初中几何证明与计算专题复习

初中几何证明与计算专题复习（精选11篇）

初中几何证明与计算专题复习 第1篇

中考几何证明与计算专题复习

1.全等三角形

例题1：如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点

P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．P

D

C B

例题2：如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求证：AFBFEF．

A

E

B G

变式训练1：如图，在△ABC中，ABAC，BAC40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使BADCAE90°．

（1）求DBC的度数；

（2）求证：BDCE．

D C

变式训练2：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.变式训练3：如图：已知在△ABC中，ABAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若A90°，求证：四边形DFAE是正方形.D

F

C

2.相似三角形

例题1：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB6，AE9，DE2，求EF的长．

例题2：如图,点D在△ABC的边AB上，连结CD，∠1=∠B，AD=4,AC=5,求 BD 的长?

B

变式训练1：已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）

(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：

1变式训练2：如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12mB．10mC．8mD．7m

3.四边形

例题1：下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形

例题2：已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E． 求证：（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

例题3：如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．

（1）求证：AF=BE；

（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．

P

B

D

C 变式训练1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º.(1)求证：AB⊥AC；

(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积.变式训练2：在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；

⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。

⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积。圆

例题1：如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．（1）求证：DC=BC；

（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

例题2：如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB2，OD3,则BC的长为（）A．

B．

C

．

D

．

变式训练1：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使

DCBD，连结AC，过点D作DEAC，垂足为E．（1）求证：ABAC；（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径为5，BAC60，求DE的长．

变式训练2：在Rt△ABC中，ACB90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BDBF；

（2）若BC6，AD4，求⊙O的面积．

初中几何证明与计算专题复习 第2篇

几何证明选讲专题复习

1、如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点。⑴证明：A、P、O、M四点共圆。⑵求∠OAM+∠APM的大小。

2、如图，BA是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，BF、BD是割线。证明：BE·BF=BC·BD3、△ABC内接于⊙O，AB=AC,直线MN切⊙O 于C，弦BD∥MN,AC、BD交于点E

⑴求证：△ABE≌△ACD⑵AB=6，BC=4，求AE4、如图所示，AB是⊙O 的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O 的切线，切点为H。

求证：⑴C、D、F、E四点共圆；⑵GH2=GE·GF.第 1页

5、如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E..⑴求证: AB2=DE·BC;

⑵若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长。

6、已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，∠ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D。⑴求∠ADF的度数； ⑵若AB=AC，求AC/BC的值。

7、如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点。⑴求证：AD∥OC；⑵若⊙O的半径为1，求AD·OC的值。

8、在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。

⑴求证：

⑵若AC=3，求AP·AD的值。

9、在平面四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD10、已知：直线AB过圆心O，交⊙O于AB，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC。

⑴求证：∠BAC=∠CAG;⑵AC2=AE·AF11、如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，绕点O逆时针旋转600到OD。

⑴求线段PD的长；

⑵在如图所示的图形中是否有长度为的线段？若有，指出该线段；若没有，说明理由。

12、如图，⊙O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C做圆的切线l，过A做l的垂线AD，AD分别与直线l，圆O交于点D，E。⑴求∠DAC；⑵求线段AE的长。

13、如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP,AD、2BC相交于E点，F为CE上一点，且DE=EF·EC.⑴求证： ∠P=∠EDF;⑵求证：CE·EB=EF·EP.14、如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D做圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

15、如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=300，则圆O的面积等于_____________。

16、如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，0PD=2a／3，∠OAP=30，则CP=______________。

17、如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若

初中几何证明与计算专题复习 第3篇

关键词：几何计算,证明,提升,策略

几何计算与证明是初中数学教学的重点, 也是一个难点。老师花了不少的时间和精力教学, 学生花了不少的时间学习, 做了不少的题, 可一到考试时看到陌生的试题, 还是不知道怎么做。我在以前的教学中也花了不少时间, 可效果同样不明显。为此我进行了专门的思考:如何上好一堂几何课?怎样提高课堂效率?学生在什么样的条件下才会分析问题, 解决问题呢?在实践教学中我不断归纳总结, 形成了以下教学策略。

首先, 我对几何问题进行分类。几何问题分为两大类:计算问题与证明问题。而这两类问题主要包括了线段问题、角的问题、位置关系、面积与周长问题等。计算问题主要涉及到计算线段的长度、角的大小、图形的面积与周长。证明问题主要涉及到证明线段、角、面积相等、位置关系等。

几何题目很多, 如果我们不采取一定的策略, 那么学生就有做不完的试题, 当然也不可能做完所有的试题。但是如果我们引导得当, 学生做完具有代表意义的几种类型题目, 在归纳与总结之后完全可以举一反三。

在实践教学中, 教师要做的工作首先是让学生对问题进行识别:我们要解决的到底是一种什么类型的题目?

根据不同的题目让学生去联想转化、思路试解。我以前总是担心题目没有讲到而心中不踏实。如果学生面对没见过的试题会不会导致成绩不理想呢?在这种理念的支撑下, 总想什么试题都讲到。由于面铺得太宽太广, 学生累得够呛, 结果是学生哪一类试题都没掌握好。后来我调整了教学策略, 每一节课不讲太多的题目, 而是选择少而精具有代表性的题目, 让学生做一道题就是做一类型题, 并且每一节课对相关的知识都要有所提高, 教学效率就慢慢地提高了。

其次, 要让学生用科学的方法去学习几何。做几何题一般有以下几个步骤, 一是条件问题上图;二是问题联想转化;三是选择思路试解;四是梳理解答思路。

条件问题上图分为三个步骤, 首先是已知条件直接上图, 然后是根据已知条件转化上图, 最后是问题上图。这些步骤都很重要, 要求学生学会读题, 是分析问题的第一步。

问题联想转化是指根据问题联想已有的命题、定理, 寻找解决问题的方法。假设一道题目是证明两条线段相等, 就要引导学生去想, 有哪些方法可以计算或证明线段相等?引导学生从计算和证明的角度思考, 计算方法有等量代换、公共边加或减等。可以利用的证明方法就更多了:1) 中点的定义;2) 全等三角形的对应边相等;3) 等角对靠边;4) 正方形、菱形的四条边相等, 等边三角形的三边相等;5) 平行四边形的对边相等, 对角线互相平分;6) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;7) 三线合一;8) 等腰梯形的对角线相等。当然学生不可能一开始学几何就能联想到那么多的方法, 但万事开头难, 只要在教学过程中学生能够去想就一定要引导学生去想, 经过老师的不断引导和学生的长期坚持, 这一类问题就会产生许多的方法, 学生解决问题的能力也一定会相应提高, 如果在考试中遇到此类问题就会有思考的方向, 做到忙而不乱。

选择思路试解是指问题联想转化中想到的方法而选择其中的一种进行试解, 不同的学生可能会有不同的方法, 这个时候要让学生学会倾听与分享, 大胆地说出自己的方法, 借鉴其他同学的方法, 灵活运用几何知识去解答问题。只要学生想用不同的方法去解决问题, 那么他们的分析问题、解决问题的能力也将大为提高。

梳理解答思路是指我们经过前面的学习, 知道了问题的解决方法之后还要对方案进行优化, 看哪种方案更好。因为有的方案可能是学生在瞎想瞎撞间偶然得到的, 就好比我们进了一间陌生的黑屋子, 胡乱摸索却将灯打开了。学生明确了解题思路后, 剩下的工作就是选择一种优化方案书写解题过程。

最后, 要注意培养学生良好的书写习惯。要求低年级学生学几何的时候便要开始养成。低年级的几何题目比较简单, 解题过程也不复杂。此时此刻, 老师在改作业时要特别注意学生的书写, 如果学生能写清楚, 以后再复杂的题目都可以分化成几个简单的步骤进行组合, 到高年级的时候也就不用担心学生的书写表达, 而侧重在对思维的培养。

通过几年的教学研究, 并结合师生的实践, 学生学习几何知识不再感到困难, 应用几何知识解决问题的能力大大提高, 学习数学的积极性日益高涨, 成绩也相应地提高得特别快。

参考文献

[1]闵卫国, 傅淳.教育心理学.昆明:云南人民出版社, 2004.

[2]皮发万, 陈善西.创新.重庆:重庆出版社, 2013.

初中数学几何推理与图形证明对策 第4篇

关键词：初中数学 几何推理 图形证明

几何是要求空间感与立体感相结合的学科，在几何的推理与图形证明过程中，既充满了挑战，又包含了很多乐趣。几何推理与图形证明是数学题目中相对有趣的内容，需要解题人保持清醒的头脑，能正确运用线条来解答题目。初中数学的几何推理与图形证明着力于立体空间，解题方法也以辅助线为主。因此，初中的数学几何一定要在空间教学中做足功夫，这样可以帮助学生更好地解决难题。

一、几何的重要推理过程

在解答几何图形习题时，推理是关键的一步。合理推理的有效方式是借助对比和归类，即在解题时找准点线的关系。分析图形中点线面之间的联系，要大胆地猜想图形中可能存在的关联性，哪些点之间可以连成线，也可从一点或一线入手，或在一面中做出线段，使其分成多面，以求证最后的关系。推理的过程需要仔细研究图形的不同特点，并运用其特点进行推算。在平时的推理中，我们应多看一些必要条件，如平行、相等、相似等字眼，也可以适当地运用“跳跃性”思维。跳跃性思维要求解题者在推理的时候不要用陈旧思维，可以把看似没有关系的线段和面結合在一起，这样往往会得到意想不到的结果。在运用跳跃性思维时也要注意各面和线的关系，只有在同一空间下的线和面才可连接，不可把两个或多个图形相连接。

二、巧用基本图形进行推理

（一）掌握简单图形

初做立体几何题时，学生会分不清几何与代数之间的差别，有时也会用错方式和方法，这时只要巧妙运用基本的几何图形，就能很快找到解题方法。基本的图形在解题中比较常见，通常会在题中出现证明相似、相等这样的字眼时用到。这就要求学生对基本图形有一定的了解，在复杂的图形中找出基本图形。复杂图形都是基本图形组成的，所以学生在做题时不用担心找不到解题方法，只要把基本的图形从复杂图形中挑出来，几何证明就会变得简单了。基本图形有很多种，有的只要稍稍变化就可以成为另一种图形，所以我们在运用基本图形时，可以多变化几种形式，如三角形可以有等腰三角形、等边三角形等，这样学生在进行几何推理时就更加方便了。

（二）图形简单化

由于几何推理是在图形中进行有规则的分析和解答。当图形比较复杂时，我们可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来，一步一步地进行解答，这样有利于学生的进一步思考。对于分离图形，我们可以根据已知条件来进行，这样的分离方式不会遗漏任何条件，并且能使学生对题目有更准确的分析和判断。图形分离的越简单，对学生解题就越有利，所以在分析图形时，积极拆分图形是很有必要的。

三、明确题目中各要素

在几何推理命题中，题目的各个给出条件都是很重要的，通过这些，我们可以知道哪些是已经知晓的，可以直接用来解题，哪些条件能够推出结论，特别是在复杂的命题面前，这些因素都要考虑。在解题中，找到各种条件是很重要的，把握条件和结论之间的逻辑关系也是解题的关键，如从已知条件推出什么样的结论，什么样的结论该由哪些条件推理得出，包括怎样推出。读题是解答几何图形的关键步骤，题中的一些关键字眼可以帮助我们完成几何推理的过程。因此，掌握好各要素，并加以分析，在几何解题中有着不可或缺的意义。

四、正确利用辅助线推理

（一）辅助线的重要作用

辅助线是几何推理中的重要的部分，辅助线可以分解图形，更有利于推理和分析。在分析如何绘制辅助线时，我们要仔细观察图形的特点，比如，三角形的辅助线多以某一顶点开始；而立方体的辅助线多是在空间中体现的，有时甚至是在不同面连接而成。

（二）合理的推理过程

初中数学几何更倾向的是考查学生的推理思维能力，单一的死记硬背不能应用于所有几何推理中，只有找到几何推理的窍门并加以运用，才能在每一种几何推理中取得成功。注重面与面之间的构成关系，以及线与线之间的连接关系是推理的重要步骤。在做好辅助线后，一定要标明各个线面的名称，为后续的推理做铺垫。在几何推理中，面面证明和线线证明是很重要的，我们要理清每一个面之间的合理关系及线与线的相辅关系。

运用辅助线是推理和解答几何题的重要一步。好的辅助线能让学生轻松地解答几何图形题，所以在几何解题中，我们要保持清醒的头脑，知道辅助线的运用及合适的位置，以便顺利完成几何题的推理过程。

参考文献：

[1]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈.数理化解题研究：初中版，2014（10）.

[2]沈定祥.浅谈基本图形在初中数学几何教学中的作用[J].学科科学，2014（104）.

初中几何证明与计算专题复习 第5篇

第十五讲 期末复习专题二（几何证明）

【例1】正方形ABCD中，M为AB的任意点，MNDM，BN平分∠CBF，求证：MD=NM

_

_

M

【例2】若以三角形ABC的边AB、BC为边向三角形外作正方形ABDE、BCFG，N为AC中点，求证：DG=2BN，BMDG。

_A_N_C 【例3】如图，梯形ABCD中，AB//CD，以AD，AC为邻边作平行四边形ACED，DC延长线交BE于F，求证点F是BE的中点。

【例4】如图，四边形ABCD中，AB=CD，E、F是AD、BC中点，GH⊥EF交AB、CD于点G、H，求证：∠AGH=∠DHG。

AED

H

CGBF

【例5】正方形ABCD中，E为CD中点，F为CE上一点，且AF=BC+FC，求证：∠BAF=2∠DAE

【例6】点E是正方形ABCD对角线AC上一点，连接BE，过E作FG⊥BE交直线CD于F，交DA的延长线于G，∠DGF的角平分线交CD于P，交BE所在的直线于H，（1）求证：BE=EF；

（2）试确定线段AG、PC、HE间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点E是CA延长线上一点，其他条件不变，（1）中的数量关系是否发生变化？

【例7】如图，一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动，并使得一条

直角边始终经过B点.PB

（1）如图1，当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点，PQ＝； PB

（2）如图2，当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时，PQ＝；

（3）如图3或图4，当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时，请你在图3或图4中任选一种情形，PB

求

PQ的值，并说明理由

.y

【例8】已知：在直角坐标系中，点A（-1，0）、点B（3，0）。点C在函数CA=CB。

（1）求点C的坐标；

（2）点M在y轴负半轴上，且M（

x（x>0）的图象上，且

3，0），求证：MC平分∠AMB；

（3）在∠CAB内任作射线AH，作BD⊥AH于D，连CD，则下列结论：①

ADBDCD的值不变；

②

AD

BDCD

【课后练习】

1、在正方形ABCD的CD边上取一点G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF，求证：DEBG，DE=BG。

_ B_C_ E2、正方形ABCD中，点P与B、C的连线和BC的夹角为15求证：PA=PD=AD。

3、如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF．

（1）FG与DC的位置关系是，FG与DC的数量关系是

（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．

_ A

_ B4、任意△ABC中，以AB,BC为边向外作正方形ABDE,BCFG，连接DG

。（1）证明

（2）Q是AC中点，延长QB交DG于P，证明BP⊥GD，且DG=2BQ

（3）过B作AC的垂线，垂足为N，延长NB

交DG于点M，且AC=2BM,求证：M是DG中点（4）过E作ES⊥AC于

S，过F作FT⊥AC于T，证明ES+FT=AC（5）Q为AC中点，则Q为ST中点

（6）连EF取中点K，连接KQ，试判断△ACK的形状（7）连接DC，AG，求证GA=DC5、（1）如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG>BC），取线段AE的中点M，探索：线段MD、MF的关系，并加以证明。

（2）把正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其余条件不变，探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

6、以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，M是BC中点，连接AM和DE.（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°时，AM与ED数量的关系是，AM与ED的位置关系是；

（2）如图2，△ABC为一般三角形时线段AM与ED的关系是，试证明你的结论；

（3）如图3，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰Rt△ABD和Rt△ACE，其他条件不变，试探究线段AM与DE之间的关系？

7、在ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，（1）在图1中，求证：CE=CF；

初中数学复习圆中计算与证明 第6篇

1．如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动．以OP为半径的⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的（）

A.外离．

B.相交．

C.外切．

D.内含．

2．⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是

（）

Ａ

Ｏ

Ｂ

A．

相交

B．

相切

C．

相离

D．

无法确定

3.如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积等于

A．

B．

C．

D．

4.如图，△ABC内接于⊙O，∠C

=45°，AB=2，则⊙O的半径为

A．1

B．

C．2

D．

5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是

cm．

6．已知：如图，在△ABC中，AB

=

AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E．

（1）求证：AD是圆O的切线；

A

B

C

D

P

E

．

O

（2）若PC是圆O的切线，BC

=

8，求DE的长．

7．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若⊙O的半径等于4，求CD的长.8．如图，⊙O的直径=6cm，点是延长线上的动点，过点作⊙O的切线，切点为，连结．若的平分线交于点，你认为∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数．

A

O

B

P

C

9.已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC

于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交

AB的延长线于点D.（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O

半径的长；

（3）在（2）的条件下，当OE＝3时，求图中阴影

部分的面积.10．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.【参考答案】

D

A

C

B

6.（1）证明：∵AB

=

AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BD．

又∵BD是圆O直径，∴AD是圆O的切线．……2分

（2）解：连结OP，由BC

=

8，得CD

=

4，OC

=

6，OP

=

2．∵PC是圆O的切线，O为圆心，∴．

由勾股定理，得．

在△OPC中，在△DEC中，7.解：（1）直线BD与⊙O相切．

证明：如图3，连结OB．-

1分

图3

∵

∠OCB=∠CBD

+∠D，∠1=∠D，∴

∠2=∠CBD．

∵

AB∥OC，∴

∠2=∠A

．

∴

∠A=∠CBD．

∵

OB=OC，∴，∵，∴

．

∴

．

∴

∠OBD=90°．-

--

-2分

∴

直线BD与⊙O相切．

3分

（2）解：∵

∠D=∠ACB，∴

．-

4分

在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB

=

4，∴，．

∴

．-

5分

8.解：∠的大小不发生变化．

…………………………………

1分

M

P

C

B

A

O

·

连结，PC是⊙O的切线，∴∠OCP=Rt∠．

∵PM是∠CPA的平分线，∴∠APC=2∠APM．

∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A．

在Rt△OCP中，∠OCP=90°，∴∠COP+∠OPC=90°，∴2∠A+2∠APM=90°，∴∠CMP=∠A+∠APM=45°．

……………………………………

4分

即∠的大小不发生变化．

9.证明：（1）连接OC（如图①），∵OA＝OC，∴∠1＝∠A.∵OE⊥AC，∴∠A＋∠AOE＝90°.∴∠1＋∠AOE＝90°.又∠FCA＝∠AOE，图①

∴∠1＋∠FCA＝90°.即∠OCF＝90°.∴FD是⊙O的切线.……………………………………………………2分

（2）连接BC（如图②），∵OE⊥AC，∴AE＝EC.又AO＝OB，∴OE∥BC且.……………3分

∴△OEG∽△CBG.图②

∴.∵OG＝2，∴CG＝4.∴OC＝6.………………………………………………………………5分

即⊙O半径是6.（3）∵OE＝3，由（2）知BC＝2OE＝6.∵OB＝OC＝6，∴△OBC是等边三角形.∴∠COB＝60°.………6分

在Rt△OCD中，.∴

.………………………………………………7分

10．（1）证明:

如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.∴

∠EAB+∠E=90°.……………………1分

∵

∠E

=∠C,∠C=∠BAD，∴

∠EAB+∠BAD

=90°.∴

AD是⊙O的切线.……………………2分

（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.∵

AE=2AO=6,AB=4,∴

.…………………………………………………3分

∵

∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,∴

…………………………………………………4分

∴

∴

.…………………………………………………5分

第二组

1．如果两圆半径分别为3和4，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是

A．相交

B．内切

C．外离

D．外切

2．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数是（）

A．25°

B．50°

C．100°

D．150°

3．若两圆的半径分别是2cm和5cm，圆心距为3cm，则这两圆的位置关系是

A．外离

B．相交

C．外切

D．内切

4．如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠C为20°，则∠AOB的度数为__________°．

5．如图，小正方形方格的边长为1cm，则的长为___________cm．

6．已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．

（1）求证:AC是⊙O的切线；

（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9，CA=12.求的值.7．已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC

=∠A.（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.8．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．

9．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，DC的延长线与AB的延长线交于点P

.（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AE=5，BE=6，求DC的长.10.已知：如图，⊙O的直径=8cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接．

(1)

若，求阴影部分的面积；

(2)若点在的延长线上运动，的平分线交于点，∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数．

【参考答案】

A

B

D

6.解：（1）联结OD

∵DE⊥DB，∴∠BDE=90°

∴BE是⊙O的直径

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB

∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CBD=∠ODB，∴BC∥OD

∵，∴BC⊥AC，∴OD⊥AC

-------------------1分

∵OD是⊙O的半径

∴AC是⊙O的切线

-------------------2分

（2）设⊙O的半径为r，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12

∴

-------------------3分

∵BC∥OD，∴△ADO∽△ACB．

∴．∴．

∴．∴

-------------------4分

又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC

∴．

-------------------5分

7．（1）证明：

∵

AB是⊙O的直径，∴

∠ADB=90°．…………………………

1分

∴

∠ABD

+∠A=90°．

又∵∠DBC=∠A．

∴

∠ABD+∠DBC=90°．

∴

∠ABC=90°．

∴BC是⊙O的切线．

………………………2分

（2）解：

∵

OC∥AD，∠ADB=90°，∴

OE

⊥BD，∠OED

=∠ADB=

∠BEC=90°．

∴

BE=BD

=3．

………………………4分

又∵∠DBC

=∠A，∴

△CBE∽△BAD．

∴，即．

∴AD

=．

……………………………5分

8．解：（1）直线CE与⊙O相切．

证明：如图，连结

OD．

∵AD平分∠FAE，∴∠CAD=∠DAE．

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAE．

∴∠CAD=∠ODA．

∴OD∥AC．

∵EC⊥AC，∴OD⊥EC．

∴CE是⊙O的切线．　…………………………………2分

（2）如图，连结BF．

∵

AB是⊙O的直径，∴

∠AFB=90°．

∵∠C=90°，∴∠AFB=∠C．

∴BF∥EC．

∴AF∶AC=

AB∶AE．

∵

AF∶FC=5∶3，AE=16，∴5∶8=AB∶16．

∴AB=

10．……………………………………………5分

9、（1）证明：连结OC

…………………1分

∵PD⊥AE于D

∴∠DCE＋∠E=900

∵

AB=AE,OB=OC

∴∠CBA=∠E=∠BCO

又∵∠DCE=∠PCB

∴∠BCO＋∠PCB=900

∴PD是⊙O的切线

……………2分

（2）解：连结AC

………………3分

∵

AB=AE=5

AB是⊙O的直径

BE=6

∴

AC⊥BE且EC=BC=3

∴

AC=4

又

∵

∠CBA=∠E

∠EDC=∠ACB=90°

∴△

EDC∽△BCA

………………4分

∴=

即=

∴

DC=

…………………5分

10.解：(1)

联结OC.∵

PC为⊙O的切线,∴

PC⊥OC

.∴

∠PCO=90°.----------------------------------------------------------------------1分

∵

∠ACP=120°

∴

∠ACO=30°

∵

OC=OA,∴

∠A=∠ACO=30°.∴

∠BOC=60°--------------------------------------------------------------------------2分

∵

OC=4

∴

∴

-------------------------------------------3分

(2)

∠CMP的大小不变，∠CMP=45°

--------------------------------------------------4分

由（1）知

∠BOC+∠OPC=90°

∵

PM平分∠APC

∴

∠APM=∠APC

∵

∠A=∠BOC

∴

∠PMC=∠A+∠APM=(∠BOC+∠OPC)=

45°---------------------------5分

第三组

1．如图，已知扇形，的半径之间的关系是，则的长是长的Ａ．倍

Ｂ．

倍

Ｃ．2倍

Ｄ．倍

2.如图，在边长为1的等边三角形ABC中，若将两条含圆心角的、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC

面积的比等于

A.B.C.D.3．如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是

（）

A.B.C.D.4．若两圆的半径分别为和3，圆心距为1，则这两圆的位置关系是

A．内含

B．内切

C．相交

D．外切

5．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．若∠BED=30°，⊙O的半径为4，则弦AB的长是

A．4

B．

C．2

D．

6．已知，O的半径为3cm，O的切线长AB为6cm，B为切点.则点A到圆上的最短距离是

cm，最长距离是

cm.7.如图，是⊙O的直径，⊙O交的中点

于，E是垂足.（1）求证：是⊙O的切线；

（2）如果AB=5,tan∠B=,求CE的长.8．已知：如图，点是⊙上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，求弦的长．

9．如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交

于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．

10．如图，四边形ABCD内接于，BD是的直径，于E，DA平分.（1）求证：AE是的切线；

（2）若

【参考答案】B

B

A

B

B,.7．(1)

证明：

连接，∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵OA=OB，∴OD∥AC.………………………………….1分

又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线……………………………..2分

(2)

解：连接AD,∵是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中，tan∠B=,AB=5,∴设AD=x,则BD=2x,由勾股定理，得

x2+(2x)2

=25，x

=

∴=2………………………………………………….……………………..3分

∵AD⊥BC,BD=CD,∴AB=AC,∴∠B=∠C.∴Rt△ADB∽Rt△DEC

…………………………………………………………………..4分

∴

∴CE

=

.…………………………………………………………………………………..5分

8.（1）证明：如图，联结．

…………………………………1分

∵，∴

．

∴

是等边三角形．

∴，．

∴

．

∴

．

…………………………………2分

所以，是⊙的切线．

…………………………………3分

（2）解：作于点．

∵，∴

．

又，所以在中，．

在中，∵，∴

．

由勾股定理，可求．

所以，．

…………………………………5分

9．（1）证明：联结BO，……………………………1分

方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，∵AB＝AO，∴∠ABO＝∠AOB，………………2分

又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．

3分

方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝60°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°，…………………2分

∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．

……………………………………………………3分

方法三：∵

AB＝AD＝AO，∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上

…………2分

∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．

……………………………………………………3分

（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF，……………………

4分

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，又∵CF=9，∴EF=6．…………………5分

10.（1）

简单几何的证明与计算 第7篇

A组题：

1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：AB＝DF；

（2）若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．

2、如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路.现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；21.4141.732）.3、如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD，等边ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．

⑴试说明AC＝EF；

⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．

B组题：

1、如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并

延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE.（1）求证：AE是⊙O的直径；

（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长为4，求阴影部分面

积之和.(保留与根号)

图1图

22、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

3、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．

(1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由;

(2)当AB=4时，求此梯形的面积．

C组题：

1、如图，已知抛物线y=x24x3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．

(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；

(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；

(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明

理由．

2、如图，抛物线yx2bxc的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C

（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

初中数学几何推理与图形证明对策 第8篇

一、几何的重要推理过程

在解答几何图形习题时, 推理是关键的一步。合理推理的有效方式是借助对比和归类, 即在解题时找准点线的关系。分析图形中点线面之间的联系, 要大胆地猜想图形中可能存在的关联性, 哪些点之间可以连成线, 也可从一点或一线入手, 或在一面中做出线段, 使其分成多面, 以求证最后的关系。推理的过程需要仔细研究图形的不同特点, 并运用其特点进行推算。在平时的推理中, 我们应多看一些必要条件, 如平行、相等、相似等字眼, 也可以适当地运用“跳跃性”思维。跳跃性思维要求解题者在推理的时候不要用陈旧思维, 可以把看似没有关系的线段和面结合在一起, 这样往往会得到意想不到的结果。在运用跳跃性思维时也要注意各面和线的关系, 只有在同一空间下的线和面才可连接, 不可把两个或多个图形相连接。

二、巧用基本图形进行推理

(一) 掌握简单图形

初做立体几何题时, 学生会分不清几何与代数之间的差别, 有时也会用错方式和方法, 这时只要巧妙运用基本的几何图形, 就能很快找到解题方法。基本的图形在解题中比较常见, 通常会在题中出现证明相似、相等这样的字眼时用到。这就要求学生对基本图形有一定的了解, 在复杂的图形中找出基本图形。复杂图形都是基本图形组成的, 所以学生在做题时不用担心找不到解题方法, 只要把基本的图形从复杂图形中挑出来, 几何证明就会变得简单了。基本图形有很多种, 有的只要稍稍变化就可以成为另一种图形, 所以我们在运用基本图形时, 可以多变化几种形式, 如三角形可以有等腰三角形、等边三角形等, 这样学生在进行几何推理时就更加方便了。

(二) 图形简单化

由于几何推理是在图形中进行有规则的分析和解答。当图形比较复杂时, 我们可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来, 一步一步地进行解答, 这样有利于学生的进一步思考。对于分离图形, 我们可以根据已知条件来进行, 这样的分离方式不会遗漏任何条件, 并且能使学生对题目有更准确的分析和判断。图形分离的越简单, 对学生解题就越有利, 所以在分析图形时, 积极拆分图形是很有必要的。

三、明确题目中各要素

在几何推理命题中, 题目的各个给出条件都是很重要的, 通过这些, 我们可以知道哪些是已经知晓的, 可以直接用来解题, 哪些条件能够推出结论, 特别是在复杂的命题面前, 这些因素都要考虑。在解题中, 找到各种条件是很重要的, 把握条件和结论之间的逻辑关系也是解题的关键, 如从已知条件推出什么样的结论, 什么样的结论该由哪些条件推理得出, 包括怎样推出。读题是解答几何图形的关键步骤, 题中的一些关键字眼可以帮助我们完成几何推理的过程。因此, 掌握好各要素, 并加以分析, 在几何解题中有着不可或缺的意义。

四、正确利用辅助线推理

(一) 辅助线的重要作用

辅助线是几何推理中的重要的部分, 辅助线可以分解图形, 更有利于推理和分析。在分析如何绘制辅助线时, 我们要仔细观察图形的特点, 比如, 三角形的辅助线多以某一顶点开始;而立方体的辅助线多是在空间中体现的, 有时甚至是在不同面连接而成。

(二) 合理的推理过程

初中数学几何更倾向的是考查学生的推理思维能力, 单一的死记硬背不能应用于所有几何推理中, 只有找到几何推理的窍门并加以运用, 才能在每一种几何推理中取得成功。注重面与面之间的构成关系, 以及线与线之间的连接关系是推理的重要步骤。在做好辅助线后, 一定要标明各个线面的名称, 为后续的推理做铺垫。在几何推理中, 面面证明和线线证明是很重要的, 我们要理清每一个面之间的合理关系及线与线的相辅关系。

运用辅助线是推理和解答几何题的重要一步。好的辅助线能让学生轻松地解答几何图形题, 所以在几何解题中, 我们要保持清醒的头脑, 知道辅助线的运用及合适的位置, 以便顺利完成几何题的推理过程。

摘要：初中数学中的几何推理与图形证明有很多的技巧和规律, 本文从几何的重要推理过程、基本图形的利用、题目要素的分析与辅助线的应用四个方面入手, 分析了其在几何推理与图形证明过程中的作用, 以期为初中数学几何推理与图形证明提供良好的对策。

关键词：初中数学,几何推理,图形证明

参考文献

[1]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈.数理化解题研究:初中版, 2014 (10) .

[2]沈定祥.浅谈基本图形在初中数学几何教学中的作用[J].学科科学, 2014 (104) .

初中几何证明与计算专题复习 第9篇

【关键词】初中数学 几何推理 图形证明 方法

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）34-0233-01

一、初中数学几何推理与图形证明教学中的缺陷

现阶段，我国的初中数学教学过程中，几何推理与图形证明是难点和重点内容之一。学生在对这部分知识进行学习的过程中，需要具备较强的抽象性思维和空间想象力。然而，现阶段我国部分初中数学教师在教学过程中，仍然沿用传统的教学模式，即在详细讲解课程重点理论知识的基础上，通过大量的习题，引导学生内化知识内容。这种教学模式在应用过程中，教师是课堂主体，学生作为客体，只能够对理论知识进行死记硬背，然而较强的理论性和逻辑性知识，不仅导致学生在记忆过程中难度较大，同时学习兴趣大大下降，在长时间的知识学习过程中，很容易产生对各种理论的混淆，学生的几何推理思维和图形证明能力无法得到有效培养。由此可见，传统以教师为主的教学模式不利于提升初中数学教学质量，新时期，教师必须从以下两方面入手，切实提升学生的解题能力，才能够为培养学生的數学素养奠定良好的基础。

二、抓住题干要素正确解题

初中数学几何推理与图形证明教学中，教师应将各种类型的例题引入课堂，帮助学生对知识点进行消化和理解才能够提升教学效率和质量。在例题的讲解中，首要任务就是培养学生正确的“读题”能力。事实上，题干看起来短小，但是其中包含了大量的关键要素，是解题和证明的关键，在读题中，教师应引导学生拆解题干，将其中的重要要素提取出来，并挖掘隐含的条件，从而为构建清晰的解题思路奠定良好的基础。如果题设相对复杂，学生更应当具备抽丝剥茧的能力，将题设中的各个要素提取出来，在对各个要素进行排列的过程中，应结合图形进行，并将这些要素应用于证明问题的过程当中。读题的能力需要教师在教学过程中长期对学生进行引导，才能够促使学生在解题的过程中，不受其他因素的干扰，做出正确的判断，并提升解题速度。

三、几何推理与图形证明教学中引入定理和重要概念

在几何推理中，根本性因素是定理，在对定理进行推广的过程中，可以演变出更多的几何推理与图形证明知识。在这种情况下，教师在实际教学过程中，应积极引进各种定理和概念。同时，较高的概括性是定理的主要特点，如果一味的要求学生进行死记硬背，不仅不利于提升学习效率和质量，甚至还很容易打击学生的学习积极性，因此定理和相关概念的引入，必须注重应用科学的方法。在反复应用相关定理的基础上，多数几何推理题都能够迎刃而解。

例如，在以下例题中，教师就可以适当的引入定理，帮助学生对理论知识进行掌握和深入理解的同时，提升学生实际解题的能力。“已知三角形ABC如图一所示，边BC的中点为D，连接AD，E为AD上任意一点，并连接、延长BE，F是AC与BE的交点，此时AC=BE，那么证明EF=AF。”单纯的解读题干可以发现，题目内容相对复杂，然而，在对题干进行深入挖掘的过程中学生就能够意识到，该题干描述的是等腰三角形，而所涉及的定理是“等边对等角”。在这种情况下，学生通过对“中点”、“三角形”等基础知识的联想，就会意识到需要对HG和DG等辅助线进行构建，接下来，在进行角与角之间的转换过程中，需要对平行线段性质以及等腰三角形相关性质进行应用，最后在完成证明的过程中，对“等角对等边”的理论进行应用。

在这种情况下，实际证明过程如下：连接EC，G为EC中点，H为AE中点，接下来，分别对HG和DG进行连接，那么可知DG=GH。因此角1和角2相等，由于角2、角3、角5是相等的，而角1同角4是相等的，那么则说明角4同角5相等，因此可以得到AF=EF。

由该例题可以看出，在实际的几何推理与图形证明教学中，要求学生能够对各种定理进行充分的了解，并提升学生灵活应用定理的能力，才能够顺利解答任何题型。

结束语：

初中几何证明与计算专题复习 第10篇

1、如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．

(1)求证：△CEB≌△ADC；(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长． E2、如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC=∠AEB．

（1）求证：△ADF∽△CAE；

（2）当AD=8，DC=6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积？

C A3、如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．

（1）求证：△ABD∽△CED．

（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

4、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AD平分∠CAB交于点D,过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于G,AE·5.（1）求证:CE=EF；（2）求AC的长.F

F

G

B5、已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,EC与AD相交于点F.（1）求证:△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.6、如图1，在Rt△ABC中，BAC90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．

（1）求证：△ABF∽△COE；

OFAC

（2）当O为AC边中点，的值； 2时，如图2，求

OEAB

OFAC

（3）当O为AC边中点，的值． n时，请直接写出

OEAB

B

A

O 图

1C

O 图

2B

F

C

C7、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3.请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k= 1时，是；②当k= 2时，是；③当k= 3时，是.并证明．．．k= 2时的结论.8、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．

O P

C D

（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

初中几何证明与计算专题复习 第11篇

一、考点，热点分析：

(1)了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系．了解四边形的不稳定性；

(2)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）．了解中心对称图形及其基本性质；

(3)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；

(4)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论

5．进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。

6.了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。

7.经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。

8.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明）。

二、知识点归纳：

三角形的概念及表示

三角形的基本要素及基本性质三边的关系,三内角的关系三角形的高,中线,角平分线三角形

三角形全等的表示及特征

三角形的全等探索三角形全等的条件三角形全等的应用

三、【例题经典】

三角形内角和定理的证明

例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．

点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，•同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．

探索三角形全等的条件

例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出

下列结论：

①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．

其中正确的结论是_________．

解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF

可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC． ∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．

依此类推得①、②、③

点评：注意已知条件与隐含条件相结合．

全等三角形的应用

例3．（2006年重庆市）如图所示，A、D、F、B在同一直线

上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．

求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．

【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD

．（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF

∥CD．

【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．

利用平行四边形的性质求面积

例4．（2006年河南省）如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF=SABCD．

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．

∵E是DC的中点，∴DE=CE．

∴△AED≌△FEC．

∴S△AED =S△FEC．

∴S△ABF =S四边形ABCE+S△CEF =S四边形ABCE+S△AED =SABCD

会根据条件选择适当方法判定平行四边形

例5．（2005年山东省）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F•是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）

A．OE=OFB．DE=BFC．∠ADE=∠CBFD．∠ABE=∠CDF

【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为

平行四边形”．

能利用平行四边形的性质进行计算

例6．（2005年西宁市）如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB•的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______

．

【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出

AO+BO=9，•再求得AC+BD=18．

四、【考点精练】

（一）、基础训练

1．如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______．

（1）（2）（3）

2．如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D•点到直线AB的距离是_______cm．

3．如图3，AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=•76•°，则∠DAF=______度．

4．（2006年烟台市）如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为______．

（4）（5）（6）

．如图

5，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD•交于点O，•且AO•平分∠BAC，那么图中全等三角形共有________对．

6．（2006年河南省）如图6，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E•是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________．

7．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cm

C．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm

8．（2006年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，•则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）

A．2对B．3对C．4对D．6对

（7）（8）（9）

9．（2006年德阳市）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．•要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）

A．10，25B．10，36或12，36

C．12，36D．10，25或12，36

10．（2005年黄冈市）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=

12S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P

旋转时（点E•不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（）

A．①④B．①②C．①②③D．①②③④

11．如图1，该多边形的内角和为_______度．

(1)(2)(3)

12．如图2，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：__________，使四边形AECF是平行四边形．

13．（2006年长沙市）如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是__________（添加一个条件即可）．

14．（2006年扬州市）ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（）

A．ABCD是中心对称图形B．△AOB≌△COD

C．△AOD≌△BOCD．△AOB与△BOC的面积相等

15．（2005年天津市）如图4，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）

A．7个B．8个C．9个D．11个

16．（2006年广东省）如图5所示，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是（）

A．AC⊥BDB．OA=OCC．AC=BDD．AO=OD

(4)(5)(6)

17．（2006年淄博市）如图6，在△MBN中，BM=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN•上，•四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，则ABCD的周长是（）

A．24B．18C．16D．1

218．（2006年怀化市）如图7，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，若用剪刀沿AD剪开，•则最多能拼出不同形状的四边形个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

19．如图8，ABCD中，点E、F分别是AD、AB的中点，EF交AC于点G，那么AG：GC的值为（•）

A．1：2B．1：3C．1：4D．2：

(7)(8)(9)

20．（2006年南通市）如图9，ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（）

A．6mB．12cmC．4cmD．8cm

（二）、能力提升

21．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，•使图中存在全等三角．．

形，并给予证明．所添条件为________．你得到的一对全等三角形是△_______≌△_____．

22．已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，•在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．

（1）求证：△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

23．（2005年大连市）如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C，求证：AE=CF．（说明：证明过程中要写出每步的证明依据）．

24．（2006年内江市）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：

①AB=AC②AD=AE③∠1=∠2④BD=CE．

请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（•

要求写出已知，求证及证明过程）

25．如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．

26．（2006年德阳市）如图，已知点M、N分别是ABCD的边AB、DC的中点，•求证：•∠DAN=∠BCM．

27．（2006年临安市）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD•的对角线AC•上的两点，AE=CF．

求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．

28．如图，DB∥AC，且DB=

12AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．

（三）、应用与探究

29．（2006年浙江省）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC

相交于O点，∠1=∠2，•请你添加一个条件（不再添加其

它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明．

你添加的条件是：__________．

30．（2006年江阴市）已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上．

（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．

（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．

答案：

考点精练

1．95°2．33．20°4．60°5．4对6

7．B8．B9．D10．C

11．答案不唯一，比如：∠A=∠B，△PAC≌△PBD

12．（1）证略（2）连接AF，•则△AEF是等边三角形．证略

13．∵AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C，∴△ABE≌△CDF（ASA）•，•

∴AE=CF（全等三角形对应边相等）

14．①②③为题设④为结论，证略

15．∠C=∠D，证略．

例题经典

例2．B

考点精练

1．9002．答案不唯一，如BE=DF等3．答案不唯一，如AB=CD等•

4．D5．C6．C7．D8．D9．B10．D

11．证△ABE≌△CDF（SAS），即可得到BE=•DF

12．证△BCM≌△DAN（SAS），即可得∠DAN=∠BCM

13．（1）根据（•SAS）•证△ADF•≌△CBE

（2）连接BF、DE、DB，•根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．

证四边形BEDF是平行四边形即可

14．证四边形BCED是平行四边形即可