高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案(精选4篇)
高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案 第1篇
函数和不等式结的恒成立问题的解法
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型:
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数f(x)ax2bxc(a0,xR),有
1)f(x)0对xR恒成立a0;
0a0xR2)f(x)0对恒成立.0例1:若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R,求m的范围。例2 设函数f(x)=mx-mx-1.
(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有: 1)f(x)a恒成立af(x)min 2)f(x)a恒成立af(x)max
2例
1、若x2,2时,不等式xax3a恒成立,求a的取值范围。
例2.设f(x)x22mx2,当x[1,)时,f(x)m恒成立,求实数m的取值范围。
x22xa,x[1,),若对任意x[1,),f(x)0恒成巩固.已知函数f(x)x立,求实数a的取值范围。
练习1:若不等式x22mx2m10对满足x[0,1]的取值范围。的所有实数x都成立,求m练习2 已知f(x)x2ax3a,若x[2,2],f(x)2恒成立,求a的取值范围.三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有:
1)f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max 2)f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max
x2x例3.已知x,1时,不等式12aa40恒成立,求a的取值范围。
巩固 已知函数f(x)ax围。
注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。
4xx2,x(0,4]时f(x)0恒成立,求实数a的取值范例1.对任意a[1,1],不等式x2(a4)x42a0恒成立,求x的取值范围。
22.若不等式2x1mx1对满足m2的所有m都成立,求x的取值范围。
四、数形结合法
数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明了数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着密切的联系:
1)f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方;
2)f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。
例.设f(x)的取值范围.ykx3k的图象位于函数f(x)例2 已知函数f(x)|x24x5|,若在区间[1,5]上,x24x , g(x)4x1a,若恒有f(x)g(x)成立,求实数a3的上方,求k的取值范围.练习已知函数f(x)|x24x5|,若在区间[1,5]上,yk(x3)2的图象位于函数f(x)的上方,求k的取值范围
由此可以看出,对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时,思路是从边界处(从相等处)开始形成的。综合练习;例6
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若f(m)f(n)0mnm,n[1,1],mn0时,若f(x)t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]恒成立,求实数t的取值范围.课后作业: 若不等式|x1||x2|…a对任意xR恒成立,则a的取值范围是.
已知函数f(x)=1/a-1/x(a>0,x>0)(1)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n],求a的取值范围,并求相应的m,n的值(2)若f(x)≤2x在(0,+无穷大)上恒成立,求a的取值范围
高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案 第2篇
薛 蕊
(陕西省榆林市第一中学)
恒成立的数学问题是有一定难度、综合性强的题型,是学习中经常遇到的问题,拿到这类问题,我们往往不知道从哪入手,是我们学习中的难点。下面从函数定义域、值域、不等式、立体几何四大类问题中的恒成立题型作具体剖析,希望能帮助我们提高分析数学问题、解决数学理论和实际应用题的能力。
一、定义域中恒成立
不等式中恒成立问题的探究 第3篇
类型一:一次函数
例1当x∈[-2,2]时,函数f(x)=ax+5,且f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
类型二:二次函数
Ⅰ.直接利用判别式
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),对于一切实数上的不等式恒成立问题,只需利用二次项系数和判别式即可:
(1)f(x)>0(或f(x)≥0)在x∈R上恒成立圳a>0且Δ<0(或Δ≤0);
(2)f(x)<0(或f(x)≤0)在x∈R上恒成立圳a<0且Δ<0(或Δ≤0).
例2若不等式(a-1)x2+(a-1)x+2>0的解集是R,求实数a的范围.
Ⅱ.利用二次函数的最值
如果考虑f(x)在某区间上不等式恒成立,可利用f(x)在区间上的最值来确定这个参数的范围.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
例3若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0≤x≤1的所有实数x都成立,求实数m的取值范围.
类型三:形如f(x,a)>0
Ⅰ.可参数分离情形
对于不等式f(x)>0对一切x∈[α,β]恒成立,若f(x)中含有字母参数a,且可以转化成a>g(x)(a<g(x))的形式,那么如果g(x)(x∈[α,β])的最大值(或最小值)存在圳a>g(x)max(或a<g(x)min)
例4当x∈[1,2]时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
Ⅱ.不可参数分离情形
对一些不能把参数放在一侧的或者能够放在一侧但很难求解的,可以利用对应函数的图像法求解.f(x)>g(x)对一切x∈D恒成立圳f(x)的图像在g(x)的图像的上方.(例题略)
类型四:形如f(x1)>g(x2)(例题略)
在教学中,教师喜欢一题多解来培养学生解决问题的能力,培养学生的兴趣,而且在考试时,如果学生掌握了一些解题的技巧,在解题时游刃有余,会更加自信.
不等式恒成立的题型和解法还有很多,只要充分利用所给定的函数的特点和性质,具体问题具体分析,选用恰当的方法,对问题进行等价转化,就能使问题获得顺利解决.只有这样,才能真正提高分析问题和解决问题的能力.
摘要:高中数学的恒成立问题是高考重要题型,函数与不等式中的恒成立问题,一般综合性强,可考查函数、数列、不等式等诸多方面的知识,同时,培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力.本文结合例题浅谈恒成立问题的常见解法及恒成立问题的基本类型,以帮助学生更好地理解不等式恒成立问题关键,熟练掌握解决此类问题的技巧.
关键词:不等式,一次函数,二次函数,参数,恒成立.
参考文献
[1]刘国华.数列中恒成立问题的求解思想[J].中学数学研究,2011(8):45-46.
高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案 第4篇
一、判别式法
1)f(x)>0对x∈R恒成立?圳a>0△<0;
2)f(x)<0对x∈R恒成立?圳a<0△<0.
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值的处理方法,一般类型有:
三、分离变量法
若所给的不等式能通过变形使参数与主元分离到不等式两端,那么问题就可转化为求函数的最值,进而求出参数范围.此方法本质上还是求函数最值.
∴a≥45,即a的取值范围为[45,+∞).
四、数形结合法
在不等式恒成立问題中,数形结合思想起着非常重要的作用.
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