如何理解方差和标准差的意义

如何理解方差和标准差的意义（精选2篇）

如何理解方差和标准差的意义 第1篇

如何理解方差和标准差的意义？ 随机变量X的方差为:D(X)E(X-E(X))2 ,方差的平方根D(X)称为标准差，它描述随机变量取值与其数学期望值的离散程度，描述随机变量稳定与波动，集中与分散的状况。标准差大，则随机变量不稳定，取值分散，预期数学期望值的偏离差大，在量纲上它与数学期望一致。

在实际问题中，若两个随机变量X,Y,且E(X),E(Y)E(X)E(Y)或E(X)与E(Y)比较接近时，我们常用D(X)与D(Y)来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明他较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值预期期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。

随机变量X的数学期望和方差有何区别和联系？

1.随机变量X的数学期望E(X)描述的是随机变量X的平均值，而方差D(X)刻画的是随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度。方差D(X)大，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度大，随机变量X取值在数学期望附近分散；方差D(X)小，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度小，随机变量X取值在数学期望附近集中。

2.方差D(X)E(X-E(X))2是用数学期望来定义的，方差D(X)是随机变量X函数(X-E(X))的数学期望，所以，由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到： 2（1）若X为离散型，则有（2.3）（2）若X为连续型，则有（2.4）

3.在实际问题中，我们经常用D(X)E(X-E(X))2来计算方差。由此可以得到：随机变量X与数学期望E(X)不存在，则方差一定不存在。4.若随机变量X与数学期望E(X)存在，方差也可能不存在。

切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？

切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：P(XE(X))1P(XE(X))1D(X)D(X)D(X)2或2。它反映了随机变量在数学期望的邻域的概率不小于。如果随机变量的分布不知道，只要知道它的数学期望和方差，我们就可以利用2切比雪夫不等式估计概率。它的应用有以下几个方面：

（1）已知数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的邻域的概率。

（2）已知数学期望和方差，对确定的概率，利用切比雪夫不等式求出，从而得到所需估计区间的长度。（3）对n重贝努力试验，利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。（4）它是推导大数定律和其他定理的依据。

解题的具体步骤：

首先，根据题意确定恰当的随机变量X，求出数学期望E(X)与D(X)； 其次，确定0的值，最后，由切比雪夫不等式进行计算和证明。

注:

（一）相关系数的含义

1.相关系数刻画随机变量 X和Y之间的什么关系？（1）相关系数也常称为“线性相关系数”。这是因为，实际相关系数并不是刻画了随机变量X和Y之间的“一般”关系的程度，而只是“线性”关系的程度。这种说话的根据之一就在于，当且仅当X和Y有严格的线性关系是才有|XY|达到最大值1.可以容易举出例子说明：即使X和Y有严格的函数关系但非线性关系，|XY|不仅不必为1，还可以为0.（2）如果0|XY|1，则解释为：随机变量X和Y之间有一定程度的“线性关系而非严格的线性关系”

2.相关系数XY刻画了随机变量X和Y之间的“线性相关”程度.3.|XY|的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高;4.|XY|的值越近于0, Y与Y的线性相关程度越弱.5.当|XY|1时, Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.6.当XY0时, Y与X之间不是线性关系.7.上面谈到的“线性相关”的意义还可以从最小二乘法的角度解释：（p95）

2设eE[Y(aXb)],称为用aXb来近似Y的均方误差,则有下列结论.设D(X)0,D(Y)0, 则a0小.cov(X,Y)D(X),b0E(Y)a0E(X)使均方误差达到最注: 我们可用均方误差e来衡量以aXb近似表示Y的好坏程度, e值越小表示aXb2与Y的近似程度越好.且知最佳的线性近似为a0Xb.而其余均方误差eD(Y)(1XY).从这个侧面也能说明.|XY|越接近1, e越小.反之, |XY|越近于0, e就越大.Y与X的线性相关性越小.8.由于相关系数只能刻画随机变量线性关系的程度，而不能刻画一般的函数相依关系的程度。在概率论中还引进了另外 相关性指标，以补救这个缺点。但是，这些指标都未能在应用中推开。究其原因，除了这些指标在性质上比较复杂外，还有一个重要原因：在统计学应用上，最重要的而为分布是二维正态分布。而对二维正态分布而言，相关系数是X和Y的相关性的完美的刻画，没有上面指出的缺点。

如何理解方差和标准差的意义 第2篇

中学物理课本中对速度是这样表述的:“速度是表示物体运动快慢的物理量。”那么, 什么是运动快慢呢?显然这样的表述是不准确的, 没有直接表示出速度的真正物理意义。要想准确理解速度, 应该先从物理学中为什么要引入这个物理量入手。我们都知道运动学是研究一个物体相对于别的物体的位置发生变化的规律的学科, 所以运动学中首先需要引入一个物理量来描述物体位置的变化, 那就是位移。因运动物体的位置是随时间发生变化的, 又必须再引入一个物理量来描述物体的位置随时间变化的快慢, 那就是速度, 所以速度是表示物体的位置变化快慢的物理量。

而物体的速度又会随时间发生变化, 因而需再引入一个物理量来描述物体的速度随时间变化的快慢, 那就是加速度。速度是矢量, 速度的大小或方向发生变化都会引起加速度的变化。许多人认为, 如果是速度的大小发生了变化, 导致加速度变化, 那么加速度表示的就是物体速度大小变化的快慢;如果是速度的方向发生了变化, 导致加速度变化, 那么加速度表示的就是物体速度方向变化的快慢。

毋庸置疑, 加速度是描述物体的速度随时间变化快慢的物理量, 它反映的是物体的速度矢量随时间变化的快慢。因而它既不同于速度的大小变化快慢, 也不同于速度的方向变化快慢。速度的大小变化快慢其实表示的是速率随时间变化的快慢, 而速度的方向变化快慢则表示的是速度矢量转过的角度随时间变化的快慢, 也就是角速度, 所以加速度既不表示速度的大小变化快慢, 也不表示速度的方向变化快慢。

运动学中质点做曲线运动时, 把沿轨道切线方向的加速度叫做切向加速度, 把沿轨道法线方向的加速度叫做法向加速度, 也就是向心加速度。切向加速度使质点速度的大小发生变化, 法向加速度使质点速度的方向发生变化。切向加速度表示的是因速度的大小发生变化而引起的速度矢量变化的快慢, 法向加速度表示的是因速度的方向发生变化而引起的速度矢量变化的快慢。