圆与圆的位置关系教案

★ 数学教案－直线和圆的位置关系

★ 点和圆的位置关系教学设计

★ 《直线和圆的位置关系》教学设计

★ 《直线和圆的位置关系》教学方案

★ 九年级数学上册《复习直线和圆的位置关系》的说课稿

★ 直线和园的位置关系的教案设计

★ 位置与方向教案

★ “圆的面积”的教案

★ 《圆的面积》教案

★ 圆的性质教案

圆与圆的位置关系教案 第2篇

教学要求：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系； 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系 教学过程：

一、复习准备

1． 两圆的位置关系有哪几？ 2．设两圆的圆心距为d.当dRr时，两圆

，当dRr时，两圆

当|Rr|dRr 时，两圆，当d|Rr|时，两圆

当dRr|时，两圆

３．如何根据圆的方程，判断两圆之间的位置关系？(探讨)

二、讲授新课：

1.两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断

例1.已知圆C1:x2y22x8y80，圆C2:x2y24x4y20，试判断圆C1与圆C2的关系？

C2方法

（一）（配方→圆心与半径→探究圆心距与两半径的关系）方法

（二）解方程组

探究：相交两圆公共弦所在直线的方程。

2． 两圆的位置关系利用圆的方程来判断

方法：通常是通过解方程或不等式和方法加以解决（以例1为例说明）

AOBC1图1例2．圆C1的方程是:x2y22mx4ym250圆C2的方程是: x2y22x2mym230, m为何值时,两圆(1)相切.(2)相交(3)相离(4)内含

思路：联立方程组→讨论方程的解的情况（消元法、判别式法）→交点个数→位置关系）

练习：已知两圆xy6x0与xy4ym，问m取何值时，两圆相切。

例3．已知两圆C1:x2y24x2y0和圆C2:xy22y40的交点为A、B,（1）求AB的长；（2）求过A、B两点且圆心在直线l:2x4y10上的圆的方程.22222

3.小结：判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和r1r2或两半径的差的绝对值的大小关系.三、巩固练习：

22221．求经过点M(2,-2),且与圆xy6x0与xy4交点的圆的方程

2．已知圆C与圆x2y22x0相外切,并且与直线x3y0相切于点Q(3,-3),求圆C的方程.22x3y24xy13．求两圆和的外公切线方程

圆与圆的位置关系教案 第3篇

1. 学生观察、分析、回顾两圆的五种位置关系, 类比直线与圆的位置关系;经历用代数方法刻画两圆位置关系的过程.

2. 能根据给定圆的方程, 判断圆与圆的位置关系并加以引申, 提炼方法.

3. 通过演示两圆的位置关系, 培养学生用运动变化的观点来发现和分析问题的能力, 通过具体的探索活动, 让学生体验成功的喜悦, 激发不同层次的学生学习数学的兴趣和信心.

二、教学重点和难点

重点:两圆位置关系的判断.

难点:通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系.

三、教学过程

1. 导入新课:

古希腊大哲学家芝诺的学生问他:“老师, 难道你也有不懂的地方吗?”芝诺风趣地打了一个比方:“如果用小圆代表你学到的知识, 用大圆代表我学到的知识, 那么大圆的面积是多一点, 但两圆之外的空白, 都是我们的无知面, 圆越大, 其圆周接触的无知面就越多.”请你谈谈这其中的道理.

设计意图:从哲学家的大圆和小圆故事导入, 激发学生的学习兴趣和学习积极性, 引起学生的注意.同时渗透一个简单的道理:知识好比无垠的海洋, 等待同学们去探宝.富有启发及教育意义.

师生活动:

教师:请同学们在黑板上画两个圆, 并谈谈你的感悟.

生1:知识越丰富的人越会感到不懂的东西越多.

生2:愈学愈发现自己无知.

教师点评:学然后知不足, 教然后知困, 从而引出课题.

2. 提问:

平面内的两个圆, 如果它们做相对运动, 你会得出什么结论?

设计意图:从学生原有的认知结构出发, 根据图形运动变化, 让学生重新认识、探索圆与圆的位置关系, 总结出圆与圆的五种位置关系, 培养学生的动手实践能力.

师生活动:

教师让学生拿出课前准备好的圆形纸片, 并动手操作将两个圆形纸片在桌子上做平移运动, 观察、分析, 最后得出结论.

学生:两圆位置关系有外离、外切、相交、内切、内含. (同时动手画出图形)

教师:请同学们进一步从两圆的公共点的个数考虑两圆的位置关系.

学生:无公共点则相离, 有一个公共点则相切, 有两个公共点则相交.

教师:除以上关系外, 还有其他关系吗?可不可能有三个公共点?

学生: (得出结论) 在同一平面内任意两圆只存在以下五种位置关系.

教师设计图表并让学生填空 (如下表所示) .

3. 设置问题1:

已知C1:x2+y2+2x+8y-8=0, C2:x2+y2-4x-4y-2=0, 试判断圆C1与C2的关系.

设计意图:类比直线和圆的位置关系, 使学生掌握判断两圆位置关系的方法, 培养学生的联想能力和知识的运用能力.

师生活动:

教师提出问题:“此题中如何判断C1和C2两圆位置关系?”并引导不同层次学生探索.

学生尝试用不同方法解决问题.

生1:将C1、C2化成标准方程, 分别计算连心线的长并将其与半径的和、差比较, 可知R-r<d<R+r, 所以两圆相交.

教师:同学们利用几何法解题, 方法简单, 思路清晰.现请同学们再联想一下直线和圆位置关系的代数判断方法, 看看还有什么方法?

生2:要判断两圆的位置关系, 只要看它们有几个公共点, 只需联立方程组判断有几组实数解即可.

两式相减, 得x+2y-1=0 (3) , 代入 (1) 得, x2-2x-3=0.

由判别式大于零可知方程有两个不同的实根, 因此两圆有两个不同的公共点, 即两圆相交.

教师:有没有必要把交点的坐标求出来?

学生:本题只要判断两圆交点即可, 并不需要求出公共点的坐标, 因此不必解方程组求出具体实数根.

教师:研究圆C1与C2的位置关系能否说转化为研究直线x+2y-1=0与圆C1 (或C2) 的关系?

学生:能.事实上, 解 (1) (3) 构成的方程组就是解 (1) (2) 构成的方程组.

4. 设置问题2:

求经过两圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0, C2:x2+y2-4x-4y-2=0交点的直线方程.

设计意图:把上述问题引申, 从一道习题的解答过程中, 发现中间结果与最终结果形式一致, 寻找原因, 探讨它们的本质关系, 培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力, 从而激发他们的求知欲.

师生活动:

教师:在问题1的基础上提出问题2, 请同学们求解一下.

学生:联立方程

两式相减, 得x+2y-1=0 (3)

代入 (1) 得, x2-2x-3=0,

所以x1=-1, x2=3.

代入 (3) 得:和

即两交点坐标为:A (-1, 1) , B (3, -1) , 过两交点的直线方程为x+2y-1=0 (4) .

教师:观察分析以上解题过程, 你发现了什么?你能说明为什么吗?

学生:发现所得结果 (4) 与中间结果 (3) 是一样的.

教师启发:两曲线是圆, 两圆相交于两点, 两点就确定了一条直线.

学生:两交点坐标满足方程 (1) 、 (2) , 必满足由方程组 (1) 、 (2) 得的方程 (3) , 而它是二元一次方程, 所以它即为所求直线的方程.

教师:你们分析得很有道理.一般的, 如果两个曲线方程是f1 (x, y) =0和f2 (x, y) =0, 它们的交点是P (x0, y0) , 那么方程f1 (x, y) +λf2 (x, y) =0所表示的曲线是否也经过P (x0, y0) ? (λ是任意常数)

学生:因为两个曲线方程是f1 (x, y) =0和f2 (x, y) =0, 它们的交点是P (x0, y0) , 则方程f1 (x0, y0) =0, f2 (x0, y0) =0, 所以f1 (x0, y0) +λf2 (x0, y0) =0.因此f1 (x, y) +λf1 (x, y) =0表示曲线经过P (x0, y0) (λ是任意常数) .

教师:我们把方程f1 (x, y) +λf2 (x, y) =0称为曲线系方程.当λ=-1时就是过两圆交点的公共弦所在的直线方程, 也就是将两圆方程联立消去二次项所得方程.

5. 设置问题3:

求经过两圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0, C2:x2+y2-4x-4y-2=0的交点、圆心在直线2x+2y+1=0上的圆的方程.

设计意图:进一步引申问题1, 通过变式教学, 训练学生的发散思维.注意知识的前后联系, 探索解决问题的各种方法.

师生活动:

教师:这是我们前面做过的题目, 请同学们先思考, 然后小组讨论、交流自己的想法. (这样做使得学生的学习积极性更高, 学习氛围更加浓厚, 从而诱发对数学的学习兴趣.)

学生1: (小组1解答)

得两交点坐标为:A (-1, 1) , B (3, -1) .

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, ∵A, B在圆上, 且圆心在直线2x+2y+1=0上, 列方程组, 解的

∴所求圆的方程是x2+y2-x+2y-5=0.

学生2: (小组2解答) 由A (-1, 1) , B (3, -1) 得, 线段AB的垂直平分线方程为2x-y-2=0,

∵圆心在直线2x+2y+1=0上, ∴由

∴圆心C的坐标是 (, -1) , ∵圆的半径r=,

∴圆的方程是 (x-) 2+ (y+1) 2=.

学生3: (小组3解答) 设经过两圆x2+y2+2x+8y-8=0和x2+y2-4x-4y-2=0的交点的曲线系方程为:x2+y2+2x+8y-8+λ (x2+y2-4x-4y-2) =0, 整理得:

∴圆的方程为x2+y2-x+2y-5=0.

教师:比较这三种方法, 哪种更简单?

学生:曲线系方法简捷方便.

6. 尝试小结:

(1) 三类关系:两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类:相离 (外离和内含) 、相交和相切 (外切内切) .

(2) 两种方法:判断圆与圆的位置关系常用几何法、代数法.

(3) 一个方程:经过两个曲线方程f1 (x, y) =0, f2 (x, y) =0交点的曲线系方程为f1 (x, y) +λf2 (x, y) =0.

(4) 一种思想:数形结合的数学思想方法.

设计意图:用简明扼要的上述四句话, 概括出本节课的主要内容, 并将其纳入到学生的认知结构中去.

师生活动:学生归纳概括, 教师点评.

四、教学反思

本节课研究圆与圆的位置关系, 重点是研究两圆位置关系的判断方法, 并应用这些方法解决有关实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的几何方法, 着重强调了几何方法, 对代数方法没做要求, 但用代数方法来解决几何问题是解析几何的精髓, 是平面几何问题的深化, 它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此, 增加了用代数方法来分析位置关系的内容, 这样有利于培养学生的数形结合、几何问题代数化等思想方法的运用能力及辩证思维能力, 其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.

五、教学评析

数学是思想的体操, 数学教学是思维的教学.学生的思维活动依赖于教师的循循善诱和精心的点拨与启发, 而数学学科的特点又决定了数学内容的掌握和运用都需经过艰苦、细致的思考和探索.问题具有启发性和探索性是本教学设计的具体体现.比如, 研究圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2::x2+y2-4x-4y-2=0的关系时, 问:有没有必要把交点的坐标求出来?更进一步问:能否说明, 要研究圆C1与圆C2的关系只要研究直线x+2y-1=0与C1 (或C2) 的关系就可以了呢?问题具有针对性、挑战性, 不仅体现了化归的思想, 而且颇具思考价值.

本课例运用变式教学, 确保学生参与教学活动的持续热情.变式教学是对数学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式, 以暴露问题的本质特征, 揭示不同知识点内在联系的一种教学设计方法.通过变式教学, 采用一题多用、多题重组, 常给人以新鲜感, 能唤起学生的好奇心和求知欲, 从而让学生产生主动参与的动力, 保持其参与教学过程的兴趣.本设计提出问题1后接着提出与之有联系的问题2和问题3.通过学生的观察分析, 发现了过两圆交点的公共弦所在直线方程;通过学生不同思维方法的探究, 归纳出曲线系方程解决与圆交点有关问题的优越性.

圆与圆的位置关系教案 第4篇

关键词：高效课堂；两圆位置关系；研究方法

这学期我在学校数学教研活动中开设的一堂组内公开示范课。我想谈谈个人的想法以及不足之处。首先本节课完成了预定的目标，并且学生的掌握程度比较高，但是与此同时还有一些不足的地方，需要进一步改进！以下是我对本节课的反思：

对于艺术班的学生而言，为了让他们能够在最后的一年里提高对数学的兴趣，树立学习的自信，我放慢进度，给学生创造条件，让他们亲身经历探索的过程，了解数学的真谛，对基本概念、定理等有深入的研究，知道它们从哪里来，怎么来的，又要用到哪里去。有时候为了让学生能够自己去观察、猜想、验证、归纳和总结，我不得不放慢节奏，细一点，慢一点，再慢一点。

下面我再来谈谈能力技能部分，由于本节课计算量大，学生基础又相对薄弱，所以例题3我打算放在下一节课研究，本节课重点研究两圆位置关系的判定及应用和与两圆相切的有关问题。例题1，我设计的意图是让学生在考虑两圆相切、相离的时候，会忘记分类，一味地认为相切就是外切，相离就是外离，而事实的确如此，有80%的学生漏解，所以对于这类问题以后纠错训练里面还会进一步强化。计划不如变化，课堂的处理稍有不当，就会带来当堂训练没有办法完成。所以这也是我这节课结构不够完美的地方，只给学生4分钟完成了1、2两小题，答案的分析只能留在下节课。所以我觉得既然是一节公开课，在前面例题1的评讲时，只需说出漏解原因，展示学生导学案即可，可以给后面留有充足的时间。

而要想真正地提高本节课的效率，必不可少的教学工具就是投影仪和电子白板，自从使用这些工具，学生的积极性提高了，上课的效率有了质的提高。投影仪可以用来展示学生的导学案，分析错误原因，可以减少学生板书的时间。电子白板的优势就更加的明显了，对于我们数学学科，利用多媒体电子白板信息技术图文并茂、声像并举、能动会变、形象直观的特点，为学生创设各种情境，能调动学生强烈的学习欲望，激发学习兴趣。课堂教学成功与否，其主要标志是教学效率的高低，而这又取决于学生参与教学活动的态度是否积极、主动。学生有了饱满的学习兴趣，便会对学习产生强烈的需求，积极地投入学习，坚持不懈地与学习中的困难作斗争，不再感到學习是一种负担。运用多媒体电子白板技术进行教学，能够创设良好的教学情境，加深学生的感观刺激，牢牢地抓住学生的注意力，激发他们的学习兴趣，在教育教学活动中起到事半功倍的效果。这节课中，我利用电子白板的TRACEEdu事先画好要用的图形，上课用的时候只需拖拽就可以，大大节省了时间，而且图形的准确率明显更高。所以在多媒体教学中，教师只是处于引导、点拨的主导地位，而真正体现了以学生为主体的学习模式，它强调学生的自主学习，通过伙伴或教师的帮助自主建构知识。因此，多媒体电子白板教学中学生之间的协作性、创造性、创新性得到了充分的体现。

通过这节课，学生深切感受到预习在学习中的重要作用，也通过自己的预习对所学知识有理更深入的理解，提高了课堂效率；同时，通过对这节课的反复推敲设计与反思，我也深切感受到对教材研究的重要性。最大的收获是得到了来自于备课组的帮助、团结与合作，这让我体会到一个人的力量是有限度的，眼光也是狭隘的，而集体的力量却是无穷的。我想在以后的教学中，加强团队的合作意识，并且我将会根据授课内容的需要，大胆地去利用教材，活用教材，充分利用教学工具去为学生服务，让他们在轻松愉快的氛围中去学习数学，掌握数学，应用数学。

（作者单位 江苏省扬州市高邮市临泽高级中学）

圆与圆的位置关系教学反思 第5篇

由于本节圆与圆的位置关系是新课，这节课的内容与 “直线和圆的位置关系”有密切的联系，但这节课的两圆位置关系远比直线与圆的位置关系复杂。因此，我通过实例引入和让学生动手操作类比直线与圆的位置关系，猜测两圆可能存在的位置关系，然后经过讨论，归纳确定两圆位置关系的各种情况。在与两圆位置关系相应的数量关系的研究中，鉴于学生已有直线与圆的位置关系中两量（半径、圆心到直线的距离）的数量关系的认知基础，就只运用了类比迁移的方法。这些方法的运用，都是为了充分发挥学生在探求新知过程中的主体作用。

其次，与五种位置关系相应的数量关系的研究中，我采用“先易后难，突破关键”的教学策略。先让学生解决易于解决的“外离”、“外切”、“内切”时的三量的数量关系，再解决“内含”时的三量的数量关系，最后突破相交时三量的数量关系：R－r

通过这节课的教学，我觉得课堂就应该交给学生，而不是一味的填鸭式灌输给学生，这样反而达不到预期的效果出来。

《圆和圆的位置关系》教学反思

西安铁一中 惠慧芳

学生的学习是一种认识活动。因此，在数学教学中要注意揭示获取知识的思维过程,即数学知识的提出、形成、发展和探索过程。使学生在学习知识的过程中变被动接受现成的结果为主动经历思维过程，使思维在过程中展开，能力在过程中发展。

现代多媒体手段和网络教学环境为学生动手参与课堂教学、主动的探索、研究问题提供了空间。多年的教学实践使我深深体会到：教师借助信息技术与学科的有机整合，提高教学中问题导语的有效性，将学生的知识与技能、情感态度与价值观融入教学过程，可最大限度的调动学生学习的主动性，收到事半功倍的教学效果。教师在教学中应精心设计问题情境，为学生搭建研究问题的平台，然后采取尝试指导的方法来启动、诱发学生的思维，这是发展学生思维能力的主要教学措施。在《圆和圆的位置关系》一课我作了以下尝试。一．渗透主题、激趣导入，诱发学生探索、研究的欲望

首先，我精心设计了这样一个启始画面：在色彩明快活拨的版式正中书写大标题：圆和圆的位置关系，揭示主题；右上角是教学目标：1.理解圆和圆的五种位置关系.2.探索两圆的位置关系及两圆位置关系与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系,体验数学活动充满着探索性和挑战性.3.会应用所学知识解决有关问题；通过观察、类比，体会事物间相互联系和运动变化的辨证统一思想；培养实事求是的科学态度和协同合作研究问题的精神，旨在渗透目标教学；左下角以flash动画的形式直观展示两个圆在相对运动的过程中产生的不同位置关系，并配以零点乐队的歌曲《相信自己》烘托气氛，为学生的主动参与作心理准备。在节奏明快、催人奋进的乐曲声中有目的、有方向地将学生从课前准备的低谷带到波峰。使学生产生急切的“愿听其详”的心境。

二．精心设计问题情境，启动学生探索、研究的积极性

人的学习是一种自主的活动，在学习过程中，活动的需要与动力是首要的，学生对数学有无兴趣和求知的欲望是能否积极思维的动力因素。要引起学生的学习兴趣和求知的欲望，行之有效的方法是精心的设计问题导语，创设合适的问题情境，引起学生对数学知识本身的浓厚兴趣，做到“把问题作为教学的出发点”，重视研究能造成学生迫切学习心理气氛的课堂教学模式。

在教学中，我精心的剪辑了几段录像片来创设问题的情境：①卡通片黑猫警长：黑猫警长所骑摩托车的车轮体现了两个圆之间的关系；②奥运五环：象征五大洲团结的奥运五环也是由一些圆组成。③射击靶子：记录射击运动员成绩的靶子也是由一些圆组成；④滚珠轴承：利用物理学原理设计的滚珠轴承在生活中有着广泛的应用，它也体现了圆和圆的位置关系。这些声情并茂的剪辑片不仅融入了情趣、拼搏、团结、向上的情感，而且体现了学科间的知识渗透。使学生在上课之前先领会到所学知识。通过这种“未入其文”、“先动其情”的方式，唤起学生无尽的联想，以触动学生的内心深处，激发他们积极想象，从而提高获得知识的欲望。

三．精心指导尝试活动，促使探索、研究的活跃性

在数学教学中，研究性的尝试活动是一种较高级的思维活动，它主要是为了解决某个数学问题，借助于观察、试验、类比、归纳以及概括、经验、事实等，形成猜想或假说，在已经掌握的概念和知识体系基础上演绎出问题的结论，从中获得新概念，从而丰富原有的知识体系并为巩固尝试探究的结果对新知识进行运用的一系列活动。在教学过程中，我们应放弃一讲到底的做法，试着让学生通过教师设计的问题导语的引导，去尝试研究、探索，促使他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。在尝试点选择较好的课堂上，我深深感到学生的思维特别活跃，每个学生都能发挥自己的潜能。

在学习圆和圆的位置关系一课时时，假如照本宣科说：“我们发现圆和圆之间有五种不同的位置关系”来引课，很明显是暗示学生接受这一事实，则不易唤起创造性的思维。因此，在教学中我首先借助多媒体以动画的形式声情并茂的展示了直线和圆的位置关系，通过导语唤醒学生旧知识——启发学生通过观察体会：直线和圆由远到近在相对运动的过程中，根据公共点个数的不同产生并定义了三种不同的位置关系，并且每种不同的位置关系都能通过直线到圆心的距离d和圆的半径r之间的数量关系揭示出来。进一步启发学生类比运动的观点和形的问题通过数来反映的这种研究问题的方法，利用多媒体网络进入《几何画板》设定的情境，借助《几何画板》数形结合及优良的测算功能，亲自动手拖动两圆相对运动，去尝试、观察、探索、研究；学生的积极性高涨，兴奋的操作，激烈的辩论，你争我抢的上台展示自己的结果。通过类比归纳、互相讨论、合作交流，从而获得圆和圆的五种不同的位置关系及每种不同的位置关系下对应的圆心距d和两圆半径R、r之间的数量关系，达到了参与知识的发现过程。教师此时需要做的只是在一旁引导协助，保护好他们的主动性与积极性，激发其创造。同学之间的相互启发、不甘示弱的竞争意识和表现欲，使思维处于高度兴奋状态，最容易产生创造性灵感，一束智慧的火花就这样被点燃了。

四、积极评价、延伸挑战，激活探索、研究的期望

在学生探究活动结束后，教师应通过精心设计的问题导语，及时的启发学生进行积极的评价，引导学生小结反思，让学生获得成就感的同时，更进一步激发学习的内在潜能，调动主动发现、探知的期望。

在本课即将结束时，我借助多媒体播放了一曲民乐《庆丰收》，伴随着丰收喜庆的音乐启发引导学生从三个方面小结：一是知识：对本课所学的知识进行小结；二是方法：对本课获取新知识所运用的学习方法进行归纳；三是技能：感受在本课的学习中探究、协作带来的心理体验。作业则是针对不同学生精心设计的软件包，让学生可以根据自己的程度在网络上选择点击。这些不同的软件包涵盖了基础性、趣味性、开放性、探究性及生活性应用，并且均配有金钥匙链接自查，必要时还可以动画演示。这样，以开放式的学习实践冲击固有的观念。让学生感受到学习数学既是对社会、自然和人生认识不断深化的过程，同时也是不断获得终身发展能力的过程，延续了挑战性目标。

圆与圆的位置关系教案 第6篇

教学目标：

1．理解圆与圆的位置关系；

2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的圆心距； 3．会用圆心距与两圆半径之间的大小关系判断两圆的位置关系．

教材分析及教材内容的定位：

本节教材是本单元的最后一节，从知识结构来看，它是直线与圆位置关系的延续，从解决问题的思想方法来看，它反映了事物内部的量变与质变．通过这些对学生进行辩证唯物主义世界观的教育．所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在几何教学中都占有重要的地位．

教学重点：

两圆位置关系的判定． 教学难点：

通过两圆方程联立方程组的解来判断圆与圆的位置关系．

教学方法：

导学点拨法、电脑、投影．

教学过程：

一、问题情境

1．情境：古希腊哲学家芝诺的学生问他：“老师，难道你也有不懂的地方吗？”芝诺风趣的打了一个比方：“如果有小圆代表你学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一些，但两圆之外的空白，都是我们的无知面，圆越大，其圆周接触的无知面就越多”请你谈谈其中的道理；

2．问题1：直线与圆的位置关系的几何特征是通过公共点来刻化的，请同学们猜想一下：圆与圆的位置关系按公共点分类能划分为哪几类？

问题2：圆与圆的位置关系有几种情况？ 问题3：(师指出圆与圆的五种位置关系的名称之后提问)你能给这五种位置关系分别下一个准确的定义吗？

二、学生活动

1．回顾知识点互相交流； 2．在教师引导下，阅读教科书；

3．利用类比方法，总结出判定圆与圆的位置关系的方法．

4．学生动手在同一个直角坐标系中画出两个圆，观察并思考用数学语言发表自己的解题方法

5．在教师的引导下总结判定两圆位置关系的方法—代数法与几何法

三、建构数学

1．引导学生自己总结给出判定圆与圆位置关系的步骤；

2．圆与圆之间有____，____，_____，____，_____五种位置关系． 3．判断圆与圆的位置关系有两种方法：（1）几何方法：

2222两圆(xa1)2(yb1)2r1(r10)与(xa2)(yb2)r2(r20)

圆心距d＝___________________________________________________, dr1r2两圆___________________________；

dr1r2两圆___________________________；

r1r2dr1r2两圆___________________； dr1r2两圆__________________________； 0dr1r2两圆_______________________；

d0时两圆为______________________________．

（2)代数方法：方程组

x2y2D1xE1yF1022xyD2xE2yF20

有两组不同实数解___________________________;有两组相同实数解___________________________;无实数解____________________________________． 4．两圆的公切线条数． 当两圆内切时有_______条公切线；当两圆外切时有________条公切线；相交时有________条公切线；相离时有_________条公切线；内含时_______公切线．

四、数学运用 1．例题．

例1 判断下列两圆的位置关系,并说明它们有几条公切线．

(1)(x2)2(y2)21与(x2)2(y5)216（2）x2y26x70与x2y26y270

例2 求过点A(0,6)且与圆C:x2y210x10y0切于原点的圆的方程．

例3 已知圆C1：x＋y＋4x＋y＋1＝0和圆C2：x＋y＋2x＋2y＋1＝0．

（1）判断两圆的位置关系，若两圆相交，求公共弦AB所在直线的方程及公共弦的长；（2）试求两圆的公切线方程． 2．练习．

（1）两圆x＋y＋4x－4y＋7＝0和x＋y－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为 ．（2）若半径为1的动圆与圆x＋y＝4相切，则动圆圆心的坐标满足的关系是

．（3）圆x＋y＝1上动点A到圆(x－3)＋(y－4)＝1上动点B间距离的最大值和最小值分别为

．

（4）若两圆x＋y＝9与x＋y－8x＋6y－8a－25＝0只有惟一的一个公共点，求实数2

22222

222

2a的值．

（5）求与圆C：x＋y－4x－2y－4＝0相外切，与直线y＝0相切且半径为4的圆方程.（6）已知⊙C1：x＋y＋6x－4＝0和⊙C2：x＋y＋6y－28＝0相交于A，B两点．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过A，B两点的圆C方程．

五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1．圆与圆的五种位置关系； 2．圆与圆的位置关系的判定：（1）几何方法；（2）代数方法；

《圆与圆的位置关系》评课记录 第7篇

吴义国校长：

王华均老师的这节课体现了学生的主体地位，让学生在探究中亲历知识形成的过程，远比让学生直接但却被动地获取现成知识结论要更加具有深远的意义和影响，学生的观察、猜想、探索等其他各方面能力都能得到有效地开发和锻炼。

教学思路的层次、脉络清晰，实际运作效果也不错，达到了本节课的教学目的。

课堂上王老师精心选择了与日常生活密切相关的事物（如自行车、众志成城标志图、日全食图片等），使学生感受到数学知识就在身边，为培养学生用数学的观点和方法来分析问题解决问题的意识奠定了基础，确实费了一番心思。

本课努力为学生创设民主、和谐、宽松的学习氛围，使教学过程成为一个不断创设问题情境，和探索解决问题的过程，努力为学生提供充分的活动条件和活动空间。

本节课让学生通过移动硬币来探究圆与圆之间的位置关系，突破了以往直接给出概念或规律让学生被动接受知识的讲课方式，而是通过让学生自己动手主动探索的方法。因为学生已经有了点与圆、直线与圆的位置关系等基础。只要教师引导得当学生们是能够顺利进行探究的，只是王老师没敢放手让学生进行小组交流探究，否则效果会更好。当然真正让学生养成自主探索习惯并非一朝一夕练就的，需要循序渐进。

这节课还有两个小问题是以后要注意的：

一、教师语言要准确，如圆心距说成是“„„的线段（连线）”；

二、教师的语气、语调再有些变化会更好； 以上是我个人的一些看法，不当之处请各位同仁批评指正，谢谢！许勤主任：

王华均老师这节课是圆与圆的位置关系，总体设计很好，主次分明，层次清楚。整个教学过程分三大板块：探求圆与圆的位置关系、寻找圆与圆的数量关系、利用有层次、有坡度、要求明确、题型多变的练习题巩固这种关系。整堂课有主有次，有高潮也有低谷„

课堂的闪光点：第一板块的知识的生成很精彩也很完善，分五步：第一步：学生动手操作、反复演示发现圆与圆之间不同的位置关系。说明教师具有先进的教学理念，充分发挥了学生的主体作用，调动了学生探求知识的积极性。

第二步：让学生板演展示自己的发现，共用了三个学生补充完毕。有比较才有发现，有失误才有成功。学生在探索中发现，在差异中寻求完善。

第三步：利用多媒体展示自然景观——日环食现象，充分体现刚才发现的圆与圆的不同位置关系。让学生感到数学就在身边，数学知识就来源与实际生活。并进一步用flash动画展示圆与圆的不同位置关系巩固学生的认知。多媒体运用的适时恰当，较好的扩充教学的信息量，发挥了多媒体对教学的辅助作用。

第四步：根据公共点的个数分类命名，并举出生活中的图片，让学生用眼睛观察并说出它们的位置关系的称呼。抽象的数学知识溶入生活画面让学生通俗易懂。

这一板块的教学充分体现了新课程的教学理念：“让学生在生动具体的情境中学习”“学生是数学学习的的主体，教师是组织者，引导者、合作者”课堂是学生的舞台，是主角。教师是敲边鼓的，是配角。

第三板块：题型组合设计较好，即可锻炼学生的逆向思维，又能发展空间想象力。不足之处：第二板块在教学方法上与第一板块不同，教师分析引导为主，学生旁听。这一块继续放手让学生探究效果会更好。

数学概念不严密：相切“圆与圆有唯一的公共点”说成“圆与圆有一个的公共点”, “公共点”说成“交点”

总之，本节课的教学体现了以学生为主体，以教师为主导，以思维训练为主线的教学模式，达到培养学生能力全面发展的教学目标。

刘寿林老师：

王华均老师讲的是《圆和圆的位置关系》一课，可以说非常成功。教学设计充分体现新的教学理念，重点突出、层次清楚、构思新颖，注重学生的主动参与、动手操作，让学生从中去体验学习知识的过程，同时，也培养学生的自主学习能力和创新意识。

我们数学组认为有以下几个亮点： 亮点一：导课新颖

导入数学课寓趣味于其中，既体现了与地理学科的整合，又能激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲。用多媒体演示“日食”现象的动画，再抽象成几何图形，让学生比较生动直观的感受两圆运动过程中的几种位置关系，丰富学生对现实空间及图形的认识，建立空间观念，发展形象思维，同时也是对学生想象力的一种发散训练。

亮点二：运用类比法

用微机将两圆的五种位置关系进行分类，并类比直线与圆的位置关系，让学生思考分类标准，从而引导学生确定两圆位置关系的一种方法（交点个数）。让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。亮点三：数形结和思想

在经历“观察──猜测 探索──验证──应用”的过程，渗透了从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、思维能力。实现了感性到理性的升华。

罗建老师：

课堂闪光：让学生经历操作、探究、归纳、总结圆和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力让学生在探索圆和圆的位置关系的过程中，学会运用数形结合的思想解决问题。让学生通过运用圆和圆关系的性质与判定解题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。

真情商榷：

1、两圆的公共点的个数称为交点个数是否合适。

2、在两圆外切时探究两半径与圆心距的关系时直接说连心线过切点，所以圆心距等于半径和是否不妥，因为连心线过切点需要证明，没证明可以直接用吗？

何超老师：

本节课是学生在已掌握了点与圆的位置关系、直线和圆的位置关系等知识的基础上，进一步研究平面上两圆的不同位置关系。

值得欣赏的地方：

1．通过复习点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，采用类比的思想，让学生猜测圆与圆有哪些位置关系。引出悬念，调动学生的学习积极性。

2． 探讨圆与圆的位置关系时，借助学生手中的硬币，让学生动手、动脑，这样既形象直观，学生易于接受，又锻炼了学生的探索能力。

3．题目设计全面，训练适当，使学生在充分学习新知的基础上，达到了复习巩固。

4．教师运用数形结合的思想，使学生学会运用圆和圆的位置关系的性质解题，提高了学生解决问题的能力。

5．学生从探索两圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变与质变的观点，领悟数学之美，培养良好品质。

6.用数学的观点和思想方法解释生活中的问题这一理念得到了较好的落实，让学生感受到了生活中无所不在的数学知识。

值得商榷的问题：

1． 对学生画图要求不严格，画圆时最好借助圆规。

2．观察圆和圆的位置关系时，时间把握不是很好，题目重复太多。

公开课评课现场

公开课

评 课 记 录

学

校：鸡姑小学 记录人：王华均 时

圆与圆的位置关系教案 第8篇

如果两圆的半径分别为r1和r2 (r1

进一步利用d与r1和r2之间的关系研究两圆的位置关系, 并完成下表:

教材之所以把“两圆外切的判定和性质”单独列出 (两圆内切的判定和性质, 同理可得) , 并放在首要位置重点解决, 是因为“两圆相切的判定和性质”在“关于两圆的各种位置关系的判定和性质的定理” (以下简称“两圆位置关系定理”) 中, 或者说在本节中, 既是重点, 又是难点.解决好这个问题, 就抓住了“两圆位置关系定理”, 甚至是本节的主要矛盾.

稍加注意, 就不难发现, 在证明“若两圆外切, 则d=r1+r2”或“若两圆内切, 则d=r2-r1 (r1

而且, 在今后, 只要遇到解决两圆相切的问题 (如第103面第16题、第112面第3题、第114面第3题、第115面第5题、第121面第6题, 等等) , 也都需要首先解决“相交两圆的连心线, 必过切点”的问题.这是“圆与圆的位置关系”中无论如何也绕不过去的一道坎.毕竟“三点共线”不是“显而易见”的, 也不是想忽略就忽略得了的.是每次遇到这类问题都啰唆一遍好, 还是干脆作为定理一次说清楚好?答案显然是后者.

因此, 笔者认为, 应该在圆与圆的位置关系 (两圆相离、外离、内含、相切、外切、内切、相交) 的定义之后、圆与圆的位置关系定理“思考”之前, 增设定理:“相切两圆的连心线, 必过切点”及证明 (同样可以让学生“思考”、探索) .这样做至少有两个好处:一是可以分散“圆与圆的位置关系定理”证明的难点, 二是为解决相切两圆的各种问题扫清障碍, 使学生在“思考”“圆和圆的位置关系定理”、解决相切两圆的各种问题时, 更加顺畅、更加严密.

另外, 以表格形式表述这个定理并不恰当, 一是表述不完整 (即使学生按要求补全, 也是如此) , 二是没有揭示两者 (圆和圆的位置关系、d与r1和r2之间的关系) 之间的逻辑关系.作为弥补, 建议教师在指导学生完成列表之后, 规范板书该定理:

定理设两圆的半径分别为r1和r2 (r1

(1) 若两圆外离, 则d>r1+r2;

(2) 若两圆外切, 则d=r1+r2;

(3) 若两圆相交, 则r2-r1

(4) 若两圆内切, 则d=r2-r1 (r1

(5) 若两圆内含, 则d

反之亦然.

教材也应该在列表之后、例3之前留下空白, 供学生书写该定理, 使其成为该节内容的一部分.

摘要：和以往的初中数学教材相比, 现行初中数学教材 (人教版义务教育课程标准实验教科书.数学) 九年级上册“24.2.3圆与圆的位置关系”一节大大简化, 后面的习题也做了相应删减, 这对减轻学生过重的学习负担有一定的积极作用.但简化并不等于优化, 有时过简反而会使知识的学习和问题的解决更加困难、思维过程更加复杂.本节的教学内容即为一例.

直击点与圆的位置关系 第9篇

毕达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆.”同学们，当你开始“圆”这一章的学习时就进入了一个神奇美丽的世界，让我们从学习点与圆的位置关系开始吧！

一、 概念释疑

认真的你一定会注意到，在我们的书本上对“圆”给出了两种不同的定义：

1. 把线段OP绕着端点O在平面内旋转一周，端点P运动所形成的图形叫做圆.

2. 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

对于第一种解释大家应该很容易理解，对于第二种定义同学们可能就不太好理解了.通俗地讲集合就是由具有同一属性的对象汇总成的集体，第二种定义的意思就是：圆，只有一个圆心，圆心到圆上各点的长都相等，并且到圆心的距离等于定长的点都在这个圆上.

二、 概念拓展

如果我们在平面上画一个圆，我们可以知道平面内的点与这个圆存在三种位置关系：（1） 点在圆上；（2） 点在圆内；（3） 点在圆外.

由此我们还可以得出两个结论：

1. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合.

2. 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.

三、 例题的拓展

苏科版《数学》教科书第39页尝试与交流：

如图1，线段PQ=2 cm.

（1） 画出下列图形：

到点P的距离等于1 cm的点的集合；到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合.

（2） 在所画图中，到点P的距离等于1 cm，且到点Q的距离等于1.5 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来.

（3） 在所画图中，到点P的距离小于或等于1 cm，且到点Q的距离大于或等于1.5 cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来.

【解析】（1） 到点P的距离等于1 cm的点的集合是以P为圆心、1 cm长为半径的圆，到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合是以Q为圆心、1.5 cm长为半径的圆，如图2-a；

（2） 满足条件的点有两个，为（1）中两圆的交点M、N，如图2-b；

（3） 由前面的概念可知这样的点既在☉P内或☉P上又得在☉Q外或☉Q上，即为如图2-c的阴影部分（包括边界）.

变式1 圆心位置、半径大小都确定

如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，E、F分别为AB、AC的中点，以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A、C、E、F与☉B的位置关系.

【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4，所以AB=8>4，则点A在☉B外；很明显，点C在☉B上；BE=AB=4，所以点E在☉B上；连接BF，在Rt△BCF中，BF >BC，所以点F在☉B外.

【点评】现在要判定平面内一点与圆的位置关系，除了通过画图，还可以通过比较该点到圆心的距离与半径的大小来判定，而后者以后会用得更多些.

变式2 圆心位置不变，半径改变

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4.以B为圆心、r为半径画圆，当r在什么范围时，点C在☉B内，点A在☉B外.

【解析】要使点C在☉B内，r>BC=4；要使点A在☉B外，r

变式3 圆心位置改变，半径不变

如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，点F为AC中点，点P为AB上一动点，以P为圆心、2为半径作☉P，当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动（点P到A时运动停止）过程中，点F在☉P内有多少时间？

【解析】由勾股定理易知AC=4，则AF=2.过F作FH⊥AB，可得FH=<2，因此点F一定有一段时间在☉P内.此时只要弄清何时圆心P与点F的距离为2，如图6中的P1、P2的位置.利用勾股定理可得P1H=1，同理P2H=1，则P1 P2=2，而点P以1个单位每秒的速度运动，因此点F在☉P内共2秒.

变式4 圆心位置、半径大小都改变

如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，点F为AC中点，点P为AB上一动点，当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动时（点P到A时运动停止），以P为圆心的圆的半径也由0开始以1个单位每秒的速度变大. 在这个过程中，点F在☉P内有多少时间？

【解析】如图8，根据变式3的运算结果，在Rt△AFH中，FH=，AH=3，则HB=5.假设点P运动t秒时点F正好在☉P上，则PB=PF=t，PH=5-t.在Rt△PFH中利用勾股定理可以算得t=2.8.接下来点F一直在☉P内，因此点F在☉P内共8-2.8=5.2（秒）.

同学们有没有发现上面的例子都是万变不离其宗——紧紧围绕着点与圆的位置关系，所以平时大家多积累一定能有更多收获！

（作者单位：江苏省常州市新北区龙虎塘中学）