线性代数知识要点（精选8篇）
线性代数知识要点 第1篇
线性代数考试要点：
1、行列式（要求只要是4阶的行列式会求）
（1）会利用行列式的定义来计算行列式（包括逆序数的求法）；
（2）会利用行列式的性质来计算行列式；
（3）利用按行、列展开公式来求解行列式，包括按行、列展开公式的应用。
（4）会利用克拉默法则的推论讨论齐次线性方程组解的情况。
2、向量
（1）向量的基本运算；
（2）会判别向量组的线性相关性，掌握向量组线性相关性的性质；（证明题与选择题）
（3）会求出给定的一组向量组的极大线性无关组及其秩，并会应用相应的性质；（计算题）
（4）利用施密特正交化把一组线性无关的向量组化成标准正交组；
（5）会判别一个集合是否会向量空间。
3、矩阵
（1）会矩阵的基本运算，掌握矩阵运算中的性质；
（2）会求给定矩阵（3阶）的逆矩阵；
（3）给定一个等式，会用逆矩阵的定义来判别一个矩阵是否可逆，并会求出其逆矩阵；
（4）掌握逆矩阵的性质；
（5）掌握矩阵的初等变换，初等矩阵及其应用；
（6）会利用逆矩阵或矩阵的初等变换方法求解矩阵方程。
4、线性方程组
（1）会求解齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组（不带末知参数的）的一般解。
（2）定理4.1、4.2、4.5的应用。（选择题或判断题）
（3）齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构的性质（主要是选择题与判断题）。
5、相似矩阵及二次型
（1）给定一个3阶矩阵，会求出它的特征值与特征向量；
（2）给定一个3阶矩阵，会求出它的相似矩阵P，使得PAPB(对角阵)；
（3）掌握特征值的性质；
（4）掌握相似矩阵的性质；
（5）掌握正交矩阵的性质；
（6）掌握矩阵可以对角化的几个性质；
（7）给定一个二次型，会写出它所对应的对称矩阵；或者给定一个二次型，会写出它所对应的二次型；（填空题）
（8）会用配方法化二次型为标准型。
以上给的要点是A、B两份卷子的。此次题型分为判断题（10分）、选择题（15分）、填空题（15分）、简答题（60分），其中简答题中包括证明题。
此次的试卷出的题目很多来自书上和练习册，建议大定让学生要多做一下练习题（包括例题）。1
线性代数知识要点 第2篇
5、例6； 1.5节 性质1~
6、例
7、例
8、例10；1.6节 引理、定理
3、例
12、推论、例13； 1.7节克拉默法则、例
14、例16；
第二章：2.2节 矩阵的乘积、转置、行列式及性质、例
4、例7；
2.3节 定理
1、定理
2、例
11、例
12、例14；
2.4节 第49页（iv）（v）、例16；
第三章：3.1节 定义
1、第60页（行阶梯形、行最简形）、定理
1、例
1、例
2、例3；
3.2节 定义
3、定义
4、例
5、例
7、第70页矩阵秩的性质；
3.3节 定理
3、例
10、例
12、例
13、定理6；
第四章：4.1节 定义
2、定理
1、定义
3、定理
2、例
1、例2；
4.2节 定义
4、定理
4、例
5、例
6、定理5；
4.3节 定义
5、定理
6、例11； 4.4节 定理
7、例
12、例16；
第五章：5.1节 定义
1、定义
2、定理
1、例
2、定义4；
5.2节 定义
6、第117页（i）（ii）、例
6、例
8、例
9、定理2；
5.3节 定理
3、定理
4、例11；
5.4节 定理
7、例12；
5.5节 定义
8、定理
8、例14；
5.7节 定义
10、定理10及推论、定理
线性代数知识要点 第3篇
关键词：理论与实践,MATLAB,线性代数实验,教学改革
自从2009年教育部教改项目“用MATLAB和建模实践改造线性代数课程”实施以来, 国内一些高校尝试与国外名校的教育方式接轨, 将计算机与MATLAB软件引入线性代数等数学课程教学中[1,2,3,4,5]。这种理论与实践相结合的教学模式对于提高数学课程的教育教学质量, 提升学生学习兴趣有多方面的优点: (1) 利用计算机计算, 有利于学生从烦琐的手工计算中解脱, 学生可以将更多的注意力集中到对理论知识的理解和掌握上; (2) 借助于动画演示, 有利于学生从枯燥的概念和理论推导中发现数学的生动和优美; (3) 通过应用案例的学习, 将数学知识应用到实际生活和工作中, 有助于培养学生的自主学习能力和创新意识。
一、《线性代数与解析几何》上机实验课现状分析
在教育部教改项目的推动下, 国内一些高校率先在《线性代数与解析几何》课程中开设了MATLAB实验, 哈尔滨工程大学是首批高校之一, 每年有超过3300名学生参加线性代数实验的学习。经过几年时间的课程建设和运行, 这种在数学课程中引入实验的教学模式有力地促进了课程的教学质量, 提升了授课效果。但随着线性代数实验课程的深入开展, 教学中理论知识和实验内容二者结合不够紧密的问题逐渐显现, 并且已经影响了教学效果的进一步提升。这些问题出现的原因主要有以下几个方面:首先, 在课程设置过程中, 国内高校通常采用的做法是在理论课学时之外, 再设立一些学时的实验课, 在实验课上讲授MATLAB软件及其在线性代数中的应用, 这样将理论课与实验课分开讲授, 割裂了理论知识与实践应用之间的内在联系;其次, 在讲授内容上, 实验课在一次授课中可以完成较多知识点的实验和练习, 这些知识点, 在理论课中要多次授课才能完成, 因此实验课要在多次理论课后才能进行一次, 这切断了理论课与实验课以及实验课之间知识的连贯性。从学生的反馈信息来看, 学生感觉实验学时太少, 实验课的间隔时间过长, 刚刚对MATLAB软件入门, 对线性代数实验产生兴趣, 课程就结束了, 下次课要几周之后才上, 学生总有种意犹未尽的感觉。因此, 在《线性代数与解析几何》课程教学中, 需要探索研究将理论知识与实验内容有机融合, 在学时有限的情形下, 让学生熟悉掌握更多的MATLAB软件知识, 了解见识更多的实践案例, 这对进一步提升实验环节的教学效果、提高授课质量有重要的实际意义。
二、理论与实验有机融合的教学模式构建
为了进一步提升《线性代数与解析几何》课程中理论与实验相结合教学模式的教学效果和教育教学质量, 哈尔滨工程大学《线性代数与解析几何》教学团队在教材内容、课程设置和授课技巧三个方面对课程进行了改革。具体改革方式如下。
1.课程设置上的调整。为了保障线性代数教学改革的顺利进行, 经过与学校教务部门沟通, 我们对线性代数课程的设置进行了微调。在线性代数实验课程设立之初, 我校线性代数有理论课56学时和实验课8学时。在8学时实验课中, 4学时用于讲授MATLAB软件并演示实验案例, 4学时用于学生上机操作实验, 所有实验课都是学生周末在机房实验室内集中完成。随着课程的开展, 这种课程设置方式的弊端逐一显现:一方面, 如前文所述, 理论课和实验课知识连贯性被间断;另一方面, 占用学生大量的周末时间, 导致实验课程与学生周末活动以及各种考试 (如大学英语四、六级考试, 全校大学化学考试, 等等) 发生冲突。有鉴于此, 我们将4学时演示实验调整到理论课课堂上, MATLAB知识的学习、演示内容和实践案例可以由授课教师根据课程进程和授课内容灵活安排, 这种调整既增强了理论课与实验课之间的联系, 又增加了理论课授课的生动性, 提升了学生的学习兴趣, 而且课程设置的调整也推动了教学内容的更新升级。
2. 授课内容和教材上的升级。在理论课上增加MATLAB基础知识和演示案例等内容, 需要在授课内容和教材上进行相应的调整升级。我们在教材中, 在理论知识点后增加相应的MATLAB命令和应用案例, 这种方式在国外教材以及国内其他课程中常常采用, 也被证明是较为适合我国学生的学习方法。一些具体方法如下:
实例1:行列式计算及其几何意义。
通过如下例题, 学生可以了解到这个结论在数学领域的实际应用。
例1:已知三角形ABC三个顶点的坐标为:A (1, 1) , B (-1, 5) , C (3, 4) , 试利用MATLAB软件计算该三角形的面积。
解:已知三角形ABC的三个顶点坐标, 可得向量, 而三角形ABC的面积等于向量构成的平行四边形面积的一半。根据二阶行列式的几何意义, 由点 (x1, y1) , (x2, y2) , (x3, y3) 构成的三角形的面积计算公式如下:
利用MATLAB计算三角形面积的命令和结果如下:
实例2:特征值与特征向量的计算及其几何意义。
特征值与特征向量在线性代数中占有重要地位, 但它们的计算较为烦琐。对于初学者来说, 它们的意义是什么, 为什么要计算这些值并不清晰。在这里增加计算特征值和特征向量的MATLAB命令eig (A) , 以及演示特征值与特征向量的几何意义的命令eigshow (A) , 可以有效地帮助学生加深对这部分知识的理解。
例2:利用eigshow (A) 命令, 演示特征值与特征向量的几何意义。
解:首先输入一个二阶矩阵, 再执行eigshow命令
在图3中, 绿色的x表示原坐标系中的单位向量, 蓝色的Ax表示变换后的新向量。可以用鼠标左键点住x并拖动它绕原点转动, 于此同时Ax也相应转动, 当两个向量处在同一条直线上时 (包括同向和反向) , 这表明两个向量相位相同, 只存在一个实数乘子λ (可正, 可负) 满足Ax=λx, 这就利用eigshow命令演示了特征值和特征向量的几何意义。
3.授课方式上的改进。将MATLAB基础知识和演示内容调整到理论课上, 也使传统的授课方式受到了冲击。MATLAB软件有许多内容需要学习, 如何合理安排讲授时间、如何去繁就简地选取适当的内容都需要仔细考量。为此, 我们只遴选了与课程相关的MATLAB基础知识加入教材中。授课中, 通过布置课前预习的方式让学生主动学习MATLAB内容, 再利用预习报告和课堂讲授为学生介绍实验中用到的重点内容。同时, 要选取恰当的时机引入演示案例, 才能更好地发挥演示实验的效果。课堂上, 通常在讲授了基本概念、定理及相应的手算方法后, 再介绍实验内容, 这样既不会让实验内容淡化学生对概念、定理和手算方法的理解和掌握, 保证理论知识的整体性, 还能够将手算和机算进行对比学习。但在讲授解析几何中的“旋转曲面”时, 更适合立刻利用曲面的画图命令进行演示, 给学生关于曲面的直观感受。
实例3:曲面的绘制。
在“旋转曲面”这部分内容中, 双曲抛物面 (马鞍面) 和双叶双曲面是学生较难掌握的两个图形, 借助于演示实验, 可以帮助学生直观认识这两个图形, 还能学习三维图像的绘制方法。
解:绘制图像的命令如下:
所得图像如图4所示。
解:利用极坐标绘制该曲面的图像, 原方程的参数方程为:
绘制命令如下:
所得图像如图5所示。
三、实践与探索的成效
将MATLAB软件知识、线性代数实际案例与理论知识有机融合, 可以推动线性代数课程的教学体系、教学内容和教学方式的深入改革。将实践内容渗透到线性代数的各章中去, 有助于解决线性代数理论知识教学中存在的内容抽象不易于理解、手工计算烦琐、学与用脱节等教学问题。在课堂上恰当地引入生动的实践案例和优美直观的几何图像, 不仅能提升学生对数学的学习兴趣, 还能够让学生学以致用, 这对提高学生数学建模能力和解决实际问题的本领, 培养学生的开创性思维和创新意识都有重要意义。
参考文献
[1]陈怀琛, 高淑萍, 杨威.科学计算能力的培养与线性代数改革[J].高等数学研究, 2009, 12 (3) :23-25.
[2]李继成.线性代数与空间解析几何课程全面改革的思考[J].大学数学, 2010, 26 (2) :7-10.
[3]陈利霞, 王学文.应用型人才培养模式下线性代数实验教学改革[J].中国电力教育, 2013, (19) :147-148.
[4]刘春霞.MATLAB在线性代数教学中的应用[J].淮阴师范学院学报, 2015, 14 (3) :248-251.
线性代数知识要点 第4篇
关键词：背景知识 教学改革 三贴近
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2012）12（b）-0113-01
随着当代科学技术的迅猛发展，特别是计算机技术的飞速发展，对人们的物质、文化生活产生了巨大的影响，其最显著的功能就是高速、大量的计算，使得海量数据的处理成为可能，因而科学计算已成为与理论研究、科学实验并列的科学研究的三大手段，由此引起了相关领域的革命性发展。线性代数的知识则在促进这一变化的过程中起着举足轻重的作用，因而也越来越受到重视，这也促使线性代数课程教学需要进行深刻的变革，无论是教学内容还是教学方法、教学手段都需要进行相应的改革，以更好地适应新世纪人才培养的需要。
1 线性代数改革现状分析与思考
线性代数是用数学知识解决实际问题的一个强有力的工具，广泛地应用于物理、 力学、信号与信号处理、系统控制、电子、通信、航空等学科领域。但线性代数概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后联系紧密，具有高度的抽象性与逻辑性，显得零、散、乱，使其成为我国目前教学中的一个薄弱环节。对此各大院校都积极开展了课程的教改，如上海交通大学李世栋、南开大学孟道骥、浙江大学陈维新等教授领导的团队都如火如荼的展开了线性代数精品课程的建设工作并取得了丰硕的成果。
线性代数课程一般在大学一年级开设，此时，学生正在适应大学生活，正处在由中学生向大学生转变的过程中，在生理、心理、人生观、世界观、学习方式、方法等方面处于人生的重大转折期。通过长期实践发现，只要帮助学生成功完成这个转变，一般而言，学生在以后的学习中都会取得不错的成绩。从线性代数教学的角度讲，促进学生完成转变主要是抓住两个关键，一是正确引导学生学会从宏观和微观把握线性代数的结构体系；二是要激发学生的兴趣，兴趣是一切科学发展的关键。第一个问题可借鉴文献[2]中的方法，第二个问题解决的重点在于找到合适的应用案例，在大量的应用实践中展示线性代数的魅力，以引发学生的兴趣，上述各院校的教改中也多有涉及，但总体来讲都比较偏重数学方面的应用，理论性较强，对于初学者而言是一个比较大的障碍。考虑到军校学生自身固有的特点，提出案例贴近军事、贴近前沿、贴近生活的“三贴近”原则。
2 “三贴近”原则的应用与实践
线性代数的应用是非常广泛的，它的背景涉及的内容更加复杂，虽然可用的案例很多，但要根据学生的实际情况有所取舍，在学生能接受的范围内选取可理解、能接受的实际应用背景知识进行介绍，这样才能引起学生的兴趣，否则，可能会起到适得其反的作用。
2.1 课前背景知识，新鲜、简单、灵活
现代学生爱好广泛、思维活跃、关注社会热点、获取信息的能力强，注意到这些特点，准备课前引入应用案例时，就要做到：新鲜，足以引起学生关注，简单，才不会在引入课程内容时花费过多时间，灵活，是要根据学生的反应来决定讲课方式。如开课之初，通过三个例子来说明线性代数课程的重大应用：一是从军事斗争的角度阐述了我国发展“北斗”卫星导航系统的重大意义，激发学生的爱国热情，向学生介绍了卫星定位的简单原理，即把伪距方程线性化后，用户所在的位置就归结为线性方程组的求解；二是保密问题在现代社会中越来越重要，密码中明文密文是如何转换的呢？通过介绍让学生认识到线性代數中矩阵知识的重要性；三是现代社会几乎每个人都要与网络打交道，从网上查找所需要的种信息，其实搜索引擎的开发需要依赖大量的各类矩阵。通过对这些学生最关注、最感兴趣也比较前沿的问题的简单介绍，让学生明白解线性代数在这些问题的解决中所起到重要作用。
2.2 课内背景知识，瞻前、顾后、易懂
在授课的过程中，可以适时插入关于背景知识的介绍，以活跃课堂氛围，增强互动效果，但要注意所介绍的知识，要么是对前所学知识整理扩展，要么对以后要学习的知识有一定的铺垫作用，当然吧、也不能过于深奥让学生难以理解。根据不同的对象，可分三种情况：一是在数学范围内的应用。如幻方与矩阵，坐标变换与同构，Lagr ange插值公式，中国剩余定理等就分别与组合数学、解析几何、数值计算、数论等数学课程有关；二是涉及专业课程。如斐波那数列，学生在高中接触过，在高等数学中也见识过，在讲矩阵时就可以把它们联系起来，进行推广后就可以得到线性移位寄存器序列，而移位寄存器序列是密码学中非常重要的一部分内容。这样就把前后知识联系起来了，知识性强还不枯燥。其它如数字信号处理、图象处理、测量平差、时间序列等课程中都有许多应用案例都可以借鉴；三是生活及其它方面的应用。如交通流分析、人口迁徙模型，价格平衡模型、小行星的轨道模型等方面也有大量值得介绍的应用案例。这些应用案例的介绍，一定要有针对性，充分考虑学生的接受情况，根据学生的专业情况等有所选择，让学生听得懂，愿意听、喜欢听才会取得良好的效果。
2.3 课后背景知识，广泛、深入、拓展
课后，指导学生对所学的相关应用背景知识进行广泛而深入的挖掘。第一，向学生所在专业的高年级学生、研究生、乃至专业课教员了解线性代数在后继课程中的应用情况，请他们给正在学习线性代数的学生提出意见和建议；第二，鼓励学生去图书馆、上网查找解线性代数在其它方面的应用，增长见识，扩展思维；第三，选择部分有代表性的案例让学生亲自解决，亲身体会线性代数和计算机带来的便利，加深对线性代数作用的认识和上机操作的实际动手能力。
3 结语
线性代数应用背景知识介绍目的在于：课前引起学生兴趣，课内调动学生情绪，课后引领学生深入挖掘知识丰富内涵和外延，通过这些活动让学生认识到线性代数广泛的应用领域，彰显线性代数的实用特性。只有常用、多用才能用得熟、用得好，只有在不断的实践锻炼中，学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、以及数学建模能力和数值计算能力才能得到显著提高。
参考文献
[1]高隆昌.数学及其认识[M].北京：高等教育出版社，海德堡：施普林格出版社，2001.
《线性代数》教学要求及教学要点 第5篇
第一章
矩阵
【本章教学目的和要求】
1、理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的各种运算以及运算法则，熟悉几种特殊的矩阵。
2、理解行列式的概念，熟悉行列式的性质，会用降阶法计算行列式，掌握计算n阶行列式的几种常用技巧。
3、理解分块矩阵的概念，会利用分块矩阵进行矩阵的运算，了解两类特殊的分块矩阵。
4、理解可逆矩阵、逆矩阵的概念，了解矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵法求逆矩阵。
5、理解矩阵的初等变换以及初等矩阵的概念，了解矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系；掌握求逆矩阵的初等变换法，会用初等变换法解简单的矩阵方程。
6、理解矩阵的秩的概念，会求矩阵的秩，会做基本的证明题。【本章重点、难点】
1、矩阵的各种运算、运算律。
2、矩阵可逆的条件，用伴随矩阵法求逆矩阵。
3、矩阵的初等变换和初等矩阵之间的关系，用初等变换的方法求逆矩阵、解矩阵方程。
4、矩阵的秩的概念以及有关结论。
第一节
矩阵的概念
一、理解矩阵的概念。
二、熟悉几种特殊的矩阵。
第二节
矩阵的运算
一、掌握矩阵的线性运算的定义，熟悉线性运算满足的运算法则，会进行有关计算。
二、理解矩阵乘法的定义，了解矩阵可乘的条件；能熟练进行矩阵的乘法运算；熟悉矩阵乘法满足的运算法则，了解矩阵的乘法不满足交换律和消去律，了解两个矩阵可交换的定义并会进行有关计算。
三、理解转置矩阵的定义，熟悉矩阵转置的运算法则。
第三节
方阵的行列式
一、熟悉二阶、三阶、n阶行列式的定义。
二、熟悉行列式的性质，知道矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零等结论。
三、会用降阶法计算行列式，掌握计算n阶行列式的几种常用技巧。
四、了解拉普拉斯定理。
第四节
矩阵的分块
一、理解分块矩阵的概念。
二、熟练掌握运用分块矩阵进行矩阵运算的方法。
三、了解两类特殊的分块矩阵。
第五节
可逆矩阵
一、掌握可逆矩阵以及逆矩阵的概念。
（一）理解可逆矩阵和逆矩阵的定义。
（二）熟悉非奇异矩阵和奇异矩阵的定义。
（三）熟悉矩阵可逆的充要条件。
二、掌握伴随矩阵的定义，会用伴随矩阵法求逆矩阵。
三、熟悉逆矩阵的性质，掌握一些做证明题的技巧。
四、会用分块矩阵的方法求逆矩阵。
第六节
矩阵的初等变换
一、熟悉矩阵的初等变换的定义，熟悉初等矩阵的定义和性质。
二、熟悉矩阵的初等变换和初等矩阵之间的关系。
三、熟练掌握求逆矩阵的初等变换法。
四、会用初等变换法解简单的矩阵方程。
第七节
矩阵的秩
一、理解并掌握矩阵的秩的概念。
二、知道矩阵经初等变换后秩不变。
三、会利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，并求矩阵的秩。
第二章
线性方程组
【本章教学目的和要求】
1、熟练掌握克莱姆法则及其推论；掌握线性方程组的消元解法；掌握线性方程组有解的判定定理。
2、掌握n维向量、向量的线性运算及运算法则；理解n维向量空间以及子空间的概念。
3、理解向量的线性组合，向量组的线性相关与线性无关等概念。掌握判断一个向量组是否线性相关的方法；熟悉有关向量组线性相关性的结论，掌握一些基本的证明方法。
4、理解向量组的极大线性无关组、向量组的秩的定义；理解矩阵的行秩和列秩的定义，了解矩阵的行秩、列秩和秩的关系；会求向量组的极大无关组并会用极大无关组线性表示其余向量；掌握一些基本的证明方法。
5、理解并掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的定义，会求齐次线性方程组的基础解系，会用基础解系表示齐次线性方程组的全部解；熟悉非齐次线性方程组解的结构，会求非齐次线性方程组的全部解。
6、理解基的定义；熟练掌握向量的内积及性质；掌握向量的长度及性质；掌握向量的正交、单位向量、标准正交基等概念；熟练掌握施密特正交化方法；理解掌握正交矩阵的定义、性质和有关结论。【本章重点、难点】
1、线性方程组的消元解法，线性方程组有解的判定定理。
2、向量的线性组合，向量组的线性相关与线性无关，向量组的极大无关组和秩。
3、线性方程组解的结构。
4、向量的内积、长度、正交，标准正交基；施密特正交化方法。
第一节
线性方程组
一、熟悉克莱姆法则的条件和结论；熟悉含有n个方程的n元齐次线性方程组仅有零解的条件。
二、会用对增广矩阵施行初等行变换的方法解线性方程组。
三、熟练掌握线性方程组有解的判定定理，掌握齐次线性方程组有非零解的判定定理。
第二节
向量及其线性运算
一、掌握n维向量的概念，掌握向量的线性运算及运算法则。
二、理解n维向量空间和子空间的概念。
第三节
向量间的线性关系
一、理解并掌握向量的线性组合、向量组的线性相关和线性无关的定义。
二、理解并掌握有关线性相关与线性组合的定理。
三、掌握判断一个向量组是否线性相关的方法；掌握一些基本的证明方法。
第四节
向量组的秩
一、理解并掌握向量组的极大线性无关组、向量组的秩的定义。
二、理解矩阵的行秩和列秩的定义，了解矩阵的行秩、列秩和秩的关系；会求向量组的极大无关组并会用极大无关组线性表示其余向量。
三、掌握一些基本的证明方法。
第五节
线性方程组解的结构
一、理解并掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的定义，熟练掌握求齐次线性方程组的基础解系的方法，会用基础解系表示齐次线性方程组的全部解。
二、熟悉非齐次线性方程组解的结构，会求非齐次线性方程组的全部解。
第六节
Rn的标准正交基
一、理解基的定义；熟练掌握向量的内积及性质；掌握向量的长度及性质；掌握向量的正交、单位向量、标准正交基等概念。
二、熟练掌握施密特正交化方法。
三、理解掌握正交矩阵的定义、性质和有关结论。
第三章
矩阵的特征值和特征向量
【本章教学目的和要求】
1、理解并掌握矩阵的特征值、特征向量的概念和性质，会求矩阵的特征值和特征向量。
2、理解并掌握矩阵的相似及性质；熟知矩阵可对角化的条件，会判断一个矩阵是否可对角化；对于可对角化的矩阵A，会求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。
3、了解矩阵的若当标准形。
4、了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；对一个实对称矩阵A，会求正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。【本章重点、难点】
1、矩阵的特征值、特征向量的定义和计算。
2、矩阵可对角化的条件。
3、对可对角化的矩阵A，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。
4、对一个实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。
第一节
矩阵的特征值和特征向量
一、理解并掌握矩阵的特征值、特征向量的概念。
二、理解特征矩阵、特征多项式的概念，会求矩阵的特征值和特征向量。
三、熟悉特征值和特征向量的性质，掌握基本的证明方法。
第二节
相似矩阵与矩阵可对角化的条件
一、理解并掌握矩阵的相似及性质；熟知矩阵可对角化的条件，会判断一个矩阵是否可对角化。
二、三、对可对角化的矩阵A，会求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。了解矩阵的若当标准形。
第三节
实对称矩阵的特征值和特征向量
一、了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，理解关于实对称矩阵一定可对角化的定理。
二、对一个实对称矩阵A，会求正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。
三、掌握基本的证明方法。
第四章
二次型
【本章教学目的和要求】
1、理解并掌握二次型的定义，二次型与对称矩阵的对应关系；理解并掌握线性替换的定义以及矩阵合同的定义、性质；理解并掌握二次型经过非退化线性替换后化为新的二次型
后，两个二次型的矩阵之间的关系。
2、熟悉二次型的标准形、规范形、正、负惯性指数、符号差的定义；会用正交替换法、配方法、初等变换法将二次型化为标准形并写出所作的非退化线性替换；会用配方法、初等变换法将二次型化为规范形并写出所作的非退化线性替换。
3、理解并掌握二次型与对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定等概念，掌握二次型与对称矩阵正定的充要条件，会判定二次型与对称矩阵是否具有正定性或负定性。【本章重点、难点】
1、二次型与对称矩阵、非退化线性替换、矩阵合同等概念
2、用正交替换法、配方法、初等变换法将二次型化为标准形；用配方法、初等变换法将二次型化为规范形。
3、二次型与对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定，二次型与对称矩阵正定的充要条件。
第一节
基本概念
一、理解并掌握二次型的定义，二次型与对称矩阵的对应关系。
二、理解并掌握线性替换、非退化线性替换的定义以及矩阵合同的定义和性质。
三、熟悉二次型经过非退化线性替换化为新的二次型后，两个二次型的矩阵之间的关系。
第二节
二次型的标准形与规范形
一、熟悉二次型的标准形的定义，会用正交替换法、配方法、初等变换法将二次型化为标准形并写出所作的非退化线性替换。
二、熟悉二次型的规范形、正、负惯性指数、符号差等概念；熟悉惯性定理，会用配方法、初等变换法将二次型化为规范形并写出所作的非退化线性替换。
第三节
二次型与对称矩阵的有定性
一、理解并掌握正定二次型和正定矩阵的概念；理解可逆线性变换不改变二次型的正定性，掌握二次型与对称矩阵正定的充要条件，会判定一个二次型或对称矩阵是否具有正定性。
线性代数知识要点 第6篇
摘 要：对大多数理工科专业而言，线性代数是一门十分重要的课程。线性代数的序言部分，主要是对线性代数课程进行宏观的介绍，并且引入二阶和三阶行列式的概念。教学中应该调节好学生的心理状态，注重定义以及之间的联系，突出重点进行讲解，以确保这部分内容的教学效果。
关键词：行列式 线性代数 序言 学习心理
《线性代数》是很多理工科专业的一门基础课程，是学习后续专业课程的基础课。同时，《线性代数》还是考研的必考科目。因此，搞好《线性代数》的教学工作具有重要的意义[1]。《线性代数》的序言部分是带领同学们进入线性代数殿堂的第一课，是学生们与线性代数的初次相识，“第一印象”十分重要。如果能够让学生们对线性代数的研究内容产生兴趣，充满信心，那么日后的教学过程都将变得简单。反过来说，如果学生们在听这部分内容的过程中不能对线性代数的研究对象进行透彻完整的了解，而只是被动地听到了教师对行列式、矩阵、向量组、方程组等等抽象的数学名词的乃至彼此之间关系的介绍，他们很可能就会对线性代数望而却步，日后再想让他们充满信心和兴趣可能相对就比较难了。总而言之，线性代数序言部分的讲解也是教学中很重要的一个环节，有必要对其教学要点进行分析。
一、教学内容总结
任何一门课程都有序言部分，《线性代数》课程的序言部分主要也是作为一个总开端，对《线性代数》进行介绍，导入后面的核心内容。从教学内容上看，序言部分包括两大方面：第一部分，主要是带领学生们认识《线性代数》这门课程，知道《线性代数》在整个专业培养计划中所处的地位，了解线性代数的研究对象与课程特色，掌握学习线性代数的方法；第二部分，主要是通过方程与行列式的关系，引入二阶和三阶行列式的定义、计算及简单的应用，为后续推广到n阶行列式的相关内容打好基础。
二、学生心态把握
大学生作为经过全国高考统一考试选拔出来的优秀人才，事实上，他们当中的大多数都是精力充沛，积极乐观，求知欲旺盛，此处主要分析学生中可能影响学习的负面心理，旨在有的放矢地促进教学效果。第一，在课程设置上，《线性代数》多安排在第一学年的第二个学期上课，学生们在经历了大一上学期的《高等数学》的学习以后，多会对数学类课程产生一种“畏难”情绪，严重的甚至会厌烦数学类的课程。因此，作为一门数学类课程，《线性代数》首先可能会或多或少地受到?W生们心理上的抵触，这就形成了《线性代数》的一个“先天劣势”。第二，课堂中的学生们往往来自不同的省份，数学功底各不相同，有的学生中学阶段没有学过任何行列式知识，有的学生甚至没有学过向量，从心理上，他们对序言部分内容的兴趣也是不同。第三，《线性代数》序言部分的讲授处于新学期的起始阶段，甚至被安排在新学期第一周的第一节课，好多学生经过了返回学校的行程，疲惫感还没有完全消除，也还没有从“假期综合症”中恢复过来。此时，学生们的心态还有所浮躁，对课程内容的吸收能力有限。第四，新学期新课程的开始阶段，学生们与教师也是初次见面，有些学生对教师本身的外在形象比较敏感，对于教师的教学特色和个人魅力还处于观望状态，对于课程本身的注意力不足，大部分同学还都存有首先观望老师的心态，想看看老师的“水平”，往往只有很少一部分同学会对即将开始的课程进行预习。第五，在当今的快节奏时代，各种各样的信息量铺天盖地，学生们主动或者被动地面对很多信息已经成为一种常态，学生们多重视应用，重视看得见摸得着的现实的事例，对于抽象的数学概念及数学逻辑兴趣不足，这也是线性代数序言教学中所无法忽视的。
三、教学设计分析
基于以上分析，在序言部分教学中应把握以下几个方面：第一，讲解的深度宜浅不宜深，尽量从实际事例中引入方程组和行列式。对于二元线性方程组，如果用诸如“鸡兔同笼”问题引入，可以很容易地使学生们契入到对问题思考中，加强他们的参与意识，使他们很快进入角色。《线性代数》本身是一个复杂的课程，其中的行列式、方程组、向量组和矩阵等各种的概念互相交叉[2]，想学好是很不容易的。但在序言部分，如果过多地引用《线性代数》的专业术语，例如用逆序数法定义行列式[3]等等，这将增大学生们听课的难度，容易使得一部分学生从课程一开始就对《线性代数》望而却步。实际上，《线性代数》也有简单的一面，从一定程度上说，《线性代数》书中的概念与中学知识的衔接并不太大，它的几乎所有定义都是独立于之前的高中数学的函数、不等式、二次曲线等复杂数学知识的。学好《线性代数》并不需要很扎实的数学基础知识，只要学生们能够入门，能够进入到《线性代数》的思维方式，教学工作就成功了一大步，后续的具体计算中，大多也都是100以内的加减乘除，所以应极力避免一上来用复杂的讲解把学生“当头打蒙”，反过来说，深入浅出地讲解更有助于增强学生们的信心，持续不断地激发他们的学习兴趣。第二，对于《线性代数》的研究对象应该讲解到位。首先，应该要介绍清楚“线性”所代表的含义。“线性”，从运算上来讲，主要也就是加减和数乘运算，不涉及到变量之间的乘积。用学生们的知识结构可以理解的话来讲，《线性代数》研究的核心问题也就是解方程组。这样的一种讲解方式，更利于学生们对《线性代数》的研究内容进行整体的很好的把握，更容易把学习与应用结合起来。第三，应当要讲解好《线性代数》的学习方法。学习方法听起来虽然抽象，但能否把学习方法讲解好却是很考验一个教师对整门课程的把握的一个重要体现。毕竟，只有在对课程整体的很好的把握的前提下，才能高屋建瓴地提出对《线性代数》的最适宜的学习方法。对大多数高校《线性代数》课程的教学和期末考试而言，对思维深度的要求并不是很高。然而，线性代数涉及到行列式、矩阵、向量组、方程组等理论，各个理论独立完善且互相之间也都有联系，因此熟练地从一种理论叙述转换到另一种理论叙述是学完本课程后所应达到的对知识“学活学透”水平的一种体现，这对思维的灵活性要求很高。而达到这一水平的前提，就是要对定义有熟练透彻的掌握。线性代数的学习方法，也应当是重视对基本定义的掌握。为了达到这一目的，要有必要的练习。这个学习方法，应该跟学生们讲解透彻。第四，在课堂上要增强学生们的参与意识，要让他们成为推动课堂活动往下进展的主人，要让他们的大脑活动起来。例如，在消元法解二元线性方程组时，可以让学生们真正动手去做，让学生们亲身体会消元的过程，让他们自己去发现方程组的系数行列式出现的过程以及该行列式在方程组解的表达式中所处的位置。从而，使得行列式的引入不会显得特别突兀，也为学生们对后续课程中克莱默法则的学习产生良好的铺垫作用。通过构造系数行列式以及通过用方程组的常数项来替代系数行列式的列向量来构造行列式，通过此类行列式的比值来求解方程组是本节中的新的方法，应努力使学生们对此种求解方法产生新的印象，看到行列式在求解方程组中的不可替代的作用，这一过程，也应当努力想办法让学生们最大限度地参与进来，充分利用好课上时间，让他们学有所得。第五，要注意讲解好二阶和三阶行列式的定义。二阶与三阶行列式虽然简单，但是它们毕竟是不同于以前的新的定义，从行列式的形式到它的内容，都要让学生们建立起完整的概念。形式上，二阶行列式，就是两行两列的数表两边加上两个竖线，内容上，行列式是一个式子，对于数表中是已知数值的情况，行列式就是一个可以计算的数值。如果行列式中存在未知变量，那么行列式与一个数值的相等，就构成了一个方程。事实上，行列式的定义也包含了它的求解方法，行列式的表达式中很容易看出来它的计算方法――对角线法则。首先要把主对角线和副对角线的概念给学生们讲解清楚。对于行列式的表达式而言，每一个乘积项的元素都是由不同行不同列的元素所组成的，注意到这一点，学生们就不会丢落元素，而能够把行列式表达式完整准确地表示出来。同时很重要的是，应当要强调对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，对于高阶行列式，对角线法则将不再成立。事实上，如果结合后续章节中关于行列式的严格定义的话，容易知道，这主要是由于行列式表达式中参与加减的各个乘积项都是且是所有的不同行不同列的元素的乘积，对角线法则中所确定各个乘积项的方法显然不可能把所有的乘积项表达出来，所以，对角线法则对于4阶及更高阶的行列式不再成立是有充分理论支撑的。
结语
综上所述，《线性代数》课程序言部分的教学工作十分重要，它关系到学生们对线性代数整个这门课程的认识问题，关系到学生们学习的信心和学习的兴趣的问题。教学中应未雨绸缪，细致地把握好现场学生的心理状态，提前重点做好教学设计，深入浅出地开展讲解，激发学生的信心与能动性，为后续克莱默法则的教学打好直接的基础，也为《线性代数》教学开一个好头，为《线性代数》整体内容的教学做好铺垫。
参考文献
[1] 段炼，方贤文.线性代数教学中高阶行列式若干计算方法探究[J].教育教学论坛，2017（36）：195-196.[2] 居余马等.线性代数（第2版）[M].北京：清华大学出版社，2002
[3] 刘玉军，陆宜清.线性代数[M].上海：上海科学技术出版社，2017.作者简介
《几何与代数》复习要点 第7篇
1． 第一章：
行列式的性质不必全部证明，重点是要会利用这些性质计算行列式的值；
计算行列式的典型方法：降阶、化成三角形行列式；
Vandermonde行列式及分块上、下三角形行列式的结果应记住。
熟练掌握线性方程组求解的两种方法：Cramer法则和Guass消元法。
2． 第二章：
P52：知道矩阵乘法的分配律,并会运用。
P50: 记住矩阵的乘法不能随意交换次序。
P55: 记住转置运算的性质，特别是第(4)条。
p57: 行列式乘法定理的证明不用掌握；但结果需记住。
P58: 熟练掌握可逆矩阵的定义，计算，性质，特别是第（5）条。以及在后续章节中给出的矩阵可逆的其它充要条件，和计算方法。
P63: 分块矩阵。此节内容务必都掌握。
P70: 记住矩阵秩的最初定义，会用k阶子式去分析矩阵的秩。引理2.2，2.3，命题2.3不用去看。会用初等变换去求矩阵的秩(初等行变换已经够用，例2.20)。记住两个矩阵等价的定义，记住初等变换不改变矩阵的秩（命题2.4）。P75: 记住几个初等矩阵的定义。理解定理2.4，证明不用掌握。
P77-78:个人认为推论2.2，2.3很有用，定理2.5和推论2.1若能记住更好。
P79: 会用初等行变换求解矩阵的逆及矩阵方程AX=B。如果矩阵方程是XA=B，会用转置
将其变形为AX=B,从而可用初等行变换求得解X，最后转置一下得XA=B的解X。
其中的一些结果在第四章中还可以用向量组的秩来证明。
3． 第三章：
掌握内积，外积，混合积的定义，物理意义，几何意义，及在直角坐标系下的计算。
知道两个向量共线的充要条件（定理3.1，推论3.1）。
知道三个向量共面的充要条件：定理3.2，推论3.2和混合积等于0。
仿射坐标系：了解即可；
向量积分配律的证明不必掌握：p101；
注意：知道“卦限”的概念；
3.4节所有内容应熟练掌握。注意：
会求直线在平面上的投影直线（课上曾举过例，往年试题也有例子）；
异面直线：公垂线的方向向量、距离要求会计算；但不要求会求公垂线方程；
3.5节空间直角坐标变换：不考。
4． 第四章：
4.1.1-4.2.2：熟练掌握。
p135:矩阵的值域和核空间及其记号需要掌握。刻画矩阵值域的例子：p146例4.15解法一（解法二不必去看）和p156例4.21。刻画矩阵核空间的例子：p156例4.21。
4.2.3: 知道定理4.6（及前面的3个引理），但证明不用去看；掌握例4.11.4.3.1：需掌握基的定义并会求，注意例4.14和例4.15可用4.5节的例4.21(p156)的方法求解。
4.3.2：对于基变换和坐标变换，只要求会求R,R这两个空间的基变换、坐标变换
4．4节：4.4.1和4.4.3要求掌握；4.4.2：记住Schmidt正交化公式（三个向量的正交公式应该够用）
4.5.1-4.5.3: 熟练掌握
4.5.4节：不必记住教材上的分析和结论，但务必学会从方程组解的情况判断平面直线的位置关系，可结合p108的例3.13复习。往年试题也有此类问题。
4.6节最小二乘解：不考。23TTT T 09-10-2 2.5.3节：关于矩阵秩的不等式的命题应当熟悉，证明过程不必掌握。但作为对分块矩阵运算的运用，可以了解一下证明。
5． 第五章：
5.1节：熟练掌握
5.2节：5.2.1-5.2.2要求掌握；5.2.3：要求记住并理解所有的结论，证明不必全部掌握，但建议理解定理5.3的证明；另外，要求掌握5.2节的所有例题。
5.3节：5.3.1：记住性质5.1-5.2和定理5.7，定理5.7的证明不必掌握；知道定理5.7后面的注中的结论（在p207的第32题中有用）；5.3.2：熟练掌握。
5.4节：不考。
6． 第六章：
6.1.1-6.1.2：知道“二次型的矩阵”的定义，知道二次型与实对称的相互转化。务必知道合同与相似两个概念的区别与联系。知道如何由定理6.1推导出定理6.2。熟练掌握将一个二次型化为标准形的两种方法：正交变换和配方法。
6.1.3：知道正负惯性指数，秩的定义；知道命题的结论即可；
6.1.4：熟练掌握。会运用218页定理6.5(Sylvester定理)，其证明不用掌握；
6.2-6.3：注意：要求会画简单的空间图形：曲线曲面，投影柱面，投影曲线
旋转面：只要求学生掌握旋转轴是坐标轴的情形；
需记住二次曲面的分类，会用二次型的惯性定理对二次曲面进行分类；
233页例6.11：不必区分第一二类正交变换对图形的影响。
注：Matlab在期末考试中不作要求。
抓住知识本质解决线性规划问题 第8篇
这部分内容中题目的变化很多, 我们可以尝试在可行域, 目标函数以及线性规划的背景上做文章, 提高学生对这部分知识的掌握.
一、条件的变化
例1 设 b≥-2, 且方程 x2+ax+b=0的两根中, 一个根大于1, 另一个根小于-1, 求 2a+3b 的取值范围.
分析:其实该题事实上就是线性规划的题目, 但是条件需要学生自己去找, 而条件的寻找就利用我们学过的实根分布理论即可.设 f (x) =x2+ax+b, 由题意得再有 b≥-2, 得到可行域为, 在这可行域下求目标函数 z=2a+3b.利用有关知识就得到2a+3b的取值范围是 (-8, -3) .
二、结论的变化
例2 设 x, y 满足条件则 z= (x+1) 2+y2 的最小值为__.
分析:本题的可行域学生很容易知道, 但目标函数学生理解起来就有困难, 其实目标函数就是可行域上的点到点 (-1, 0) 距离的平方, 理解了这一点, 本题就容易得到目标函数的最小值为4.
例3 已知点O (0, 0) , A (3, 4) , 点P (x, y) 在约束条件下, 则undefined的最大值是__.
分析:本题的目标函数undefined学生难理解, 但从形式上有点象平面向量的数量积, 所以转化为
undefined, 从而就易得最大值为undefined
三、背景的变化
例4 制定投资计划时, 不仅要考虑可能获得的盈利, 而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲乙两个项目.根据预测, 甲乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%, 可能出现的最大亏损分别是30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元, 要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最大?
分析:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲乙两个项目, 由题意得可行域为
undefined
目标函数为 z=x+0.5y, 从而转化为我们常见的线性规划问题.
四、多元的变化
例5 实系数方程 x2+ax+2b=0的两根为 x1, x2, 且0≤x1<1
分析:这类题不仅可行域要利用实根分布理论去求得是, 而且要理解目标函数是可行域上的点与点 (1, 2) 两点连线的斜率的范围.这样就可以得到undefined的取值范围是undefined
下面两题也是如此, 学生自己也可以尝试编题, 提高自己的数学能力.
例6 一元二次方程 ax2+bx+1=0的一个根在 (-1, 1) 内, 另一个根大于1, 若 a, b 是整数, 则 (a+2) 2+b2 的最小值为__.
例7 已知, 则 z=x2+y2+2x+4y 的最大值和最小值分别是undefined和4.