不定方程和不定方程组的练习题

不定方程和不定方程组的练习题（精选14篇）

不定方程和不定方程组的练习题 第1篇

不定方程和不定方程组的练习题

二元一次方程具有无数多个解，但在一定条件下，如求整数解，存在有限个解的情况，这样的方程或方程组叫不定方程（组）。

1.写出方程x+2y=5的一个解。

2.写出方程x+2y=5的正整数解。

3.把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？

4.小明想用100元买15张邮票，现有4元，8元，10元三种面值。

（1）若他只想买4元和8元两种面值的邮票，怎样买？

（2）若这三种面值的邮票他都想买，又怎样买呢？

不定方程和不定方程组的练习题 第2篇

教学目标

1.利用整除及奇偶性解不定方程

2.不定方程的试值技巧

3.学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明

历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义

1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解

三、不定方程的试值技巧

1、奇偶性

2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）

3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）

例题精讲

模块一、利用整除性质解不定方程

【例

1】

求方程

2x－3y＝8的整数解

【考点】不定方程

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

方法一：由原方程，易得

2x＝8＋3y，x＝4＋y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：，其中k为任意数．说明

由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．

方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。

【答案】无穷多个解

【巩固】

求方程2x＋6y＝9的整数解

【考点】不定方程

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．

说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。

【答案】无整数解

【例

2】

求方程4x＋10y＝34的正整数解

【考点】不定方程

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得

2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16……

x＝1时，17－2x＝15，y＝3，x＝6时，17－2x＝

5，y＝1，x＝11时，17－2x＝17

－22，无解

所以方程有两组整数解为：

【答案】

【巩固】

求方程3x＋5y＝12的整数解

【考点】不定方程

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

由3x＋5y＝12，3x是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y也为3的倍数，所以y为3的倍数即可，所以y的取值为0、3、6、9、12……

y＝0时，12－5y＝12，x＝4，x＝3时，12－5y＝12－15，无解

所以方程的解为：

【答案】

【巩固】

解不定方程：（其中x,y均为正整数）

【考点】不定方程

【难度】2星

【题型】解答

【解析】

方法一：2x是偶数，要想和为40（偶数），9y也为偶数，即y为偶数，也可以化简方程，知道y为偶数，所以方程解为：

【答案】

模块二、利用余数性质解不定方程

【例

3】

求不定方程的正整数解有多少组？

【考点】不定方程

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

本题无论或是，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，所以也是7的倍数，则是7的倍数．

设，原方程可变为，可以为1，2，3，……16．由于每一个的值都确定了原方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解．

【答案】16组

【例

4】

求方程3x＋5y＝31的整数解

【考点】不定方程

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得

x＝，即

x＝10－2y＋，要使方程有整数解必须为整数．

取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

当y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

当y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3无解

所以方程的解为：

方法二：利用余数的性质

3x是3的倍数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：

取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意）

y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）

y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）

y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意）

y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

当y＞6时，结果超过31，不符合题意。

所以方程的解为：

【答案】

【巩固】

解方程，（其中x、y均为正整数）

【考点】不定方程

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

方法一：，4y是4的倍数，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13）

x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）

x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）

x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合题意）

x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍）

x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍）

x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）

x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合题意）

x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍）

x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍）

x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）

x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合题意）

x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）

所以方程的解为：

方法二：利用欧拉分离法，由原方程，的取值为4的倍数即可，所以方程的解为：

【答案】

模块三、解不定方程组

【例

5】

解方程

（其中a、b、c均为正整数）

【考点】不定方程

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

根据等式的性质将第一个方程整理得，根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为：，整理后得，根据等式性质，为偶数，20为偶数，所以为偶数，所以为偶数，当时，，所以，当时，，所以无解。所以方程解为

【答案】

【例

6】

解不定方程

(其中x、y、z均为正整数)

【考点】不定方程

【难度】3星

【题型】解答

【解析】

根据等式的性质将第一个方程整理得，根据消元思想与第二个式子相减得，根据等式的性质两边同时除以2得：，根据等式性质为4的倍数，100为4的倍数，所以为4的倍数，所以为4的倍数试值如下

多彩的不定方程与不定方程组 第3篇

例1解不定方程求其正整数解.

解这是二元分式不定方程, 令x=t (参数) , 解出y, 得:故原不定方程的参数方程为 (t为任意正整数, 但t≠1) , 要求不定方程的正整数解, 则需解这个不等式组, 得t>1, 于是, t的值只能取2, 3, 4, 5……将t的可取值代入不定方程的参数方程.故得原方程的正整数解: (k为任意正整数, k≠1) .

例2解不定方程x2+xy-6=0, 求其正整数解.

解这方程是二元二次不定方程, 令x=t (参数) , 则得到原不定方程的参数方程是要求x, y都是正整数, 则需取t=1, 2, 代入参数方程, 故原方程的正整数解是

例3某农友拿150元到农贸市场买鸡, 如果买小一点的鸡, 他打算买x只, 每只y元, 后来, 他看到大一点的肥鸡, 每只多5元, 于是, 他少买了4只, 最后, 他多付了12元, 问他原来打算买多少只鸡?每只鸡价格多少元?

解设他原来打算买x只鸡, 每只鸡价格y元, 依题意, 列方程 (x-4) (y+5) -xy=12, 化简得

令x=t (参数) , 则原不定方程的参数方程如果要求x和y皆为正整数, 则需所以t的可取值只能是大于3.2的而且是4的倍数, 例如4, 8, 12, 16……将t的可取值代入参数方程, 得……是原不定方程的无穷组正整数解.

由于当t=12时, (x-4) (y+5) = (12-4) (12+5) =8×17=136<150 (符合题意) ,

但当t=16时, (x-4) (y+5) = (16-4) (17+5) =12×22=264>150 (不合题意) ,

故符合题意的只有3组正整数解:

答:这位农友有三种购买方法. (1) 购买4只鸡, 每只2元, 付钱8元; (2) 购买8只鸡, 每只7元, 付钱56元; (3) 购买12只鸡, 每只12元, 付钱144元.这三种购买方法都符合题意.

摘要：方程有很多种类, 其中有一类, 其方程个数少于未知数个数, 这类方程就是不定方程, 不定方程的主要特征是有无穷多解, 这是它们的共性, 对它附加某些条件, 就可以求出符合特定条件的特解.不定方程形式多种多样, 琳琅满目, 简直目不暇接, 要研究它必须具备发散思维的思想, 引进参数, 建立不定方程的参数方程, 以参数取值的无穷性来表示不定方程的解的无穷性.于是, 不定方程的解的求法就一目了然了, 这又是归纳思维的思想.

关键词：不定方程,参数法

参考文献

[1]熊全淹.初等整数论[M].武汉:湖北人民出版社, 1982.

对三类不定方程的探讨 第4篇

一些含字母变量的等式，有一元方程，也有二元或多元方程，如方程ax+b=0，ax2+bx+c=0，可视为关于未知数x的方程.由于参数a，b，c的值未知，或者说没有给定，参数a，b，c不同时可形成不同方程. 因此，将方程不确定，方程的解也不确定的方程称为不定方程. 不定方程通常由一些等量关系式产生.

二、 不定方程的解

由于不定方程系数的未知性，所以不定方程的解的情况有多种可能.以ax+b=0，ax2+bx+c=0，ax2+by+c=0为例进行说明.

（1） ax+b=0的解可能有下列几种情况：①a≠0时，方程有唯一解x=-；②a=0，b≠0时，方程无解；③a=0，b=0时，方程有无数解，此时x∈R.

（2） ax2+bx+c=0.①a≠0时，Δ=b2-4ac＞0时，有两个不等实数根，Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，Δ=b2-4ac＜0时，方程没有实数根；②a=0时，情况与①相同，特别当a=b=c=0时，方程有无数个解.

（3） ax+by+c=0在给定a，b，c（a或b不为0）具体的值后，方程的解为对应直线上点的横坐标与纵坐标的值组成的实数对.当a=b=c=0时，方程有无数组解，为任意x∈R，y∈R组成的实数解.

三、 不定方程的应用

在实际问题中，常常利用不定方程有无数组解的充要条件，如等式ax+b=0恒成立的充要条件为a=0，b=0，又如ax2+bx+c=0有无数解的充要条件为a=b=c=0.

1. 求字母变量（待定系数）的值

例1 若方程（m-2）x+3+n=0有无数解，则m，n的值是多少？

解 因为（m-2）x+3+n=0有无数解，所以m-2=0，3+n=0，所以m=2，n=-3.

例2 已知f （x）为奇函数，且f （x）=lga+，求实数a的值.

分析 利用奇函数性质建立等量关系，化简为不定方程加以求解.

解 f （x）为奇函数，所以f （-x）=-f （x），所以lga+=-lga+，即lga+=lga+-1，a+=a+-1=，所以=，故（a+2）2-（ax）2=1-x2，即（1-a2）x2+（a+2）2-1=0.（*）

由于未知数x可取多个值，所以方程（*）有无数解，故1-a2=0，（a+2）2-1=0，解得a=-1.

注 类似于本题的利用函数奇偶性求字母变量的问题，通常化为不定方程加以解决.在使用不定方程的过程中，将未知系数和常数项都转化为以字母变量为未知数的方程或方程组，从而求解字母变量的值.

2. 求定值

例3 数列{an}，{an+1}为等比数列，试确定数列{an}的公比.

解 设{an}的首项为a1，公比为q，则=q①，设{an+1}的首项为a1+1，公比为q0，则=q0②.

若{an}为常数列，则an的值为定值，公比q=1，此时数列{an+1}也为常数列，q0=1.

若{an}不为常数列，则公比q≠1，由①有an+1=qan，代入②式有==q0，从而有qan+1=q0（an+1），即（q-q0）an+1-q0=0.将an视为未知量，由于公比q≠1，所以an至少可取两个值，即方程（q-q0）an+1-q0=0为不定方程，所以q-q0=0，1-q0=0，即q=q0=1，这与假设q≠1矛盾.

综上所述，q=1.

注 本题可推广到一般情形，数列{an}，{an+a}（a≠0）为等比数列，则{an}为常数列，公比q=1.

３. 求定点

例4 已知椭圆+=1的右焦点为F，右准线为l，且直线y=x与l相交于点A.

（1） 若圆C经过O，F，A三点，求圆C的方程；

（2） 当m变化时，求证：圆C经过除原点O外的另一个定点B.

解 （1）因为a2=m2+m，b2=m，所以c2=a2-b2=m2，c=m，所以F（m，0），l：x==1+m，所以A（1+m，1+m）.

设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将O，F，A三点坐标代入，得F=0，m2+Dm=0，2+2m+D+E=0，解得F=0，D=-m，E=-2-m.

所以圆C的方程为x2+y2-mx-（2+m）y=0.

（2） 设点B坐标为（p，q），则p2+q2-mp-（2+m）q=0，整理得（p+q）m+2q-p2-q2=0，对任意实数m都成立.

该式可视为关于m的不定方程，p+q为系数，2q-p2-q2为常数项.

所以p+q=0，2q-p2-q2=0，解得p=0，q=0或p=-1，q=1.

所以当m变化时，圆C经过除原点外的另外一个定点B（-1，1）.

注 本题第二问中使用代点法得到不定方程. 注意这类题的一般处理方法.

例5 已知圆的方程为x2+y2=4，P为其上任意一点，点A（-3，0），是否存在一定点B，使为定值？

分析 本题可设出参量（点B的横坐标a与纵坐标b以及比值k），由=k结合两点间距离公式形成不定方程，进而建立参数的方程与方程组，求出参数.

解 假设存在点B（a，b），使得=k（k为非零常数）.

设P（x，y）为圆x2+y2=4上任意一点，由题意得PA=，PB=，则==k，两边同时平方得x2+y2+6x+9=k2（x2+y2-2ax-2by+a2+b2）.

又x2+y2=4，所以（2k2a+6）x+2k2by-k2（a2+b2+4）+13=0.因为（x，y）在圆上，故该方程有无数组解，从而2k2a+6=0，2k2b=0，-k2（a2+b2+4）+13=0，解得a=-，b=0，k2=，或a=-3，b=0，k2=1（舍去）.所以存在满足条件的点B-，0.

注 本题实际上为阿波罗尼斯圆的形成过程，到两个定点距离比为定值的点的轨迹为圆.

1. 已知直线mx+（m-1）y+2m+2=0，则该直线恒过点______.

2. 已知曲线x2+y2+2mx+（3-m）y+2m-2=0，求该曲线恒经过的两个定点.

3. 已知一次函数f （x）满足f （x-1）+f （x+1）=2x+1，求f （x）解析式.

1. （-4，2）. 2. （-2，-2），-，. 3.f （x）=

x+.

一类不定方程有解的一般性结论 第5篇

关于一类不定方程有解的一般性结论

用模型论的方法证明了一类不定方程a1xr11+a2xr22+...+anxrnn=bys(其中a1,...,an,b为任意整数,r1,...,rn,s为任意正整数)有解.进一步地,我们用相同的`方法解决了一个猜想.

作 者：马鑫 王世强 沈复兴 Ma Xin Wang Shiqiang Shen Fuxing  作者单位：北京师范大学数学科学学院,100875,北京 刊 名：北京师范大学学报（自然科学版）  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF BEIJING NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)： 43(6) 分类号：O1 关键词：不定方程   Peano公理   紧致性定理   模型  

不定方程x3+8=21y2 第6篇

关于不定方程x3+8=21y2

讨论不定方程x3+8=21y2的整数解.方法主要利用同余式,递归序列的有关性质和结论.给出了不定方程x3+8=21y2仅有整数解(x,y)=(-2,0).推广了不定方程的研究范围,为进一步研究提供了方向.

作 者：李亚卓 LI Ya-zhuo 作者单位：西北大学数学系,西安,710127刊 名：科学技术与工程 ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING年，卷(期)：9(2)分类号：O156.7关键词：不定方程 整数解 递归序列

不定方程B奥数六年级应用题 第7篇

小明用5天时间看完了一本200页的故事书。已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和，第五天看的.页数是第三、四两天看的页数之和。那么，小明第五天至少看了页。

设小明第一天看了a页，第二天看了b页，则前五天看的页数依次为：

a，b，a+b，a+2b，2a+3b。

上面各个数的和是200，得到

5a+7b=200。

因为5a与200都是5的倍数，所以b是5的倍数。因为b>a，所以上式只有两组解：

b=20，a=12;b=25，a=5。

几种常见的不定方程的求解 第8篇

1. 二元一次不定方程及其求解。最简单的不定方程就是二元一次不定方程, 下面我们考虑它有整数解的条件。

定理[1]二元一次不定方程ax+by=c… (1) 有整数解的充分必要条件是d|c, d= (a, b) , (其中a, b, c是整数, 且a, b都不是0) 。证必要性, 如果方程 (1) 有整数解x=x0, y=y0则ax0+by0=c。有d|ad|b, 所以d| (ax0+by0) 即d|c。充分性, 因为d|c所以c=dq由于存在两个整数x0, y0使ax0+by0=d。在上式两边同时乘以q, 得ax0q+by0q=dq。即ax0q+by0q=c因此方程 (1) 有整数解x=x0q, y=y0q。对于二元一次不定方程, 我们介绍求x0, y0的三种常用方法:

(1) 观察法。例1求不定方程3x+4y=23的非负整数解。解:通过观察x=1, y=5是一个特解。因此不定方程的通解为这里t为任意整数;解不等式组得因此t=0, 1当t=0时, x=1, y=5, 当t=1时, x=5, y=2。因此不定方程的全部非负整数解为:

(2) 辗转相除法。方程ax+by= (a, b) 与的解完全相同, 又因为求ax+by=1的解即可求出|a|x+|b|y=1的解, 因此我们只需讨论求ax+by=1… (3) 的一个整数解的方法, 其中 (a, b) =1, 设a≥b>1, 由 (3) 式必存在整数M, N, 使a M+b N=1… (4) 。且M= (-1) n-1Qn, N= (-1) nPn, 在 (4) 式两边同乘以c, 得ac M+bc N=c。因此不定方程 (1) 的一个整数解是:x0= (-1) n-1QnC, y0= (-1) nPnC。其中, P0=1, P1=q1, PK=qKPk-1+Pk-2, Q0=0, Q1=1, Qk=qKQk-1+qk-2, k=2, …, n。

(3) 降低系数法。降低系数法是普通中学教科书中二元一次不定方程解法的理论依据。例2[1]求107x+37x=25的一切整数解。解:由原方程得:, 则y'应该是整数, 故得一新的不定方程37y'+33x=25。又。所以原方程的一切解是:x=3-37t, y=-8+107t (t=0, ±1, ±2, …) 。本文开头的张丘建的百钱买百鸡的问题, 实际上是求不定方程的非负整数解的问题

2. 勾股数。

在平面几何里, 我们已经学过直角三角形斜边与直角边关系的勾股定理:斜边长的平方等于两直角边长的平方之和, 即x2+y2=z2… (1) 。如果正整数x, y, z能满足不定方程x2+y2=z2, 那么x, y, z叫做一组勾股数, 简称勾股数。我国古代数学书《周髀算经》曾提到“勾广三, 股修四, 经隅五”, 这是三边都是正整数的直角三角形。由此可见当时的数学家已经求出了不定方程 (1) 的一组正整数解:x=3, y=4, z=5。在公元263年时, 我国数学家刘徽在评注《九章算术》时, 载有下面几组等式:32+42=5252+122=13272+242=25282+152=172202+212=292。这些事实说明, 我国古代数学家已经得到了许多勾股数, 即方程 (1) 的许多正整数解。那么我们有没有办法可以求出方程 (1) 的一切正整数解呢?为了解决这个问题我们证明:引理[1]不定方程uv=w2, w>0, u>0, v>0 (u, v) =1… (2) 的一切正整数解可以写成公式:u=a2, v=b2, w=ab, a>0, b>0, (a, b) =1… (3) 。证 (1) 设u, v, w是 (2) 的一解。令u=a2u1, v=b2v1, a>0, b>0, 其中u1, v1不再被任何数的平方整除, 则a2|w2, b2|w2, 因此a|w, b|w, 又 (u, v) =1, 故 (a2, b2) =1, 因而, (a, b) =1, 由此即得ab|w, 设w=w1ab, 代入 (2) 即得u1v1=w12, 若w12≠1, 则有一质数P, 满足P2|w12, 但由u1, v1的定义及 (u1, v1) =1, 可知P2不整除u1, v1。故w12=1, u1v1=1, 但w1, u1, v1都是正数, 故w1=u1=v1=1。因此u=a2, v=b2, w=ab, a>0, b>0, (a, b) =1。2) 反之, (3) 式中的u, v, w显然满足 (2) 式。

3. 特殊的非一次型不定方程

(1) 因式分解法。对某些非一次型不定方程, 往往可以对不定方程中的代数式进行因式分解, 同时再通过对方程中的常数项分解质因数, 得出常数项的约数, 根据约数与因式分解情况, 并结合考虑求方程整数解的具体要求, 列出某些方程组, 从而求出原不定方程的整数解。例3[3]求不定方程3x2-xy+9=0的正整数解。解由原方程得x (y-3x) =9, 当x, y是整数时, y-3x是整数, 且x, y-3x都是9的约数。所以

(2) 整数分离法。这种方法是通过对不定方程的变形, 使一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示, 如果这个代数式是分式, 那么用整数分离法, 将分式变形成“整数”的形式, 这时m为常数, P是关于另一个未知数的多项式, 然后对运用约数分析法, 求出原不定方程的解。

例4求满足方程, 且使y最大的正整数解 (x, y) 。

解:分离变量, 得, 则 (12-x) |144, 且为使y最大, 又必须12-x为最小的正整数, 则x=11, 因此y=132, 所以满足要求的正整数解为 (11, 132) 。

(3) 估计法。例5[3]求不定方程x+y=x2-xy+y2的整数解。解:原方程变形为关于x的一元二次方程x2- (y+1) x+ (y2-y) =0, 若有整数x, y使上式成立。则Δ= (y+1) 2-4 (y2-y) ≥0, 也就是3y2-6y-1≤0, 解得。从而y=0, 1, 2可相应求出x的值。

综上可知原方程有整数解: (0, 0) , (1, 0) , (0, 1) , (2, 1) , (2, 2) 。

(4) 奇偶分析法。例6[3]求方程x (x+y) =z+120的质数解。解 (1) 若z为偶数, 则z=2, 于是z+120=122=2×61为偶数, 所以x (x+y) 也为偶数, 又因为x, y为质数, x+y>x。所以, 故原方程的一个质数解为 (2, 59, 2) 。

(2) 若z为奇数, 则z+120为奇数, 所以x (x+y) 为奇数, 即x, x+y都为奇数, 则y为偶质数, 故y=2, 那么原方程变为x (x+2) =z+120, 即x2+2x-120=z, 则 (x+12) (x-10) =z因为z为质数, x-10<x+12, 所以故原方程的又一个质数解为 (11, 2, 23) 。像这些特殊的非一次型不定方程的例题很多, 解决的方法也很灵活多样, 归纳起来常见的有下列几种: (1) 代数式的恒等变形, 特别是代数式的因式分解; (2) 估计法, 特别是利用不等式的性质; (3) 奇偶分析法; (4) 换元法; (5) 无穷递降法; (6) 整除性质; (7) 其他某些不定方程的求解, 可能仅利用其中一种方法, 但很多题目往往需要几种方法混合使用, 要视具体情况具体分析, 灵活的解决问题。

几种常见的不定方程的求解 第9篇

关键词：二元一次不定方程；辗转相除法；整数分离法；勾股数；特殊的非一次型不定方程

不定方程，即未知数个数多于方程个数且其解受一定限制（如解为整数，正整数等）的方程或方程组。不定方程又叫丢番图方程，它是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。我国对不定方程的研究已延续了数千年。“百钱买百鸡”、“物不知其数”等堪称中外驰名，一直流传至今。学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。中国古代数学家张丘建曾解答了下面的问题：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”设x，y，z分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的数目，就得x+y+z=1005x+3y+■z=100：消去z，得7x+4y=100。我们要解决这个问题，就要求出上述方程的非负整数解，这个方程仅仅是二元一次不定方程的一个具体例子。本文主要介绍一些基本类型的不定方程有整数解的条件及其解法。

1.二元一次不定方程及其求解。最简单的不定方程就是二元一次不定方程，下面我们考虑它有整数解的条件。

定理[1]二元一次不定方程ax+by=c…①有整数解的充分必要条件是d|c，d=（a，b），（其中a，b，c是整数，且a，b都不是0）。证必要性，如果方程①有整数解x=x0，y=y0则ax0+by0=c。有d|ad|b，所以d|（ax0+by0）即d|c。充分性，因为d|c所以c=dq由于存在两个整数x0，y0使ax0+by0=d。在上式两边同时乘以q，得ax0q+by0q=dq。即ax0q+by0q=c因此方程①有整数解x=x0q，y=y0q。对于二元一次不定方程，我们介绍求x0，y0的三种常用方法：

（1）观察法。例1 求不定方程3x+4y=23的非负整数解。解：通过观察x=1，y=5是一个特解。因此不定方程的通解为x=1+4ty=5-3t这里t为任意整数；解不等式组1+4t≥05-3t≥0得：-■≤t≤■ 因此t=0，1 当t=0时，x=1，y=5，当t=1时，x=5，y=2。因此不定方程的全部非负整数解为：x=1y=5 x=5y=2

（2）辗转相除法。方程ax+by=（a，b）与■x+■y=1的解完全相同，又因为求ax+by=1的解即可求出|a|x+|b|y=1的解，因此我们只需讨论求ax+by=1…③的一个整数解的方法，其中（a，b）=1，设a≥b＞1，由③式必存在整数M，N，使aM+bN=1…④。且M=（-1）n-1Qn，N=（-1）nPn，在④式两边同乘以c，得acM+bcN=c。因此不定方程（1）的一个整数解是：x0=（-1）n-1QnC，y0=（-1）nPnC。其中，P0=1，P1=q1，PK=qKPk-1+Pk-2，Q0=0，Q1=1，Qk=qKQk-1+

qk-2，k=2，…，n。

（3）降低系数法。降低系数法是普通中学教科书中二元一次不定方程解法的理论依据。例2[1]求107x+37x=25的一切整数解。解：由原方程得：y=■=-2x+■。令y'=■，则y'应该是整数，故得一新的不定方程37y'+33x=25。又x=■=-y'+■。仿前令x'=■，又得到33x'+4y'=25。又y'=■=6-8x'+■取x'=1，得y'=-2 所以x=-（-2）+■=3，y=（-2）×3+■=-8。所以原方程的一切解是：x=3-37t，y=-8+107t （t=0，±1，±2，…）。本文开头的张丘建的百钱买百鸡的问题，实际上是求不定方程的非负整数解的问题

2.勾股数。在平面几何里，我们已经学过直角三角形斜边与直角边关系的勾股定理：斜边长的平方等于两直角边长的平方之和，即x2+y2=z2…①。如果正整数x，y，z能满足不定方程x2+y2=z2，那么x，y，z叫做一组勾股数，简称勾股数。我国古代数学书《周髀算经》曾提到“勾广三，股修四，经隅五”，这是三边都是正整数的直角三角形。由此可见当时的数学家已经求出了不定方程①的一组正整数解：x=3，y=4，z=5。在公元263年时，我国数学家刘徽在评注《九章算术》时，载有下面几组等式：32+42=52 52+122=132 72+242=252 82+152=172 202+212=292。这些事实说明，我国古代数学家已经得到了许多勾股数，即方程①的许多正整数解。那么我们有没有办法可以求出方程①的一切正整数解呢？为了解决这个问题我们证明：引理[1]不定方程uv=w2，w＞0，u＞0，v＞0（u，v）=1…②的一切正整数解可以写成公式：u=a2，v=b2，w=ab，a＞0，b＞0，（a，b）=1…③。证（1）设u，v，w是②的一解。令u=a2u1，v=b2v1，a＞0，b＞0，其中u1，v1不再被任何数的平方整除，则a2|w2，b2|w2，因此a|w，b|w，又（u，v）=1，故（a2，b2）=1，因而，（a，b）=1，由此即得ab|w，设w=w1ab，代入②即得u1v1=w12，若w12≠1，则有一质数P，满足P2|w12，但由u1，v1的定义及（u1，v1）=1，可知P2不整除u1，v1。故w12=1，u1v1=1，但w1，u1,v1都是正数，故w1=u1=v1=1。因此u=a2，v=b2，w=ab，a＞0，b＞0，（a，b）=1。2）反之，③式中的u，v，w显然满足②式。

3.特殊的非一次型不定方程

（1）因式分解法。对某些非一次型不定方程，往往可以对不定方程中的代数式进行因式分解，同时再通过对方程中的常数项分解质因数，得出常数项的约数，根据约数与因式分解情况，并结合考虑求方程整数解的具体要求，列出某些方程组，从而求出原不定方程的整数解。例3[3]求不定方程3x2-xy+9=0的正整数解。解由原方程得x（y-3x）=9，当x，y是整数时，y-3x是整数，且x，y-3x都是9的约数。所以x=1y-3x=9 x=3y-3x=3 x=9y-3x=1

解之得：x=1y=12 x=3y=12 x=9y=28。

（2）整数分离法。这种方法是通过对不定方程的变形，使一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，如果这个代数式是分式，那么用整数分离法，将分式变形成“整数+■”的形式，这时m为常数，P是关于另一个未知数的多项式，然后对■运用约数分析法，求出原不定方程的解。

例4 求满足方程■-■=■，且使y最大的正整数解（x，y）。

解：分离变量，得y=■=-12+■，则（12-x）|144，且为使y最大，又必须12-x为最小的正整数，则x=11，因此y=132，所以满足要求的正整数解为（11，132）。

（3）估计法。例5[3]求不定方程x+y=x2-xy+y2的整数解。解：原方程变形为关于x的一元二次方程x2-（y+1）x+（y2-y）=0，若有整数x，y使上式成立。则Δ=（y+1）2-4（y2-y）≥0，也就是3y2-6y-1≤0，解得1-■≤y≤1+■。从而y=0，1，2 可相应求出x的值。

综上可知原方程有整数解：（0，0），（1，0），（0，1），（2，1），（2，2）。

（4）奇偶分析法。例6[3]求方程x（x+y）=z+120的质数解。解①若z为偶数，则z=2，于是z+120=122=2×61为偶数，所以x（x+y）也为偶数，又因为x，y为质数，x+y＞x。所以x=2x+y=61，即x=2y=59，故原方程的一个质数解为（2，59，2）。

②若z为奇数，则z+120为奇数，所以x（x+y）为奇数，即x，x+y都为奇数，则y为偶质数，故y=2，那么原方程变为x（x+2）=z+120，即x2+2x-120=z，则（x+12）（x-10）=z因为z为质数，x-10＜x+12，所以x-10=1x+12=z，即x=11z=23故原方程的又一个质数解为（11，2，23）。像这些特殊的非一次型不定方程的例题很多，解决的方法也很灵活多样，归纳起来常见的有下列几种：（1）代数式的恒等变形，特别是代数式的因式分解；（2）估计法，特别是利用不等式的性质；（3）奇偶分析法；（4）换元法；（5）无穷递降法；（6）整除性质；（7）其他某些不定方程的求解，可能仅利用其中一种方法，但很多题目往往需要几种方法混合使用，要视具体情况具体分析，灵活的解决问题。

综上所述，不定方程有着各种类型，也有着各种不同的解法，不定方程问题富有趣味，耐人寻味，具有优美的技巧。不定方程应用广泛，一些排列组合数问题和某些物理问题都可用不定方程解决，许多中小学竞赛题也因不定方程解法巧妙而引入不定方程问题。因此不论是现实生活还是理论上，不定方程都有着不可替代的作用。

参考文献：

[1]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].高等教育出版社，1982.

[2]陈肇曾.数论初步[M].高等教育出版社，1996.

[3]王元.初等数论[M].人民教育出版社，2003.

[4]曹珍富.数论中的问题及结果[M].1996.

[5]阎满富，王朝霞.初等数论及其应用[M].中国铁道出版社，1999.

[6]冯克勤.初等数论及应用[M].北京师范大学出版社，2003.

[7]张君达.数论基础[M].北京科学技术出版社，2002.

[8]郑克明.数论基础[M].西南师范大学出版社，1993.

[9]潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京大学出版社，2003

[10]R.K.盖伊.数论中未解决的问题[M].科学出版社，2004.

[11]晏能中.初等数论[M].电子科技大学出版社，1992.

不定方程和不定方程组的练习题 第10篇

1、小红身高152厘米，比小明矮5厘米。小明身高多少厘米？

2、某水库的水位达14.14米，超过警戒水位0.64米。这个水库的警戒水位是多少米？

3、学校食堂运来60袋大米，比运来的面粉多15袋。运来面粉多少袋？

4、一只大象的体重是6吨，正好是一头牛的15倍。一头牛的体重是多少吨？

5、军军跑步后每分钟心跳130下，比跑步前多55下。跑步前每分钟心跳多少下？

6、张庄今年植树节栽杨树420棵，比栽柏树少330棵，栽柏树多少棵？

7、今天卖出《小数报》86份，比昨天多18份，昨天卖出多少份？

8、汽车每小时行80千米，比火车每小时少行30千米。火车每小时行多少千米？

9、爷爷今年65岁，是小明年龄的5倍，小明今年多少岁？

二、列方程解应用题。

1、学校买来20米长的布，准备做16件儿童表演服。每件儿童表演服用布多少米？

2、王老师买奖品，其中有42棵练习本，是日记本的3倍。日记本有多少本？

3、一分钟过去了，地球上大约又增加了300个婴儿，全球平均每秒有大约多少个婴儿出生？

4、五（6）中队用水桶在一个滴水的龙头下接水，3小时一共接了1.8千克。这个水龙头每分钟浪费多少克水？

5、一瓶雪碧，平均分给5个小朋友，每人正好分得400毫升。这瓶雪碧一共有多少毫升？

6、小军家去年的总收入是10.8万元，比今年少2.4万元，今年收入多少？

7、地球上海洋的面积有3.6亿平方千米，大约是陆地面积的1.5倍。陆地面积大约是多少亿平方千米？

8、一块小麦地占地600平方米，已知长是30米，求宽是多少米？

热传导方程习题和答案 第11篇

章

热

传

导

方

程

§1

热传导方程及其定解问题的提

1.一均匀细杆直径为，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律

又假设杆的密度为，比热为，热传导系数为，试导出此时温度满足的方程。

解：引坐标系：以杆的对称轴为轴，此时杆为温度。记杆的截面面积为。由假设，在任意时刻到内流入截面坐标为到一小段细杆的热量为

杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻到在截面为到一小段中产生的热量为

又在时刻到在截面为到这一小段内由于温度变化所需的热量为

由热量守恒原理得：

消去，再令，得精确的关系：

或

其中

2.试直接推导扩散过程所满足的微分方程。

解：在扩散介质中任取一闭曲面，其包围的区域

为，则从时刻到流入此闭曲面的溶质，由，其中为扩散系数，得

浓度由变到所需之溶质为

两者应该相等，由奥、高公式得：

其中叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形。由于的任意性即得方程：

3.砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以表示它在单位体积中所储的热量，为初始时刻所储的热量，则，其中为常数。又假设砼的比热为，密度为，热传导系数为，求它在浇后温度满足的方程。

解：

可将水化热视为一热源。由及得。由假设，放热速度为

它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得

4.设一均匀的导线处在周围为常数温度的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程

其中及分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，表示横截面面积，而表示导线对于介质的热交换系数。

解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为

其中为单位体积单位时间所产生的热量。

由常电流所产生的为。因为单位长度的电阻为，因此电流作功为

乘上功热当量得单位长度产生的热量为其中0.24为功热当量。

因此单位体积时间所产生的热量为

由常温度的热交换所产生的(视为“被动”的热源)，从本节第一题看出为

其中为细杆直径，故有，代入得

因热源可迭加，故有。将所得代入即得所求：

5*.设物体表面的绝对温度为，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒---波耳兹曼(Stefan-Boltzman)定律正比于，即

今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已

知函数,问此时该物体热传§导问题的边界条件应如何叙述？

解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射出去的热量为辐射进来的热量为因此由热量的传导定律得边界条件为：

§2

混合问题的分离变量法

1．用分离变量法求下列定解问题的解：

解：设代入方程及边值得

求非零解得

对应Ｔ为

因此得

由初始值得

因此

故解为

２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题

解：设代入方程及边值得

求非零解得

n=1,2,……

对应Ｔ为

故解为

由始值得

因此

所以

３．如果有一长度为的均匀的细棒，其周围以及两端处均匀等到为绝热，初

始温度分布为问以后时刻的温度分布如何？且证明当等于常数时，恒有。

解：即解定解问题

设代入方程及边值得

求非零解：

当时，通解为

由边值得

因故相当于

视为未知数，此为一齐次线性代数方程组，要非零，必需不同为零，即

此齐次线性代数方程组要有非零解，由代数知必需有

但

因为单调增函数之故。因此没有非零解。

当时，通解为

由边值得

即可任意，故为一非零解。

当时，通解为

由边值得

因故相当于

要非零，必需因此必需即

这时对应

因取正整数与负整数对应一样，故可取

对应于解T得

对应于解T得

由迭加性质，解为

由始值得

因此

所以

当时，所以

4．在区域中求解如下的定解问题

其中均为常数，均为已知函数。

[提示：作变量代换]

解：按提示，引，则满足

由分离变量法满足方程及边值条件的解为

再由始值得

故

因此

5．长度为的均匀细杆的初始温度为，端点保持常温，而在和侧面上，热量可以发散到到周围的介质中去，介质的温度取为，此时杆上的温度分布函数满足下述定解问题：

试求出

解：引使满足齐次方程及齐次边值，代入方程及边值，计算后得要满足：的通解为

由边值

又

得

解之得

因此

这时满足：

设代入方程及边值条件得

求非零解时，才有非零解。这时通解为

由边值得

要，即有非零解，必须

即

令

得

它有无穷可数多个正根，设其为得

对应T为

因此

其中满足方程

再由始值得

所以

应用满足的方程，计算可得

又

所以

得

最后得

其中满足

另一解法：设使满足为此取

代入边值得

解之得

因而

这时，满足

按非齐次方程分离变量法，有

其中为对应齐次方程的特征函数，由前一解知为

即

代入方程得

由于是完备正交函数系，因此可将

展成的级数，即

由正交性得

又

所以

将此级数代入等式右端得满足的方程为

由始值得

有

解的方程，其通解为

＇

由

得

即有解

因此

6.半径为a的半圆形平板，其表面绝热，在板的圆周边界上保持常温，而在直径边

界上保持常温，圆板稳恒状态的温度分布。

解：引入极坐标，求稳恒状态的温度分布化为解定解问题

（拉普斯方程在极坐标系下形式的推导见第三章习题3），其中引入的边界条件为有限时，叫做自然边界条件。它是从实际情况而引入的。再引则

满足

设代入方程得

乘以再移项得

右边为r函数，左边为函数，要恒等必须为一常数记为，分开写出即得

再由齐次边值得

由以前的讨论知

对应R满足方程

这是尤拉方程，设代入得

即

为两个线性无关的特解，因此通解为

由自然边界条件有限知

在处要有限，因此必需由迭加性质知

满足方程及齐次边值和自然边界条件，再由

得

因此

所以

§

柯

西

问

题

1．求下述函数的富里埃变换：

(1)

(2)

(a

0)

(3)

(a

0,k为自然数)

解：(1)

=

（柯西定理）

=

或者

=

积分得

又

=

故

C=

所以

F[]=2I(P)=

(2)

=+

或

==

=2

(3)

F[

]=

因

=

=

=

所以

2．证明当f(x)在内绝对可积时，F(f)为连续函数。

证：因对任何实数p有

即关于p

绝对一致收敛，因而可以在积分下取极限，故g(p)关于p

为连续函数。

3．用富里埃变换求解三维热传导方程的柯西问题

：

解：令

对问题作富里埃变换得

解之得

因

=

再由卷积定理得

4.证明（3.20）所表示的函数满足非齐次方程(3.15)以及初始条件（3.16）。

证：要证

满足定解问题

原书85页上已证解的表达式中第一项满足

因此只需证第二项满足

如第一项，第二项关于的被积函数满足

若记第二项为被积函数为即

故有

即

显然得证。

5．求解热传导方程（3.22）的柯西问题，已知

（1）

(2)

(3)

用延拓法求解半有界直线上热传导方程（3.22）,假设

解：

（1）sinx有界，故

=

=

(2)

1+x无界，但表达式

仍收敛，且满足方程。因此

=

易验它也满初始条件。

（3）由解的公式

知，只需开拓使之对任何x值有意义即可。为此，将积分分为两个与，再在第一个中用来替换就得

由边界条件得

要此式成立，只需

即作奇开拓，由此得解公式为

6．证明函数

对于变量满足方程

对于变量满足方程

证：验证即可。因

同理

所以

仿此

所以

7．证明如果分别是下列两个问题的解。

则是定解问题的解。

证：

验证即可。因

所以

又

8．导出下列热传导方程柯西问题解的表达式

解：由上题，只需分别求出

及的解，然后再相乘迭加即得。但

所以

9．验证二维热传导方程柯西问题

解的表达式为

证：由第6题知函数满足方程，故只需证明可在积

分号下求导二次即可。为此只需证明在积分号下求导后所得的积分是一致收敛的。

对x求导一次得

对有限的即和，下列积分

是绝对且一致收敛的。因为对充分大的，每个积分

都是绝对且一致收敛的。绝对性可从充分大后被积函数不变号看出，一致性可从充分性判别法找出优函数来。如第三个积分的优函数为

且

收敛。

因，故

右端为一致收敛积分的乘积，仍为一致收敛积分。因而为绝对一致收敛的积分。从而有，对讨论是类似的。从而证明表达式满足方程。

再证满足始值。任取一点，将

写成因而

对任给，取如此之大，使

再由的连续性，可找到使当，都小于时，有

所以

因此

即有

§4

极值原理，定解问题的解的唯一性和稳定性

1．若方程的解在矩形R的侧边及上不超

过B，又在底边上不超过M，证明此时在矩形R内满足不等式：

由此推出上述混合问题的唯一性与稳定性。

证：令，则满足，在R的边界上

再由热传导方程的极值原理知在R内有

故

唯一性：若为混合问题的两个解，则满足

由上估计得

推出

即

解是唯一的。

稳定性：若混合问题的两个解在满足即，则

满足估计

因此对任何满足，解是稳定的2．

利用证明热传导方程极值原理的方法，证明满足方程的函数在界闭区域上的最大值不会超过它在境界上的最大值。

证：反证法。以表在上的最大值，表在的边界上的最大值。若定理不成立，则。因而，在內有一点使。

作函数

其中为的直径。在上

而

故也在R内一点上取到其最大值，因而在该点处有：

即，另一方面，所以

不定代词和不定副词的用法总结 第12篇

做不定代词。一般有以下几组：1)some, any, no2)somebody, anybody, nobodysomeone, anyone, no one(注意不要连写)something, anything, nothing3)one, none4)all, every, each, other, another, either, neither, both5)everybody, everyone, everything6)many, much, few, little, a few, a little, a lot of, lots of1)some, any, no的用法a.some和any通常用于表示不定数或不定量，修饰复数可数名词或不可数名词。some表示“几个；一些；部分”，多用于肯定句里表示肯定的意思；而any表示“一些；什么；任何；”，对用于否定句或疑问句中表示否定或疑问的意思。如：* He asked me some questions.(他问了我几个问题。)* Some of us don’t like the music in this movie.(我们当中的一些人不喜欢这部电影里的音乐。)* Some of the bread has been eaten.(面包已吃了一些。)* Are there any stamps in this post office?(这

个邮局里有邮票吗？)* I didn’t have any cigarettes, so I went out to buy some.(我没有香烟了，所以出去买了一些。)b.刚才我们说some一般用于肯定句而any一般用于否定句和疑问句。但有时也有例外。这要根据句子意思来看。如：* I could not answer some of his questions.(我不能回答他的某些问题。)(some用在否定句中表示“一些；部分”。如果说成：I could not answer any of hisquestions.意思就变了，它表示“我不能回答他的任何问题。”)* Will you get me some apples on your way back?(在你回来的路上可以给我带一些苹果吗？)(some用在疑问句中大多表示“请求” 或“建议”)* Let me know if you hear any news.(如果你有任何消息请告诉我。)(any用在条件从句中表示“任何”)* “What would you like to drink?” “Any will do.”(“你想喝什么？”“哪种都行。”)(any在这里表示“任何”)c.no在句子中作定语，表示否定，意思是“没有；不是”，它可以修饰可数名词的单数和复数形式或不可数名词。如：2* There are no letters for you today.(今天没有你的信。)* I have no money at the moment.Could you lend me some?(我现在没有钱。你能借我一些吗？)2)复合不定代词的用法a.不定代词some, any, no与-one,-body,-thing可以组成九个复合代词。它们是：someone

anyoneno onesomebodyanybodynobodysomethinganythingnothing这些复合不定代词只有名词的性质，可以作主语、宾语等。b.因为some一般用于肯定句，any一般用于否定句或疑问句，no表示完全否定，因此由some, any, no与-one,-body组成的复合代词的用法也一样。* Did you meet anyone on your way home?(在回家的路上你遇见什么人吗？)* I am sure someone will come to help us.(我坚信会有人来帮助我们的。)* I am a stranger.I know nobody here.(我是一个陌生人，我不认识这里的任何人。)c.第二部分为-one和-body的复合代词只能用于表示人，它们的形式是单数形式，但有时可以用they或them指代。如：* There is someone in your office.Can you hear them talking?(你办公室里有人。你听见他们说话了吗？)(them指代someone)* No one was kinder to me at that time than Rose.(那时，没有一个人比Rose对我更好。)d.第二部分为-thing的复合代词只能用于指物。如：* There was something wrong with the car so he had to stopped it.* Why don’t you say something to me?* He looked at me and didn’t say anything.* Nothing can be done to save her life.e.这些复合不定代词如果有其它的形容词修饰，形容词必须后置。如：* Somebody important has arrived, I’m sure.(important修饰somebody)* Is there anything interesting on TV tonight?(interesting修饰anything)3)one和none的用法none的用法我们已经在前面几讲中提过，这里就不详细说了。不

定代词one指代可数名词的单数，即可以指人，也可以指物。它的复数形式是ones。在句中可以作主语、宾语、定语等。如： * He is not the one who is easily cheated.(one

指人)* I’ve made some cakes.Would you like one of them?(one指物)* I prefer red roses to white ones.(ones指物)* Are they the ones who moved here a few days ago?(ones指人)4)all, every, each, other, another, either, neither, botha.every只有

形容词的性质，在句子中作定语。常用于修饰单数的可数3名词。表示“每个；

各个”，还可以表示“一切”。如：* After the strong wind every flower in the garden was gone.* Every time I ring you up, your mother answers it.* I shall do my best to help you in every way.(我将尽用一切办法帮助你。)every还可以和-one,-thing,-body构成复合不定代词，即：everyone, everything, everybody。其中，everyone

和everybody用于指人，意思一样，都是“每人；大家”，形式上表示单数意思上可以表

示单数也可以表示复数。everything用于指物，意思是“每件事；一切”，形式上表示单

数意思上可以表示单数也可以表示复数。如：* One can’t have everything.* Everything goes well with me.* The town is so small that everybody knows everybody else.注意：在使用everyone时要注意和every one相区别。everyone是一个不

定代词而every one是一个词组，前者只能指人而后者既可以指人也可以指物。请注意

下列例句：* Everyone will be here except Patrick.(everyone 指人)* Every one of the children will get a gift.(every one也指人)*We played several matches against the visitors, but unluckily lost every one.(every one指物)b.each的意思是“每个；各自的”，可以指人，也可以指物。如：* I leave home at 7 a.m.each day.* On each floor there are about twenty classrooms.* Each

of them has received a letter.由于each和every的意思相近，都表示“每一个”，因此要特别注意它们的区别。each所描述的对象至少是两个数目中的每一个，而every

所描述的对象至少是三个数目中的每一个；every着重强调整体的含义而each着重强调

再谈剩余定理及不定方程 第13篇

在《雁北师范学院学报》2002年4月第18卷第二期中有著文《最小公倍数的一个应用》, 论文在结尾处应将剩余定理再演化一下, 更加有结局性。

可见依此法求N (或N1) 比较便捷, 据此, 探讨不定方程的最小整数解。

例1:求不定方程yx=-11145的最小正整数解。

由此题求解的过程, 可知:取余式中的一组求解即可。

例2:求35 yx=+2的最小整数解。

上述两题是将不定方程还原成剩余定理的方程形式再利用凑余法求解N, 转而再求x、y。这种这种形式的改变, 是将方程论中的题目转化至数论中, 使二者有机相连, 不失为一种新的尝试和思路。

事实上, 将余数的题目用方程的形式写出:

综上所述, 对于n元一次线性方程, 求最小整数解及通式, 可转化成剩余定理的方程形式, 先求N, 再求解。

对于二元一次线性方程:

此方法比较《不定方程浅说》中给出的展转系数法、展转相除法、连分数解法等要简便实用。

参考文献

[1]《雁北师范学院学报》, 2002年4月第18卷第二期。

[2]夏圣亭:《不定方程浅说》, 天津人民出版社, 1980年5月第一版。

一元一次方程和不等式巩固练习 第14篇

8.如图4，一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2-k1）x +b2-b1>0的解集为__________. 图4

9.如果x，y满足不等式组x≤3x+y≥0x-y+5≥0，那么你能画出点（x，y）所在的平面区域吗？

10.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠.且甲乙两厂都规定一次印刷的数量至少是500份.

（1）分别求两个印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系，并指出自变量x的取值范围.