）

6x9y54x6y106x3y152x6y106x4y49x6y126x2y123x6y12(A)

(B)（C)(D) 13x6y25(1)27x4y19(2)

15、解方程组

你认为下列4种方法中，最简便的是（）

(A)代入消元法

(B)用（1）27-（2）13，先消去x（C)用（1）4-（2）6，先消去y

(D)用（1）2-（2）3，先消去y

3x5y21m5n62x5y113m6n4

16、用加减法解下列方程组：①

②

x2axby7axby5y1提高题：

1、已知是方程组的解，求ab的值。

x3y0x11(y0)y4z02、已知，则z（）(A)12

(B)-1

2（C)-12

(D)12

3、已知︳4x+3y-5︳+︳x-2y-4︳=0,求x，y的值

x1x1y0y5，4、已知二元一次方程ax+by=10的两个解为，则a= ,b=

.mx2ny4x6y3xy1nx(m1)y

35、已知关于x，y的方程组与的解相同，求m,n的值。

xy22xy4a6、已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程x-y=2的解，求a的值。

7、方程2x+3y=11的正整数解是。

axby2x2cx7y8y

28、解方程组时，一学生把c看错而得到，已知该方程组的正确的解x3y2是，那么a,b,c的值是（）

(A)不能确定

(B)a=4，b=5，c=-2（C)a，b不能确定，c=-2

热传导方程例题 第8篇

1973年, Fischer Black教授和Scholes教授在他们的论文《The Pricing of Options and Corporate Liabilities》中提出了具有划时代意义的期权定价模型即Black-Scholes期权定价模型;同年, Merton教授也发表了有关期权定价的论文《Theory of Rational Option Pricing》.这两篇论文奠定了期权定价模型的理论基础。尽管该模型的一些假设与现实不相符, 但是期权市场的价格与该公式的计算结果还是比较吻合的。下面给出该模型的推导方法。

模型推导:

一.建立Black-Scholes偏微分方程

借助于Black-Scholes模型的原始假设条件:

a) 无风险利率已知且不随时间变化

b) 股票价格服从对数正态分布, 且股票收益的波动率是常数

c) 股票不付红利或其他收益

d) 公式适用于欧式期权, 即期权只能在到期日被执行

e) 买卖股票不存在交易成本

f) 可以以无风险利率无限量借入或贷出资金, 且股票可无限细分

g) 没有卖空限制

在这些假设条件下, 期权的价格可以看作是股价s和交易期限t的函数

(一) 构造如下证券组合

*1单位股票 (多头)

*N单位该股票的欧式看涨期权 (空头)

若要使风险完全对冲

(二) 由无套利定价法得到如下公式

其中为C对s的一阶偏导数, r为无风险利率股票价格服从伊藤过程, 由伊藤引理可得

其中是c对s的二阶偏导数, 为该股票的波动率

将5式代入4式中, 整理后即可得出著名的Black-Scholes偏微分方程

对于欧式看涨期权, 其价格c的边界条件为

其中s为到期股票价格, E为敲定价格

二.Black-Scholes欧式期权定价公式的推导

为了将 (6) 式转化为齐次热传导方程, 可做如下恒等变换

对应变量各阶偏导如下

将 (9) 、 (10) 、 (11) 三式代入 (6) 中得

由 (8) 式及恒等变换各变量的关系可得

结合 (7) 式及T与t的关系得出

为进一步简化方程, 可做如下变换。

将 (16) 式代入 (12) 式中得 (17) 式

再将代入 (16) 式, 得到热传导方程的柯西问题

下面求解该方程

令, 关于X进行Fourier变换, 有下列等式

由 (21) 、 (22) 两式得到如下常微分方程

初始条件为

解得

利用Fourier变换的卷积性质得

得到

将 (27) 式代入 (26) 式得

由边界条件可知

将 (30) 式代入 (28) 式得

其中是标准正态分布的概率分布函数

将K+1替换为K-1得到

其中

结合 (18) 式及得

将代入 (35) 式得

(36) 式即为著名Black-Scholes的期权定价模型, 至此完成了该模型的推导。

结论:

Black-Scholes期权定价模型已成为现代金融经济理论的基石。虽然这个模型创立至今已有40余年, 但它对整个金融业的影响并没有随着时间的流逝而减弱。在理论上, 它将数学引入金融领域, 使学者们的研究更加精确更有说服力。在实践上, 它为华尔街乃至全球的金融市场带来了产品上的创新, 为资本市场注入了新鲜的活力。作为金融衍生品定价的基础, 每个致力于金融工程领域研究的人都应该对这个模型有充分的认识。这样才能在前人的基础上构建出更加完美的模型, 推动整个金融领域向前发展。

摘要：Black-Scholes期权定价模型是金融领域中广泛应用的模型之一, 该模型的提出是金融理论界和实践界的一场革命。因此无论是做金融研究的学者还是金融业的从业人员都有必要对这个模型有一定了解, 但是在各类文献中却很少有关于这一模型的详细推导过程。即使有些文献给出了一些较严格、详尽的推导过程, 也由于要用到较高深的数学知识使人望而却步。本文从一个本科生的视角来理解这个公式, 希望能方便更多的人来领略这一精妙创意的魅力。

关键词：Black-Scholes公式,Fourier变换,热传导方程

参考文献

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