16.3二次根式加减法教学设计(第一课时)

16.3二次根式加减法教学设计(第一课时)（精选16篇）

16.3二次根式加减法教学设计(第一课时) 第1篇

16.3二次根式加减法教学设计（第一课时）

王 伟

一、教材分析：

二次根式加减法是新人教版第十六章——16.3小节。主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。本节的基础是学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法。重点是二次根式的加减及混合运算。本课地位，既是第五章相关内容的发展，又是后面将学习的解直角三角形、一元二次方程、二次函数等章节的重要基础，起承上启下的作用。

二、教学目标：

知识技能：会进行二次根式的加减法运算。

数学思考：学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。解决问题：通过加减法运算，培养学生的运算能力。

情感态度：通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。

三、教学重点、难点：

教学重点：合并被开方数相同的二次根式。教学难点：二次根式加减法的实际应用。

四、教学方法：合作、讨论、探究

五、教学媒体：多媒体

六、教学活动过程：

【活动一】复习回顾

1、二次根式的乘法法则及除法法则。

abab abababababab（a≥0，b≥0）

（a≥0，b＞0）

2、最简二次根式概念及练习。下列根式中，哪些是最简二次根式？投影题目 【活动二】情景引题

问题：

1、学校计划在一块长为7.5米，宽为5米的绿草坪上划出两个面积分别为8㎡和18㎡的正方形状地方，分别种上杜鹃花和茉莉花，学校的计划能实现吗？ 师生行为:(1)学生分组讨论，探求方案。

（2）教师倾听学生的交流，指导学生探究。

2、分析818的计算过程

教师关注：学生能否将8和18化成最简二次根式；能否将分配律运用到计算中。

小结：二次根式加减法时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

（设计意图：此题贴近学生生活，易激发学生的学习兴趣。采用分组讨论，自主探究的方式解决问题，提高学生的自主学习能力。）

规律梳理

二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。

注意：对被开方数相同的二次根式进行合并，实质是对被开方数相同的二次根式的系数进行合并。

【活动三】例题讲解例1 计算

（1）16x9x

（2）8045

完成课本P13练习1，2（1）（2）3慧眼识真

下列计算是否正确？为什么？

（1）83=8

3（2）49=49(3)9×16=916(4)32222

(设计意图：使学生掌握被开方数相同的二次根式合并的方法，注意二次根式加减运算与乘除运算的联系与区别，提高解题的准确程度。)典例讲解

例2 计算（1）21261348 3（2）(1220)(35)

学生思考：（1）比较二次根式的加减法与整式的加减，你能得出什么结论？（2）3与5能合并吗？

教师关注：计算中教师要让学生体会到有理式的运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性。

（设计意图：使学生熟练掌握二次根式加减法的运算方法，综合运用新旧知识，使知识能融会贯通，提高课堂效率，培养学生及时发现问题并解决问题的习惯，调动学生的主观能动性。）

【活动4】 理解升华

二次根式加减运算的步骤:(1)“一看”看看各项是否是最简二次根式;(2)“二化”把各个二次根式化成最简二次根式;（3）“三合”再把被开方数相同的二次根式合并.注意:被开方数不相同的二次根式(如 3 与 5)不能合并

探究提高(1)2811183224(2)2412126238反馈纠正（投影对照）

易错警示 下列解答是否正确？为什么？

(1)27532732759331031030(2)7218322326232232922完成课本P13练习2（2）（3）、3 【活动5】

聚焦中考 投影试题

1．（2013．衡阳）下列计算正确的是（A23＝5B23＝23C822＝0D51＝22．（2014．枣庄）下列计算正确的是（AC82＝2））BD2525＝12712＝94＝1362＝3223．（2014．台州）计算：10123 【活动4】反思体会

问题

本节课你的收获有哪些？

2、还有什么疑惑？

3、是否有给老师的建议？

七、课后作业：

课本15页2题、3题。

16.3二次根式加减法教学设计(第一课时) 第2篇

一、内容和内容解析

．内容

二次根式的加减乘除混合运算．

2．内容解析

二次根式的混合运算是本章所学内容的综合运用，运算过程中用到乘法分配律，还需用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，教学中要注意让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系．

基于以上分析，可以确定本课的教学重点是运用乘法分配律、多项式乘法法则及乘法公式进行二次根式的加减乘除混合运算．

二、目标和目标解析

．目标

（1）掌握二次根式混合运算的法则，合理使用运算律．

（2）灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能在有理数混合运算及整式的混合运算基础上，类比得出二次根式混合运算的法则及算理．

目标（2）是通过类比整式乘法公式让学生能熟练进行二次根式混合运算．

三、教学问题诊断分析

二次根式的混合运算，困难在于让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系．在二次根式运算中，法则和乘法公式仍然适用．

本课的教学难点是：二次根式运算中，灵活运用多项式乘法法则及乘法公式．

四、教学过程设计

（一）提出问题

问题1：计算

（1）；

（2）．

问题2：计算

（1）

；

（2）．

师生活动：学生独立完成计算，小结算理．

追问1：问题1、2中的字母、可以代表哪些数与式．

师生活动：学生自由发言，引出、可代表二次根式．

设计意图：类比整式运算引出二次根式混合运算的法则与算理．

（二）探索新知，解决问题

问题3：类比问题，完成计算：

（1）；

（2）．

师生活动：学生独立思考完成，请学生板演，教师适时引导，两题均用乘法分配律．

设计意图：让学生体会到数的扩充过程中运算律的一致性．

问题4：在问题2中，若令，你能计算下列式子的值吗？

（1）

；

（2）．

师生活动：学生通过类比思考得出结论，教师引导学生得出二次根式运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．

设计意图：让学生感受到数的扩充过程中数式通性．

（三）典型例题

例1计算：（1）；

（2）．

例2计算：（1）；

（2）；

（3）．

师生活动：学生独立完成计算，教师适时给予评价．

设计意图：加强学生运算技能的训练，进一步让学生认识二次根式和整式性质运算法则上的一致性．例

2、例3在不能用乘法公式的情况下，可用多项式乘法法则．

（四）课堂小结

整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算．

设计意图：让学生加深数式通性的理解．

（五）布置作业

课本第15页第4题．

五、目标检测设计

．计算：的值是

．

2．计算：＝

；＝

．

3．计算：＝

．

4．计算：＝

．

5．计算：＝

．

16.3二次根式加减法教学设计(第一课时) 第3篇

1．教学内容

本节课是人教版高一数学第一册（上）（2003年审查通过）第一章第5节《一元二次不等式的解法》第1课时。

2.本节课内容在整个教材中的地位和作用

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化。本节内容是在高一学生学完了集合的有关概念，集合的表示及集合与集合之间关系之后，考虑到集合知识的应用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域和值域的需要而安排的。它也与高中数学后续学习的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具性作用。

3.教学目标定位

根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。

［知识与技能目标］：

（1）熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系；（2）培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算、作图能力。

［过程与方法目标］：

（1）通过学生动手实验培养学生实际操作能力、抽象思维与形象思维能力；（2）使学生在探究学习过程中体会由具体到抽象、由特殊到一般，类比、猜想的数学思想方法，渗透数形结合、方程与函数、分类讨论等数学思想。

［情感态度和价值观］：

（1）培养学生勇于自主探索的精神和合作学习的意识，鼓励学生勇于创新，同时激发学生学习数学的热情；（2）通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辩证唯物主义思想。

4.教学重点和难点

教学重点：一元二次不等式的解法。

教學难点：一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。

二、教法分析

1．本节课的设计是以教学大纲和教材为依据，采用探索式教学。遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。

2．考虑到高一学生已有的数学知识结构，即学过一次函数和二次函数的基础知识，而对其理解又不深刻的现实，在教学方法上以学生动手实践、自主探索、合作学习为主，让学生从实践中观察、探索、归纳知识，而老师成为学生的帮助者和引导者。在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了①创设情景——引入新课；②交流探究——发现规律；③启发引导——形成结论；④练习小结——深化巩固；⑤思维拓展——提高能力。这五个环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。

3．应用现代信息技术和数学智能平台，使用多媒体课件辅助教学，使教学内容表现更直观。

三、学法分析

由于本节课的内容比较适合于培养学生的探究能力和养成探究习惯,故将学生分成学习小组(四至五人为一组),进行小组合作式的探究式学习,对所研究的问题进行共同分析,相互交流讨论学习。

选用这种学习方法,对培养学生的实践和探索能力以及相互协作精神均有积极意义，同时容易使学生学会发现问题、分析问题和解决问题的方法。

四、教学过程分析

教学环节(一)：创设情境引入新课

教学过程

（幻灯片1)问题1：画出一次函数y=2x-7的图像。

填空。

（1）方程2x-7=0的解是；

（2）不等式2x-7>0的解集是 ；

（3）不等式2x-7<0的解集是 ；

提问：请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?(“三个一次”关系)

从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论。

(幻灯片2):一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0,0),就有如下结果：

一元一次方程ax+b=0的解集是{x|x=x0}；

一元一次不等式ax+b>0解集（a≠0）。

(1)当a>0时,一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x0};

一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x

(2)当a<0时，一元一次不等式ax+b>0解集是{x|x

一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x>x0}。

(学生看图总结,教师在幻灯片中给出结果)

设计意图：设置问题1有利于学生回忆起自己已有的知识和技能，把复杂的学习任务加以分解，给学生建立学习“支架”，即解一元一次不等式的方法。为后面学习二次不等式的解法打下基础，作好铺垫。另一方面使学生在自己熟悉的问题中首先获得解题成功的快乐体验。

问题2：(幻灯片3)（2004年江苏省高考试题）二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x-3-2-101234

y60-4-6-6-406

则ax2+bx+c>0解集是。

引导学生运用解决问题1的方法,画出二次函数y=ax2+bx+c的图像求解，并请学生说出不等式ax2+bx+c<0的解集和方程ax2+bx+c=0的解,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系)

设计意图：设置问题2以高考题为背景引入新课，可以提高学生兴趣，抓住学生眼球，让学生实实在在感受到高考题就在我们的课本中，就在我们平常的练习中。

教学环节(二)：交流探究发现规律

教学过程

(幻灯片4)题组1（课本19页例1、例2）

（1）解不等式2x2-3x-2>0;

（2）解不等式-3x2+6x>2。

学生根据问题2的方法画图求解,教师巡回指导,提醒学生注意掌握画二次函数图像的要领和方法。

题组2（课本19页例3、例4）

（1）解不等式4x2-4x+1>0；

（2）解不等式-x2+2x-2>0。

学生不难想到,这两题的方法和上面完全相同,教师在巡回指导中及时提醒学生注意和上面两题的不同,由图像写出解集是难点,必要时教师在黑板上画出图像给予一定的提示或讲解。

设计意图：从特殊到一般是我们发现问题、寻求规律、揭示问题本质最常用的方法之一。把课本例题1、2编为题组（一），例3、例4作为题组（二），让学生用图像法自己求解。两个题组的练习之后，可以寻求解二次不等式的一般规律。

教学环节（三）：启发引导得出结论

教学过程

至此，我们掌握了用图像法来解一元二次不等式。当然，我们可以仿照前面探讨“三个一次”关系的做法来探讨这里“三个二次”的关系。

引导学生分三种情况(△＞0,△＜0,△＝0)讨论一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)与ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集。

(幻灯片5)

解一元二次不等式的基本步骤：

（1）把二次项系数化为正数；（2）确定对应方程是否有实根，如有实根则求出根；（3）根据对应的二次函数的大致图像以及不等号的方向，写出不等式的解集。

设计意图：前面两个题组的四个小题，基本涵盖了一般一元二次不等式的各种情况，进一步启发引导学生将特殊、具体题目的结论作一般化总结，得出解集规律和步骤。由学生自己总结解题步骤，提高学生的认知水平。

教学环节（四）：运用结论深化巩固

教学过程

（幻灯片6）

1.解下列等式：

(1)3x2-7x+2＜0；(2)-6x2-x+2≤0；

(3)4x2+4x+1＜0；(4)x2-3x+5＞0。

2.x是什么实数时，函数y=x2-4x+1的值（1）等于0？（2）是正数？（3）是负数？

3.x是什么实数时，x2+x-12有意义？

设计意图：通过练习，使学生初步运用结论来解决具体的一元二次不等式，从而验证结论，同时加深对结论的理解。

教学环节（五）：课堂小结

教学过程

（幻灯片7）小结：

1.一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系：(1)方程的解对应于函数图像与x轴的交点；(2)不等式的解对应于函数图像与x轴上方（或下方）部分在x轴上的点。

2.解一元二次不等式的基本步骤：（1）把二次项系数化为正数；（2）确定对应方程是否有实根，如有实根则求出根；（3）根据对应的二次函數的大致图像以及不等号的方向，写出不等式的解集。

我们把上述根据图像来解一元二次不等式的方法叫就图像法。根据图像来解题，是我们数学中一种很重要的思想，即：数形结合的思想。

设计意图：通过小结，使知识得到保持和迁移，同时有利于培养学生良好的学习习惯。

教学环节（六）：思维拓展能力提高

教学过程

（幻灯片7）思考：

1.若不等式x2+2x+a<0的解集为空集，求实数a的取值范围。

2.若不等式x2+x+a>0的解集为R,求实数a的取值范围。

3.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为x｜-12＜x＜13,求a、b的值。

设计意图：设置思考题，使学生活跃思维，培养创新。同时为学有余力的学生提供学习空间,符合分层教学的要求。

教学环节（七）：课后评价

教学过程

(时间20分钟)

1.解下列不等式：

(1)2x2-3x+1<0； (2)-3x2+4x+4<0；

(3)-x2+2x-3>0；(4)14x2-x+1＞0。

2.解不等式：(2x+1)(4x-3)>0。

3.不等式x2-x+a<0的解集为空集，求实数a的取值范围。

设计意图：通过评价功能使学生所学知识得到强化，同时促进学生的学习动力，也有利于教师检验教学效果,为后面的教学提供参考和依据。

教学设计说明

本节课的所有内容以题组的形式展现给学生,学生始终在解题中探究,在解题中发现,学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏。

复习引入的问题1是学生已经熟知的一元一次不等式、一元一次方程及一次函数即“三个一次”的关系问题,旨在为后面探讨“三个二次”的关系提供方法和思路；问题2是课本中的材料,以高考题的形式出现可以引起学生更大的关注和兴趣。教材中的四个例题让学生完全按照解决问题2的方法自己去解,教师只在必要的时候提醒学生应该注意的问题,或学生遇到困难时给予引导。完成四道例题后,学生对一般一元二次不等式的解法和“三个二次”的关系已经有一定的理解,然后由特殊到一般,引导学生总结规律,形成一般结论。最后，学生再利用自己的总结去完成课堂练习,刚刚形成的方法与结论可以进一步巩固和深化。例题、练习和作业的设置由浅入深,并且补充部分题目，照顾各个层次的学生。

16.3二次根式加减法教学设计(第一课时) 第4篇

一、教材

“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在前面所学知识的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。本节课研究二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，也是学习二次根式的化简和运算的依据。

教学目标

根据数学课程标准中关于“二次根式及其性质”的教学要求，结合教材内容以及学生的实际情况我确定了本节课的三维教学目标。

知识与技能

1、了解二次根式的概念。

2、了解二次根式的基本性质，经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。

过程与方法

通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。

情感态度与价值观

激励全体学生参与自主学习，培养他们积极探索，勇于创新的精神，养成敢想、敢说、敢做的主动学习的习惯。

教学重点:二次根式的概念和基本性质 教学难点:二次根式基本性质的灵活运用

二、教法

为了更好的突出重点、突破难点并遵循“以学生为主体，教师为主导”的教学原则，我采用让学生自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。依据学生已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程，为后续学习打下坚实的基础。

三、学法

本课由于概念抽象，知识难懂，易使学生感到枯燥无味或产生畏难情绪。我根据学生由浅入深的认识规律和教学的启发性、因材施教等教学原则，以引导法为主，辅以讨论法等，让学生全面、全程的参与教学的每一个环节，充分调动学生学习的积极性，总结二次根式的基本性质。

四、教学过程

为了实现教学目标，我把本节课的教学分为以下几个环节：下面我将对每个环节进行说明。

一、复习提问

以旧引新

问题1：a表示什么？a需要满足什么条件？

问题2：算术平方根的定义是什么？定义里的关键信息是什么？

因为本节课的内容是建立在算术平方根基础之上的，而算术平方根并不是上节课的内容，所以以这两个问题作为开始，为本节课的学习做好知识上的铺垫，同时，使学生对本节课的内容有熟悉感。

二、构建新知

(一)二次根式概念的讲解

一般地，式子a（a0）叫做二次根式。这样一个简单的定义告诉了我们什么呢？

以这样一个问题引起学生对定义的深层次的思考，并引导学生从以下几个方面对该定义进行剖析：

1.二次根式一定含有“二次根式；

2.被开方数a可以是数也可以是代数式，且a必须为非负数，即a0；

3.二次根式a（a0）是a的算术平方根，即a0（a0）

为了更好的理解新知，我通过练习来加强学生对于二次根式概念的理解。

巩固练习：下列各式哪些是二次根式？

⑴ 1

5⑵7

⑶x22x

1⑷3x（x>0）在学生练习之后，教师提问：通过这个练习，你能总结一下如何判断一个式子是否为二次根式吗？

通过回答这个问题，巩固对二次根式概念的理解，同时培养学生的总结能力，并帮助学生学会如何对习题进行方法的反思。

在明确二次根式的概念之后，提出在实数范围内，由于负数没有平方根，所以a（a0）没有意义，也就是说，a中的a只能表示大于或等于零的实数，即若a是二次根式，则一定有a0，或若a有意义，说明a0。

”，它是一个形态定义，如4也是例1：实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？ 2x1

通过例1使学生巩固对被开方数的非负性的认识，并使学生学会确定被开方数中字母的取值范围。两个题目的设计兼顾了一元一次不等式的基本解法，为以后深入研究被开方数中字母的取值范围做好准备。由于本节课知识点较多，因此在本节课中不再扩充到较为复杂的情况。

活动一：交流与合作（各小组合作交流）

甲:在下面这些代数式中选择构造一个二次根式 乙:求出这个二次根式中字母的取值范围 a1、3、-2、2a

1、a1、a

2通过上面的活动使学生更好的吸收二次根式的概念，同时培养交流合作的意识。

（三）应用新知

为加深学生对二次根式双重非负性中a0（a0）的理解，我设计了例2。

例2 若x3y50，求xy的值。

同时通过对例2的分析，使学生明确a0（a0）的应用，并体会与旧知识的联系，感受数学的整体性，提高学生解决问题的能力。

(二)二次根式性质的研究

活动二：让学生利用计算器计算

2、3，也可以让学

22生自己选数，并让学生交流计算结果及发现的现象，并猜想a32________（a0）。

同时要求学生利用所学过的知识来解释为什么222

2、3以及a2a（a0），教师可以做适当地引导，并得出性质a2a（a0）

语言表述为：非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数。通过活动二使学生发现二次根式的性质，体验探索的过程，从而形成自己对这一数学知识的理解，培养学生归纳总结的能力。

再通过例3的练习来巩固二次根式的性质。例3：计算

通过例3，使学生学会运用公式

四、达标检测

这一环节是内化知识，训练思维、培养能力、形成技能的重要环节，因而我设计的练习题在注重基本练习的前提下，首先在形式上注意新颖多样、采取填空、选择、笔算练习等形式。其次在内容上注意采取秩序渐进的原则，由易到难，这样即符合学生的认识特点，又能兼顾大多数学生。

（五）、反思提高 这是作为新课必要的一个环节，结合板书，让学生说说本课学到的知识，并说出是怎样学到的，通过学生自己总结和评价，既加深了学生对新知识的理解和消化，又让学生体验到学习数学的价值和兴趣。

（六）、布置作业

这一环节我设计了分层作业，分为必做题和选做题，分别面向不同程度的学生，使所有学生都能有所收获。

（七）板书设计

a2a（a0）。板书设计是教学设计的画龙点睛之笔，这是我这节课的板书设计，呈现了这节课的教学重点。

二次根式和它的的性质（1）一、二次根式的概念 例1： 例3： 形如的式子叫做二次根式 二、二次根式的性质 1.（a）是一个非负数

2.（）2=a（a）我的说课完毕，谢谢大家！

数学二次根式的乘除第一课时学案 第5篇

一、内容和内容解析

1.内容

二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.

2.内容解析

二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.本节研究二次根式的乘法运算.运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.

二、目标和目标解析

1.教学目标

(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;

(2)会用公式化简二次根式.

2.目标解析

(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;

(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.

三、教学问题诊断分析

本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.

在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数)，可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1)，也可以先写成算术平方根的商的`形式，再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解法2);(2)如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.

本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.

四、教学过程设计

1.复习引入，探究新知

我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.

问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?

师生活动 学生回答。

【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质.

问题2 教材第6页“探究”栏目，计算结果如何?有何规律?

师生活动 学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容.

【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则.要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识.

2.观察比较，理解法则

问题3 简单的根式运算.

师生活动 学生动手操作，教师检验.

问题4 成立的条件是什么?等式反过来有什么价值?

师生活动 学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质.

【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况.乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力.

3.例题示范，学会应用

例1 化简：(1) ; (2) .

师生活动 提问：你是怎么理解例(1)的?

如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成 可以吗?你认为本题怎样才达到了化简的效果?

师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质 将其移出根号外.

再提问：你能仿照第(1)题的解答，能自己解决(2)吗?

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向.积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.

例2 计算：(1) ; (2) ; (3)

师生活动 学生计算，教师检验.

(1)在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由 直接可得 而不必先写成 再分解;

(2)二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的.对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算;

(3)例(3)的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算.本题先利用积的算术平方根的性质，得到 ，然后利用二次根式的乘法法则，变成 ，由于 可以判断 ，因此直接将x移出根号外.

【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算.让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用.

教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题.

4.巩固概念，学以致用

练习：教科书第7页练习第1题. 第10页习题16.2第1题.

【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况.

5.归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

(1)你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗?

(2)你能说明乘法法则逆用的意义吗?

(3)化简二次根式的基本步骤是怎样?一般对最后结果有何要求?

6.布置作业：教科书第7页第2、3题.习题16.2第1，6题.

五、目标检测设计

1.下列各式中，一定能成立的是( )

A. B.

C. D.

【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础.

2.化简 ______________________________。

【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式.

3.已知 ，化简二次根式 的结果是( )

A. B. C. D.

二次根式的加减法教学反思 第6篇

二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的`教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果。

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变。(可对比整式的加减法则)

同类二次根式的概念应分二层含义去理解(1)化简后(2)被开方数还相同。通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力。

再议二次根式 第7篇

数学运算中存在着互逆关系.例如，加法与减法、乘法与除法都互为逆运算，平方运算同样也有逆运算，即开平方运算，当我们要计算一个正方形的面积时，需要先测量正方形的边长.如果边长为l，则面积S=l²，这是平方运算.当我们要制作一个给定面积的正方形时，需要先求出其边长.如果给定的面

这些性质是二次根式的运算与化简的依据.

同学们已经学习了整式和分式，其中涉及了字母及数的加、减、乘（含乘方）、除四则运算.二次根式中有开平方运算.含有开方（包括开平方、开立方、开四次方……）运算的式子，都属于根式.表示字母及数的加、减、乘（含乘方）、除、开方运算的式子，统称为代数式，整式、分式和根式皆属于代数式.

二、二次根式的运算与化简

二次根式的运算与化简不仅出现在单纯的代数式变形之中，而且还与许多实际问题有关，

例1 若两圆的面积之比为12：7，则大圆半径是小圆半径的几倍？

解：设两圆的面积分别为12a和7a（a>O）.由圆面积公式S=π²，得两圆的半径分别

侧2 物体A从25m高处自由下落着地.物体B从36m高处自由下落着地，求两物体自由下落过程的时间差.

讨论：本例中用到了二次根式的减法.两个二次根式化简后根号内都是2g，后面的运算类似于合并同类项，一般地，根号内的式子相同的二次根式叫作同类二次根式.二次根式的加减法法则，即指合并同类二次根式，因此，运算时通常先把各式化简为最简根式，以便找出同类二次根式，

例3 图1中正方形ABCD和BEFG的面积分别为m和n，求长方形HFID的面积，

解：长方形HFID的长等于两个正方形的中，虽然各二次根式都已是最简二次根式了，但通常化简代数式时，要求分母中不含有根式，而此武的分母中有根式.为此。需要将式子作恒等变形，化去分母中的根式，这叫作分母有理化.具体做法为：

例3的结果表明，长方形HFID的面积等于两正方形面积之差.这一结论也能用几何图形的平移来证明.如图2，把正方形BEFC平移到AJKH的位置，电KJ=FE=GF，BJ=A B-AJ=BC-BC=CG，得长方形JBCK与CFIC的面积相等，所以长方形HFID的面积等于长方形HGCD和JBGK的面积之和，即等于正方形ABCD与AJKH的面积之差，其值为m-n.

《二次根式的加减》教案设计 第8篇

1．计算

（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1．计算:

（1）（+）×（2）（4-3）÷2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）（+）×=×+×=+=3+2解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-例2．计算

（1）（+6）（3-）（2）（+）（-）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：（1）（+6）（3-）

=3-（）2+18-6=13-3（2）（+）（-）=（）2-（）

2=10-7=

3三、巩固练习

课本P20练习1、2．

四、应用拓展

例3．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．

二次根式加减的教学设计 第9篇

课时：1课时

课型：新授课

教学目标：

1.知识目标：二次根式的加减法运算

2.能力目标：能熟练进行二次根式的加减运算，能通过二次根式的加减法运算解决实际问题。

3.情感态度：培养学生善于思考，一丝不苟的科学精神。

重难点分析：

重点：能熟练进行二次根式的加减运算。

难点：正确合并被开方数相同的二次根式，二次根式加减法的实际应用。

教学关键：通过复习旧知识，运用类比思想方法，达到温故知新的目的；运用创设问题激发学生求知欲；通过学生全面参与学习（分层次要求），达到每个学生在学习数学上有不同的发展。

运用教具：小黑板等。

教学过程：

问题与情景

师生活动

设计目的

活动一：

情景引入，导学展示

1.把下列二次根式化为最简二次根式上述两组二次根式，有什么特点？

2.现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如教科书图21.3-所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm和18dm的正方形木板？

这道题是旧知识的回顾，老师可以找同学直接回答。对于问题，老师要关注：学生是否能熟练得到正确答案。教师倾听学生的交流，指导学生探究。

问：什么样的二次根式能进行加减运算，运算到那一步为止。

由此也可以看到二次根式的加减只有通过找出被开方数相同的二次根式的途径，才能进行加减。

二次根式的加减教学反思 第10篇

二次根式的加减教学反思

（一）本次研修我们主要研讨的是“如何以问题情境为载体提高课堂教学的有效性”。所以本节课除了创设生活情境外，最主要是设计一系列的问题串为教学情境，类比同类项、合并同类项和整式加减，通过老师的问题情境，一步步的探索发现同类二次根式的定义和二次根式加减法的法则。使学生在己有知识的基础上，自然迁移到新的知识，建立新旧知识之间的联系，形成数学知识体系。归纳起来说，就是本节课我们本着以学生为主体，以设计的问题情境为主线，运用类比的思想，并且贯穿一定量的练习，来完成本节课的教学目标。

从实际授课来看，存在以下问题：

一、对学生可能出现的问题，备课时有预设到，但没有再进一步强化、追踪没有作到位。

例如，在什么是同类二次根式时，预设到“根指数相等”可能会有问题，出了一个选择题来巩固根指数的问题，并且第4小题也是一个根据根指数相同来完成的问题。第4小题学生完成的不好，没有从老师讲选择题时得到提示，同时如果讲完后再作一个小练习加以巩固可能会更好。

二、从加减计算来看，学生对于去括号变号、运算顺序、分数的开方掌握的不好。，这一类的运算掌握不好，导致课堂进度有点拖，以致能力提升题没有进行，“没有老底子，就没有新文章”。更要求我们对学生的计算能力要高度重视。同时也觉得自己在备课时把重点放在了前半部分，对计算题的设计没有到

位，对难易的掌握不好和对学生可能出现的错误没有预设到，比如不知要合并，不知如何合并。所以最后一题小测题和学以致用第4小题换一下就更好了。

三、没有利用好课堂内生成的问题情境，对所学知识进行巩固，并完成新知识的生成。

比如：让学生举例的同类二次根式，这里有同学说了一个，我当时只是简单地想成学生化简不对。其实这里可以加个上几个例子，点出根指数的问题，这样在后面作第4小题的时候学生的难度会小一点。

今后在教学中，精心备课的同时，一定要注意学习素质以此加强自身素养，而现在的国培正是我们提高的好时机。感谢国培，加油吧！

二次根式的加减教学反思

（二）我在教学二次根式的加减时，先了解了学生前面所学，然后根据学生具体学情，认真备课。我感觉同学们学习的效果非常好，学习气氛浓厚，能够自

主合作探究学习，教学效果好。

本节课开始时，首先由一个求修建两块运动场的草坪面积的实际问题出发，引导学生得出两个二次根式求和的运算。从而提出问题：如何进行二次根式的加减运算？这样通过问题指向本课研究的重点，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。

然后指导学生根据问题去自学课本。通过自学课本解决问题，从而自己独立学习，结合小组合作学习掌握二次根式的加减运算。

通过我深入小组搜集信息、指导学习，发现学生具备自学能力，独立自学时很肃静，同学们都能够通过翻阅课本自己独立完成问题导读单上的一些问题。合作学习时也很热闹，同学们都能够交流自己的见解，并且能够针对一些见解提出自己的看法让大家评议。

总之，本节课我感觉同学们学习的效果非常好，学习气氛浓厚，能够自主合作探究学习。

二次根式的加减教学反思

（三）通过这节课的学习，学生将掌握二次根式加减法运算法则，并发现二次根式加减法的实质就是合并被开方数相同的二次根式，这正如整式加减法的实质就是合并同类项一样，为了确认哪些被开方数完全相同，需要将二次根式化成最简二次根式，这时一定要认真细心，避免出错。

本节课是二次根式加减的第一节课，它是在二次根式的乘除的基础上的进一步学习，目的是探索二次根式加减法运算法则，在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则。2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力。3.对法则的教学与整式的加减比较学习。

在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了

二次根式变形致错例析 第11篇

化简：－a.

原式=a－a·=（a－1）.

造成上述错解的原因是对二次根式的概念理解不清，忽视了-a3>0这一隐含条件，即a<0，从而开方运算错误. 大家都知道，=a=a（a≥0），－a（a<0）， 由于与均为算术平方根，所以应有>0且>0，但错解中的a与·均小于0.

原式=a－a·=－a－a·=－a·+=（1－a）.

2. 忽视隐含条件

已知a+b=-2，ab=，求+的值.

原式=+==－2.

造成上述错解的原因在于忽视了隐含条件. 由a+b=-2，ab=可知a<0，b<0，因而上述中的+=+是不成立的.

原式=+=+=+=－=2.

3. 忽视了对字母的讨论

分母有理化.

原式==.

造成上述错解的原因在于忽视了对字母a的讨论. 当a=0时，1-=0，此时的分母为0，并且结果中的分母也为0，此时分式无意义.

（1）当a=0时，原式=.

（2）当a≠0时，1-≠0，此时原式=.

4. 忽视特殊情况

分母有理化.

原式=

==－.

上述求解过程看似无懈可击，其实是错误的. 造成上述错解的原因是忽视了特殊情况x=y>0的情况，此时上述变形过程中的分式无意义.

原式=

==－.

5. 误用定义

已知与是同类二次根式，求m的值.

由条件知与是同类二次根式，所以2m=4m+4. 故m=-2.

若m=-2，则2m= -4<0，与二次根式的定义矛盾，因此上述答案是错误的. 其原因是忽视了并非最简形式，应将其化成2，然后利用同类二次根式的性质求m的值.

因为=2，且2与是同类二次根式，所以有=，两边平方得2m=m+1，解得m=1.

二次根式的加减教学反思 第12篇

从实际授课来看，存在以下问题：

一、对学生可能出现的问题，备课时有预设到，但没有再进一步强化、追踪没有作到位。

例如，在什么是同类二次根式时，预设到“根指数相等”可能会有问题，出了一个选择题来巩固根指数的问题，并且第4小题也是一个根据根指数相同来完成的问题。第4小题学生完成的不好，没有从老师讲选择题时得到提示，同时如果讲完后再作一个小练习加以巩固可能会更好。

二、从加减计算来看，学生对于去括号变号、运算顺序、分数的开方掌握的不好。

这一类的运算掌握不好，导致课堂进度有点拖，以致能力提升题没有进行，“没有老底子，就没有新文章”。更要求我们对学生的计算能力要高度重视。同时也觉得自己在备课时把重点放在了前半部分，对计算题的设计没有到位，对难易的掌握不好和对学生可能出现的错误没有预设到，比如不知要合并，不知如何合并。所以最后一题小测题和学以致用第4小题换一下就更好了。

三、没有利用好课堂内生成的问题情境，对所学知识进行巩固，并完成新知识的生成。

比如：让学生举例的同类二次根式，这里有同学说了一个，我当时只是简单地想成学生化简不对。其实这里可以加个上几个例子，点出根指数的问题，这样在后面作第4小题的时候学生的难度会小一点。

16.3二次根式加减法教学设计(第一课时) 第13篇

这节课的知识技能目标是，1.探索二次根式加减的方法和步骤。2.会进行二次根式的加减运算。过程与方法目标是，通过类比的方法学习二次根式的加减运算，体会数学研究方法的多样性。情感态度价值观：独立思考、合作探究，培养科学的思维方法。

整节课围绕二次根式这个中心设计了八个活动。活动1复习导入，复习最简二次根式的概念，为后面学习同类二次根式做铺垫。活动2探究概念，让学生化简两组二次根式，然后观察每组二次根式有什么共同特点。过渡自然，同类二次根式的概念水到渠成。活动3应用概念，设计了三道题目，第1、2题是判断同类二次根式，第3题是一个提高题，主要是深化对同类二次根式的概念的理解。活动4探究法则，通过一个实际问题得到一个同类二次根式相加的式子，然后运用乘法分配律进行合并，为后面归纳法则奠定基础。活动5归纳法则，经过活动4的探究，小组合作归纳总结出二次根式加减法法则。活动6应用法则，让学生独立完成两个二次根式加减的例题，巩固二次根式加减法法则。活动7达标检测，通过一组题目进行自我检测，检验知识掌握情况。活动8课堂小结，通过对本堂课所学的知识进行小结，形成知识链，同时也培养学生及时归纳总结的好习惯。八个活动层层推进，相辅相成，形成一个有机的整体。

整堂课突出了“以学生为主体，教师为主导”的教学理念，运用了学生小组学习模式和“15+30”的限时课堂教学模式，在教学活动中贯穿了“问题导学、合作探究、交流展示、达标检测”课堂四要素，较好的体现了我校的“124”健康课堂模式。

回头观看教学视频，发现整堂课的观赏性有些不足。经过仔细分析和研究发现主要有以下原因：一是学生学习小组建设不足。这些孩子都来自农村，课堂上总是显得有些腼腆，不够大胆，要想让他们真正的活起来，就要对他们进行必要的培训。二是整堂课看起来思路清晰逻辑严密，但缺乏调动学生学习积极性的设计，缺乏激励机制和能够激励学生学习积极性的趣味性的活动。如：对做得快、回答得好的给予奖励分，或是给予积极的评价，设计一些兼顾知识性和趣味性的活动等等。三是教师可能是年纪大（46岁）的原故，有些活泼不足。

总之，在今后的教学工作中，要不断的学习新的教学理念，研究新时期学生的特点，不断改进教学方法，为提高教育教学质量贡献一份微薄的力量。

16.3二次根式加减法教学设计(第一课时) 第14篇

一、学生情况分析

前面学习了实数，实数的运算法则，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四则运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏.．为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍．

二、教学任务分析

二次根式（第3课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．

二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。教学目标： 知识与技能

1.进一步巩固二次根式的混合运算.2.进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.过程与方法

引导学生从特殊到一般,用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题.情感、态度与价值观

体验并掌握迁移、转化等数学思想与方法.教学重难点

重点：进一步应用二次根式的运算法则进行二次根式的混合运算.难点：熟练进行二次根式的混合运算和解决实际问题.三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固； 第三环节：问题解决 ；第四环节：课时小结；第五环节：课堂检测；第六环节：

作业布置.第一环节：复习引入

1、判断下列式子是否是最简二次根式？如果不是请将它化简为最简二 次根式。11，18，50，1，3，3

2232、在上面二次根式化简过程中，你有哪些体会（如何化简）？ 意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课． 第二环节：知识巩固 例6 计算：（1）32121；（2）188；（3）(24)3． 386说明：学生先独立完成，然后通过交流核对答案，发现问题，给出一个统一 的意见.1.交流

收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法． 2.反思

以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？ 3.巩固提高： 计算：（1）

1211)8．；（2）123；（3）(18 51032（先独学再对学）

第三环节：问题解决

如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形 的面积，你有哪些方法，与同伴交流．

1.合作讨论：

让学生充分发表意见． 2.学生代表展示： 3.教师总结:（1）直接求法．

过点D作AB边上的高DE，可发现边AB，DC及DE都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得AB＝52，CD＝2，DE＝32，面积梯形ABCD的面积是 1(522)32＝18.2（2）间接求法．

1）将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形

111的面积，得梯形ABCD的面积是57554211＝18．

2222）分割法：将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，然后求面积和。

第四环节：课堂小结

在进行二次根式运算时，你有哪些体会与收获？（知识、方法、思想方面）

第五环节：课堂检测

计算：（1）

（3）32(21241348)（4）(232)(362)； 832；（2）25032 239说明：学生独立完成，老师公布答案，小组长批阅，并汇报小组完成情况，小组就存在问题提问，老师解答.第六环节：课后作业习题 2．11 1，3 课后拓展：

（1）(xy

2四、教学反思

二次根式的化简技巧 第15篇

一､巧配方

例1 化简:.

解:原式==

=

=+-.

点评:此例没有直接分母有理化(那样会很麻烦),而是抓住式子的数值特征,运用配方迅速求解.

二､巧约分

例2 化简:.

解:原式===.

点评:此例先将分母和分子变换成含有相同因式的形式,然后约分,简化了运算过程.

三､逆用分式加减运算法则

例3 化简:.

解:原式==+

=+ =.

点评:此例把分子拆成两项之和,然后逆用分式加减运算法则.

四､倒数法

例4 化简:.

解:∵=

=+=+

=,

∴原式==.

点评:此例若直接分母有理化,运算相当复杂.这里先求它的倒数,再求其本身,就容易多了.

五､巧用“1”代换

例5 化简:.

解:原式=

= =+.

例6 化简:

+++…+.

解:==-.

同理,=-, =-, …

∴原式=-+-+-+…+-=-=1-=.

点评:以上两例均是把“1”与形如(+)(-)的式子互相进行了代换,值得注意.

六､运用换元法

例7 化简:+.

解:设x=n+2+,y=n+2-,则x+y=2n+4,xy=4n+8.

∴原式=+=-2=-2=n.

七､以退为进——先平方后开方

例8 化简:+.

解: +2 =10+5+2+10-5 =30.

∵+>0,

∴原式=.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文

16.3二次根式加减法教学设计(第一课时) 第16篇

湖北省通山县教育局教研室 袁观六

一、内容和内容解析

1．内容

二次根式的概念.2．内容解析

本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义.再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；

二、目标和目标解析

1.教学目标

（1）体会研究二次根式是实际的需要．

（2）了解二次根式的概念．

2.教学目标解析

（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．

（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．

三、教学问题诊断分析

对于二次根式的定义，应侧重让学生理解 “是非负数，的算术平方根的双重非负性，”即被开方数≥0

≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计

1．创设情境，提出问题

问题1你能用带有根号的的式子填空吗？

（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．

（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t，则t= _____．

师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．

问题2 上面得到的式子，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？

师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．

【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．

2．抽象概括，形成概念

问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？

师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如

【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．

追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？

师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．

【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．

3．辨析概念，应用巩固

例

1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．

例2 当是怎样的实数时，师生活动:先让学生独立思考，再追问．

【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．

问题4 你能比较

师生活动：通过分得出

和

这两种情况的讨论，比较

与0的大小，引导学生

与0的大小吗？

在实数范围内有意义？

呢？

≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高

练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.【设计意图】 辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？

（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？

（3）二次根式与算术平方根有什么关系？

师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：

教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．

五、目标检测设计

1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.B.C.D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．

2.当 时，二次根式

无意义．

【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题． 3.当

时，二次根式

有最小值，其最小值是

．

【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．

4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．