数学一轮复习数列求和

数学一轮复习数列求和（精选7篇）

数学一轮复习数列求和 第1篇

第5课时等比数列求和公式

一、[要点梳理]：

1、等比数列的前n项和公式：

2、等比数列的前n项和的性质

二、基础练习：

1、等比数列an中，已知a14,q

1则s10=__________________；

2、等比数列

an

中，已知a11,ka24q3则,Sk=___________________；

3、设等比数列{an}的前n项和为sn，若sm=10，s2m=30，则

s3m=_________________；

4、设等比数列{aS6S9

n}的前n项和为SnS＝3，则＝________；

3S65、等比数列an共有偶数项，且所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为45，则公比

q

三、典型例题：

例

1、等比数列{an}的前n项和为sn，已知a1an66，a2an1128，sn126，求n和公比q的值。

变式1：等比数列an的公比q1，前n项和为Sn，已知a32,S45S2，求an的通项公式。

变式2：等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则｛an｝的公比为。

例

2、设数列an前n项和为Sn

naqb(a,b为非零实数，q0,q1)。（1）a,b满足什么关系时，an是等比数列；

（2）若an是等比数列，证明：(an,Sn)为坐标的点都落在同一条直线上。

变式：设数列an前n项和为Snn2an2.（1）求a3,a4；（2）证明：an12an是等比数列；

（3）求an的通项公式。3

例

3、已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a11,a2b12，bn2bn1，（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列cnanbn的前n项和为Tn，求Tn。

变式：求和：sn12x3x2nxn

1四、巩固练习：

1、已知x≠0，则1+x+x2+…+xn。

2、设Sn是等差数列an的前n项和，S636,Sn324,Sn6144(n6)，则n=_______。

3、设等比数列{an}的前n项和为sn，s41,s817,则an=______________。

4、在等比数列{an}中，已知sn48，s2n60，则

s3n=_________________。

5、如果数列的前n项和sn

an1，求数列an的通向公式。

数学一轮复习数列求和 第2篇

一、知识梳理

数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列

通项公式，即anan的第n,那么这个公式叫做这个数列的，且任何一项an与它的前一项an1（或前几an的第一项（或前几项）f(n).3.递推公式：如果已知数列

f(an1)或anf(an1,an2)，那么这个式子叫做数

列an的递推公式.如数列an中，a11,an2an1，其中an2an1是数列an的递推项）间的关系可以用一个式子来表示，即an公式.4.数列的前n项和与通项的公式

S1(n1)①Sna1a2an；②an.SS(n2)n1n5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有an

1②递减数列:对于任何nN,均有an1

③摆动数列:例如: 1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,„„.⑤有界数列:存在正数M使an.an.anM,nN.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得anM.等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式ana1(n1)d，a1为首项，d

为公差.⑵前n项和公式Sn

3.等差中项 n(a1an)1或Snna1n(n1)d.2

2A叫做a与b的等差中项.如果a,A,b成等差数列，那么

即：A是a与b的等差中项2Aaba，A，b成等差数列.4.等差数列的判定方法

⑴定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列；

⑵中项法：2an1

⑴数列anan2(nN)an是等差数列.5.等差数列的常用性质 an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k,为等差数列，公差为kd.⑶anam(nm)d；ananb(a,b是常数)；Snan2bn(a,b是常数，a0)⑷若mn

pq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

1⑸若等差数列

Sn

an的前n项和Sn，则是等差数列；

n；

S偶an1

⑹当项数为2n(nN)，则S偶S奇nd,

S奇an

当项数为2n1(nN)，则S奇

S偶an,S偶n1

.

S奇n

等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q列，常数q称为等比数列的公比.0)，这个数列叫做等比数

2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式：an

a1qn1，a1为首项，q为公比.1时，Snna1

⑵前n项和公式：①当q

a1(1qn)a1anq

②当q1时，Sn.

1q1q

3.等比中项

如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项a，4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：

A，b成等差数列G2ab.an1

q（nN，q0是常数）an是等比数列； an

⑵中项法：an1⑴数列

anan2(nN)且an0an是等比数列.5.等比数列的常用性质

an是等比数列，则数列pan、pan（q0是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,ank,an2k,an3k,为等

比数列，公比为q.k

amqnm(n,mN)

⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

⑶an

⑸若等比数列

an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.二、典型例题

A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）

1）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n；

2、等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．

3、设an是公比为正数的等比数列，若a11,a516，求数列an前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100，则S11

2、设Sn、Tn分别是等差数列an、an的前n项和，3、设Sn是等差数列an的前n项和，若

Sn7n2a，则5.

Tnn3b

5a55S

,则9（）a39S5

Sa2n4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n,则n=（）

Tn3n1bn5、已知Sn为等差数列an的前n项和，Snm,Smn(nm)，则Smn

6、在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a725，则a3a5_______。

7、已知数列an是等差数列，若

a4a7a1017,a4a5a6a12a13a1477且ak13,则k_________。

8、已知Sn为等比数列an前n项和，Sn54，S2n60，则S3n.9、在等差数列an中，若S41,S84，则a17a18a19a20的值为（）

10、在等比数列中，已知a9a10a(a0)，a19a20b，则a99a100.11、已知an为等差数列，a158,a6020，则a75

12、等差数列an中，已知

SS

41,求8.S83S16

B、求数列通项公式

1）给出前几项，求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15, 21,,3，-33,333，-3333,33333„„

2）给出前n项和求通项公式

1、⑴Sn2n23n；⑵Sn3n1.2、设数列an满足a13a23a3…+3an

n-

1n

(nN*)，求数列an的通项公式

33）给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式an1anf(n)，可利用迭加法或迭代法；

an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a

1例：已知数列an中，a12,anan12n1(n2)，求数列an的通项公式；

aaaaa

b、已知关系式an1anf(n)，可利用迭乘法.annn1n232a

1an1an2an3a2a1

an1

例、已知数列an满足：n(n2),a12，求求数列an的通项公式；

an1n

1c、构造新数列

1°递推关系形如“an1panq”，利用待定系数法求解

2°递推关系形如“，两边同除pn1或待定系数法求解

n，求数列an的通项公式.a1,a2a31n1n例、例、已知数列an中，a11,an12an3，求数列an的通项公式.3°递推已知数列an中，关系形如“an2pan1qan”，利用待定系数法求解 例、已知数列an中，a11,a22,an23an12an，求数列an的通项公式.4°递推关系形如"anpan1qanan（1p,q0),两边同除以anan1 例

2、数列an中，a12,an1

d、给出关于Sn和am的关系

例

1、设数列an的前n项和为Sn，已知a1a,an1Sn3n(nN)，设bnSn3n，求数列bn的通项公式．

2例

2、设Sn是数列an的前n项和，a11，SnanSn

例

1、已知数列an中，anan12anan（an的通项公式.1n2),a12，求数列

2an

(nN)，求数列an的通项公式.4an

⑴求an的通项； ⑵设bn



1

(n2).2

Sn，求数列bn的前n项和Tn.2n

1C、证明数列是等差或等比数列

1)证明数列等差

Sn

(nN).求证：数列bn是等差数列.n

例

2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.例

1、已知Sn为等差数列an的前n项和，bn

}是等差数列； Sn

2）证明数列等比

求证：{

1

例

1、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；

2

例

2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；

例

3、已知Sn为数列an的前n项和，a11，Sn4an2.⑴设数列bn中，bnan12an，求证：bn是等比数列； ⑵设数列cn中，cn

an

an，求证：cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前2n

n

例

4、设Sn为数列an的前n项和，已知ban2b1Sn

n

1⑴证明：当b2时，ann2是等比数列；

n项和.

⑵求an的通项公式

例

5、已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).⑴证明：数列an1an是等比数列； ⑵求数列an的通项公式； ⑶若数列bn满足4b114b21...4n

b

1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列.D、求数列的前n项和

基本方法： 1）公式法，2）拆解求和法.例

1、求数列{22n3}的前n项和Sn.n

23，，(n例

2、求数列1，1214181)，的前n项和Sn.n

2例

3、求和：2×5+3×6+4×7+„+n（n+3）

2）裂项相消法，数列的常见拆项有：

1()；

n(nk)knnk

1nn1

n1n；

111 12123123n1111

例

2、求和：.2124n1n

例

1、求和：S=1+

3）倒序相加法，x

2例、设f(x)，求：

21x⑴f()f()f()f(2)f(3)f(4)；

⑵f()f()f()f(2010).)f()f(2)f(2009

4）错位相减法，例、若数列an的通项an(2n1)3n，求此数列的前n项和Sn.5）对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n，求数列{|an|}的前n项和Tn.E、数列单调性最值问题

例

1、数列an中，an2n49，当数列an的前n项和Sn取得最小值时，n例

2、已知Sn为等差数列an的前n项和，a125,a416.当n为何值时，Sn取得最大值；

例

3、数列an中，an3n228n1，求an取最小值时n的值.例

4、数列an中，annn2，求数列an的最大项和最小项.*

例

5、设数列an的前n项和为Sn．已知a1a，an1Sn3n，nN．

（Ⅰ）设bnSn3n，求数列bn的通项公式；

（Ⅱ）若an1≥an，nN，求a的取值范围．

例

6、已知Sn为数列an的前n项和，a13，SnSn12an(n2).*

⑴求数列an的通项公式；

⑵数列an中是否存在正整数k，使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.例

7、非等比数列{an}中，前n项和Sn(an1)2，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn

4(nN*)，Tnb1b2bn，是否存在最大的整数m，使得对任意

n(3an)的n均有Tn

m

总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。

32F、有关数列的实际问题

例

1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,„

依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?

例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化.⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为a1,经过n年后绿化的面积为an1,试用10

an表示an1；

⑵求数列an的第n1项an1；

高中数学中常见数列求和方法探究 第3篇

关键词：高中数学,公式法求法,倒序相加法,错位相减法,裂项求和法,分组求和

数列这部分内容出现在高中数学人教版必修5 第二章, 课本重点介绍等差数列及等比数列, 它们的前n项和分别采取倒序相加和错位相减法。但是, 在平时解题训练中出现的题目, 绝非简单的等差或等比数列求和。本文结合教学实践, 对高中数学中常见数列求和方法进行探究。

一、公式法求和

能够用公式法求和的, 是课本中列举的等差或等比数列的前n项和求法。例1:设数列{an}满足a1=1, an+1=3an, n∈N* 。 (1) 求{an}的通项公式及前n项和Sn. (2) 已知{bn}是等差数列, Tn为其前n项和, 且b1=a2, b3=a1+a2+a3, 求T20. 解析: (1) 已知数列{an}为等比数列, 所以an=3n-1, . (2) ∵b1=a2, b3=a1+a2+a3=13, ∴b3-b1=10=2d, ∴d=5, 故数列{bn}是以3 为首项, 以5 为公差的等差数列, 所以解题感悟:利用公式求解数列的前n项和, 需要先对数列的类型作出判断, 因而对等差或等比数列的定义要特别清楚。除了定义判断外, 常见的方法还有通项公式法、前n项和公式法、等差 (比) 中项法等。

二、倒序相加法

课本借助高斯算法引进等差数列的前n项和求法, 即倒序相加法。倒序相加法适用题型的数列特点是距离首末两项等距离的两项之和相等。例2:设函数上两点为P1 (x1, y1) 、P2 (x2, y2) , 若, 且点P的横坐标为1/2: (1) 求点P的纵坐标。 (2) 若, 求Sn. 解析: (略) 解题感悟:此类题目往往在知识交汇处命题, 与数列、函数、不等式、向量联系较紧密, 量大面宽, 学生要学会知识融会贯通。倒序相加注重一个等式 (自变量的和是定值, 函数值的和也是定值) , 利用题目条件推导此类式子是解题关键。

三、错位相减法

课本推导等比数列的前n项和采用了错位相减法, 推广以后可以用错位相减法解决一类数列求和问题, 即一个数列中的项是由一个等差数列中的对应项乘以一个等比数列的对应项构成的新数列, 该数列的前n项和可采用此法。例3:人教版必修5 习题2.5A组第4 题 (3) :求和1+2x+3x2+……+nxn-1.解析: (略) 解题感悟:很多学生对于错位相减法在具体操作过程中漏洞百出, 不能完整作答。究其原因, 主要是对错位二字没有正确理解。再者, 含参问题一定要分类讨论。同时, 也发现部分学生在运算时能力较差。

四、裂项求和

裂项求和首先是将数列的通项拆分成结构相同的两式之差, 然后求前n项和时, 利用正负相消的原理将中间若干项抵消掉, 剩下有限的几项再求和。需要注意的是, 必须搞清楚消掉了哪些项, 保留了哪些项。一般保留的项前后具有对称的特点, 即前面剩下的项数与后面剩下的项数相等。例4: (人教版必修5习题2.3B组第4 题) 数列前n项和.研究一下, 能否找到求Sn2×33×44×5n× (n+1) 的一个公式。你能对这个问题作一些推广吗?解析: (略) 解题感悟:裂项求和法适用的题型数列通项往往是分式结构。平时, 要多留意几个常见的裂项公式 (篇幅所限, 略) 。

五、分组求和

数列的通项公式是由明显差异的几部分构成时, 并且每一部分可以求和, 可按分组求和的方式进行求和, 此法便于操作。例5:已知an=2n-3×5-n, 求数列{an}的前n项和Sn.解析: (略) 解题感悟:分组求和时, 首先应抓住数列通项的特点, 对数列的通项进行研究, 找出每一部分的差异, 然后每一组转化成我们比较熟悉的等差或等比数列, 它们的求和采用前面介绍过的公式法求和。

六、结束语

数列部分的题目常考常新, 且与函数、不等式、向量等联系紧密, 借助它们命题是一种趋势, 而且难度较大。这就要求学生在掌握好基本功 (基础知识、基本方法、基本技能) 的同时, 重点提升自己的内功 (逻辑思维能力) , 能将数学知识进行融会贯通。在本章的学习过程中, 学生要多思考, 多归纳, 多总结。

参考文献

[1]阴夏玲.对某些特殊数列求和方法的探讨[J].山西师范大学学报:自然科学版, 2013 (S2) .

数学一轮复习数列求和 第4篇

1．各项为正的等比数列

中，与的等比中项为，则

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】C

2．若记等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若a12,S36,则S4（）A． 10或8 B． 10 C． 10或8 D． 10或8 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q，由于a12,S36，显然q1，S322q2q26

3，则

q2q20，q2，S4S3a1q362210，选C．

3．在递增等比数列an中，a2a38,a1a49，则a7 A． 32 B． 64 C． 128 D． 16 【答案】B

2【解析】由题易得： a1a48，a1a49，故a1，a4是一元二次方程x9x80的两个实根，又数列an是单调递增的，∴a11，a48，∴q3∴a7a1q62664．故选：B

a48，即q2，a114．设Sn为数列an的前n项和，a11，an12Sn，则数列的前20项和为（）

anA． 31713171 B． C． D．

19191818223443223443【答案】D 【解析】an12Sn，an2Sn1 相减得an13ann2 由a11得出a22,a23a1，an{1,n123n2,n2，1={11n2 an,n223-12D．2 【答案】D 【解析】 20

考点：等比数列的性质．

11．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a2_________． 【答案】【解析】 16 3

考点：等比数列的通项和前n项和的知识及运用．

12．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则m的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，Sn为前n天两只老打洞之和，则Sn 尺． 【答案】2-【解析】 n1+1 2n-1

高一数学 数列求和教案 第5篇

教材：数列求和

目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。

过程：

一、提出课题：数列求和——特殊数列求和

常用数列的前n项和：123nn(n1)2135(2n1)n2

n(n1)(2n1)

6n(n1)2132333n3[]

2122232n2

二、拆项法：

例

一、（《教学与测试》P91 例二）

11114,27,310,,n1(3n2),的前n项和。aaaa1 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 ann1(3n2)

a111Sn(12n1)[147(3n2)]

aaa求数列11,(13n2)n3n2n当a1时，Snn

221n(13n2)nan1(3n1)na

当a1时，Sn nn1122aa1a1

三、裂项法：

例

二、求数列6666，,，前n项和 122334n(n1)116()

n(n1)nn1解：设数列的通项为bn，则bn

11111Snb1b2bn6[(1)()()]223nn16(116n)n1n1 例

三、求数列111，，前n项和 1212312(n1)12112()

12(n1)(n1)(n2)n1n211111111n)()()]2() 2334n1n22n2n2 解：an Sn2[（四、错位法：

1}前n项和 n21111 解：Sn123nn ①

2482111111Sn123(n1)nnn1 ② 248162211(1n)1111112n 两式相减：Snnnn1212248222n1121n1nSn2(1nn1)2n1n

2222例

四、求数列{n例

五、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn(求数列{an}的前n项和

解：取n =1，则a1(an12)(nN*)，2a112)a11 2又： Snn(a1an)n(a1an)a12(n)

可得：222an1(nN*)an2n1

Sn135(2n1)n2

五、作业：《教学与测试》P91—92 第44课 练习3，4，5，6，7 补充：1.求数列1,4,7,10,,(1)(3n2),前n项和

n3n1n为奇数2(Sn)

3nn为偶数22n32n1 2.求数列{n3}前n项和(8n3)3.求和：(1002992)(982972)(2212)(5050)4.求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)(5.求数列1，(1+a)，(1+a+a)，……，(1+a+a+……+a

22n(n1)(n5))

3n

1)，……前n项和

a0时，Snn a1时，Snn(n1)2

数学一轮复习数列求和 第6篇

－2＝0的两个根，S5＝(A)

5A.B．5

25C．－5 2

a1＋a5×552解析：a2、a4是方程x－x－2＝0的两个根，a2＋a4＝1，S5＝，故选A.22

2.(2013·石家庄市质检)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值(D)

A．16B．32

C．48D．64

解析：等比数列{an}，a1·a9＝a2·a8＝a2各项均为正数，所以a5＝4，所以a2·a3·a85＝16，33＝a5＝4＝64，即a2·a5·a8的值为64，故选D.3.(2012·山西省大同市高三学情调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(D)

A．9B．16

C．36D．45 解析：由等差数列的性质可知a7＋a8＋a9＝2(S6－S3)－S3＝2×27－9＝45，故选D.4.(2013·长春市调研测试)等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4＝(C)

A．8B．10

C．12D．16

解析：令首项为a，2根据条件有(a＋9)＝(a＋3)(a＋21)⇒a＝3，a4＝3＋3×3＝12，故选C.5.(2013·湖南省长沙市第二次模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝ 240.解析：由等比数列性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，由已知条件知公比为2，33所以a7＋a8＝(a1＋a2)·q＝30×2＝240.6.(2012·温州十校联合体期末联考)已知1，a1，a2,9成等差数列，1，b1，b2，b3,9成等比数列，且a1，a2，b1，b2，b3都是实数，则(a2－a1)b2＝ 8.8解析：由1，a1，a2,9成等差数列，可得a2－a1＝，3

由1，b1，b2，b3,9成等比数列，可得b2＞0，且b2＝3，所以(a2－a1)b2＝8.7.(2012·浙江杭州市七校联考)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若{}为等差数an＋1

1列，则a11＝.2

111解析：由等差数列的性质知，成等差数列，a3＋1a7＋1a11＋1

211则＝＋ a7＋1a3＋1a11＋1

2111即＋a11＝.1＋12＋1a11＋12

8.(2012·金华十校期末联考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．

(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；

(2)记为数列{aSnTn

nbn}的前n项和为Kn，设cn＝Kcc*

n＋1＞n(n∈N)．

n

解析：(1)设公差为d，则4a1＋6d＝14

a＋2d2

1＝a1a1＋6d，解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，所以a＝n＋1，Snn＋3nn＋1

nn＝2bn＝2，Tn＝2－2.(2)因为K12(n＋1)·2n

n＝2·2＋3·2＋…＋，①

故2K＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1

n，② ①－②，得

－K122＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1

n＝2·2＋，所以Kn＋1SnTnn＋32n－1

n＝n·2，则cn＝K

n2

cn＋42n＋1－1n＋32n－12n＋1＋n＋2n＋1－cn＝2＋22＋1＝2＋2＞0，所以c*

n＋1＞cn(n∈N)．

9.等差数列{a项和为Sa2

n}是递增数列，前nn，且a1，a3，9成等比数列，S5＝a5.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bbn2＋n＋1

n}满足n＝aa{bn}的前99项的和．

n·n＋1

解析：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)． 因为aa2

1，a3，9成等比数列，所以a3＝a1a9，所以(ad)2＝ad)，所以d2

1＋21(a1＋8＝a1d.因为d>0，所以a1＝d.①

因为S2，所以5a5×42

5＝a51＋2·d＝(a1＋4d).② 由①②解得a31＝d＝5.所以a35＋(n－1)×35＝35n(n∈N*

n＝)．

(2)bn2＋n＋1

n3

5·35n＋1＝25n2＋n

9·＋1

nn＋1＝259(1＋1n－1

n＋1．

所以b1＋b2＋b3＋…＋b99

＝259(1＋1－11111112＋1＋2－3＋1＋34＋…＋199100)

数学一轮复习数列求和 第7篇

一、体验数学的“奇异美”

“奇异美”是数学美的一个基本内容,它具有奇巧性、反常性、无限性、神秘性等特征,它的呈现可以是静态的也可以是动态的,动态的美又往往具有突发性与裂变性等特征,它可以由一种质态向另一种质态的转化与飞跃,总是隐藏着一种意想不到的惊诧变化,如花开的瞬间、焰火升空绽放的那一刻,都给人惊奇与新颖的感觉.数学中,式子的变形,加法到减法、积到和或差的变化都体现出数学的统一性和“奇异美”.可裂项相消求和数列的通项恰巧具备了从一项分裂成两项或多项差且分裂后的项在后续的求和中又能起到相互消去的特征.具备上述两个特征的通项正是可裂项相消求和数列的“魂”之所在,也正是有了这种“裂变”与消去的“恰巧”才构成了数列裂项相消求和的“奇异美”[1].

数列为等差数列则

以上类型的数列通项“裂变”后均具备上述两种特征,可用于裂项相消求和.依裂项相消数列这种“奇异美”特征的构成,即“裂变可消”的原则,我们可构造出相应的数列来进行求和或证明不等关系等数学活动.

例1数列{an}的通项公式为an=n2+n,数列{bn}的通项公式为bn=(n+1)2,

如果用上述裂项方案会导致后续的求和过程中不能相互消去,达不到目标,对于这种“奇异美”构建原则“裂变可消”的把握是解决问题的关键,所以可将通项进行适当的放缩,以构造符合此类问题“奇异美”的原则,达到既可裂项又能消去的目标.

(此类构造更符合这种美的原则),此时

猜想令,则

此时只需证即可.

二、体验数学的“对称美”

对称通常指图形或物体关于某个点、线、面在形状、大小、排列上具有一定的对应关系,在数学中这个概念略有拓广,常指将某些有关联、对应、对立的关系视为“对称”,式子结构的对称是数学美最自然的表现,依据“对称美”的这种“结构对应”原则,我们在数学的解题中就有了依据和标准,解决问题也就变得简单明了.

可裂项相消求和的数列,在求和的过程中,式子的结构中存在着三个确定的“对称”:①消去后式子前后部分留下的项数是相同的;②消去后式子前后部分留下的项的位置也是相对的,如前面部分留下的为第一项,则后面部分留下的为倒数第一项;③所留下项的符号也是对应的,如第一项为正号,则最后一项的符号必为负号,反之亦然.

例2数列满足,求数列的前项和Sn.

观察上式,求和的式子中具备了上述的三个“对应”关系:①消去后式子前后部分留下的项数都是两项;②消去后式子前后部分留下的项的位置分别为第一项、第三项与倒数第一项和第三项;③所留下项的符号第一项、第三项为正号,倒数第一、三项的符号均为负号.

例3数列{an}满足,求数列{an}的前项和Sn.

例3中三个“对称”的特征也是明显且明确的.

数列裂项相消求和过程中的三个“对称”,自然而然地显露出求和式子结构的对称美,依其美的构建原则“结构对称”,我们很容易就能从数列前面部分的求和情况预计后面部分的情况,对裂项相消数列求和的过程做出判断与评估,实现对问题解决过程的诊断.这一过程让学生不仅感受到数学中的“对称美”,更能享受到学习成功带来的快乐.

三、体验数学的“简洁美”

数学的美往往包含了“简单性”原则,狄德罗曾经说过:“数学所谓美的问题是指难以解决的问题,所谓美的解答原则是指一个困难、复杂问题的简单回答.”使用裂项相消求和,通过对数列中大部分的项有序地相互消去以达到简化式子的目标,其结构变化:从多项到有限项;过程变化:大部分的项有序地相互消去.结论的简洁为解决相关数学问题创造了有利的条件.如果说多米诺骨牌的倒下留给读者的是视觉与听觉上的震撼,那么裂项相消过程中大部分的项被神奇地消去,留下一个简洁的结论也同样让人震撼,它不仅带给学生对数学“简洁美”的直观体验,也让学生在体验中得到收获,不断地增强学习信心.

依据此类数列“简洁美”的构建原则“有序消去”,我们可对相关数列求和问题进行有效消去或再现,以找出可行的解决方案,突破难点.

例4设{an}是公比大于1的等比数列,Sn是数列的前n项和,已知S3=7且3a1是a1+3与a3+4等差中项.

(1)求数列的通项公式

(2)设,数列的前项和为Tn,求证:

例5(2010年湖北高考题)已知函数的图像在点(1,f(1))处的切线为y=x-1.

(1)用a表示b,c.

(2)若f(x)≥lnx在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.

(3)证明

以上两例的最后一步都是要证明不等关系,左边均为n项求和,且不能用公式完成,而不等关系的右边却是一个简单的数或有限的项,通过左右两边项数的对比,引导猜想:是否是裂项相消的结果?从例4结论的简洁性,我们可猜测数列是否可以进行裂项相消求和获得最后的结果;由例5结论的构造我们也可尝试猜测出是否也是由某些数列裂项相消的结果.正是根据数列裂项相消求和,实现数学“简洁美”的这一“有序消去”原则,我们获得了解题的灵感,同样命题者也能据此获得命题的思路.

通过裂项相消求和获得简练的结果,再利用不等式的性质即可获得结论.

根据项的对应,我们可寻得证明的思路,即只需证:

即证:,以下构造函数证明为常见思路(略)[2].例5不等关系的右侧正是裂项相消的结果,依裂项相消求和数列这种“简洁美”来自“有序消去”的原则,我们可从这简洁结论的背后窥测到其中有序、有趣的消去过程,揭开隐藏在两项之间的秘密,还原之,使之对应的目标显性化,更使得证明的思路有据可依.

感受数列裂项相消过程中的奇异美、对称美、简洁美等多样的“美”,并依其“美”的构建原则,自觉地用之来解决相关的数学问题,从而实现美在数学中的知行合一,使得“美”以致用。

摘要：感受数列裂项相消求和的“奇异美”“对称美”“简洁美”,并依其“美”的构建原则进行学习与思考,实现“美”在数学中的知行合一.

关键词：数列,裂项相消求和,构建,原则

参考文献

[1]代红亮.关于nΣi=n_(0)1/(a_i+b_i)<c型数列放缩的一点想法[J].数学通讯(上半月),2015(7-8):62-63.