高一必修2竞赛数学

高一必修2竞赛数学（精选6篇）

高一必修2竞赛数学 第1篇

高一数学必修2教案：柱、锥、台、球的结构特征

一、教学目标

1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法：

（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观：

（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具

（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪。

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

1、由六根火柴最多可搭成几个三角形？（空间：4个）

2在我们周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？

3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体。

问题：请根据某种标准对以上空间物体进行分类。

（二）、研探新知

空间几何体：多面体（面、棱、顶点）：棱柱、棱锥、棱台；

旋转体（轴）：圆柱、圆锥、圆台、球。

1、棱柱的结构特征：

（1）观察棱柱的几何物体以及投影出棱柱的图片，思考：它们各自的特点是什么？共同特点是什么？

（学生讨论）

（2）棱柱的主要结构特征（棱柱的概念）：

①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两上四边形的公共边互相平行。

（3）棱柱的表示法及分类：

（4）相关概念：底面（底）、侧面、侧棱、顶点。

2、棱锥、棱台的结构特征：

（1）实物模型演示，投影图片；

（2）以类似的方法，根据出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念、分类以及表示。

棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。

棱台：且一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。

3、圆柱的结构特征：

（1）实物模型演示，投影图片——如何得到圆柱？

（2）根据圆柱的概念、相关概念及圆柱的表示。

4、圆锥、圆台、球的结构特征：

（1）实物模型演示，投影图片

——如何得到圆锥、圆台、球？

（2）以类似的方法，根据圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示。

5、柱体、锥体、台体的概念及关系：

探究：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？

圆柱、圆锥、圆台呢？

6、简单组合体的结构特征：

（1）简单组合体的构成：由简单几何体拼接或截去或挖去一部分而成。

（2）实物模型演示，投影图片——说出组成这些物体的几何结构特征。

（3）列举身边物体，说出它们是由哪些基本几何体组成的。

（三）排难解惑，发展思维

1、有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（反例说明）

2、棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？

3、圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？

（四）巩固深化

练习：课本P7 练习1、2； 课本P8习题1.1 第1、2、3、4、5题

（五）归纳整理：由学生整理学习了哪些内容

高一数学必修2教案：空间几何体的三视图

一、教学目标

1．知识与技能：掌握画三视图的基本技能，丰富学生的空间想象力。

2．过程与方法：通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

3．情感态度与价值观：提高学生空间想象力，体会三视图的作用。

二、教学重点：画出简单几何体、简单组合体的三视图；

难点：识别三视图所表示的空间几何体。

三、学法指导：观察、动手实践、讨论、类比。

四、教学过程

（一）创设情景，揭开课题

展示庐山的风景图——“横看成岭侧看成峰，远近高低各不同”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体。

（二）讲授新课

1、中心投影与平行投影：

中心投影：光由一点向外散射形成的投影；

平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。

正投影：在平行投影中，投影线正对着投影面。

2、三视图：

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；

俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图。

三视图：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

三视图的画法规则：长对正，高平齐，宽相等。

长对正：正视图与俯视图的长相等，且相互对正；

高平齐：正视图与侧视图的高度相等，且相互对齐；

宽相等：俯视图与侧视图的宽度相等。

3、画长方体的三视图：

正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到有几何体的正投影图，它们都是平面图形。

长方体的三视图都是长方形，正视图和侧视图、侧视图和俯视图、俯视图和正视图都各有一条边长相等。

4、画圆柱、圆锥的三视图：

5、探究：画出底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥的三视图。

（三）巩固练习

课本P15 练习1、2； P20习题1.2 [A组] 2。

（四）归纳整理

请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图

（五）布置作业

课本P20习题1.2 [A组] 1。

高一必修2竞赛数学 第2篇

查字典数学网小编给同学们奉上2018年高一下册数学暑假作业答案，希望有助于同学们的学习。仅供参考。

一、选择题：

1.如果()

A.B.{1，3} C.{2.已知()

，5} D.{4}

A.B.C.D.不确定

3.如果函数f(x)的定义域为[-1,1]，那么函数f(x2-1)的定义域是()

A.[0，2] B.[-1,1] C.[-2，2] D.[-，]

4.已知集合，则()

A.B.C.D.5.设，,从 到 的对应法则 不是映射的是()A.B.C.D.6.函数 的图象是()A.B.C.D.7.函数 有零点的区间是()A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)

8.若函数 在区间 上的最大值是最小值的 倍，则 的值为()

A.B.C.D.9.设函数，若 >1，则a的取值范围是()

A.(-1,1)B.C.D.10.函数f(x)=(x2-3x+2)的单调增区间为()

A.(-∞，1)B.(2，+∞)C.(-∞，)D.(，+∞)

11.已知 在区间 上是减函数，则 的范围是()

A.B.C.或 D.12.若，且，则 满足的关系式是()

A.B.C.D.二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分。).13.若函数 是函数 的反函数，且 的图象过点(2，1)，则 _____;

14.已知f(x)是奇函数，且当x?(0,1)时，那么当x?(?1,0)时，f(x)=;

15.已知集合 ,B={x| ｝,若 ,则 =;

16.若，且，则 _.三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分10分)求函数 在 上的最小值.18.(本题满分12分)已知函数，其中 ,设.(1)判断 的奇偶性，并说明理由;

(2)若，求使 成立的x的集合.19.(本题满分12分)已知定义域为 的函数 是奇函数.(1)求 的值;

(2)判断函数 的单调性;

(3)若对任意的，不等式 恒成立，求 的取值范围.20.(本题满分14分)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车?

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

数学试题参考答案

一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分。)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 C B D D B A D A D A B C

二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分。)

13.;14.ln(1?x);15.0,1,2;16..4016

三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分10分)

解：函数 图象的对称轴方程为，(1)当 时，=;………………………………………..……3分

(2)当 时，;………………………….…………….…6分

(3)当

时，…………………………………………………..9分

综上所述，……………………..………………….…10分

18.(本题满分12分)

解：(1)依题意得1+x>0，1-x>0，∴函数h(x)的定义域为(-1,1).………………………………………..…………………………3分

∵对任意的x∈(-1,1)，-x∈(-1,1)，h(-x)=f(-x)-g(-x)

=loga(1-x)-loga(1+x)

=g(x)-f(x)=-h(x)，∴h(x)是奇函数...........................................................................................................6分

(2)由f(3)=2，得a=2.此时h(x)=log2(1+x)-log2(1-x)，由h(x)>0即log2(1+x)-log2(1-x)>0，∴log2(1+x)>log2(1-x).由1+x>1-x>0，解得0

故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0

19.(本题满分12分)

解：(1)因为 在定义域为 上是奇函数，所以 =0，即 …….....3分

(2)由(Ⅰ)知，设 则

因为函数y=2 在R上是增函数且 ∴ >0

又 >0 ∴ >0即

∴ 在 上为减函数.………………………………....………...…..7分

(3)因 是奇函数，从而不等式：

等价于，……………….……………………...….8分

因 为减函数，由上式推得：.即对一切

有：，………..………………………….………....10分

从而判别式 ………..…..……………………………..……...12分

20.(本题满分14分)

解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车………………………………………………………………………..…4分

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：

f(x)=(100-)(x-150)-×50，…………….…….……....10分

整理得f(x)=-+162x-21000=-(x-4050)2+307050……………………...12分

高一必修2竞赛数学 第3篇

以学生为中心是建构主义学习理论的重要思想, 讨论式教学则是这种理论思想实践中的重要模式之一。讨论式教学通过小组交流、竞赛、辩论、游戏等活动, 激发学生学习求知欲望, 培养学习主动自觉性, 提高学习的创造性, 体现课堂教学中学生的主体性。在活动中让学生懂得所学与生活、他人、社会、世界及自身终身发展的密切关系与价值。学生通过各种形式收集、整理、分析课内外学习资料培养与发展自学、探究、讨论、答疑、交流等能力。教师则精心选择与设计经典问题, 制作精良的多媒体课件, 提供各种有效学习资源信息, 指导解决问题的方式方向, 发挥教学中主导性作用, 为学生创设更多自主学习、合作学习、帮教学习的机会与情景。师生之间, 生生之间在合作交流中共同完成知识体系的构建。

二、教材分析

(一) 本课地位

本节内容在必修二专题八《当今世界经济的全球化趋势》中是总结性的一节, 是对整个专题的综合概括与系统深化, 是最重要的内容。对于学生能否有效完成有关“经济全球化”知识的完整构建, 准确理解、分析、运用其基本知识并树立正确的“全球”意识态度至关重要。

(二) 重点难点

1. 重点:

(1) 世界贸易组织的建立

(2) 中国加入世界贸易组织

2. 难点:

经济全球化进程中的问题与对策

三、教学过程

(屏幕展示) 全球化的一组图片———肯德基象山店、天安集团大门飘扬各国国旗、华晨宝马汽车集团公司、联想集团收购美国IMB公司、奇瑞汽车出口美国、经济全球化上海论坛、别克凯悦汽车设计-技术-生产的多国合作分解图、欧洲多国民众或组织的反全球化活动等。

(提问) 在这些图片共同反映当前世界经济发展中什么重大现象?在象山这种现象产生的影响又有哪些?

(设计意图) 提出问题, 引导学生思考, 激发学生学习欲望, 烘托课堂活泼氛围, 导入新课。

二战结束以来经济全球化推动世界生产力迅猛发展, 世界各国经济联系空前密切, 各国之间的相互需要与依赖与时剧增, 但同时由经济全球化所带来的一系列问题与矛盾日益显山露水, 有日趋尖锐与激化的可能, 从而招致一波又一波的反对声浪。

(提问) 那么, 经济全球化到底孰是孰非?经济全球化能否抗拒?经济全球化是否应该抗拒?

(多媒体展示) 有关全球化纪实新闻剪辑, 介绍有关关贸总协定成立发展与世界贸易组织成立, 中国加入世界贸易组织概况, 经济全球化迅猛发展原因, 经济全球化“双刃剑”的作用。

(设计意图) 经济全球化的背景原因与表现是教学的重要内容, 但教材对背景介绍过于概括与抽象, 史论结合不足, 学生在学习中比较突兀与牵强, 造成理解与感性认识脱节, 致使学习陷入一知半解的困境。同时部分学生对于全球化的背景与表现的难以区分, 在学习中存在明显的疑惑与不解。因此, 提出问题和展示影相资料, 有利于学生集中注意力, 舒缓学习中临场紧张心情, 增强对所学内容的感性认识, 为学生小组讨论发言答疑作启发铺垫。

(小组讨论发言答疑) 请全球化组与反全球化组代表发言, 分析教材, 介绍资料, 提出论据, 论证观点, 围绕全球化必然性趋势与全球化过程中的问题展开讨论, 进一步明确对待全球化态度。

1.全球化组:

1.1主要论点:经济全球化是不可抗拒的, 应该顺应全球化。

1.2主要论据:

(1) 摆事实:二战以来经济全球化迅速推进的表现。

关贸总协定、世界贸易组织先后成立, 中国“复关”谈判与“入世”, 反映市场贸易的全球化。

“布雷顿森林体系”形成, 国际货币基金组织、世界银行、国际金融公司、国际开发协会先后建立, 反映资本的全球化。

跨国公司跨越国界与洲界活动, 国际分工与专业化协作程度越来越高, 反映生产的全球化, 跨国公司是经济全球化的载体。

世界科技革命深入发展, 各国各地区科技开发与研究的共同规划合作与竞争加强, 如欧洲的“尤里卡计划”等, 反映技术的全球化。

欧洲的联合, 扩大的东盟, 北美自由贸易区形成, 步步发展的亚太经合组织, 不甘落后的非洲, 反映区域集团化的加强, 区域集团化是全球化的重要途径与步骤。

(2) 讲道理:

经济全球化的实质:资本主义经济新一轮扩张, 是世界生产力发展的必然结果。

经济全球化迅猛发展的原因:世界科技革命为经济全球化提供了物质条件;市场经济制度在全球范围得到普遍认可和接受;国际分工与专业化程度提高;跨国公司是推动经济全球化的主要力量, 成为国际经济活动中的主体;成熟统一的国际金融市场;较为稳定的国际经济秩序。

经济全球化的积极意义:进一步推动世界生产力发展;促进世界各国经济发展繁荣;增进世界各国经济政治文化各方面交流合作;有利于世界和平, 加强反恐安全合作等。

1.3结论:经济全球化势不可挡

1.4答疑:

(提问) 请问贵小组, 世界贸易组织建立在经济全球化中有何作用?

(回答) 标志世界贸易进一步走向规范;标志多边贸易体制大框架构筑;标志有序自由贸易新时期开始;全球化进程实质性进展。

(提问) 请问贵小组, 中国可不可以不加入世界贸易组织?为什么?

(回答) 不可以。加入世界贸易组织有利于中国经济走向世界;有利于加强中外经济文化交流;有利于提高中国国际地位;有利于加强反恐安全合作, 创造和平安全国际环境;有利于中国经济繁荣发展;有利于世界的发展与和平。总之, 中国离不开世界, 世界也少不了中国。

2.反全球化组:

2.1主要论点:经济全球化加剧世界冲突与矛盾, 应当反对全球化。

2.2主要论据:

(1) 摆事实:

殖民主义的历史影响;不合理的国际经济秩序;发展中国家经济严重恶化;环境污染、人口爆炸、能源危机、粮食短缺、毒品泛滥、传染病横行、恐怖组织活动猖獗并日益突出, 成为影响人类的根本利益, 直接涉及到人类的生存与发展;频繁的战争和核武器试验使生态环境遭到严重破坏。

(2) 讲道理:

经济全球化的实质:资本主义经济新一轮扩张。资本主义的独占性、排他性必然激化资本主义强国与强国的矛盾、资本主义强国与发展中国家矛盾。资本主义发达国家是全球化的受益者, 而发展中国家与发达国家差距更加拉大。资本主义发达国家以“全球化”或“反恐”为幌子, 更加公开、直接的推行霸权主义, 干涉他国内政, 甚至不断发动局部侵略战争, 导致部分地区长期不得安宁, 严重威胁世界和平与发展。

(课外资料补充) 国际组织权威有限性:当前世界中, 包括联合国、世界贸易组织、国际货币基金组织、欧洲联盟等在内的国际组织没有一个有足够的绝对权力与权威凌驾于一个传统主权国家之上, 因此, 建立一个即使是相对公平、公正、合理、安全的“地球村”政治经济秩序都是很困难的。

长期存在的世人的国民性:“经济生活在全球范围展开, 但个人的身份还是有国别的, 因此文化的同化遭遇到了强大的抵抗”, “世界公民”的意识远未形成。

2.3结论:全球化进程条件不充分, 负面影响严重。

2.4答疑:

(提问) 请问贵小组如何评价世界贸易组织建立?

(回答) 不可否认世界贸易组织建立对于全球经济发展起到促进作用, 但是它缺乏超越或凌驾于主权国家之上的绝对权威, 世界各国或地区贸易保护主义并未根本性削弱, 而且它与国际货币基金组织、世界银行等公共机构在其活动中存在不透明的弊端, 它们的裁定常常是武断的和不公平的。因此, 目前它对于全球经济发展起到促进作用受到相当的限制。

(提问) 请问贵小组如何看待中国加入世界贸易组织这一问题的?

(回答) 中国加入世界贸易组织, 给中国的发展带来严峻的挑战。中国的工农商业的产业结构、管理体制、法律建设等受到多方面冲击, 对中国的经济安全、信息安全等构成很大威胁。有观点认为中国“入世”, 是政府“入世”, 因此, 中国经济发展进程并未完全与世界接轨, 从而存在一系列的问题与冲突。

3.师生共议:

不管承认与否, 经济全球化正迅速发展, 影响世界各国各地区, 人类日常生活日益受到其影响与冲击。

经济全球化是世界生产力发展的结果, 反过来又促进世界生产力进一步发展。

经济全球化是一把双刃剑, 给世界发展极大的推动, 同时也带来一系列的问题与冲突。发展中国家在全球化进程中居于不利地位, 因此, 要迎接挑战, 抓住机遇。

我们要正确面对全球化存在的问题, 针对各种问题找出各种对策:推行可持续发展战略, 使经济发展与环境保护协调发展, 加强国际间的合作, 建立国际经济新秩序和政治新秩序, 消除殖民主义影响, 加强对人类共同性问题研究等。

(设计意图) 分组讨论答疑的形式, 目的激发学生学习兴趣与热情及竞争意识, 发挥学习自觉主动性, 加强同学间合作帮助, 同时在教学中突出学生的主体性地位。通过这种方式让学生主要通过自我学习与合作学习主动完成“经济全球化”知识的完整构建, 同时促进学生树立对经济全球化的正确认识态度与价值尺度, 逐渐培养起符合新课程精神的学习方法、策略、能力。

4.点拨深化:

(提问) 如果我们把全球化看成是一场国际性球赛的话, 那么促成这场球赛需要哪些重要因素呢?

(回答) 球员, 教练领队, 俱乐部, 裁判, 比赛规则, 场地, 球, 踢球技术, 战术阵型 (球员配合) 。

(讲解) “全球化”“球赛”中的“球员”就是跨国公司, “教练领队”就是国家, “俱乐部”就是区域集团化组织, “裁判”就是WTO等国际经济组织, “规则”就是市场经济制度, “场地”就是地球世界, “球”就是资本, “踢球技术”就是世界科技革命, “战术阵型”就是国际分工与专业合作。

当然“全球化”“球赛”中也存在着“黑哨”、“假球”、“兴奋剂”、“不规范肢体冲撞、言语伤人”等问题和“受伤”、“失败”等风险, 但是正如能参加足球世界杯却从来都是每个国家的梦想那样, 参加“全球化”“球赛”是每个国家必然面对并作出抉择的课题。

如果想在“全球化”“球赛”中赢得胜利, 除了尽可能满足前述条件, 更主要的是斗志与态度, 正如中国男足国家队前主教练米卢所唱:“态度决定一切!”因此, 发展中国家应该鼓起斗志, 扬长避短, 抓住机遇, 迎接挑战;中国应该冲出亚洲, 走向世界, 积极主动参加经济球赛的世界杯, 去赢得令世界尊敬的荣誉!

(设计意图) 经济全球化趋势的必然性因素与其中重要表现, 在教材中的叙述较笼统抽象与理论化, 用喜闻乐道的足球赛参照讲解, 有助于学生理解, 加深印象而掌握之, 同时在课堂教学中起到末尾收关深化效果作用, 将教学再次推向高潮。

四、制作知识结构表 (略)

五、资料查阅参考

[1]宁波教研网, “高一历史新课程 (下) 培训”《当今世界经济的全球化趋势》, 作者, 陈天宁。

[2]http://www.10662580.com《反全球化视野中的全球化》。

[3]http://www.intermagins.net《从“全球反战”看“反全球化”》。

参考文献

[1]宁波教研网“, 高一历史新课程 (下) 培训”《当今世界经济的全球化趋势》, 作者, 陈天宁。

[2]http://www.10662580.com《反全球化视野中的全球化》。

高一必修2竞赛数学 第4篇

【关键词】有效教学；实践；反思

新课程标准指出，学生的数学学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的，在教学过程中，我采用了“问题情景——建立模型——探究——解释——应用——拓展”的模式展开，也就是说，在课堂教学中，尽力做到教材的内容尽量与现实生活中问题相挂钩，让学生感觉到数学就在身边，显示数学的实用性。这方面，人教A版已经做出了很好的示范。教材编写了很多实例，如集合的含义与表示，一开始就以实例入手，引出元素和集合的含义，而有效教学的理念要求教师在教学中，体现自己的个性，才能促进学生的个性形成和发展。以下是本人教学实践的个案

一、抽象的教学内容与直观化、通俗化、具体化教学之间的关系的反思

案例一：“函数单调性”，由f（x）=x2的图象观察y随x变化情况。

函数的单调性，教材编写的很好，从图形语言——文字语言——数学语言，一步一个台阶，可在实施过程中，我先让学生自己探究后，犯错、徘徊后才提醒，教学过程中发现，文字语言：“当x>0时，y随x的增大而增大”，学生在初中里用过，一下就能说出来，而最后一个台阶，学生却很难跨上，即数学语言：“当0f（2-x）的解集。我把f（x）和x比喻成戴帽的人与没戴帽的人，两个人比高，要相同条件，要么都不戴帽，要么同时戴帽，增函数可理解为一般的普通的帽子，高个子戴着仍然是高个，矮个子戴着仍然是矮个子，减函数可理解为魔术帽，矮个子戴了变高，高个子戴了变矮。

因此，数学教学中问题的设计和选择，应尽可能地来源于学生们的实际生活经历，应找出更多的机会让学生们接触各种各样的现实问题，捕捉学生的生活的疑点、兴奋点，社会生活和热点，同时使抽象的教学内容更直观、更通俗、更具体。

二、堂上合作探究学习的时间与自主技能训练的时间之间的关系的反思

也就是说，要合理分配两者的时间。一节课中，如果教师为了让学生多点的时间进行笔头练习，自己过早地抛出题设结论和过程，就会使学生失去探究学习和求知的兴趣，这与新课标的精神不相符。但数学科有它自己的特点，它强调的是培养学生的逻辑思维能力、推理论证能力、空间想象能力和解决问题的能力，而这些能力的形成需要有牢固的知识技能作基础。

案例二：在研究几类不同增长的函数模型时，我讲完课本的例1后，就让学生自己去探究y=2x，y=2x，y=x2，y=log2x在（0，+∞）的增长情况进行比较，让学生找出关键点，找出交点，在课内的探究，时间有限，数字运算不可能太复杂。新课程提出要赋予学生更多自主活动、实践活动、亲身体验的机会，以丰富学生的直接经验和感性认识，宗旨在引导学生通过动口、动手与动脑，在亲自体验过程中获得发展，而一节课的时间很有限，处理好探究学习的时间与自主技能训练的时间之间的关系，是提高上课效率的关键。

三、学生实际水平与新的教学内容之间的关系的反思

新课程标准指出，学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。我充分利用教材，同时也大胆地整合教材，使我的课堂教学更适合我的学生。

案例三：“函数”，初中到高中，初中的函数，教材采用“变量说”，高中提出了“对应说”，人教A版采用了从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言，定义函数的方式介绍函数概念，把“映射”作为“函数”的一种推广，这种安排我在实践中觉得更有利于学生集中精力理解函数的概念。而具体教学过程，我为学生设计他们熟悉的“行程问题”、“比例问题”、“价格问题”，利用图表、图形（如课本第26页的练习2），让学生探究用集合与对应的语言来刻画，从学生熟悉实际背景和定义两个方面，帮助学生理解函数的本质。要求学生认识、描绘以及概括模式。

到了第三章，函数的应用，尽量挖掘与其它学科的联系以及实际生活的联系，如电话费、水电费、出租车费与用时的关系，银行利息与存款时间的关系，保险、物价、抽奖、股票、债券等等。引导和组织学生以学习小组的形式，进行调查和研究，让学生经历丰富的情感体验和实践活动，在情境中展开想象的翅膀，充分发挥思维的潜能，在生活中发现数学，提炼数学，应用数学。

总之，在教学反思的行动中，我坚持：一是保持敏感而好奇的心灵，“好奇心‘唤起关心’，唤起对现在存在或可能存在的东西的关心。正是好奇心使人们摈弃熟悉的思维方式，用一种不同的方式來看待同一事物。二是要经常、反复地进行反思，通过反思来理解对象、理解自己，让自己与对象对话、与自己对话

参考文献：

[1]章水云.新课标下高中数学“有效教学”的策略探究.中学数学研究，2006

高一必修2竞赛数学 第5篇

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，；当时，；当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：

注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：直线斜率k，且过点

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：（）直线两点，④截矩式：

其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

⑤一般式：（A，B不全为0）

注意：各式的适用范围特殊的方程如：

平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）

（二）垂直直线系

垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）

（三）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；

（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为

（为参数），其中直线不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当，时，；

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

相交

交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解 ；方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则

（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程，圆心，半径为r；

（2）一般方程

当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为

当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当时，两圆内含；当时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=

4、空间点、直线、平面的位置关系

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

应用： 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：

公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：

公理2的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：aαa∩α＝Aa‖α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α‖β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为。②平面的垂线与平面所成的角：规定为。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

高一必修2竞赛数学 第6篇

一、设计思想：

定理教学中有一种简陋的处理方式：简单直接的定理呈现、照本宣科的定理证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题。

二、教学目标：

让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。

三、教学重点与难点：

本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。

四、教学过程设计：

（一）创设情境:

如图，现在河岸两侧A，B两点间建一座

桥，需要知道A，B间的距离．由于环境因素不能

直接测量A，B间的距离．你有办法间接测量A，B

两点间的距离吗？

引出：解三角形——已知三角形的某些边和

角，求其他的边和角的过程。C A [设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。]

师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？

生：······，“大角对大边，大边对大角”

师：“a＞b＞c←→ A＞B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？

引出课题：“正弦定理

[设计意图：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。]

（二）猜想、实验：

1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？

[学情预设：此处，学生根据已有知识“a＞b＞c←→ A＞B＞C”，可能出现以

下答案情形。如

a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC,a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，〃〃〃〃〃〃等等。]

[设计意图：培养学生的发散思维，猜想也是一种数学能力]

2、研究特例，提炼猜想：考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出asinA=bsinB=csinC。

3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？

请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。

[设计意图：着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力]

（三）证明探究：

对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？

1、特殊入手，探究证明 ：在初中，我们已学过如何解直角三角形，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,C900，根据锐角

abcsinAsinBsiCnc,则的正弦函数的定义，有c，c，又

a

sinA



b

sinB



c

sinC

c

a，从而在直角三角形ABC中，sinA



b

sinB



c

sinC。

2、推广拓展，探究证明 ：

问题2：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与sinA、b与sinB”的关系呢？

探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？

[学情预设：此处，学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角形。

生1：如图1，过 C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直角三角形DBC。

生2：如图2，过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。生3：如图3，分别过B、C作AB、AC边上的垂线，交于D，连接AD，也得到两个直角三角形〃〃〃〃〃〃] 经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“c与sinC、b与sinB”的关系式。

[知识链接：根据化归——这一解决数学问题的重要思想方法，把锐角三角形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。而方法3将把问题

a

延伸到四点共圆，深究下去，可得sinA思考解决

]



b

sinB



c

sinC=2R，对此，可留做课后

图

1图

图3图

4探究2：能否引入向量，归结为向量运算？（1）图2中蕴涵哪些向量关系式？

学生探究，师生、生生之间交流讨论，得



ABBCAC,ABBCCA0,ABCBCA,（这三个式子本质上是相同的）, 0等,（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?)生：施以数量积运算

（3）可取与哪些向量的数量积运算？

[学情预设：此处，学生可能会做如下种种尝试，如两边自乘平方、两边）同时点乘向量（或、，均无法如愿。此时引导学生两边同时点乘向量,并说出理由：数量积运算产生余弦，垂直则实现了余弦与正弦的转换。]



[知识链接：过渡教材中，证明方法所引用的单位向量j就是与向量AD 共

线的单位向量。过去，学生常对此感到费解，经如此铺垫方显自然]

探究3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？

（1）如图4，建立直角坐标系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),（2）向量BC的坐标=？（bcosA-c，bsinA）

（3）哪一点的坐标与向量的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐标又为多少？

根据平行四边形法则，D（acos(1800B),asin(1800B)），从而建立等量关系：bcosA－c=acos(bcosA+ 1800B), bsinA= asin(1800B), 整理，得c= acosB（这其实是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。

[知识链接：向量，融数与形于一体，是重要的数学工具，我们可以通过向量的运算来描述和研究几何元素之间的关系（如角与距离等），这里学生已经学过向量，可根据学生素质情况决定是否采用探究2与3]

问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）

（四）理解定理、基本应用：

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc



sinAsinBsinC

问题

4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？

（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。

（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。从而知正弦定理的基本作用为：

bsinA

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a；

sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如

sinAsinB

a。

2、例题分析

例1．在ABC中，已知A450，C300，c10cm，解三角形。评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC

中，已知a2,cA450，解三角形

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课后思考：已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？为什么？

3、课堂练习：（1）、引题（问题1）（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

[设计意图：设计二个课堂练习，练习（1）目的是首尾呼应、学以致用；练习（2）则是将正弦定理、简易逻辑与平面几何知识整合，及时巩固定理，运用定理。]

（五）课堂小结：

问题5：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了 师：通过本课学习，你发现自己更强大了。

生2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们学到了课本以外的众多方法。

师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数与平面向量，正弦定理的证明充分展示了它们的妙用。

生3：公式很美。师：美在哪里？

生3：体现了公式的对称美，和谐美······

在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：

1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。

2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律,据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值

3、利用正弦定理解决三类三角形问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而求出其他的边和角。

（3）实现边与角的正弦的互化。

[设计意图：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。]

（六）分层作业：

1、书面作业：课时训练对应内容

2、研究类作业：

1）在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。

abc

ksinAsinBsinC2）在△ABC中，研究k的几何意义

3）已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？ [设计意图：对问题3），根据分散难点，循序渐进原则，在例2中初步涉及，在课后让学生先行思考，在“正、余弦定理”第三课时中予以下图的剖析阐述。]

已知边a,b 和A

Ha

无解

Ha = CH = bsinA仅有一个解

CH = bsinA