北师大必修1数学教案

北师大必修1数学教案（精选9篇）

北师大必修1数学教案 第1篇

知识改变命运，学习成就未来

1.2数列的函数特性

教学目的：

1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 3．理解数列的前n项和与 的关系； 4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点：理解递推公式与通项公式的关系

内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法 在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式 但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担 考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了 教学过程：

一、复习引入：上节学习知识点如下 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的

知识改变命运，学习成就未来

6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8． 无穷数列：项数无限的数列.二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题．

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．

模型一：自上而下：

知识改变命运，学习成就未来

∴当n≥1时 才有意义；当n-1≥1即n≥2时 才有意义.3． 与 之间的关系：

由 的定义可知，当n=1时，； 当n≥2时，即

说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解

例1已知数列 的

北师大必修1数学教案 第2篇

教学目的：

⑴使学生掌握正弦定理 教学重点：正弦定理

教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，——提出课题：正弦定理、余弦定理

二、讲解新课：

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即abc== =2R（R为△ABC外接圆半径）sinAsinBsinC

ab，sinB=，sinC=1cc 1．直角三角形中：sinA=

即c=abcabc，c=，c=． ∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC

2．斜三角形中

111证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=absinCacsinBbcsinA 22

21abc 两边同除以abc即得：== 2sinAsinBsinC证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴

同理 aaCD2R sinAsinDbc=2R，＝2R sinBsinC证明三：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB



两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB

则•+•=•



∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴

ac

= sinAsinC

sinC

sinB

sinA

sinB

sinC

cbabc

同理，若过C作j垂直于CB得： =∴==

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时:

无解absinA

一解(直角)absinA



bsinAab二解(一锐, 一钝)

ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

ab无解

⑵若A为直角或钝角时:

ab一解(锐角)

三、讲解范例：

例1 已知在ABC中，c10,A45,C30,求a,b和B 解：c10,A45,C30∴B180(AC)10

5accsinA10sin450

2 由 得 a0

sinAsinCsinCsin30

由

bc

得 sinBsinC

csinB10sin1050620b20sin75205652 0

sinC4sin30

例2 在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

bccsinB1sin6001解：∵,sinC

sinBsinCb2bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900

∴ab2c2

2例3 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin450解： ,sinC

sinAsinCa22

csinAac,C600或1200

csinB6sin750

当C60时，B75,b31，sinCsin600

csinB6sin150

当C120时，B15,b1 0

sinCsin60

b1,B750,C600或b31,B150,C1200

（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若

则sinC=

解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．

由正弦定理知，1，sinA

3即sinA

．由ab知，AB60，则A30，C180AB180306090，sinCsin90

1四、课堂练习：

asinAABC中，bsinBc

sinC

k,则k为() RRR(R为△ABC外接圆半径)

ABC中，sin2A=sin2B+sin

2C，则△ABC为()

ABCcos2A中，求证：

a2cos2Bb21

1a2b

参考答案：，

bsinBsinAasinBb(sinAa)2(sinBb)2

sin2Aa2sin2B

1cos2Ab

a21cos2Bb2 

cos2Acosa22Bb21a21

b2

五、小结正弦定理，两种应用

六、课后作业： sinAABC中，已知

sinCsin(AB)sin(BC)，求证：a2，b2，c

2证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）

cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C

2

1cos2B1cos2A1cos2B2222

∴2sinB＝sin2A＋sin2

C由正弦定理可得2b2

＝a2

＋c2

即a2，b2，c2

七、板书设计（略）

八、课后记：

第二课时：教材P46页例

1、例

2、例3

北师大必修1数学教案 第3篇

一、新教材需要教师加强学习, 提升驾驭教材的能力

加强学习是实施新教材教学的需要。且不说先进的教学理论, 相关数学知识背景, 还有涉及其他学科的知识都需要学习, 如在新教材中引入了“算法”, 涉及计算机的程序语言、程序框图等都需要重新认识和学习。选修教材中有一些内容更是比较陌生, 要求在教学之前进行学习。还有新教材突出体现了数学知识与信息技术的整合, 几何画板的使用, 教学课件的制作, 科学计算器和各种数学教育技术平台的使用等, 这些都是我们在新教材使用过程中必须学习的东西。这说明只有不断地学习, 才能提升驾驭新课程教材的能力。

二、新教材素材选取要具有亲和力, 教材栏目要个性化, 符合认知规律

1.新教材选取与其内容密切相关的、典型的、丰富的和学生熟悉的素材。用生动活泼的语言, 创设能够体现数学概念、思想以及应用的学习情境, 使学生产生对数学的亲切感。在体现数学思想、数学探究和论证方法、数学的科学与文化价值等地方, 用多元化方式呈现, 以增加教材的亲和力, 启发学生更深入的思考。

2.在教材安排上, 每一小节后都安排“阅读与思考”“信息技术”“探究与发现”等栏目, 其中第一章、第三章都安排了实习作业。每一课中, 在知识形成过程的关键点与联结点上, 通过观察、思考、探究等栏目, 提出对学生思维有启发性的问题, 引导学生的思考和探索活动, 切实改进学习方式。新教材还在知识性、趣味性甚至版面上都做了有益的探索, 如增加了名人科学家的知识背景、插图等新内容, 使学生开阔视野, 贴近生活。

3.新教材对原有的数学知识体系进行调整, 对原有的繁难问题进行了删减, 对一些与实际生活联系密切的知识做了增添, 以降低学习的难度。编者更加关注学生的身心特点和认知规律。新教材的编写体现以学生为主体的思想, 体现在强调学生能动地学习和掌握知识, 本质是使学生学会学习、学会思考、学会创新, 关注学生情感的培养和数学精神的培养, 使他们不仅有完整的数学知识技能, 还要有一个完整健全的人格。

三、新教材要求教学方式具有多变性

要体现新课程理念, 那种“一支粉笔一张嘴, 一本课本讲到底”的教学方法已无用武之地, 必须创造性地运用灵活多样的教学模式。

1.从新教材的要求来看, 教师要更新观念, 针对不同的课题、学生的年龄、基础等特点, 设计动态的教学模式。突出一个“变”字, 这是教学中最为关键之处, 教学方法要不断创新, 倡导学生增强自主学习意识, 养成积极探究、敢于提出问题或者质疑的习惯, 在学习活动中手脑并用, 培养和发展创新意识。

2.重视运用多媒体辅助教学。多媒体以其生动、直观、形象、新颖的特征优化数学课堂教学, 给学生提供了更多的直观形象, 培养了学生的数学思维能力和空间想象能力。在运用多媒体时, 教师要根据数学学科思维抽象的特点, 设计灵活、直观, 并有较强的针对性的多媒体。

3.新教材更加突出了数学思想。教学中要贯穿和体现这个过程。比如第一章节的类比思想、化归思想、等价转化思想等方面的习题都很多, 教学中要时刻注意体现数学思想, 达到学生会自觉运用数学思想的目的。

四、新教材提出新问题, 教学面临新挑战

问题1:教材的体系为何要打乱原来旧版教材顺序, 使得某些知识的学习因铺垫不足而增加学生的理解困难, 如前面简易逻辑、一元二次不等式的解法等。

问题2:课时不足, 对知识点很难进一步深入研究, 只能点到为止, 学生实际参与的时间并不多, 很难体现新理念“独立思考, 自主探索, 动手实践, 合作交流”。

问题3:新教材中部分教学目标不明确, 教师到底是教还是不教很难把握。比如:复合函数的定义域、值域, 《普通高中数学课程标准》中只指出不要设置一些繁难问题, 但定位不明确。再如教材后面的探究与思考活动又给出函数的自学探究内容, 这也应该在学习的范围内, 这些内容的教学目标不明确。

这说明新教材的数学教学面临新挑战, 但是我们要认识到教材的价值在于能促进学生充分发展, 在于能有效地激发学生积极主动地学习。所以, 我们在使用教材的过程中为学生提供机会, 促其情感愉悦、态度主动, 促其获得方法、提高技能。我们要做教材的主人, 通过再创造、内化、升华, 创造出许多相关的教学资源, 全面提高学生的素质。

北师大必修1数学教案 第4篇

【关键词】有效教学；实践；反思

新课程标准指出，学生的数学学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的，在教学过程中，我采用了“问题情景——建立模型——探究——解释——应用——拓展”的模式展开，也就是说，在课堂教学中，尽力做到教材的内容尽量与现实生活中问题相挂钩，让学生感觉到数学就在身边，显示数学的实用性。这方面，人教A版已经做出了很好的示范。教材编写了很多实例，如集合的含义与表示，一开始就以实例入手，引出元素和集合的含义，而有效教学的理念要求教师在教学中，体现自己的个性，才能促进学生的个性形成和发展。以下是本人教学实践的个案

一、抽象的教学内容与直观化、通俗化、具体化教学之间的关系的反思

案例一：“函数单调性”，由f（x）=x2的图象观察y随x变化情况。

函数的单调性，教材编写的很好，从图形语言——文字语言——数学语言，一步一个台阶，可在实施过程中，我先让学生自己探究后，犯错、徘徊后才提醒，教学过程中发现，文字语言：“当x>0时，y随x的增大而增大”，学生在初中里用过，一下就能说出来，而最后一个台阶，学生却很难跨上，即数学语言：“当0f（2-x）的解集。我把f（x）和x比喻成戴帽的人与没戴帽的人，两个人比高，要相同条件，要么都不戴帽，要么同时戴帽，增函数可理解为一般的普通的帽子，高个子戴着仍然是高个，矮个子戴着仍然是矮个子，减函数可理解为魔术帽，矮个子戴了变高，高个子戴了变矮。

因此，数学教学中问题的设计和选择，应尽可能地来源于学生们的实际生活经历，应找出更多的机会让学生们接触各种各样的现实问题，捕捉学生的生活的疑点、兴奋点，社会生活和热点，同时使抽象的教学内容更直观、更通俗、更具体。

二、堂上合作探究学习的时间与自主技能训练的时间之间的关系的反思

也就是说，要合理分配两者的时间。一节课中，如果教师为了让学生多点的时间进行笔头练习，自己过早地抛出题设结论和过程，就会使学生失去探究学习和求知的兴趣，这与新课标的精神不相符。但数学科有它自己的特点，它强调的是培养学生的逻辑思维能力、推理论证能力、空间想象能力和解决问题的能力，而这些能力的形成需要有牢固的知识技能作基础。

案例二：在研究几类不同增长的函数模型时，我讲完课本的例1后，就让学生自己去探究y=2x，y=2x，y=x2，y=log2x在（0，+∞）的增长情况进行比较，让学生找出关键点，找出交点，在课内的探究，时间有限，数字运算不可能太复杂。新课程提出要赋予学生更多自主活动、实践活动、亲身体验的机会，以丰富学生的直接经验和感性认识，宗旨在引导学生通过动口、动手与动脑，在亲自体验过程中获得发展，而一节课的时间很有限，处理好探究学习的时间与自主技能训练的时间之间的关系，是提高上课效率的关键。

三、学生实际水平与新的教学内容之间的关系的反思

新课程标准指出，学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。我充分利用教材，同时也大胆地整合教材，使我的课堂教学更适合我的学生。

案例三：“函数”，初中到高中，初中的函数，教材采用“变量说”，高中提出了“对应说”，人教A版采用了从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言，定义函数的方式介绍函数概念，把“映射”作为“函数”的一种推广，这种安排我在实践中觉得更有利于学生集中精力理解函数的概念。而具体教学过程，我为学生设计他们熟悉的“行程问题”、“比例问题”、“价格问题”，利用图表、图形（如课本第26页的练习2），让学生探究用集合与对应的语言来刻画，从学生熟悉实际背景和定义两个方面，帮助学生理解函数的本质。要求学生认识、描绘以及概括模式。

到了第三章，函数的应用，尽量挖掘与其它学科的联系以及实际生活的联系，如电话费、水电费、出租车费与用时的关系，银行利息与存款时间的关系，保险、物价、抽奖、股票、债券等等。引导和组织学生以学习小组的形式，进行调查和研究，让学生经历丰富的情感体验和实践活动，在情境中展开想象的翅膀，充分发挥思维的潜能，在生活中发现数学，提炼数学，应用数学。

总之，在教学反思的行动中，我坚持：一是保持敏感而好奇的心灵，“好奇心‘唤起关心’，唤起对现在存在或可能存在的东西的关心。正是好奇心使人们摈弃熟悉的思维方式，用一种不同的方式來看待同一事物。二是要经常、反复地进行反思，通过反思来理解对象、理解自己，让自己与对象对话、与自己对话

参考文献：

[1]章水云.新课标下高中数学“有效教学”的策略探究.中学数学研究，2006

北师大必修1数学教案 第5篇

§1.2 比 较 大 小 教 案

江西省吉安一中

罗飞兰

【教学目标】

（1）【知识与技能目标】

通过回忆初中内容，用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；掌握作差比较大小的基本步骤，并且能灵活的应用来解决一些实际生活问题。（2）【过程方法目标】

通过本节学习，强化转化思想、数形结合思想的运用。（3）【情感、态度与价值观目标】

通过本节学习，激发学生探究数学问题的欲望，体会数学的奥妙与数学式子的结构美、对称美，从而激发学生的学习兴趣。

【教学重点】比较大小的基本步骤及其应用。

【教学难点】准确理解实数运算的符号法则及一些代数式的恒等变形。【教学过程】

1、【创设情景】

大家先看右图，这两个人谁更漂亮？请说说你们的理由？

左边这个人再用动画展示一下，让学生从动画中发现人的身材是否匀称，其中有一关键点是比例问题。然后再给出问题的理论依据。

【理论依据】一般的人，下半身长与全身长的比值在0.57~0.60之间，当这个比值越接近黄金分割值0.618时人的身材就越好。

2、【探究发现】

【探究1】为什么芭蕾舞演员在表演时，脚尖立起来给人以美的享受？ 大家能不能结合上述理论依据猜想一下理由？

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知识改变命运，学习成就未来

问：实际生活中，我们想追求这种美，有没有什么简单有效果办法？（穿高跟鞋）问：上述方法都是我们的猜想，能不能用数学知识来证明？

这是一个实际问题，要用数学知识证明，必须先建立数学模型，就以穿高跟鞋为例。已知某人下半身长为a(cm)，全身长为b(cm)，请问这个人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加吗？

分析：没穿高跟鞋时的比值为

aamama，穿高跟鞋之后的比值为，只要比较与bbmbmb的大小关系。

这个问题涉及到不等式知识，我们先来复习回顾不等式的的知识。【不等式的性质】：①若a②若a③若a④若ab，则acbc b，c0，则acbc b，c0，则acbc

b，bc，则ac（传递性）

0.2注：不等式的传递性有很重要的作用，比如：比较x2以找中间数0，其中x0,y0，xy 【两个实数如何比较大小】

ab0abab0ab ab0ab比较大小常用它们的差ab与0的大小关系来确定 我们再回到上述问题，解答如下：

解：∵ 0ab,m0

amamba0

bmbbbmama bmb，ylog21的大小。我们可3欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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所以，穿上高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会变大；穿上适当的高跟鞋可以使人的下半身长与全身长的比值接近黄金分割值，从而使得人更漂亮了。这也是女士们为什么喜欢穿高跟鞋的原因。

其实艺术史上早就有这样的例子，古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗塑像都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美之神话。

【归纳小结】

1、比较大小的基本步骤：作差→变形→判断符号→下结论。

2、一般地，设a,b为正实数，且ab,m0，则有

ama bmb【探究2】日常生活中，还有哪些实例满足上述不等式？

（1）建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。

通过上述两张图让学生从视觉上理解课本例7所要表达的效果。（2）糖水中加糖，糖水变甜。

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3、【例题讲解】

【例1】试比较x1x5与x3的大小

2解：由于x1x5x3

2x26x5x26x940

∴ x1x5x3

23322【练习1】已知0ab，试比较ab与abab的大小。解：a3b3ab2a2baba2abb2abba aba22abb2 abab

2

20ab,ab0,ab0

abab0 2a3b3ab2a2b

2【练习2】设axx，bx2，则a与b的大小关系为（）

A、ab

B、ab

C、ab

D、与x有关 解：abx2xx2x22x2x110

2ab

【归纳小结】“变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。

“变形”的常用方法有通分、因式分解、配方等。

4、【知识应用】

【例】甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1、t2，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n。试判断甲、乙谁先到达B地。

解：设甲、乙所用的时间分别为t1、t2，从A地到B地的路程为S，则

t1t2sm1nt1 22mnss乙：t2 2m2n甲：s欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

知识改变命运，学习成就未来

2sss

mn2m2m2ssmn mn2mn2t1t24smnsmn 2mnmnsmn 2mnmn2m0,n0,s0,mn

smn0 2mnmn2t1t2

故甲比乙先到B地

【练习】两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同。其中，甲每次购买1000kg，乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？

解：设前后两次粮食的价格分别为x1、x2，甲、乙两人购粮的平均价格为y1、y2 y11000x11000x2x1x2

20002y22x1x22000

10001000x1x2x1x22xx2 xx22x1x2y1y2112x1x22x1x22x1x2x1x20

2x1x2y1y2

故乙的购粮方式更合算

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知识改变命运，学习成就未来

5、【知识小结】

1、比较大小

（1）步

骤：作差→变形→判断符号→下结论。

（2）关键点：变形是比较大小的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不

必考虑差的值是多少。常用方法有通分、因式分解、配方等。

2、一般地，设a,b为正实数，且ab,m0，则有

ama bmb3、应

用：灵活地应用比较大小的知识来解决实际生活中的问题。

6、【作业布置】

y21、已知x,yR,P2xy3,Q2x，试比较P，Q的大小。

422222222、已知abc，试比较Aabbcca与Babbcca的大小。

3、对于同样的距离，船在静水中来回行驶一次所花的时间与在流水中来回行驶一次所花的时间是否相等？请说明理由。（船在静水中的速度与在流水中的速度一致）

北师大必修1数学教案 第6篇

【预习达标】

在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，a=。sinA

a2.在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|==，即，同sinA1.在RtΔABC中，∠C=90, csinA=,csinB=，即0理得，故有a。sinA

3.在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|==，即aa，故有 sinAsinA

【典例解析】

例1 已知ΔABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小：

00000（1）A=60，B=45，a=10；（2）a=3,b=4,A=30；（3）a=5,b=2,B=120；（4）

b=.例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：

B D C BDABDCAC

【达标练习】

1.已知ΔABC，根据下列条件，解三角形:

(1)A=60，B=30，a=3；（2）A=45，B=75，b=8；（3）a=3，A=60； 00000

用心爱心专心

2.求证：在ΔABC中，sinAsinBab sinCc

3.应用正弦定理证明：在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.4．在ΔABC中，sinA+sinB=sinC,求证：ΔABC是直角三角形。

222

参考答案

【预习达标】

bcbcbca1．a,b,.2.bsinAasinB ， ,=.sinBsinCsinBsinAsinCsinBsinC

bbc3..bsinAasinB ， =.sinBsinBsinC

【典例解析】

例1(1)C=750，000(2)B≈41.80,C≈108.8,c≈5.7或B≈138.2，C

00≈11.8，c≈1.2(3)无解（4）C=45，A=15，a≈2.2

例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，得BDABDCACAC，sinsinsinsin(1800)sinβB 0 D BDAB两式相除得 DCAC【双基达标】

1．（1）C=90，,c=00

(3)B=60,C=902．证明：设00

abck，则aksinA,bksinB,cksinC sinAsinBsinC

abksinAksinBsinAsinB cksinCsinC

00

00003．(1)设A>B，若A≤90,由正弦函数的单调性得sinA≥sinB,又由正弦定理得a≥b；若A>90，有A+B<180,即90>180-A>B, 由正弦函数的单调性得sin(180-A)>sinB,即sinA>sinB, 又

由正弦定理得a>b.(2)设a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B≥90,则在ΔABC中A<90, 有sinA>sin（180-B）由正弦函数的单调性得A>180-B,即A+B>180,与三角形的内角和为180相矛盾；若A≥90,则A>B；若A<90,B<90, 由正弦函数的单调性得A>B.综上得，在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.4．略

北师大必修1数学教案 第7篇

一、新课引入：

已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log56=?

像log56这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。能不能将以5为底的对数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来

二、新课讲解： *logaNlogbNlogab 公式：x证明：设xlogbN，则bN

xlogablogaNxlogaNlogaNlogbNlogab,即logab。

1、成立前提：b>0且b≠且a≠

12、公式应用：“换底”，这是对数恒等

10为底。

3eNe=2.71828

例11：logablogba

1nlogablogabm2：n

m

例

2、求下列各式的值。X k b 1.c o m

（1）、log98•log3227

（2）、（log43+log83）•(log32+log92)

(3)、log49•log

32(4)、log48•log39

(5)、（log2125+log425+log85）•(log52+log254+log1258)

例

3、若log1227=a,试用a表示log616.解：法

一、换成以2为底的对数。

法

二、换成以3为底的对数。

法

三、换成以10为底的对数。

练习：已知log189=a,18b=5,求log3645。

例

4、已知12x=3,12y=2,求812x

1xy的值。

22logalogb5,logbloga•b的8484练习：已知

值；

例

5、有一片树林，现有木材220002.5%，求1

5解：设15年后约有木材 A=22000（×1.02515

∴答：15年后约有木材131840方。

练习：

1、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）个。

2、在一个容积为a升的容器里满盛着酒精。先向外倒出x升，再用水注满；第二次又倒出x升溶液，再用水注满；如此操作t次后，容器里剩余的纯酒精为b升，试用含有a、b、t的式子表示x。logaNlogbN

三、小结：对数换底公式：

北师大必修1数学教案 第8篇

一、认识新教材

新教材以它新颖、丰富有趣的内容吸引学生、引发学生的求知欲, 为中学数学教学注入了新鲜血液, 使之焕发出蓬勃的生机和活力。

1. 以学生发展为本, 删去“难、繁、偏、旧”的内容。

新教材结构体系发生了变化, 把知识学习、能力培养以及情感态度和价值观的体验与形成作为一个整体去加以综合考虑, 图文并茂, 语言生动, 深入浅出, 主要有以下特点: (1) 问题的方式体现了文化底蕴, 必修1无论是从问题的设置角度还是从问题的语言上, 都与现实生活密切相关, 如增加了名人科学家的知识背景简介阅读材料、插图等新内容, 开阔学生视野; (2) 内容设计反映了文化魅力, 新教材的内容设计是非常优美的, 其中不乏非常有趣的短文和图片, 常常能吸引学生的视线, 让人爱不释手, 在这种文化氛围中学习, 效果可想而知。

新教材对原有的数学知识体系进行了调整, 对原有的繁难问题进行了大刀阔斧的删减, 增添了一些与实际生活联系密切的知识, 对学生难以理解的重点内容进行了分散处理, 以降低学习的难度, 虽然在个别地方出现了基础知识后置的情况, 但编者的意图却是非常鲜明, 即更加关注学生的身心特点和认知规律。新教材的编写突出以学生为主体的思想, 体现在强调学生能动地学习和掌握知识, 本质是使学生学会学习、学会思考、学会解决实际问题、学会创新, 关注学生情感及数学精神的培养, 使他们不仅仅有完整的数学知识技能, 还要有一个完整健全的人格。

2. 重视过程、立足转化。

新教材在对知识的理论推导上有所减弱, 但在知识的发现过程上却有了前所未有的重视, 教材在概念引入时注意了情境的创设, 让学生在直观的基础上, 了解数学知识的来龙去脉, 发现知识的产生过程和应用过程。例如, 新教材在指数函数的引入时, 通过一个具体的例子———C14的衰变入手, 首先引入概念, 然后通过对两个学生所熟悉的函数y=x2和y= (21) x研究, 掌握指数函数的一般性质, 这样的处理方式生动有趣, 别开生面, 让学生易于接受!

3. 强调问题性、启发性。

新教材强调问题性, 以问题引导学生自己的主动探究、动手实践、合作交流, 培养问题意识和创新精神。数学必修1设计了“观察”、“思考”、“探究”以及“问号型问题”, 其中“观察”出现33次, “思考”出现21次, “探究”出现13次, “问号型问题”出现11次, 这些问题根据各章节知识内容的特点适时提出, 有利于引导学生积极主动、独立思考、勇于探索, 让学生在体验数学发现和创造的过程中提高自己的创新意识。

4. 联系实际, 强调应用。

新教材突出了数学与实际问题的联系, 意在培养学生的数学应用意识。在章前图的设计中就提出:“‘神舟’五号载人航天飞船离地面的距离随时间的变化而变化, 上网费用随上网时间的变化而变化, 出国旅游人数日益增多, 城市绿化面积不断扩大……都可用函数模型刻画”, 一下子调动了学生学习函数的积极性, 使学生深刻懂得了学习这些数学知识的重要性。第三章《函数的应用》的增加, 也印证了主编寄语指出的“数学是有用的”, 体现了理论与实践的结合。本章让学生真正体验到了数学在解决实际问题中的作用, 数学与日常生活以及其它学科的联系, 通过分析和解决这些问题, 促进了学生逐步形成和发展数学应用意识、提高实践能力。

二、体验新教材

课程改革追求的教育目标是:让人人学“有用”的数学。因此, 教学内容应尽量与现实生活中的问题相联系, 让学生感觉到数学就在身边, 显示数学的实用性。

1. 教学内容的直观化、生活化。

让学生根据已经学习的数学知识或生活经验中去发现问题、提出问题, 极大地调动了学生主动学习的积极性。

【课例1】“指数函数与对数函数”的引入, 课本设计了鱼化石中碳14的残留量。其中一个班讲课时用课本的引入, 让学生动手探究, 学生积极性不高, 原因大概是问题远离他们实际生活, 且数字太繁;上另一个班时, 把问题改为:“如果你父亲第一个月给你10元零用钱, 假设你父亲给的零用钱每月以10%的增长率增加, 问多少个月后你父亲给的月零用钱达到1千元?”这时学生兴趣来了, 体会到原来数学就发生在身边, 学生所表现出的热情与前一个班上课时完全不同。

2. 探究与技能的有机结合。

知识技能的形成是靠学生独立探究和自主的笔头训练, 所以课堂要合理分配时间, 在两者之间取得平衡。

【课例2】在研究几类不同增长的函数模型时, 讲完课本的例1后, 就让学生自己去探究y=2x, y=x2, y=2x在 (0, +∞) 的增长情况, 并进行比较, 让学生找出关键点, 找出交点。在课内的探究, 时间有限, 数字运算不可能太复杂;而把课本的例2作为第二节上课时的复习与回顾, 让例2复杂的数字的处理简化, 直接由学生自己第一节课探究的结果来分析, 得到题目想要的结论。这样既省了时间, 又能达到探究互助的目的。

3. 整合教学内容, 适合学生水平。充分利用教材, 同时也大胆地整合教材, 使课堂教学更适合学生。

【课例3】在第三章《函数的应用》教学中, 从学生熟悉的实际背景, 如电话费、水电费、出租车费与用时的关系, 银行利息与存款时间的关系, 保险、物价、抽奖、股票、债券等, 尽量挖掘与其它学科的联系以及与实际生活的联系, 引导和组织学生以学习小组的形式, 进行调查和研究, 在生活中发现数学、提炼数学、应用数学。

4. 注意与初中数学内容相衔接。

【课例4】二次函数是中学应用广泛的初等函数, 是初中阶段的学习重点, 由于初中的教学要求仅限于作图、确定函数解析式和理解函数的基本性质, 高中教材没有设计独立的章节, 随着函数概念和性质的学习, 在教学中充分利用二次函数作为载体, 把函数的性质 (单调性、奇偶性、最大值与最小值) 的学习逐步引向深入, 二次函数的“升级”正好是初高中数学教学的衔接。每位高中数学教师都应当了解、研究初中新课程的教材内容和课标要求, 做好初高中衔接。

三、反思新教材

1. 研读“课程标准”, 精确定位。

教师必须认真地、反复地学习“课程标准”, 真正从整体上把握“课程标准”。教师不仅要真正掌握“课程标准”体现的新理念, 而且应该准确理解把握“课程标准”对具体教学内容的要求, 以“课程标准”为准来进行教学。教学中, 必须以“课程标准”为依据, 强化双基, 注重“通性通法”的教学, 淡化特殊技巧, 尽量突出数学的本质内容, 让学生达到“课程标准”的基本要求即可。

应清晰地理解必修模块中选取了哪些内容;最基本的基础知识哪些放在了必修模块, 哪些放在了选修模块;知识之间有什么内在的逻辑结构, 每个知识点在不同模块中分别应该把握到什么程度。

在各章节教学中, 应关注各章节的基本要求、发展要求。把握好教学目标, 不搞一步到位, 删减的内容不要随意补充, 教辅材料不能作为教学的依据, 应把注意力放在核心概念、基本数学思想方法上, 注重通性通法, 不追求“特技”, 要学会放弃。

2. 准确把握教材的精髓。

再好的教材也会存在着一些不足与缺憾, 新教材也不例外, 但它体现了课程标准所给定的要求, 亦更深层地表现了国家于教育方面的某些意志, 从根本上讲, 它是经过学术机构权威人士审核的, 基本上是无有大碍的。对于广大实验教师来说, 科学的态度应该是:不是让国家教材来适应自己, 而是要求自己去尽快适应新教材, 努力实现“教教材”向“用教材教”的转变。

如习题1.3A组第6题:已知函数f (x) 是定义在R上的奇函数, 当x≥0时, f (x) =x (1+x) , 画出函数f (x) 的图象, 并求出函数的解析式。课本问题的设置是通过作图, 找到特殊点, 然后再确定x<0时的解析式。若不作函数图象, 能求出f (x) 的解析式吗?此方法可以推广吗?对一般的奇函数也适用吗?若f (x) 为偶函数又该怎么处理……这些问题的设置, 给学生留有广阔的思维空间, 给老师提供了很好的变式平台。

3. 转变教学理念, 面向全体学生。

由于新课程要体现时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念, 使不同学生学习不同的数学, 在数学上获得不同的发展。因此, 作为教师首先应转变观念, 充分认识数学课程改革的理念和目标以及自己在课程改革中的角色和作用。为此在教学设计中应充分考虑数学学科的本身特点、学生的心理特点。考虑到不同水平、不同兴趣学生的学习需要, 运用多种教学方法和手段, 引导学生积极主动地学习, 使学生的数学学习不只限于对概念和技能的记忆、模仿和接受, 而要让学生学会独立思考、自主探索、动手实践、合作交流。

在新课程中, 教学任务的主要矛盾是知识与技能、情感、态度与价值观、方法与过程怎样有机融合在教学过程中?传统的接受学习过程对知识与技能的学习是有效的, 但是很难顾及到情感、态度、价值观、方法能力的学习。必须设计新的教学过程, 引导学生自主探究, 让学生在主动探究问题的解决过程中, 通过观察、分析、推理、解释、调查等一系列活动, 获得知识与现象的内在联系, 并体验到探究过程的各种感受, 形成科学的态度、价值观。

新课改下数学内容多, 抽象性、理论性强, 学生从初中升入高一后, 首先遇到的又是理论性很强的函数, 又有很多对实际情境不熟悉的实际问题, 使一些同学感到不适应而造成学习上的困难。要让学生尽快适应高中数学的学习, 学习方法的指导就显得尤其重要。

参考文献

[1]普通高中数学课程标准[S].北京:人民教育出版社, 2003.

[2]李广修, 吴绍兵.直面新的课程改革[J].中学数学教学参考, 2007, (11) .

北师大必修1数学教案 第9篇

针对数学概念的学习与教学，有研究者将学生普遍感到难学、老师感到难教的概念称为难点概念。阮晓明、王琴文等通过调查研究指出高中数学教师和学生教与学的十大难点概念，其中，师生共同认定的难点概念为以下六个[2]：函数、反函数、球面距离、二面角、反正弦函数、参数方程。所以，函数概念既是高中学生数学学习的难点，也是教师教学的难点，因此成为高一数学教学研究的重点。不仅如此，纵观整个高中数学以致大学数学，函数作为刻画变量与运动的数学模型是贯穿始终的一条主线，因此既是数学教学的重点也是分析和解决问题的一种重要思想方法。

事实上，函数概念教学的研究一直是数学教学研究的课题。总体看，研究者分别从函数概念的形成，函数概念的思想、演变，图式理论、APOS理论等不同层面对函数概念教学进行了研究[3]，但尚未从函数概念教学的难点深入分析研究。下面结合《高中数学课程标准》的要求，探究数学概念的启发式教学策略，旨在为突破数学难点概念教学的瓶颈提供一种视角。

一、《普通高中数学课程标准》对启发式教学的要求

《普通高中数学课程标准》在基本理念中指出：高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。这就要求教师在数学教学过程中，要实施启发式教学，要激发学生的数学学习兴趣、充分发挥其学习主体的作用，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

二、数学概念启发式教学策略构建

1.创设情境、激发动机，发挥典型范例的意象表征作用

数学概念学习是一种有意识的思维活动，具有高度的抽象性和逻辑的严密性要求，需要学生较强的内在动机的驱使与推动，才能坚持下来和达到良好的学习效果。由于先入为主的心理机制，概念教学中第一个或第一组恰当例子的引入常常具有意象表征的作用。如高一映射概念的教学，有人通过一组贴近学生生活的实例来引人映射的概念，其一是给学生指定座位（一对一的样本），其二是给住校生安排宿舍（多对应一的样本），由此启发学生对映射本质属性的分析、抽象与概括，引领学生能动、自然地建构映射概念。这种来自学生熟悉的生活实际、易激发学生学习兴趣动机的典型范例，对抽象的概念教学既意义清晰又简洁明了，具有事半功倍之效。所以，概念教学的导入环节，应注重创设和引入贴近学生实际、简洁明了、典型的样本范例，以引发学生的问题意识、抓住学生的注意力、激发学生的学习动机，从而高效引领学生对它所表征的抽象概念的认知、理解和掌握。事实上，随着学段的升高，数学概念变得越来越抽象，理解也越来越困难，如果教学中对这类范例的积极意义认识不足，不善于运用范例来进行概念教学，或轻视范例的这种意象表征作用，只关注概念的形式化定义与分析，不仅会极大地增加学生概念认知、理解和记忆的难度，而且会削弱学生数学学习的热情。

2.忆旧迎新、分步设问，搭建思维的脚手架

根据概念定义的规则，定义由定义项、被定义项和定义联项三要素构成。其中，定义项必须是已被定义过的概念。换言之，新概念的获得是在已有认知结构的基础上进行的，并依赖认知结构中原有的相关概念、通过新旧概念之间发生联系而实现。所以，概念教学中，教师要透彻理解所教概念的本质和来龙去脉，按照概念建构与发展的逻辑递进轨迹，从学生的认知水平及规律出发，先复习定义项中涉及的已有概念、后导入新课;之后进行分层次、有梯度的分步设问与递进启发，以帮助学生弄清概念的来龙去脉及新旧概念之间的联系与区别。“尤其是核心概念的教学，常常需要教师‘不惜力、不惜时，费一番周折”[5]，切忌照本宣科、生搬硬套的“空降式”教学。例如高中函数概念教学，为突破教学中的上述难点，帮助学生理解再次学习函数概念的必要性，弄清高初中函数概念的区别与联系，在复习导入环节，依据高中函数概念建构依赖于初中函数概念、自变量因变量等已有概念，可创设如下分层次、递进式的问题串，为新知识的建构搭建思维的脚手架：（1）我们生活的世界充满着变化，还记得初中数学刻画变化的知识是什么？你能举几个例子吗？（2）判断它们是不是函数的依据是什么？初中函数概念是怎么说的？它涉及几个变量？它们的变量所属的集合有哪些异同点？（3）y=1是函数吗？

3.时间等待、适时点拨，先辨析本质属性后建构概念

数学概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动。而本质属性的概括基于学生的认知，体现了由具体到抽象的升华，这既是概念教学的重点，往往也是概念教学的难点。为了突破这一难点，概念教学应力求返璞归真，使学生自然地实现概念的形成[5]。换言之，数学概念教学应尽可能从具体实例出发，而不是从抽象定义开始。数学学习心理学也启示我们，本质属性的探索是应用分析、比较、抽象、概括等思维方法，对所研究对象的具体实例去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼的加工和改造过程，它不是一蹴而就的，需要花一些时间。所以，在引领学生感悟、辨析这类事物所独有而其他事物所没有的本质特征的过程中，教师不仅要通过分层次、递进式的问题串启发学生观察、分析、比较，还要在启发提问后留给学生必要的思考时间与空间，让学生进行辨析、抽象、概括，做必要的时间等待。

4.设计变式、巩固运用，例题教学先分析后解答

“举一反三”是数学启发式教学的目的之一。概念建构后，接下来就要围绕概念精心选择或创设样本全面的典型例题，再一次运用和发挥典型范例的意象表征作用，启发学生辨析、判断、巩固、运用，达到变式拓展、触类旁通、掌握概念的目标。尤其是要注重设计和应用“形同质异、形变质同”的问题，教学中要借助分层次、递进式的问题串，带领学生对例题进行审题、分析，启发学生质疑辨析本质属性，从中发展学生举一反三、触类旁通、透过现象看本质的能力，实现概念学习由抽象到具体的第二次螺旋上升。

三、启发式教学的关键是合理设置课堂提问

启发式教学的宗旨是激发学生探索知识的欲望，发展学生自己解惑、释疑、创新的能力。研究表明，实施启发式教学的关键在于课堂教学提问策略的应用，分层次、问题串式的提问是实施启发式教学最重要而有效的教学策略。为使分层次、问题串式的提问具有启发性，要注意提问的针对性和恰当难度，要以学生的原有知识为基础、在学生的最近发展区内;提问要有层次和梯度，考虑大多数学生的认知水平，使学生跳一跳、够得着;注重在教学重点、难点、关键处设问，切实揭示教材或者学生学习活动的实际矛盾，形成问题串;提问要精心设计、表达简洁明确，避免事无巨细、无的放矢;要恰当运用提问的方式，如正问、逆问、追问、填空式提问等，提高提问的效率。总之，无论进行哪一种类型和方式的提问，提问前对于问什么、怎样问、问哪些学生一定要心中有数、精心准备，切忌盲目、随意地发问。

参考文献

[1] 陈静安，黄永明.数学课程标准与学科教学.江苏：南京师范大学出版社，2012.

[2] 阮晓明，王琴.高中数学十大难点概念的调查研究.数学教育学报，2012（5）.

[3] 乔石.数学启发式教学研究.陕西：陕西师范大学，2011.

[4] 欧慧谋.高中函数概念的教学策略研究——基于数学多元表征学习视角.广西：广西师范大学，2012.

[5] 章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学（续）.数学通报，2009（7）.