统计回归分析报告

统计回归分析报告（精选8篇）

统计回归分析报告 第1篇

纵向数据下半参数回归模型的统计分析

对于纵向数据下半参数回归模型,基于广义估计方程和一般权函数方法构造了模型中参数分量和非参数分量的`估计.在适当的条件下证明了参数估计量具有渐近正态性,并得到了非参数回归函数估计量的最优收敛速度.通过模拟研究说明了所提出的估计量在有限样本下的精确性.

作 者：田萍 薛留根 Tian Ping Xue Liugen 作者单位：田萍,Tian Ping(许昌学院数学系,许昌,461000;北京工业大学应用数理学院,北京,100022)

薛留根,Xue Liugen(北京工业大学应用数理学院,北京,100022)

刊 名：系统科学与数学 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCE AND MATHEMATICAL SCIENCES年，卷(期)：27(6)分类号：O1关键词：纵向数据 半参数回归模型 广义估计方程 渐近正态性 收敛速度

统计回归分析报告 第2篇

回归分析与独立性检验都是统计中的重要概念，都可以借助已知对未知进行判断；但两者区别还是很大的，下面通过一例进行比较说明：

例题：为了对中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学、物理分数对应如下表：

（1）若80分以上为“优”，否则为“一般”，试判断数学“优”与物理“优”是否有关？

（2）用变量y与x的相关系数说明物理与数学的线性相关程度，并用相关指数判断所求回归模型的效果；

解析：（1）根据题中条件，对两变量进行分类，先看数学成绩“优”的有“4”人，“一般”的有“4”人；物理“优”的有“6”人，“一般”的有“2”人；

于是，列联表如下：

16(2446)21.0682.706，显假设数学“优”与物理“优”无关，则K881262然，没有充分的证据显示数学“优”与物理“优”有关；

（2）结合数据，借助计算器容易求出x77.5，y85，z81，(xx)ii1n2 1102，(yi1niniy)456，(ziz)550，(xix)(yiy)694，22i1i1nn(xx)(zz)ii1

747，于是

变量y与x的相关系数r(xi1nix)(yiy)2(xi1nix)(yi1niy)26940.979可见

1102456变量y与x的线性相关性很好；

先求变量y与x的回归方程

由于b(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n26940.6298，aybx36.19 1102得回归方程为y0.6298x36.19；

此时(yiyi)27，R21i1n(y(yi1i1nniyi)y)270.98； 456i由此可以看出，变量y与x的回归模型的回归效果好；

评析：（1）从第一问的求解结果可以看出：数学“优”与物理“优”没有明显的关系；也就是数学“优”的人不一定物理“优”，当然，物理“优”的人也不一定数学“优”；它告诉我们这两科不能由一科是否“优”来推知另一科是否“优”；

（2）数学成绩与物理成绩没有关系吗？不是！第二问的求解结果告诉我们，这两科的成绩有关且具有很强的线性关系；通过线性回归方程，在已知一科成绩的前提下，可以预测另一科的成绩；由y0.6298x36.19，当x80时，y0.62988036.1986.57；从这个结果上看，只要是数学成绩不低于80分时，物理成绩就不低于86分。也就是说：数学“优”的人，物理一定“优”；反过来，不能肯定。

（3）两个结果看似有矛盾，其实没有；只是独立性检验是“粗线条的”，它只能回答是否有关。当两者不能互推时，就可能产生无关的结论。而回归分析是“细微”的，它不仅回答是否有关，更重要的是它可以告诉你有关的程度，甚至通过一个值就能预测另一个值。

（4）无论是“粗线条的”还是“细微”的，其结论的适用都有局限性，最理想的就是仅对样本而言，稍微扩大一点，对样本所存在的总体，可信度都会大打折扣；对“样本所存在的总体”以外的个体或其它总体可能一点都不适用。毕竟“预测”、与“判断”不用代表

统计回归分析报告 第3篇

关键词：回归分析,相关关系,线性相关系数,最小二乘法

一、了解历史,弄清关系

为了让学生尽快地进入到这部分内容的学习中,并对所学习的知识有一个系统、清晰的了解,教师可以通过相关的数学史背景资料消除学生对这部分内容的神秘感.通过对相关概念的介绍,帮助学生理清关系,形成完整的知识网.

(一)“回归”一词的来源

“回归”(Regression)一词源于19世纪英国生物学家兼统计学家葛尔顿(Francis Galton)对人体遗传特征的实验研究.他根据实验数据,发现个子高的双亲其子女也较高,但平均来看,却不比他们的双亲还要高.同样个子矮的双亲其子女也较矮,但平均来看,也不会比他们的双亲还要矮.高尔顿对此的解释是:大自然有一种约束机制,使人类身高的分布保持某种稳定形态而不向两极分化.他把这种身材趋于人的平均高度的现象称为“回归”.自那时起,“回归”一词一直沿用至今,并作为统计概念加以应用.如今统计学的“回归”概念已不是原来生物学上的特殊规律,而是作为变量之间依存关系的统计分析称呼.

(二)相关关系与函数关系

1. 函数关系

函数关系是指变量与变量之间存在着确定性的依存关系,在这种关系中,对于某一变量的每一个数值,都有另一变量的确定的值与之对应.如:圆的面积S与半径r有着S=πr2的函数关系,r值发生变化,则有确定的S值与之对应.

2. 相关关系

相关关系是指变量与变量之间存在不确定性的依存关系,在这种关系中,对于某一变量的每一个数值,另一变量有若干个数值与之相对应.如:身高1.75米的人可以表现为许多不同的体重.又如,施肥量与亩产之间,一定的施肥量,其亩产数值可能各不相同.

(三)相关关系的种类

1. 根据相关关系的程度划分,可分为不相关、完全相关和不完全相关

(1)不相关.如果变量间彼此的变化互相独立,则称其关系为不相关.即一个变量变化时,另一变量不随之相应变化.在散点图上表现为所有的观察点没有任何关系.

(2)完全相关.如果一个变量的变化是由另一变量的变化所唯一确定,此时变量间的关系称为完全相关.即一个变量的数值完全随另一变量的变化而变化.在散点图上表现为所有的观察点都落在同一条线上.这种情况下,相关关系实际上是函数关系,所以,函数关系是相关关系的一种特殊情况.

(3)不完全相关.如果变量间的关系介于不相关和完全相关之间,则称为不完全相关.即一个变量随着另一变量的变化会有一个集中的大致趋势.在散点图上表现为所有的观察点都在一条线的附近波动.大多数相关关系属于不完全相关,是统计研究的主要对象.

2. 根据变量间相互关系的表现形式划分,可分为线性相关(或直线相关)和非线性相关(或曲线相关)

(1)线性相关(或直线相关).若两个变量x,y的散点图中,所有点近似地在一条直线附近波动,即表现为直线形式,则称变量间为线性(或直线)相关.此时,我们可以用一条直线来拟合.

(2)非线性相关(或曲线相关).若两变量x,y的散点图中,所有点近似在一条曲线附近波动,即表现为曲线形式,则称变量间为非线性(或曲线)相关.此时,我们可以用一条曲线来拟合.常用拟合函数有:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0);幂函数y=axb;指数函数y=aebx;对数函数y=a+blnx等.

由于所有的非线性相关都可以通过变换将其转化为线性相关,所以重点是线性相关.

3. 根据变量的多少划分,可分为单相关和复相关

(1)单相关.两个变量之间的相关关系叫单相关.即只涉及一个自变量和一个因变量.

(2)复相关.三个或三个以上变量的相关关系叫复相关.即涉及两个或两个以上的自变量和一个因变量.

4. 根据相关关系的方向划分,可分为正相关和负相关

(1)正相关.指两个变量之间的变化方向一致,即自变量x的值增大(或减小),因变量y的值也相应地增大(或减少),这样的关系就是正相关.

(2)负相关.指两个变量之间变化方向相反,即自变量x的数值增大(或减小),因变量y的值却随之减小(或增大),这样的关系就是负相关.

教材重点介绍了两个变量之间的线性相关.

(四)相关分析与回归分析

1. 相关分析.

相关分析是研究变量之间是否存在相关关系的一种统计分析方法,其目的是确定相关关系的表现形式以及相关关系的密切程度和方向.但它不能说明一个变量发生一定量的变化时,另一个变量将会发生多大量的变化.也就是说,它不能说明两个变量之间的一般数量关系值.通常利用数据统计表和散点图进行分析.

2. 回归分析(regressi on anal ysis).

回归分析是指在相关分析的基础上,确定变量之间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法.其目的是把变量之间的相关关系模型化,力求用一种函数关系式来构建它们之间的关系,就是找出一个能够反映变量间变化关系的函数关系式,从而可以根据自变量的某一个给定值推断出因变量的可能值(或估计值).所构建的函数关系式就称为回归方程.

3. 回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析和多元回归分析;

按照自变量和因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析和非线性回归分析.如果在回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析,得到的直线方程称为线性回归方程.如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析.

4. 相关分析与回归分析既有联系也有区别.

从两者之间的联系来看,互为补充、密切联系,相关是前提,回归是结果.相关分析需要回归分析来表明数量关系的具体形式,而回归分析一定要建立在相关分析的基础上,依靠相关分析所表明变量具有相关关系后,建立回归方程才有意义.主要区别有:(1)在回归分析中,不仅要根据变量的地位、作用的不同区分出自变量和因变量,把因变量置于被解释的特殊地位,而且以因变量为随机变量,同时总假定自变量是非随机的可控变量.在相关分析中,变量间的地位是完全平等的,不仅无自变量和因变量之分,而且相关变量全是随机变量.(2)相关分析只限于描述变量间相互依存关系的密切程度,至于相关变量间的定量关系则无法明确反映.而回归分析不仅可以定量揭示自变量对因变量的影响大小,还可以通过回归方程对因变量值进行预测和控制.

(五)最小二乘法

二、公式推理,再现过程

在《普通高中数学课程标准(实验)》及教学参考书中,都提出了具体的教学要求和教学建议:要求学生领会统计思想在分析和认识客观现象中的重要作用;要求学生从直观上感受方法的合理性,但不要求从数学上给出严格的论证;鼓励学生经历数据处理的过程,培养他们对数据的直观感觉,体会统计方法应用的广泛性、合理性,理解其方法中蕴含的基本思想.为了避免教学成为学生单纯记忆和机械地套用公式进行计算的教学,教师应帮助学生了解公式的推理,再现知识的形成过程.

(一)线性回归方程系数公式的推导

假设n个样本点为:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),设一条直线方程为:y=a+bx.如果用[yi-(a+bxi)]2来刻画样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)与直线y=a+bx之间的“距离”,以此来表示二者之间的接近程度,那么就可以用下面的表达式来刻画n个样本点(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn)与直线y=a+bx的接近程度:

Q=(a,b)=[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2.

使得上式达到最小值的直线方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的系数.这种求线性回归方程的方法称为最小二乘法.那么,如何求得线性回归方程,即求得系数a,b呢?可以通过以下几种方法.

方法一:二次函数的配方法

将上式整理成关于a的一元二次函数f(a),如下所示:

使得函数f(a)达到最小值,记作g(b),即f(a)min=g(b).

整理成关于b的一元二次函数:

为了简化上面的表示,引入以下记号:

于是,有

方法二:配凑法

为了简化上面的表达式,再引入以下记号:

此时,

方法三:微分求导法

由于Q(a,b)是关于a,b的二次函数,Q(a,b)取的极小值就是它的最小值,所以由微积分知道,使Q(a,b)达到极小值的a,b应满足下面的方程组:

经整理,得

解方程组得

(二)Gamma线性相关系数的合理性

根据最新二乘法原理,当

1. 直观感受

2. 逻辑推理

3. 具体感受

由相关系数公式可得

若要建立回归方程,由线性回归方程的系数公式得:

所以,线性回归方程为:y=a+bx=0+1×x=x.这与实际是相吻合的.

从散点图容易看出,五个观测点都在直线y=x上,这与线性相关系数r的计算结果是一致的.因而,用r表示两个变量x,y的线性相关程度确实是合理的.

由此可得:

若要建立回归方程,由线性回归方程的系数公式得:

所以,回归方程为:y=a+bx=2.71+0×x=2.71.这与实际是不相符的.

三、总结

为了适应信息时代发展的需要,应把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能.数学课程要讲逻辑推理,但对于有些公式、定理不能用高中的知识作严格论证.此时,作为一线教师,可激发学生去感受公式、定理的合理性,而不应只限于接受、记忆、模仿和练习,应力争揭示数学概念、结论的正确性,体会蕴含在其中的数学思想方法,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再认识”“再创造”过程。从而追寻数学发展的历史足迹,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

参考文献

[1]李兆江.“统计案例”中卡方统计量与相关系数的教学处理[J].中学数学教学参考(上半月),2009(5).

[2]王尚志,张饴慈.理解与实践高中数学新课程——与高中数学教师的对话[M].北京:高等教育出版社,2005.

[3]王尚志,张思明.走进高中数学新课程[M].上海:华东师范大学出版社,2008.

逐段回归统计分析 第4篇

【关键词】统计；相关关系；逐段回归分析；最小二乘法

0.引言

客观现象之间总是存在着相互联系和相互依存的关系，反映这些联系的数量关系一般来说可分为两类，一类是确定性关系，另一类是非确定性关系。确定性关系是指描述客观现象的变量之间的关系可以用函数关系来表达的，如运动物体位移和时间的关系；圆的面积和半径的关系；某种商品的销售收入与该商品的销售量和价格之间的关系等等，其特点是，当一个或几个变量的取值确定时，相应的另一个变量的值就完全确定。若当一个或几个变量的取值给定时，相应的另一个变量的值不能完全确定，而是在一定范围内变化，则称变量之间的这种关系为不确定性关系即所谓相关关系。一般来说，人高一些，体重会重一些，但同样高度的人，体重往往不同；再比如空气污染度和人口寿命之间的关系、气象学中的温度和湿度之间的关系等等都是这种不确定关系。回归分析是研究相关关系的一种常用的统计方法，它是建立在对客观事物进行大量实验和观测的基础上，来寻找不确定性现象中的统计规律性的统计方法，回归分析是通过建立统计模型研究变量间相关关系的密切程度、结构状态、模型预测的一种有效工具。但目前已有的结果是使用一个连续向量函数来近似描述相应的不确定性相关关系，这样就有比较大的局限性，类似于一般的函数可能有间断点或是分段函数的问题，本文将把回归函数的定义域作一个划分，然后在每一个子域中用一个连续向量函数来近似描述相应的不确定性相关关系，形成逐段回归统计分析问题。

1.回归分析模型

为叙述方便，我们借用函数关系中关于变量的称呼，将在不确定性关系中作为影响因素的变量X1,X2,…，Xk称为自变量，受自变量取值影响的响应变量称为因变量，用Y表示。假设X1,X2,…，Xk是可控变量，即它们的取值是可以预先给定的，Y是可测的随机变量，当X1,X2,…，Xk的取值为x1,x2,…，xk时，就有一个随机变量与之对应。令

E(Y│X1=x1,X2=x2,…Xk=xk)=f(x1,x2,…，xk)，　　　（１.1）

从而其它随机因素导致的偏差就是

ε＝Ｙ-ｆ（x1,x2,…，xk）　　　（１.2）

那么X1,X2,…，Xk与Y之间的不确定性关系可表示为

Y＝E(Y│X1=x1,X2=x2,…Xk=xk)＋ε

＝f(x1,x2,…，xk)＋ε，　　　　　（１.3）

通常要求随机误差ε的均值为0，方差存在，即

Ｅ（ε）＝０，Ｄ（ε）＝Ｄ（Ｙ）=σ２。　　　（１.4）

函数f(x1,x2,…，xk)称为Y对X1,X2,…，Xk的回归函数，而方程

ｙ＝f(x1,x2,…，xk)　　　（１.5）

则称为Y对X1,X2,…，Xk的回归方程。

以上模型称为回归模型，其中回归方程是一个确定性的函数关系，它也称为理论回归方程。

在回归分析中，在应用上最重要并且理论上解决地最完善的是线性回归问题，所谓线性回归问题就是回归函数为线性函数的回归分析。其数学模型为：

Y＝ｂ０＋ｂ１ｘ１＋…＋ｂｋｘｋ＋ε，　　　（１.6）

其中Ｅ(ε)=０，Ｄ（ε）＝Ｄ（Ｙ）=σ２；ｂ０,ｂ１…，ｂｋ,σ２是未知参数。x1,x2,…，xk称为自变量、解释变量或预报因子，Ｙ为因变量、应变量或预报对象。

为了确定线性回归模型中的未知参数，必须若干次观测，得到自变量与应变量的若干次观测值：

ｙ１，ｘ１１，…，ｘ１ｋｙ２，ｘ２１，…，ｘ２ｋ…ｙｎ，ｘｎ１，…，ｘｎｋ

在这种情况下得到下述整体回归模型：

Y1=b0+b1x11+…+bkx1k+ε1Y2=b0+b1x21+…+bkx2k+ε2　　　　　…Yn=b0+b1xn1+…+bkxnk+εn　　　　（１.7）

并假设

Ｅ（εｉ）＝０　ｉ＝１，２，…，ｎＤε１…εｎ＝σ２Ｉｎ（１.8）

其中Ｉｎ为ｎ阶单位矩阵。

为方便起见，通常引入矩阵表示上述模型，记

Ｙ=Ｙ１Ｙ２…Ｙｎ，ｂ=ｂ１ｂ２…ｂｋ，ε=ε１ε２…εｎ，ｙ=ｙ１ｙ２…ｙｎ，Ｘ=１　ｘ１１　…　ｘ１ｋ１　ｘ２１　…　ｘ２ｋ…　…　　…１　ｘｎ１　…　ｘｎｋ。

那么整体回归模型就可写成

Ｙ=Ｘｂ＋ε。　　　　（１.9）

利用最小二乘法容易求出其回归方程。

在一些实际问题中，变量之间的相关关系并不是线性的，而是对应某种曲线的非线性相关关系，而其中的许多可以转化为线性回归问题。

2.逐段统计回归模型

许多情况下不能仅用一个向量函数近似代替一种相关关系，而作分段处理效果更好。下面介绍逐段统计回归模型。

首先把回归函数的定义域Ｉ划分为互斥的子域Ｉｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ），然后在每个子域上再根据观测值的散点图来确定适当的回归函数，这就是逐段统计回归模型，具体表述如下：

Ｙ１=ｆ１（ｘ１１，…，ｘ■）＋ε１，（ｘ１１，…，ｘ■）∈Ｉ１，Ｙ２=ｆ２（ｘ２１，…，ｘ■）＋ε２，（ｘ２１，…，ｘ■）∈Ｉ１，　　　　　　　…Ｙｍ=ｆｍ（ｘｍ１，…，ｘ■■）＋εｍ，（ｘｍ１，…，ｘ■■）∈Ｉｍ，　　　　（２.1）

并假设

Ｅ（εｉ）＝０　ｉ＝１，２，…，ｍ，Ｄε１…εｍ＝σ２１…１．（２.2）其中ｆｉ（ｘｉ１，…，ｘ■■）（ｉ＝１，２，…，ｍ）是逐段回归函数，εｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ）是满足（２.2）的随机误差。

3.数值示例

例：观测某系统得出如下数据

试求应变量Ｙ与预报因子Ｘ的回归方程。

解：通过作散点图容易发现当预报因子不超过10时，其回归方程应该是一种指数函数，设为ｙ＝αｅβｔ，而预报因子大于10时应该是线性回归问题。利用最小二乘法及变量代换法不难求出其回归方程为：

■＝２．０６４２＋０．２１２１ｘ，１≤ｘ≤１０，１０９．２ｅ－０．３４２ｘ，１０＜ｘ≤４０．

【参考文献】

［１］张贺祺关于经济回归分析方法的使用评价，内蒙古财经学院学报，2011．（02）：15-19．

［２］李世军,袁光才.城镇居民人均消费支出影响因素计量分析—基于成都市的实证分析，技术经济与管理研究，2006．（02）：53-54．

［３］冯天祥．多元线性回归最小二乘法及其经济分析，经济师，2003．（11）：129．

［４］傅惠民，吴琼．高温合金松弛过程回归分析方法，航空动力学报，2010．（02）：1989-1993．

［５］徐全智，吕恕．概率论与数理统计，高等教育出版社，2010．

统计回归分析报告 第5篇

3.相关与回归的区别和联系：相关表示两变量间的相互关系，是双方向的。而回归则表示y随x而变化，这种关系是单方向的。医学资料中的有些资料用相关表示较适宜，比如兄弟与姐妹间的身长关系、人的身长与前臂长之间的关系等资料。另有些资料用相关和回归都适宜，此时须视研究需要而定。就一般计算程序来说，是先求出相关系数r并对其进行假设检验，如果r显著并有进行回归分析之必要，再建立回归方程。

回归系数与相关系数的正负号都有两变量离均差积之和的符号业决定，所以同一资料的b与其r的符号相同。回归系数有单位，形式为(应变量单位/自变量单位)相关系数没有单位。相关系数的范围在-1～+1之间，而回归系数没有这种限制。来源：

4.适合作相关和回归分析的资料通常有两种资料：(1)一个变量x是选定的，另一个变y是从正态分布的总体中随机抽取的，宜作回归分析。(2)两变量x、y(或x1、x2)都是从正态分布的总体中随机抽取的，即是正态双变量中的随机样本。这时，若需要由一个变量推算另一个变量可作回归分析;若只需说明两变量间的相互关系可作相关分析。如果变量(一个或两个)呈明显偏态时，须经过适当的变量代换(如对数代换等)，使资料接受正态分布后再做相关与回归分析;或者采用秩相关法。

5.在回归分析中，由x推算y与由y推算x的回归方程是不同的，不可混淆。

但我们必须正确选定自变量与应变量，一般说，事物的原因作自变量x，当事物的因果关系不很明确时，选误差较小的即个体变异小的变量作自变量x，以推算应变量y。来源：

回归分析方法总结全面 第6篇

回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。

二、回归分析的种类 1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。

2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析

若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。

三、回归分析的主要内容

1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。

2.依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。

3.计算估计标准误差。通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。四、一元线性回归分析

1.一元线性回归分析的特点

1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。

2)如果x和 y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。

3)直线回归方程中，回归系数b可以是正值，也可以是负值。若 0 b >，表示直线上升，说明两个变量同方向变动；若 0 b <，表示直线下降，说明两个变量是反方向变动。2.建立一元线性回归方程的条件

任何一种数学模型的运用都是有前提条件的，配合一元线性回归方程应具备以下两个条件： 1)两个变量之间必须存在高度相关的关系。

两个变量之间只有存在着高度相关的关系，回归方程才有实际意义。2)两个变量之间确实呈现直线相关关系。

两个变量之间只有存在直线相关关系，才能配合直线回归方程。3.建立一元线性回归方程的方法

一元线性回归方程是用于分析两个变量（一个因变量和一个自变量）线性关系的数学表达式，一般形式为：yc=a+bx 式中：x代表自变量；

yc代表因变量y的估计值(又称理论值)； ab为回归方程参数。其中，a是直线在y轴上的截距，它表示当自变量x等于 0 时，因变量所达到的数值；b是直线的斜率,在回归方程中亦称为回归系数,它表示当自变量x每变动一个单位时，因变量y平均变动的数值。

一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：

1)因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；

2)因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值。

只有满足这两个条件，建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强。

现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx,依据最小二乘法原理，因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值,即Q=∑(y-yc)2取得最小值。为使Q=∑(y-yc)2=最小值

根据微积分中求极值的原理，需分别对a,b求偏导数，并令其为0，经过整理，可得到如下方程组： ∑y=an+b∑x ∑xy=a∑x+b∑x2

解此方程组，可求得a,b两个参数

4.计算估计标准误差

回归方程只反映变量x和y之间大致的、平均的变化关系。因此，对每一个给定的x值，回归方程的估计值yc与因变量的实际观察值y之间总会有一定的离差，即估计标准误差。估计标准误差是因变量实际观察值 y与估计值yc离差平方和的平均数的平方根，它反映因变量实际值y与回归直线上各相应理论值yc之间离散程度的统计分析指标。估计标准误差：

式中：sy——估计标准误差；y——因变量实际观察值；yc——因变量估计值；n-2——自由度 如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？ 利用相关系数r来衡量

当r>0时，表示x与y为正相关;当r<0时，表示x与y为负相关。5.残差分析与残差图：

残差是指观测值与预测值（拟合值）之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

在研究两个变量间的关系时，a)要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关；

b)判断是否可以用回归模型来拟合数据；

c)可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作就称为残差分析。6.残差图的制作及作用。

坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布 在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。对于远离横轴的点，要特别注意。

7.几点注解：

第一个样本点和第 6 个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就应该予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。

另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。还可以用判定系数r2来刻画回归的效果，该指标测度了回归直线对观测数据的拟合程度，其计算公式是：

其中：SSR-回归平方和；

SSE-残差平方和；

Sst=ssr+sse总离差平方和。

由公式知，R（相关指数）的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在含有一个解释变量的线性模型中r2恰好等于相关系数r的平方，即R2=r2

在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。

如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。

总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。

五、多元线性回归分析

在一元线性回归分析中，因变量y只受某一个因素的影响，即只由一个自变量x来估计。但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下，因变量y要用多个自变量同时进行估计。例如，某种产品的总成本不仅受原材料价格的影响，而且也与产品产量、管理水平等因素有关；农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响。描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析。它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些，但基本原理与一元线性回归分析类似。多元线性回归方程的一般表达式为： 为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2。其线性回归方程标准式为：

其中：yc为二元回归估计值；a为常数项；b1和b2分别为y对x1和x2的回归系数，b1表示当自变量x2为一定时，由于自变量x1变化一个单位而使y平均变动的数值，b2表示当自变量x1为一定时，由于自变量x2变化一个单位而使y平均变动的数值，因此，b1和b2称为偏回归系数。

要建立二元回归方程，关键问题是求出参数a，b1和b2的值，求解方法仍用最小二乘法，即分别对a，b1和b2求偏导数，并令函数的一阶导数等于零，可得如下方程组：

(二)在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般用一般用表示。预测公式：

表示，而称因变量为指标，称之为回归方程。回归

模型，按照各种原则可以分为各种模型：

1.当n =1 时，称为一元(单因子)回归；当n ≥ 2时，称为多元(多因子)回归。

2.当 f 为线性函数时，称为线性回归；当 f 为非线性函数时，称为非线性(曲线)回归。最小二乘准则：

假设待定的拟合函数为，另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：

即使得总离差平方和最小。具体在线性拟合的过程中，假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待定系数，已知有m个数据点，分别为使：，应用最小二乘法，就是要

达到最小值。

把S 看成自变量为a和b的连续函数，则根据连续函数达到及致电的必要条 件，于是得到：

因此，当S 取得最小值时，有：

可得方程组为：

称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

如果把已有数据描绘成散点图，而且从散点图中可以看出，各个数据点大致分布在一条直线附近，不妨设他们满足线性方程：

其中，x为自变量，y为因变量，a与b为待定系数；ε成为误差项或者扰动项。

这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。不妨设得到的线性拟合曲线为：

这就是要分析的线性回归方程。一般情况下，得到这个方程以后，主要是描绘出

回归曲线，并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标，例如最大点误差、总方差和标准差等。

这里最缺乏的就是一个统一的评价系统，以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统。

在实际的线性回归分析中，除了估计出线性回归系数a和b，还要计算y和x的相关程度，即相关性检验。相关性检验主要通过计算相关系数来分析，相关系数的计算公式为：

其中n为数据点的个数，为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的高低，一般来说，存在以下一些标准：

1.当 r →1 或者 r →− 1时，表示 y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；

2.当 r →0 时，表示 y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布； 3.当−1

4.如果r → 1，则y与x线性相关程度越高；反之，如果r →0，则y与x线性相关程度越低。

实际计算r值的过程中，长列表计算，即：

在实际问题中，一般要保证回归方程有最低程度的线性相关。因为许多实际问题中，两个变量之间并非线性的相关关系，或者说线性相关程度不高，此时硬给他建立线性回归方程，显然没有太大意义，也没有什么实用价值。一般来说，把这个最低限度的值记为临界值出r的值，并且满足，称之为相关性检验标准。因此，如果计算，则符合相关性要求，线性回归方程作用显著。反之，如果，则线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

其中，自由度可以由原始数据点的个数减去相应的回归方程的变量个数，例如线性回归方程中有两个变量，而数据点的个数为n个，则自由度为n − 2.自由度一般记为 f，但不要与一般的函数发生混淆。显著性水平一般取为 0.01,0.02,0.05等，利用它可以计算y与x之间相关关系的可信程度或者称为置信水平，计算公式为：

(这里取显著性水平为α =0.05)

现在介绍置信区间的问题，由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必然存在一定的差距，其差值就是计算误差。假设原始数据点为为，计算得到的数据点，再给定附近的一个区间：

则实际值yi可能落在这个区间内，也可能落在这个区间外。如果所有的这些区间(以为中心，长度为)包含实际值的个数占总数的比例达到95%或者以上，则称这些区间的置信水平不少于95% 根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95%，从而可以找到相应的最小的Δt值，使得 95%以上的实际值落在区间

内，则称为预测值满足置信水平95%的置信区间。一般情况下，如果不做特别说明，置信区间的相应置信水平默认为95%，置信区间反映了回归方程的适用范围和精确度，特别的，当所有离散数据分布在回归曲线的附件，大致呈现为正态分布时，置信区间为：中S 为该回归模型的标准差，计算公式为：

其或者为：

那么，如果回归方程为 y=a+bx，则有两条控制直线分别为，他们代表了置信区间的上限和下限，如下图所示：

和

那么，可以预料实际的数据点几乎全部(至少95%)落在上图两条虚线所夹的区域内。这里对回归方程的应用做一个总结：

1.估计、预测指标值。对于因子x的一个给定值 x0，代入回归预测方程即可求出相应的指标值，称为指标y0的点估计，相应预测误差为

但是，真实指标y0 的值一般无法确知，预测精度只能根据回归误差来做估计。在回归预测中，预测的精度可以用均方差和标准差的比值来估计；

2.估计指标值范围。估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法，要应用到t分布；

因回归创业的辞职报告 第7篇

尊敬的领导：

您好!

给您写这封信，是想提出离职。我决定于2012年7月1日“回归”广州创业。请原谅我告诉您这么仓促，事实上我下决心回广州，不过是前两天的事情。

MARKHILL是个制度蛮宽松的公司，人事关系也单纯，这一年我工作得非常开心。我和同事之间也相处得很愉快，大家都成为了朋友。王生，相识即是缘分，我很高兴能在深圳认识您。一方面，我非常钦佩您的音响专业知识，另一方面，您是个对父母孝顺，对家庭尽心尽责的人…所以，我不知该如何口头向您提出这个意思，只能诉诸笔端。

我知道，自己的离开可能会对公司的日常运作带来某些不便，但我相信影响不大。毕竟这么一年下来我在MARKHILL的音响事业上并无什么作为，只是做了一些非常简单而基本的办公室工作(何况我脾气还不小，态度也不够好)，外面大把人可以顶替我的位置。您完全可以在深圳的“人才大市场”上找到“又平又靓”的劳动力来接手我现在的事务。您放心，我会将整个工作流程，以及文件夹的内容描述都详细写在清单上，以便下一任助理可以很快接手。

我今年就要满30岁了。常言道“三十而立”，这让我很有紧迫感和危机感。我骨子里原本是个不甘平凡的人，我不希望永远浑浑噩噩过日子，哪怕这份工作多么舒服也好，薪水多么高也好——我一定要在30岁这年开始自己的事业!这是我的决心，并且我也作出了这个决定，真心希望您能理解我。毕竟我还年轻，我还没有结婚，我还没有孩子…所以，2012年，也是我在没有家庭拖累之前最后一个创业的黄金时期了，我不能错过!从6月16号—6月24号，我在广州不是旅游，而是去考察商机。目前，无论是行业领域、代理品牌、员工薪水还是办公场所都已经落实，所以7月1号是一定要回广州的。

在您未找到下一任助理之前，我会认真做好我该做的事情，认真做好工作交接!

此致

敬礼!

统计回归分析报告 第8篇

目前, 我国各大电信集团的业务发展及收入多呈自然地域的特点, 而电信业务的发展受当地经济发展状况、消费者文化程度及消费水平等因素的影响和制约, 集团在制定收入计划时能否可以参考当地经济发展指标的变动而客观地制定集团宏观和微观的业务收入计划, 并根据当地社会发展规划进行必要的调整。基于此, 本文选取了2002年-2004年一些社会指标, 建立了各组电信业务收入与社会经济指标之间的回归模型。

1 指标选取及小组划分

各地区经济指标种类繁多, 总体来看, 主要包括国民经济核算、人口、教育、劳动就业、固定资产投资、能源生产与消费、财政、物价及各行业指标。在众多指标中, 难免会存在相关性较高的指标, 在回归分析中, 这种多重共线性的存在不仅使得回归模型难以真实的反映各指标与电信业务收入的关系, 而且指标间的相互扭曲会导致部分指标统计量不显著。

本文选取人均电信业务收入为电信发展水平被解释变量, 以人均GDP、最终消费与资本形成总额的比值、人口数、大专以上人口占6岁以上人口的比值四项指标分别代表当地经济发展水平、消费水平、人口总量、文化程度, 如表1, 并进行了人均电信业务收入和人均GDP及人口数的对数处理。在指标和量纲的选取思路是, 人均指标与比例指标的选取避免了多重共线性问题, 又很好地表现了经济属性, 并对人均指标和人口数量进行了对数处理, 对数的选择既平衡了各统计量的数值悬殊问题, 又平衡了指标中实际值与比例值的差别。

根据人均GDP和人均电信业务收入2002-2004年指标, 经过聚类分析得到四组, 如表2所示。

2 各组电信业务收入回归模型及其检验

对于2002-2004年的数据, 我们视为截面数据, 直接采用多元回归模型进行拟合, 并对其结果进行检验。

在确定了具有代表性而且不存在多种共线性问题的经济指标的基础上, 对各个小组分别进行回归分析, 建立多元线性回归方程如下:

y=β0+β1x1+β2x2+β3x3+β4x4+ε

其中, y, x1, x2, x3, x4如表1所述, 将各组中某地区2002-2004年的各指标作为一个统计量, 通过最小二乘估计得到以下各组回归方程:

第一组:y=-1.135+1.003x3+5.826x4, R2=0.989 F=267.07

第二组:y=-14.417+2.005x1+1.176x2, R2=0.831 F=36.98

第三组:y=-3.3+1.131x1+0.407x2-0.262x3+3.525x4, R2=0.787 F=96.14

第四组:y=0.895+0.740x1-0.1x2-0.25x3, R2=0.848 F=88.45

各组均经F检验有效, 对所有回归方程的残差分析, 无异常值出现, 并进行了拟合, 得到了良好的回归误差分析效果, 回归模型误差分析结果略。

3 各组影响因素分析

回归模型不仅从数量上反映了各指标因素与电信行业收入指标的关系, 而且确定了各地区电信业务收入指标的影响质量。每一组的模型中, 影响电信业务收入指标的各因素的解释能力各不同, 而且影响的正负方向也不同, 如表3。

通过提高经济发展水平可以促进除第一组外的其它三组的电信发展水平, 它们与电信发展水平之间具有强的乘数效应;提高消费水平可以促进第二组和第三组的电信发展水平, 但却将减少第四组的电信发展水平;提高文化程度可以增加和第一组和第三组的电信发展水平。扩大人口数量将提高第一组电信发展水平, 却减少第三组电信发展水平。

3.1 具有电信发展水平高、经济发达、消费水平高、人口文化程度高的特点

从回归模型的结果来看, 人口规模和文化程度两个因素同时对电信发展有显著的正向影响作用, 其中, 人口规模对人均电信业务收入的弹性系数略大于1, 文化程度每增长1单位则促进人均电信业务收入增长5.826单位。经济发展和消费水平两个因素对电信发展的影响不显著, 表明该组的经济水平的提高已经很难再对电信发展做出新贡献, 即电信发展水平的提高已经不依赖于当地经济发展水平和消费水平的提高, 而且较大程度地依赖当地人口文化程度的提高, 同时, 随着人口规模的扩大, 促进电信发展水平的提高。因此, 建议第一组以吸引高层次人才的方式提高人口文化程度, 扩大人口规模, 这正与目前的政策相吻合。

3.2 具有经济较发达且人口众多、文化程度较高、消费水平较高的特点

对于经济发达的省份, 经济发展水平和消费水平两个因素对电信的发展有显著地正向影响, 而其它的两个因素作用不显著, 经济发展水平对电信发展水平的弹性系数是2, 消费水平对电信发展水平的弹性系数是1.176, 相比之下, 说明电信发展水平的提高更多地依赖经济发展水平的提高, 建议在提高消费水平的同时, 大力提高经济发展水平, 以提高电信发展水平, 而人口规模和文化程度对电信发展水平的提高不显著, 因此, 不能依赖人口的增加和人口文化程度的提高的方式促进电信发展水平的提高。

3.3 经济整体实力较低, 多数边远省份, 人口数量少, 人口文化程度普遍不高, 消费水平较低

四个因素都对电信的发展有显著的影响, 其中, 人口规模因素是负的影响, 这可能是由于这些地区的地理区域大, 人口却很稀少, 导致对电信发展的束缚, 而其它因素都是正向的, 影响最大的是人口文化程度, 因此, 建议该组以不扩大人口规模、快速提高文化程度、加快经济发展水平、提高消费水平的方式来增加电信发展水平, 特别是电信发展水平对人口文化程度的变化最敏感。

3.4 经济发展对电信发展产生正的影响作用, 消费水平和人口规模均对电信的发展有负的影响作用, 人口文化程度的影响作用不显著

相比之下, 经济发展是该组促进电信发展的唯一正向动力, 其落后已经严重制约了电信发展水平, 同时要控制人口规模的增长, 降低消费与资本形成的比值, 即相对最终消费而言, 适度扩大资本总量的方式促进电信发展。

4 结论及本文研究意义

我国电信业务收入水平依赖当地经济发展水平、消费水平、人口总量及文化教育程度方面的影响和制约, 各影响因素的影响程度分小组而不同。通过建立和分析各小组电信业务收入回归模型, 得到各组电信业务收入的主要影响作用指标和依赖程度。因此, 在制定微观收入分配计划时, 可以参照或跟踪当地经济发展水平提高的幅度、参考当地消费水平的变化幅度、或者根据人口总量和文化程度的变化做相应的调整, 得到较为客观、可依赖的、现实的社会经济指标量化的依据。

参考文献

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[3].刘宇.基于区域发展要求的电信业务收入预测[J].科技进步与对策, 2004, (1) :100~102

[4].让.雅克.拉丰, 让.泰勒尔.电信竞争[M].人民邮电出版社, 2001

[5].徐立.对我国通信区域发展不平衡的思考[J].中国软科学, 1997, (5) :44~51